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高一数学必修1各章知识点总结
第一章 集合与函数概念
一、集合有关概念
1. 集合的含义
2. 集合的中元素的三个特性：
(1) 元素的确定性如：世界上最高的山
(2) 元素的互异性如：由HAPPY的字母组成的集合{H,A,P,Y}
(3) 元素的无序性: 如：{a,b,c}和{a,c,b}是表示同一个集合
3.集合的表示：{ ? } 如：{我校的篮球队员}，{太平洋,大西洋,印度洋,北冰洋}
(1) 用拉丁字母表示集合：A={我校的篮球队员},B={1,2,3,4,5}
(2) 集合的表示方法：列举法与描述法。
? 注意：常用数集及其记法：
非负整数集（即自然数集） 记作：N
正整数集 N*或 N+ 整数集Z 有理数集Q 实数集R
1） 列举法：{a,b,c??}
2） 描述法：将集合中的元素的公共属性描述出来，写在大括号内表示集合
的方法。{x?R| x-3>2} ,{x| x-3>2}
3） 语言描述法：例：{不是直角三角形的三角形}
4） Venn图:
4、集合的分类：
(1) 有限集 含有有限个元素的集合
(2) 无限集 含有无限个元素的集合
(3) 空集 不含任何元素的集合 例：{x|x2=－5｝
二、集合间的基本关系
1.“包含”关系—子集
注意：A?B有两种可能（1）A是B的一部分，；（2）A与B是同一集合。
??反之: 集合A不包含于集合B,或集合B不包含集合A,记作A?B或B?A
2．“相等”关系：A=B (5≥5，且5≤5，则5=5)
实例：设 A={x|x2-1=0} B={-1,1} “元素相同则两集合相等” 即：① 任何一个集合是它本身的子集。A?A
②真子集:如果A?B,且A? B那就说集合A是集合B的真子集，记作ABA)
③如果 A?B, B?C ,那么 A?C
④ 如果A?B 同时 B?A 那么A=B
3. 不含任何元素的集合叫做空集，记为Φ
规定: 空集是任何集合的子集， 空集是任何非空集合的真子集。 ? 有n个元素的集合，含有2n个子集，2n-1个真子集
B(或 金太阳新课标资源网
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例题：
1.下列四组对象，能构成集合的是 （ ） A某班所有高个子的学生 B著名的艺术家 C一切很大的书 D 倒数等于它自身的实数
2.集合{a，b，c }的真子集共有 个
3.若集合M={y|y=x2-2x+1,x?R},N={x|x≥0}，则M与N的关系是 .
4.设集合A=?x?x?2?，B=?xx?a?，若A?B，则a的取值范围是5.50名学生做的物理、化学两种实验，已知物理实验做得正确得有
人，化学实验做得正确得有31人，
两种实验都做错得有4人，则这两种实验都做对的有 人。
6. 用描述法表示图中阴影部分的点（含边界上的点）组成的集合
M= .
7.已知集合A={x| x2+2x-8=0}, B={x| x2-5x+6=0}, C={x|
x2-mx+m2-19=0}, 若B∩C≠Φ，A∩C=Φ，求m的值
二、函数的有关概念
1．函数的概念：设A、B是非空的数集，如果按照某个确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数．记作： y=f(x)，x∈A．其中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)| x∈A }叫做函数的值域． 注意：
1．定义域：能使函数式有意义的实数x的集合称为函数的定义域。
求函数的定义域时列不等式组的主要依据是：
(1)分式的分母不等于零；
(2)偶次方根的被开方数不小于零；
(3)对数式的真数必须大于零；
(4)指数、对数式的底必须大于零且不等于1.
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(5)如果函数是由一些基本函数通过四则运算结合而成的.那么，它的定义域是使各部分都有意义的x的值组成的集合.
(6)指数为零底不可以等于零，
(7)实际问题中的函数的定义域还要保证实际问题有意义.
? 无关）；②定义域一致 (两点必须同时具备)
(见课本21页相关例2)
2．值域 : 先考虑其定义域
(1)观察法
(2)配方法
(3)代换法
3. 函数图象知识归纳
(1)定义：在平面直角坐标系中，以函数 y=f(x) , (x∈A)中的x为横坐标，函数值y为纵坐标的点P(x，y)的集合C，叫做函数 y=f(x),(x ∈A)的图象．C上每一点的坐标(x，y)均满足函数关系y=f(x)，反过来，以满足y=f(x)的每一组有序实数对x、y为坐标的点(x，y)，均在C上 .
(2) 画法
A、 描点法：
B、 图象变换法
常用变换方法有三种
1) 平移变换
2) 伸缩变换
3) 对称变换
4．区间的概念
（1）区间的分类：开区间、闭区间、半开半闭区间
（2）无穷区间
（3）区间的数轴表示．
5．映射
一般地，设A、B是两个非空的集合，如果按某一个确定的对应法则f，使对于集合A中的任意一个元素x，在集合B中都有唯一确定的元素y与之对应，那么就称对应f：A?B为从集合A到集合B的一个映射。记作“f（对应关系）：A（原象）?B（象）”
对于映射f：A→B来说，则应满足：
(1)集合A中的每一个元素，在集合B中都有象，并且象是唯一的；
(2)集合A中不同的元素，在集合B中对应的象可以是同一个；
(3)不要求集合B中的每一个元素在集合A中都有原象。
6.分段函数
(1)在定义域的不同部分上有不同的解析表达式的函数。
(2)各部分的自变量的取值情况．
(3)分段函数的定义域是各段定义域的交集，值域是各段值域的并集． 补充：复合函数
如果y=f(u)(u∈M),u=g(x)(x∈A),则 y=f[g(x)]=F(x)(x∈A) 称为f、g的复合函数。
二．函数的性质
1.函数的单调性(局部性质)
（1）增函数
设函数y=f(x)的定义域为I，如果对于定义域I内的某个区间D内的任意两个自变量x1，x2，当)，那么就说f(x)在区间
D上是增函数.区间D如果对于区间D上的任意两个自变量的值x1，x2，当x1<x2 时，都有f(x1) 金太阳新课标资源网
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＞f(x2)，那么就说f(x)在这个区间上是减函数.区间D称为y=f(x)的单调
减区间.
注意：函数的单调性是函数的局部性质；
（2） 图象的特点
如果函数y=f(x)在某个区间是增函数或减函数，那么说函数y=f(x)在这一区间上具有(严格的)单调性，在单调区间上增函数的图象从左到右是上升的，减函数的图象从左到右是下降的.
(3).函数单调区间与单调性的判定方法
(A) 定义法：
1 任取x1，x2∈D，且x1<x2； ○
2 作差f(x1)－f(x2)； ○
3 变形（通常是因式分解和配方）； ○
4 定号（即判断差f(x1)－f(x2)的正负）； ○
5 下结论（指出函数f(x)在给定的区间D上的单调性）． ○
(B)图象法(从图象上看升降)
(C)复合函数的单调性
复合函数f[g(x)]的单调性与构成它的函数u=g(x)，y=f(u)的单调性密切相关，其规律：“同增异减”
注意：函数的单调区间只能是其定义域的子区间 ,不能把单调性相同的区间和在一起写成其并集.
8．函数的奇偶性（整体性质）
（1）偶函数
一般地，对于函数f(x)的定义域内的任意一个x，都有f(－x)=f(x)，那么f(x)就叫做偶函数．
（2）．奇函数
一般地，对于函数f(x)的定义域内的任意一个x，都有f(－x)=—f(x)，那么f(x)就叫做奇函数．
（3）具有奇偶性的函数的图象的特征
偶函数的图象关于y轴对称；奇函数的图象关于原点对称． 利用定义判断函数奇偶性的步骤：
1首先确定函数的定义域，并判断其是否关于原点对称； ○
2确定f(－x)与f(x)的关系； ○
3作出相应结论：若f(－x) = f(x) 或 f(－x)－f(x) = 0，则f(x)是○
偶函数；若f(－x) =－f(x) 或 f(－x)＋f(x) = 0，则f(x)是奇函数． 注意：函数定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要条件．首先看函数的定义域是否关于原点对称，若不对称则函数是非奇非偶函数.若对称，(1)再根据定义判定; (2)由 f(-x)±f(x)=0或f(x)／f(-x)=±1来判定; (3)利用定理，或借助函数的图象判定 .
9、函数的解析表达式
（1）.函数的解析式是函数的一种表示方法，要求两个变量之间的函数关系时，一是要求出它们之间的对应法则，二是要求出函数的定义域.
（2）求函数的解析式的主要方法有：
1) 凑配法
2) 待定系数法
3) 换元法
4) 消参法
10．函数最大（小）值（定义见课本p36页）
1 利用二次函数的性质（配方法）求函数的最大（小）值 ○
2 利用图象求函数的最大（小）值 ○
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3 利用函数单调性的判断函数的最大（小）值： ○
如果函数y=f(x)在区间[a，b]上单调递增，在区间[b，c]上单调递减则函数y=f(x)在x=b处有最大值f(b)；
如果函数y=f(x)在区间[a，b]上单调递减，在区间[b，c]上单调递增则函数y=f(x)在x=b处有最小值f(b)；
例题：
1.求下列函数的定义域：
⑴y?
⑵y?2.设函数f(x)的定义域为[0，1]，则函数f(x2)的定义域为_ _
3.若函数f(x?1)的定义域为[?2，3]，则函数f(2x?1)的定义域是
4.函数?x?2(x??1)
?2 ，若f(x)?3，则xf(x)??x(?1?x?2)
?2x(x?2)?
2= 5.求下列函数的值域： ⑴y?x2?2x?3 (x?R) ⑵y?x?2x?3 x?[1,2]
(3)y?x?
y
6.已知函数f(x?1)?x?4x，求函数2?f(x)，f(2x?1)的解析式
7.已知函数f(x)满足2f(x)?f(?x)?3x?4，则f(x)= 。
8.设f(x)是R上的奇函数，且当x?[0,??)时,f(x)?x(1?,则当x?(??,0)时f(x)= f(x)在R上的解析式为
9.求下列函数的单调区间：
⑴ y?x2?2x?3 ⑵y?⑶ y?x?6x?1 2
10.判断函数y??x3?1的单调性并证明你的结论．
211.设函数f(x)?1?x判断它的奇偶性并且求证：f(1)??f(x)． 21?xx
第二章 基本初等函数
一、指数函数
（一）指数与指数幂的运算
n1．根式的概念：一般地，如果x?a，那么x叫做a的n次方根，其中n>1，
*且n∈N．
? 负数没有偶次方根；0的任何次方根都是0，记作0?0。
当n是奇数时，ann?a，当n是偶数时，ann(a?0)?a?|a|?? ?a(a?0)?
2．分数指数幂
正数的分数指数幂的意义，规定：
m
an?a(a?0,m,n?N,n?1)m*， 金太阳新课标资源网
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a
?mn
?
1
mn
?
1
n
a
? 0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂没有意义 3．实数指数幂的运算性质
a
m
(a?0,m,n?N,n?1)
*
（1）a·a?a (a?0,r,s?R)； （2）(a)?a
r
r
s
r
s
rs
rrr?s
(a?0,r,s?R)；
（3）(ab)?aa (a?0,r,s?R)． （二）指数函数及其性质
1、指数函数的概念：一般地，函数y?ax(a?0,且a?1)叫做指数函数，其中x是自变量，函数的定义域为R．
注意：指数函数的底数的取值范围，底数不能是负数、零和1．
注意：利用函数的单调性，结合图象还可以看出：
x
（1）在[a，b]上，f(x)?a(a?0且a?1)值域是[f(a),f(b)]或[f(b),f(a)]；
（2）若x?0，则f(x)?1；f(x)取遍所有正数当且仅当x?R； （3）对于指数函数f(x)?a(a?0且a?1)，总有f(1)?a； 二、对数函数 （一）对数
x
1．对数的概念：一般地，如果a?N(a?0,a?1)，那么数x叫做以．a为．底．N的对数，记作：x?log
ax
N（a— 底数，N— 真数，log
a
N— 对
数式） 说明：○1 注意底数的限制a?0，且a?1； 2 a?N?logaN?x； ○
3 注意对数的书写格式． ○
x
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两个重要对数：
1 常用对数：以10为底的对数lgN； ○
2 自然对数：以无理数e?2.71828?为底的对数的对数lnN． ○
? 指数式与对数式的互化
幂值 真数
指数 对数
（二）对数的运算性质
如果a?0，且a?1，M?0，N?0，那么： 1 loga(M·N)?logaM＋logaN； ○
2 log○3 log○
M
a
NM
n
?log
a
M－log
a
a
N；
a
?nlogM (n?R)．
注意：换底公式
logcb
logab? （a?0，且a?1；c?0，且c?1；b?0）．
logca利用换底公式推导下面的结论 （1）log
a
m
b?
n
nm
log
a
b；（2）log
a
b?
1log
b
a
．
（二）对数函数
1、对数函数的概念：函数y?log
a
x(a?0，且a?1)叫做对数函数，其
中x是自变量，函数的定义域是（0，+∞）． 注意：○1 对数函数的定义与指数函数类似，都是形式定义，注意辨别。如：
y?2log
2
x，y?log
x
5
都不是对数函数，而只能称其为对数型函数．
5
2 对数函数对底数的限制：(a?0，且a?1)． ○
（三）幂函数
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1、幂函数定义：一般地，形如y?x?(a?R)的函数称为幂函数，其中?为常数．
2、幂函数性质归纳．
（1）所有的幂函数在（0，+∞）都有定义并且图象都过点（1，1）；
??0时，（2）幂函数的图象通过原点，并且在区间[0,??)上是增函数．特别地，当??1时，幂函数的图象下凸；当0???1时，幂函数的图象上凸；
（3）??0时，幂函数的图象在区间(0,??)上是减函数．在第一象限内，当x从右边趋向原点时，图象在y轴右方无限地逼近y轴正半轴，当x趋于??时，图象在x轴上方无限地逼近x轴正半轴．
例题：
1. 已知a>0，a0，函数y=ax与y=loga(-x)的图象只能是 ( )
2.计算： ①log
log264
?1
3 3?②27
84?log23= ；25113log527?2log52= ; 27③0.064?(?)?[(?2)]03?4
3?16?0.75?0.012 =
3.函数y=log1(2x2-3x+1)的递减区间为
2
4.若函数f(x)?logax(0?a?1)在区间[a,2a]上的最大值是最小值的3倍，则a=
5.已知f(x)?log
第三章 函数的应用
一、方程的根与函数的零点
1、函数零点的概念：对于函数y?f(x)(x?D)，把使f(x)?0成立的实数x叫做函数y?f(x)(x?D)的零点。
2、函数零点的意义：函数y?f(x)的零点就是方程f(x)?0实数根，亦即函数y?f(x)的图象与x轴交点的横坐标。
即：方程f(x)?0有实数根?函数y?f(x)的图象与x轴有交点?函数y?f(x)有零点．
3、函数零点的求法：
1 （代数法）求方程f(x)?0的实数根； ○
2 （几何法）对于不能用求根公式的方程，可以将它与函数y?f(x)的○
图象联系起来，并利用函数的性质找出零点．
金太阳新课标资源网1?xa1?x(a?0且a?1)，（1）求f(x)的定义域（2）求使f(x)?0的x的取值范围
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4、二次函数的零点：
二次函数y?ax2?bx?c(a?0)．
（1）△＞０，方程ax2?bx?c?0有两不等实根，二次函数的图象与x轴有两个交点，二次函数有两个零点．
（2）△＝０，方程ax2?bx?c?0有两相等实根，二次函数的图象与x轴有一个交点，二次函数有一个二重零点或二阶零点．
（3）△＜０，方程ax2?bx?c?0无实根，二次函数的图象与x轴无交点，二次函数无零点．
5.函数的模型
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