线性代数知识点总结

第一章  行列式

(一)要点

1、二阶、三阶行列式

2、全排列和逆序数，奇偶排列（可以不介绍对换及有关定理），n阶行列式的定义

3、行列式的性质

4、n阶行列式，元素的余子式和代数余子式，行列式按行（列）展开定理

5、克莱姆法则

（二）基本要求

   1、理解n阶行列式的定义

2、掌握n阶行列式的性质

   3、会用定义判定行列式中项的符号

4、理解和掌握行列式按行（列）展开的计算方法，即

5、会用行列式的性质简化行列式的计算，并掌握几个基本方法：

         归化为上三角或下三角行列式，

         各行（列）元素之和等于同一个常数的行列式，

         利用展开式计算

6、掌握应用克莱姆法则的条件及结论

   会用克莱姆法则解低阶的线性方程组

7、了解个方程个未知量的齐次线性方程组有非零解的充要条件

第二章 矩阵

（一）要点

1、矩阵的概念

  矩阵是一个矩阵表。当时，称为阶矩阵，此时由的元素按原来排列的形式构成的阶行列式，称为矩阵的行列式，记为.

注：矩阵和行列式是两个完全不同的两个概念。

2、几种特殊的矩阵：对角阵；数量阵；单位阵；三角形矩阵；对称矩阵

3、矩阵的运算；矩阵的加减法；数与矩阵的乘法；矩阵的转置；矩阵的乘法

  （1）矩阵的乘法不满足交换律和消去律，两个非零矩阵相乘可能是零矩阵。

       如果两矩阵与相乘，有,则称矩阵与可换。

…… …… 余下全文

线性代数知识点总结

第一章  行列式

(一)要点

1、二阶、三阶行列式

2、全排列和逆序数，奇偶排列（可以不介绍对换及有关定理），n阶行列式的定义

3、行列式的性质

4、n阶行列式，元素的余子式和代数余子式，行列式按行（列）展开定理

5、克莱姆法则

（二）基本要求

   1、理解n阶行列式的定义

2、掌握n阶行列式的性质

   3、会用定义判定行列式中项的符号

4、理解和掌握行列式按行（列）展开的计算方法，即

5、会用行列式的性质简化行列式的计算，并掌握几个基本方法：

         归化为上三角或下三角行列式，

         各行（列）元素之和等于同一个常数的行列式，

         利用展开式计算

6、掌握应用克莱姆法则的条件及结论

   会用克莱姆法则解低阶的线性方程组

7、了解个方程个未知量的齐次线性方程组有非零解的充要条件

第二章 矩阵

（一）要点

1、矩阵的概念

  矩阵是一个矩阵表。当时，称为阶矩阵，此时由的元素按原来排列的形式构成的阶行列式，称为矩阵的行列式，记为.

注：矩阵和行列式是两个完全不同的两个概念。

2、几种特殊的矩阵：对角阵；数量阵；单位阵；三角形矩阵；对称矩阵

3、矩阵的运算；矩阵的加减法；数与矩阵的乘法；矩阵的转置；矩阵的乘法

  （1）矩阵的乘法不满足交换律和消去律，两个非零矩阵相乘可能是零矩阵。

       如果两矩阵与相乘，有,则称矩阵与可换。

…… …… 余下全文

线性代数知识点总结

第一章            行列式

第一节：二阶与三阶行列式

把表达式称为所确定的二阶行列式，并记作，

即结果为一个数。（课本P1）

同理，把表达式称为由数表所确定的三阶行列式，记作。

即=

二三阶行列式的计算：对角线法则（课本P2，P3）

注意：对角线法则只适用于二阶及三阶行列式的计算。

利用行列式计算二元方程组和三元方程组：

对二元方程组

设

则，（课本P2）

对三元方程组，

设，

，，，

则，，。（课本上没有）

注意：以上规律还能推广到n元线性方程组的求解上。

第二节：全排列及其逆序数

全排列：把个不同的元素排成一列，叫做这个元素的全排列（或排列）。

n个不同的元素的所有排列的总数，通常用P_n (或A_n)表示。（课本P5）

逆序及逆序数：在一个排列中，如果两个数的前后位置与大小顺序相反，即前面的数大于后面的数，那么称它们构成一个逆序，一个排列中，逆序的总数称为这个排列的逆序数。

排列的奇偶性：逆序数为奇数的排列称为奇排列；逆序数为偶数的排列称为偶排列。（课本P5）

计算排列逆序数的方法：

方法一：分别计算出排在 前面比它大的数码之和即分别算出这n个元素的逆序数，这个元素的逆序数的总和即为所求排列的逆序数。

方法二：分别计算出排列中每个元素前面比它大的数码个数之和，即算出排列中每个元素的逆序数，这每个元素的逆序数之总和即为所求排列的逆序数。（课本上没有）

第三节：n阶行列式的定义

定义：n阶行列式等于所有取自不同行、不同列的n个元素的乘积

的代数和，其中p₁ p₂ … p_n是1， 2， … ，n的一个排列，每一项的符号由其逆序数决定。也可简记为，其中为行列式D的（i，j元）。（课本P6）

…… …… 余下全文

第一部分：基本要求（计算方面）

四阶行列式的计算；

N阶特殊行列式的计算（如有行和、列和相等）；

矩阵的运算（包括加、减、数乘、乘法、转置、逆等的混合运算）； 求矩阵的秩、逆（两种方法）；解矩阵方程；

含参数的线性方程组解的情况的讨论；

齐次、非齐次线性方程组的求解（包括唯一、无穷多解）；

讨论一个向量能否用和向量组线性表示；

讨论或证明向量组的相关性；

求向量组的极大无关组，并将多余向量用极大无关组线性表示；

将无关组正交化、单位化；

求方阵的特征值和特征向量；

讨论方阵能否对角化，如能，要能写出相似变换的矩阵及对角阵；

通过正交相似变换（正交矩阵）将对称矩阵对角化；

写出二次型的矩阵，并将二次型标准化，写出变换矩阵；

判定二次型或对称矩阵的正定性。

第二部分：基本知识

一、行列式

1．行列式的定义

用n^2个元素aij组成的记号称为n阶行列式。

（1）它表示所有可能的取自不同行不同列的n个元素乘积的代数和；

（2）展开式共有n!项，其中符号正负各半；

2．行列式的计算

一阶|α|=α行列式，二、三阶行列式有对角线法则；

N阶（n>=3）行列式的计算：降阶法

定理：n阶行列式的值等于它的任意一行（列）的各元素与其对应的代数余子式乘积的和。

方法：选取比较简单的一行（列），保保留一个非零元素，其余元素化为0，利用定理展开降阶。

特殊情况

上、下三角形行列式、对角形行列式的值等于主对角线上元素的乘积；

（2）行列式值为0的几种情况：

Ⅰ 行列式某行（列）元素全为0；

Ⅱ 行列式某行（列）的对应元素相同；

Ⅲ 行列式某行（列）的元素对应成比例；

Ⅳ 奇数阶的反对称行列式。

二．矩阵

1．矩阵的基本概念（表示符号、一些特殊矩阵――如单位矩阵、对角、对称矩阵等）；

2．矩阵的运算

（1）加减、数乘、乘法运算的条件、结果；

…… …… 余下全文

线性代数知识点

 

1、行列式

1.         行列式共有个元素，展开后有项，可分解为行列式；

2.         代数余子式的性质：

①、和的大小无关；

②、某行（列）的元素乘以其它行（列）元素的代数余子式为0；

③、某行（列）的元素乘以该行（列）元素的代数余子式为；

3.         代数余子式和余子式的关系：

4.         设行列式：

将上、下翻转或左右翻转，所得行列式为，则；

将顺时针或逆时针旋转，所得行列式为，则；

将主对角线翻转后（转置），所得行列式为，则；

将主副角线翻转后，所得行列式为，则；

5.         行列式的重要公式：

①、主对角行列式：主对角元素的乘积；

②、副对角行列式：副对角元素的乘积；

③、上、下三角行列式（）：主对角元素的乘积；

④、和：副对角元素的乘积；

⑤、拉普拉斯展开式：、

⑥、范德蒙行列式：大指标减小指标的连乘积；

⑦、特征值；

6.         对于阶行列式，恒有：，其中为阶主子式；

7.         证明的方法：

①、；

②、反证法；

③、构造齐次方程组，证明其有非零解；

④、利用秩，证明；

…… …… 余下全文

《线性代数》复习提纲

第一章、行列式

1．行列式的定义：用个元素组成的记号称为n阶行列式。

　（1）它表示所有可能的取自不同行不同列的n个元素乘积的代数和；

　（2）展开式共有n!项，其中符号正负各半；

2．行列式的计算

一阶|α|=α行列式，二、三阶行列式有对角线法则；

N阶（n3）行列式的计算：降阶法

　定理：n阶行列式的值等于它的任意一行（列）的各元素与其对应的代数余子式乘积的和。

　方法：选取比较简单的一行（列），保保留一个非零元素，其余元素化为0，利用定理展开降阶。

特殊情况：上、下三角形行列式、对角形行列式的值等于主对角线上元素的乘积；

行列式值为0的几种情况：

Ⅰ　行列式某行（列）元素全为0；           Ⅱ　行列式某行（列）的对应元素相同；

Ⅲ　行列式某行（列）的元素对应成比例； Ⅳ　奇数阶的反对称行列式。

3.概念：全排列、排列的逆序数、奇排列、偶排列、余子式、代数余子式

      定理：一个排列中任意两个元素对换，改变排列的奇偶性。

             奇排列变为标准排列的对换次数为基数，偶排列为偶数。

             n阶行列式也可定义：，t为的逆序数

4.行列式性质：

      1、行列式与其转置行列式相等。

2、互换行列式两行或两列，行列式变号。若有两行(列)相等或成比例，则为行列式0。

…… …… 余下全文

         线性代数知识点总结

第一章  行列式 

二三阶行列式

N阶行列式：行列式中所有不同行、不同列的n个元素的乘积的和  

            （奇偶）排列、逆序数、对换

行列式的性质：①行列式行列互换，其值不变。（转置行列式）

              ②行列式中某两行（列）互换，行列式变号。

          推论：若行列式中某两行（列）对应元素相等，则行列式等于零。

              ③常数k乘以行列式的某一行（列），等于k乘以此行列式。

          推论：若行列式中两行（列）成比例，则行列式值为零；

          推论：行列式中某一行（列）元素全为零，行列式为零。

              ④行列式具有分行（列）可加性

…… …… 余下全文