归纳—猜想—证明 

上海市风华中学  王晓虹

一、教材分析

    归纳法是由一系列有限的特殊事例得出一般结论的推理方法。归纳法分为不完全归纳法与完全归纳法，数学归纳法是“完全归纳”的一种科学方法，对于无穷尽的事例，常用不完全归纳法去发现规律，得出结论，并设法予以证明，这就是“归纳—猜想—证明”的思想方法，本课要求学生学习和掌握这种科学研究的思维方法，且会用此方法解决一些与数列有关的实际问题。

二、教学目标

1、了解数学推理的常用方法：演绎法与归纳法，理解数学归纳法的适用情况和证明步骤，发展在观察的基础上进行归纳猜想和发现的能力。

2、通过实例，领会用不完全归纳法发现规律，再用数学归纳法证明规律的思想方法，获得对于“归纳—猜想—证明”过程的体验。

3、通过对有关数学史及数学知识的学习，引起学生对“归纳—猜想—证明”思想方法的兴趣，培养勇于探索的精神和一丝不苟的作风。

三、教学重点与难点

1．教学重点

“归纳—猜想—证明”的思想方法。

2．教学难点

（1）对于一列无限多个的数学命题通过观察前几列的结论，获得一般的结论。

（2）数学归纳法的意义与证明的一般步骤。

四、教学过程

1．什么是归纳法

在初中学习平面几何时，常会遇到如下推理：三角形内角和为180°，直角三角形是三角形，所以直角三角形内角和为180°。这种由一般命题推出特殊命题的推理方法，我们称为演绎法。

但很多时候，往往需要从特殊的事例推出一般的原理，例如，一个人通过若干天的观察，看到“太阳从东方升起”， 就推出一般结论：“今后的每一天太阳都从东方升起”，这种推理方法叫做归纳法。归纳法在科学发展和社会生活中起着重要作用，如气象工作者、水文工作者根据积累的历史资料作气象预测、水文预测，用的就是归纳法

归纳法有什么特点？我们来看两个问题。

问题1：这里有一袋球共10个，要判断这袋球的颜色是白色，还是其他颜色，请问怎么办？

（学生回答）一个个拿出来看一看。（教师演示）这一袋球都是白色的。

问题2：数列的通项公式，计算的值，可以得到什么结论？

（学生回答）该数列的前四项都是1，猜测该数列的所有项都是1，这是错误的结论，该数列第五项是25。

解决以上两个问题用的都是归纳法——用一些特殊事例推出一般结论。为什么问题1的结论正确，问题2的结论错误呢？这是因为问题1中，一共10个球，全部看了一遍，结论当然正确。问题2中，根据前4 项为1，推测到所有项都是1，由于自然数有无数多个，因此得出的结论不一定正确。

实际上在这两个问题中运用的归纳法是有区别的，问题1中把研究对象都一一考察到了，这样推出结论的归纳法称为完全归纳法（通过验证一切可能的特殊事例，从而得出一般性结论，这种归纳推理称为完全归纳法）。问题2中，根据部分事实推出了更加一般的事实，这种推理方法称为不完全归纳法（通过验证有限的特殊事例，从中推断出一般性的结论，这种归纳推理称为不完全归纳法）。

既然这样，那么不完全归纳法是不是就不能使用了呢？

2．归纳与猜想

问题3：观察6=3+3，8=5+3，10=7+3，12=7+5，14=11+3，16=11+5，…，78=67+11，…，我们能得出什么结论？

这就是著名的“哥德巴赫猜想”，任何一个大于4的偶数都可以表示为两个奇质数之和。“哥德巴赫猜想”的例子告诉我们，虽然用不完全归纳法猜测得到的结论不一定正确，但它是我们探索发现真理的重要手段，必要时，我们要大胆用不完全归纳法进行猜测。

事实上，人类历史上许多重要的结论和发明，都是从归纳猜想开始的。例如，从古至今很多人猜想永动机是存在的，并想把它造出来。虽然至今没有成功，但是在发明永动机的过程中，产生了很多对人类社会具有重大贡献的其他创造发明。

数学上许多重要的定理也是从归纳猜想开始的，例如著名的地图着色的四色猜想。它是150多年前一位伦敦大学的学生对地图的探索观察后提出的，它的内容是：任何地图着色只需四中颜色就足够了。这个问题一直困扰着数学家，直到上个实际70年代，美国的两位教授利用计算机，把所有可能出现的2000多个特殊图一一罗列，在计算机上计算了1200多个小时，最终证明它是对的，这也是数学史上一个重要的里程碑，它带动了许多数学家用电子计算机证明数学上一些情况非常复杂的猜想。

回到问题3，哥德巴赫猜想，能否称之为哥德巴赫定理呢？还不能。迄今为止，没有一个人能举出反例说明它是错误的，许多数学家也正在致力于证明它是正确的，希望终有一天能为我们所用。归纳——猜想是我们得到一个创新结论的有效方法，但猜想的结论是否正确？这是我们无法回避的问题。对于生活、生产中的实际问题，得出的结论的正确性，应接受实践的检验，因为实践是检验真理的唯一标准。对于数学问题，应寻求数学证明，这就是我们今天要学习的课题。

3．归纳与证明

怎么证明我们猜想的结论是正确的呢？让我们结合问题1来思考。

问题1中共10个球，一一验看了，好象不必要证明了。让我们不妨换个角度看这个问题，10个球，一一验看了，这一一验看实际就是一种证明，数学上这种证明称为枚举法，它体现了分类讨论的思想。但，如果现在不是10个球，而是无数个球，该怎么证明这袋球全是白球呢？

这的确是一个较难的课题，在数学史上经历了多年的酝酿，意大利科学家莫罗利科第一个研究这个问题，并用递推的思想予以证明。

以问题1为例，首先确定第一次拿出来的是白球；然后再构造一个命题：命题的条件是：“假设某一次拿出来的是白球”，结论是“下一次拿出来的也是白球”。如果命题的条件成立一定能推出结论也成立，也就是某一次是白球这个条件能保证下一次也是白球，那么，我们就证明了这袋球全是白球了。

换句话说第一次拿出来的是白球已确认，运用构造的命题，可以得到第二次拿出来的也是白球，如此反复，得到第三次、第四次，以后每次拿出来的都是白球，所以这袋球全是白球。

一个原来无法一一验证的命题，用一个推一个的递推思想得到了证明。实际生活中，体现这种递推思想的例子很多：早晨同学们到校停放自行车时，要文明有序，一排排紧挨着的自行车，只要碰倒一辆，就会倒下一排。排列好的多米诺骨牌，只要推倒了第一块，所有的多米诺骨牌都会依次倒下，这个问题的实质是，理想状态中无限多块多米诺骨牌被推倒这一过程的实质是：1、在外力的作用下第一块骨牌被推倒了；2、如果前一块骨牌倒下的话，那么后一块骨牌也一定倒下。

用这种思想设计出来的，用于证明归纳、猜想所得命题的正确性的证明方法，就是数学归纳法。

4．数学归纳法

问题4：观察1，1+3，1+3+5，1+3+5+7的值；猜测1+3+5+…+（2n-1）的结果；用数学归纳法证明你的猜想。

解答：4个值分别是1、4、9、16；猜想…

证明：(i)当时，左边，右边，等式成立。

            (ii)假设当时，等式成立，即

             …，

             那么当时，

             …

           

            ，等式也成立，

            由(i)和(ii)可知，对于任何的，等式都成立。

问题5：（1）分别计算数列…的值；

       （2）根据（1）的计算猜想…的表达式；

       （3）用数学归纳法证明你的猜想

解答：略

5．小结

先由学生进行小结，再由教师进行小结

本课探讨了“归纳——猜想——证明”思想方法，它是通过观察、尝试、探索规律，从而对命题的结论予以猜测，然后再用数学归纳法证明。为了更好地让同学理解这一思想，从数学、数学史及科技发展史的角度，通过一些具体事例，作了阐述。首先，归纳猜想是探索发现真理的重要手段，然后，又从球的例子了解了数学归纳法的思想及解题方法：对于一列无限多个的数学命题，如果前一个命题正确，一定可以推得后一个命题也正确，再加上第一个命题正确的保证，那么就可以得到结论：这一列命题全都是正确的。归纳猜想证明在学习生活中会对我们有很大的帮助。

下节课我们要在今天的基础上，着重研究数学归纳法的应用。

6．作业  课本154页习题8.1，第1，2，3，4题

五、教学建议与说明

1．建议充分利用本课所涉及到的数学历史文化知识，如：地图着色的四色猜想、“哥德巴赫猜想”等，可以请学生课前查阅有关资料，课内进行交流，以提高学生学习数学的兴趣、热情和人文素养，培养严谨科学的学习态度和精神。

2．本课的难点是：对于一列无限多个的数学命题通过观察前几列的结论，获得一般的结论；数学归纳法的意义与证明的一般步骤，可以通过适当的例子，加强分析和讨论，帮助学生理解。

第二篇：第16讲 归纳--猜想--证明

第16讲  归纳——猜想——证明

（一）知识归纳：

由事物的部分特殊事例猜想出事物的一般结论，这种方法人们称为“不完全归纳法”，用不完全归纳法得出的结论需要经过证明，因此全部过程可以小结为下面程序：

①计算命题取特殊值时的结论；②对这些结果进行分析，探索数据的变化规律，并猜想命题的一般结论；③证明所猜想的结论.

（二）学习要点：

在中学数学内，“归纳—猜想—证明”的推理方法一般只局限于数列的内容，而且与正整数n有关，其它内容中很少有要求，解决问题时要注意以下几点，①计算特例时，不仅仅是简单的算数过程，有时要通过计算过程发现数据的变化规律；②猜想必须准确，绝对不能猜错，否则将徒劳无功；③如果猜想出来的结论与正整数n有关，一般用数学归纳法证明.

【例1】已知数列满足关系式N₊），

（Ⅰ）用a表法a₂，a₃，a₄；

（Ⅱ）猜想a_n的表达式（用a和n表示），并证明你的结论.

[解析]（Ⅰ）

（Ⅱ）（）  猜想下面用数学归纳法证明：

1°．当n=1时，当n=1结论正确；

2°．假设当n=k时结论正确，即，

∴当n=k+1时 

=当n=k+1时结论也正确；

根据1°与2°命题对一切n∈N*都正确.

[评析]“归纳—猜想—证明”是解决数列的某些问题的一种重要方法，对于一些变换技巧比较高的问题，如果能通过这种方法解答成功，则解答过程比较其它方法更容易.

【例2】已知数列满足：计算a₂，a₃，a₄的值，由此归纳出a_n的公式，并证明你的结论.

[解析]很容易算出a₂=5，a₃=16，a₄=44，但由此猜想出结论显然是非常困难的，下面作一些探索.

∵a₂=2 a₁+3×2°=2×1+3×2°，

a₃=2（2×1+3×2°）+3×2¹=2²×1+2×3×2¹，

a₄=2（2²×1+2×3×2¹）+3×2²=2³×1+3×3×2²；

猜想a_n=2^n－1+（n－1）×3×2^n－2=2^n－2（3n－1）；

用数学归纳法证明：

1°．当n=1时，a₁=2^－1×=1，结论正确；

2°．假设n=k时，a_k=2^k－2（3k－1）正确，

∴当n=k+1时， =

结论正确；

由1°、2°知对n∈N*有

[评析]如果计算出来的数据很难猜出结论时，应考虑整理计算过程，探索数据的变化规律，看看能否猜想成功.

【例3】已知等差数列中，a₂=8，前10项的和S₁₀=185，

（Ⅰ）求数列的通项公式a_n；

（Ⅱ）若从数列中依次取出第2，4，8，…，2ⁿ，…项，按原来的顺序排成一个新数列，试求新数列的前n项和A_n；

（Ⅲ）设 B_n=n（5+3 a_n），试比较A_n和B_n的大小，并说明理由.

[解析]（Ⅰ）设公差为d，∴

（Ⅱ）设新数列为，∴ 

∴A_n=3×（2+2²+2³+…+2ⁿ）+2n=3×2^n＋1+2n－6；

（Ⅲ）∵

A₄=3×32+2=98，A₅=3×64+4=196，A₆=3×128+6=390，A₇=3×256+8=776，……

而B₁=20，B₂=58，B₃=114，B₄=188，B₅=280，B₆=390，B₇=518，……

①当n=1，2，3，4，5时，B_n>A_n；

②当n=6时，B₆=A₆；

③当n≥7，且n∈N*时，猜想A_n>B_n，用数学归纳法证明：

1°．当n=7时，A₇=766>518=B₇，结论正确；

2°．假设当n=k（k≥7）时，A_k>B_k，即3×2^k+1+2k－6>9k²+11k2^k+1>3k²+3k+2，

∴n=k+1时，

=6×2 ^k+2－9k²－27k－24

=6×[2 ^k+1－（3k²+3k+2）]+6×（3k²+3k+2）－9k²－27k－24

=6×[2 ^k+1－（3k²+3k+2）]+9k²－9k－12

>9k²－9k－12=9k（k－1）－12≥9×7×（7－1）－12>0

∴A_k+1>B_k+1，即n=k+1时，结论也正确；

根据1°、2°知当n≥7且n∈N*时，有A_n>B_n.

[评析]从上面例子可以看出，归纳猜想不仅仅是要有对数据的观察能力，还需要有一定的经验，否则很难作出上述准确的猜想.

【例4】已知数列满足：问是否存在常数p、q，使得对一切n∈N*都有并说明理由.

[解析] ∵设存在这样的常数p、q，

∴由此猜想，对n∈N*，有

下面用数学归纳法证明这个结论：

1°．当n=1时，，结论正确；

2°．假设当n=k时结论正确，即  ∴当n=k+1时，

∴当n=k+1时结论正确，故当n∈N*时，成立.

[评析]例4是一类探索题型，由条件直接推出结论是非常困难的，通过归纳—猜想—证明的方法，难度不大.

《训练题》

一、选择题

1．  已知数列的前n项和，而，通过计算猜想

                                                                                                                              （    ）

       A．            B．            C．               D．

2．已知数列的通项公式 N*），记，

   通过计算的值，由此猜想                                   （    ）

       A．            B．                C．            D．

3．数列中，a₁=1，S_n表示前n项和，且S_n，S_n+1，2S₁成等差数列，通过计算S₁，S₂，

   S₃，猜想S_n=                                                                                                     （    ）

       A．               B．               C．            D．1－

4．已知a₁=1，然后猜想

                                                                                                                              （    ）

       A．n                        B．n²                                              C．n³                       D．

5．设已知则猜想                            （    ）

       A．           B．         C．         D．

6．从一楼到二楼的楼梯共有n级台阶，每步只能跨上1级或2级，走完这n级台阶共有

   种走法，则下面的猜想正确的是                                                                        （    ）

       A．  B．

       C．       D．

二、填空题：

7．已知数列中，通过计算然后猜想

                          

8．在数列中，通过计算然后猜想        

9．设数列的前n项和为S_n，已知S_n=2n－a_n（n∈N₊），通过计算数列的前四项，猜想

                 

10．已知函数记数列的前n项和为S_n，且时，

则通过计算的值，猜想的通项公式

                 

三、解答题

11．是否存在常数a，b，c，使等式

    N₊都成立，并证明你的结论.

12．已知数列的各项为正数，其前n项和为S_n，又满足关系式：

，试求的通项公式.

13．已知数列的各项为正数，S_n为前n项和，且，归纳出a_n的公式，并证明你的结论.

14．已知数列是等差数列，设N₊），

     N₊），问P_n与Q_n哪一个大？证明你的结论.

15．已知数列：N*

   （Ⅰ）归纳出a_n的公式，并证明你的结论；

   （Ⅱ）求证：

答案与解析

一、1.B  2.A  3.D  4.B  5.B  6.A

二、7．  8．n！  9．  10．n+1

11．令n=1得①，  令n=2得②，

    令n=3得③，  解①、②、③得a=3，b=11，c=10，记原式的左边为S_n，用数学归纳法证明猜想（证明略）

12．计算得猜测，用数学归纳法证明（证明略）.

13．∵

∵，…，猜想N*）.用数学归纳法证明（略）.

14．∵∴

计算得①

当1≤n≤3时，P_n<Q_n；②猜想n≥4时P_n＞Q_n，用数学归纳法证明，即证：当n≥4时

时用比较法证）

15．（Ⅰ）∵,…，猜测，数学归纳法证明（略）.

   （Ⅱ）∵ 

∴

第三篇：大学生在校实习证明函

大学生在校实习证明

我单位____同志,累计从事工程咨询相关专业工作共____年。

起止年月从事何种专业工作专业技术职务

年月-年月

年月-年月

年月-年月

年月-年月

年月-年月

在我单位工作期间,该同志遵纪守法,无违反职业道德行为。

特此证明。

经办人签字:

单位(盖章):

年月日

需要填专业工作的名称么?不需要吧。只需要你选择级别(高级、中级、助理级、员级、无职称),你根据自己的实际情况选就可以了。

只有所学专业的要求比较细,需要你选择类别(理科、工科、农林、医药、外语、财经、政法、文科、其他)和与报考专业的关系(相同、相近、不同、其他),都是大而化之的选择项,对你报考也没什么影响。

这些信息有一部分要打在登记表上,你如实填写就行了。至于报考什么专业,你最好跟单位人事部门确认一下,看他们是要聘哪个专业的职称。经济师虽然是以考代评,但是还有一个单位是否聘用的问题