导数知识点归纳及应用

●知识点归纳

一、相关概念

1．导数的概念

函数y=f(x),如果自变量x在x处有增量，那么函数y相应地有增量=f（x+）－f（x），比值叫做函数y=f（x）在x到x+之间的平均变化率，即=。如果当时，有极限，我们就说函数y=f(x)在点x处可导，并把这个极限叫做f（x）在点x处的导数，记作f’（x）或y’|。即f（x）==。

说明：

（1）函数f（x）在点x处可导，是指时，有极限。如果不存在极限，就说函数在点x处不可导，或说无导数。

（2）是自变量x在x处的改变量，时，而是函数值的改变量，可以是零。

由导数的定义可知，求函数y=f（x）在点x处的导数的步骤：

① 求函数的增量=f（x+）－f（x）；

② 求平均变化率=；

③ 取极限，得导数f’(x)=。

例：设f(x)= x|x|, 则f′(  0)=         .

[解析]：∵ 

∴f′(  0)=0

2．导数的几何意义

函数y=f（x）在点x处的导数的几何意义是曲线y=f（x）在点p（x，f（x））处的切线的斜率。也就是说，曲线y=f（x）在点p（x，f（x））处的切线的斜率是f’（x）。相应地，切线方程为y－y=f^/（x）（x－x）。

例：在函数的图象上，其切线的倾斜角小于的点中，坐标为整数的点的个数是                   (       )

    A．3          B．2            C．1            D．0

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导数  知识要点

 

1. 导数（导函数的简称）的定义：设是函数定义域的一点，如果自变量在处有增量，则函数值也引起相应的增量；比值称为函数在点到之间的平均变化率；如果极限存在，则称函数在点处可导，并把这个极限叫做在处的导数，记作或，即=.

注：①是增量，我们也称为“改变量”，因为可正，可负，但不为零.

②已知函数定义域为，的定义域为，则与关系为.

2. 函数在点处连续与点处可导的关系：

⑴函数在点处连续是在点处可导的必要不充分条件.

可以证明，如果在点处可导，那么点处连续.

事实上，令，则相当于.

于是

⑵如果点处连续，那么在点处可导，是不成立的.

例：在点处连续，但在点处不可导，因为，当＞0时，；当＜0时，，故不存在.

注：①可导的奇函数函数其导函数为偶函数.

②可导的偶函数函数其导函数为奇函数.

3. 导数的几何意义：

函数在点处的导数的几何意义就是曲线在点处的切线的斜率，也就是说，曲线在点P处的切线的斜率是，切线方程为

4、几种常见的函数导数：

（为常数）              （）          

                          

                            

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第三章  导数及其应用

3.1.2导数的概念(要求熟悉)

1.函数在处的导数：函数在处的瞬时变化率称为在处的导数，记作或，即。

3.1.3导数的几何意义（要求掌握）

 1.导数的几何意义：函数在处的导数就是曲线在点处切线的斜率，

即；

2.求切线方程的步骤：（注：已知点在已知曲线上）

  ①求导函数；②求切线的斜率；③代入直线的点斜式方程：，并整理。

3.求切点坐标的步骤：①设切点坐标；②求导函数；③求切线的斜率；④由斜率间的关系列出关于的方程，解方程求；⑤点在曲线上，将代入求，得切点坐标。

3.2导数的计算（要求掌握）

1. 基本初等函数的导数公式：①；②；③；④；

⑤；⑥；⑦；⑧.

2.导数运算法则：① ；②；

③；④

3.3.1函数的单调性与导数

（1）在区间内，>0,f(x)为单调递增；<0,f(x)为单调递减。

（2）用导数求函数单调区间的三个步骤：①确定函数的定义域；②求函数f(x)的导数；③令解不等式，得x的范围就是递增区间；④令解不等式，得x的范围就是递减区间。

（3）用导数判断或证明函数的单调性的步骤：①求函数f(x)的导数；②判断的符号；③给出单调性结论。

3.3.2函数的极值与导数（要求掌握）

1．极值的定义：若导数在附近左正右负，则在处取得极大值；若左负右正，则取得极小值。

2．求可导函数的极值的步骤：①确定函数的定义域；②求导数f′(x)；③求方程f′(x)=0的根；④列表，方程的根将整个定义域分成若干个区间，把在每个区间内的变化情况列在这个表格内；⑤判断，得结论。

3.3.3函数的最大（小）值与导数（要求掌握）

函数在上的最大值与最小值的步骤如下：①求函数在内的极值；

②将函数的各极值与端点处的函数值、比较，得出函数在上的最值。

3.4生活中的优化问题举例   解决优化问题的基本思路：

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§14. 导数  知识要点

 

1. 导数（导函数的简称）的定义：设是函数定义域的一点，如果自变量在处有增量，则函数值也引起相应的增量；比值称为函数在点到之间的平均变化率；如果极限存在，则称函数在点处可导，并把这个极限叫做在处的导数，记作或，即=.

注：①是增量，我们也称为“改变量”，因为可正，可负，但不为零.

②以知函数定义域为，的定义域为，则与关系为.

2. 函数在点处连续与点处可导的关系：

⑴函数在点处连续是在点处可导的必要不充分条件.

可以证明，如果在点处可导，那么点处连续.

事实上，令，则相当于.

于是

⑵如果点处连续，那么在点处可导，是不成立的.

例：在点处连续，但在点处不可导，因为，当＞0时，；当＜0时，，故不存在.

注：①可导的奇函数函数其导函数为偶函数.

②可导的偶函数函数其导函数为奇函数.

3. 导数的几何意义：

函数在点处的导数的几何意义就是曲线在点处的切线的斜率，也就是说，曲线在点P处的切线的斜率是，切线方程为

4. 求导数的四则运算法则：

（为常数）

注：①必须是可导函数.

②若两个函数可导，则它们和、差、积、商必可导；若两个函数均不可导，则它们的和、差、积、商不一定不可导.

例如：设，，则在处均不可导，但它们和

在处均可导.

5. 复合函数的求导法则：或

复合函数的求导法则可推广到多个中间变量的情形.

6. 函数单调性：

⑴函数单调性的判定方法：设函数在某个区间内可导，如果＞0，则为增函数；如果＜0，则为减函数.

⑵常数的判定方法；

如果函数在区间内恒有=0，则为常数.

注：①是f（x）递增的充分条件，但不是必要条件，如在上并不是都有，有一个点例外即x=0时f（x） = 0，同样是f（x）递减的充分非必要条件.

②一般地，如果f（x）在某区间内有限个点处为零，在其余各点均为正（或负），那么f（x）在该区间上仍旧是单调增加（或单调减少）的.

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高考数学复习详细资料——导数概念与运算知识清单

1．导数的概念

函数y=f(x),如果自变量x在x处有增量，那么函数y相应地有增量=f（x+）－f（x），比值叫做函数y=f（x）在x到x+之间的平均变化率，即=。如果当时，有极限，我们就说函数y=f(x)在点x处可导，并把这个极限叫做f（x）在点x处的导数，记作f’（x）或y’|。

即f（x）==。

说明：

（1）函数f（x）在点x处可导，是指时，有极限。如果不存在极限，就说函数在点x处不可导，或说无导数。

（2）是自变量x在x处的改变量，时，而是函数值的改变量，可以是零。

由导数的定义可知，求函数y=f（x）在点x处的导数的步骤（可由学生来归纳）：

（1）求函数的增量=f（x+）－f（x）；

（2）求平均变化率=；

（3）取极限，得导数f’(x)=。

2．导数的几何意义

函数y=f（x）在点x处的导数的几何意义是曲线y=f（x）在点p（x，f（x））处的切线的斜率。也就是说，曲线y=f（x）在点p（x，f（x））处的切线的斜率是f’（x）。相应地，切线方程为y－y=f/（x）（x－x）。

3．几种常见函数的导数:

①  ②   ③;   ④;

⑤⑥;   ⑦;   ⑧.

4．两个函数的和、差、积的求导法则

法则1：两个函数的和(或差)的导数,等于这两个函数的导数的和(或差)，

即： (

法则2：两个函数的积的导数,等于第一个函数的导数乘以第二个函数,加上第一个

函数乘以第二个函数的导数，即：

若C为常数,则.即常数与函数的积的导数等于常数乘以函数的导数：

法则3：两个函数的商的导数，等于分子的导数与分母的积，减去分母的导数与分子的积，再除以分母的平方：‘=（v0）。

形如y=f的函数称为复合函数。复合函数求导步骤：分解——求导——回代。法则：y＇|= y＇| ·u＇|

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导数公式及知识点

1、函数的单调性

(1)设那么

上是增函数；

上是减函数.

(2)设函数在某个区间内可导，若，则为增函数；若，则为减函数.

2、函数的奇偶性

对于定义域内任意的，都有，则是偶函数；

对于定义域内任意的，都有，则是奇函数。

奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于y轴对称。

3、函数在点处的导数的几何意义

函数在点处的导数是曲线在处的切线的斜率，相应的切线方程是.

4、几种常见函数的导数

①；②；    ③；④；

⑤；⑥；    ⑦；⑧

5、导数的运算法则

（1）.  （2）.  （3）.

6、会用导数求单调区间、极值、最值 

7、求函数的极值的方法是：解方程．当时：

(1) 如果在附近的左侧，右侧，那么是极大值；

(2) 如果在附近的左侧，右侧，那么是极小值．

 1.导数与单调性： 导数及其应用

（1）一般地，设函数 y = f ( x) 在某个区间可导，如果 f ′( x ) > 0 ，则 f ( x ) 为增函数；如果 f ′( x) < 0 ，则 f ( x) 为减函数；如果在某区间内恒有 f ′( x) = 0 ，则 f ( x) 为常数；

（2）对于可导函数 y = f ( x) 来说， f ′( x ) > 0 是 f ( x ) 在某个区间上为增函数的充分非必要 条件， f ′( x ) < 0 是 f ( x ) 在某个区间上为减函数的充分非必要条件；

（3）利用导数判断函数单调性的步骤：

①求函数 f ( x ) 的导数 f ′( x ) ；②令 f ′( x ) > 0 解不等式，得 x 的范围，就是递增区间；③令 f ′( x) < 0 解不等式，得 x 的范围，就是递增区间。

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导数的应用、复数

1.用导数研究函数的单调性。在区间内可导，若>0，则在上递增;若<0，则在上递减. 注意：为正（负）是函数递增（减）充分不必要条件。如果函数f(x)在区间（a,b）内可导且不是常函数，上述结论可以改进为：f(x)在区间（a,b）上单调递增≥0在（a,b）上恒成立；f(x)在区间（a,b）上单调递减≤0在（a,b）上恒成立

[举例1]已知函数若在是增函数，求实数的范围。

解析：≥0在上恒成立在上恒成立

而在上的最小值为16，故。

[举例2]已知定义在R上的函数y=f(x)的导函数f^/(x)在R上也可导，且其导函数[f^/(x)]^/<0，

则y=f(x)的图象可能是下图中的                                    （  C   ）

A．①②      B．①③    C．②③      D．③④

解析：由[f^/(x)]^/<0知f^/(x)在R上递减，即函数y=f(x)的图象上从左到右各点处的切线斜率递减，不难看出图象②③满足这一要求。

[举例3] f(x)是定义在（0，+∞）上的非负可导函数，且满足xf^/(x)+f(x)≤0,对任意正数a、b,若a＜b，则必有                    （     ）  （07陕西理11）

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