知识清单

1、等差数列定义：

一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母d表示。用递推公式表示为an?an?1?d(n?2)或an?1?an?d(n?1)。

2、等差数列的通项公式：an?a1?(n?1)d；

说明：等差数列（通常可称为AP数列）的单调性：d?0为递增数列，d?0为常数列，d?0 为递减数列。

3、等差中项的概念：

定义：如果a，A，b成等差数列，那么A叫做a与b的等差中项。其中A?

a，A，b成等差数列?A?

a?b2

a?b2

。

n(a1?an)

2

?na1?

n(n?1)2

d

4、等差数列的前n和的求和公式：Sn?

。

5、等差数列的性质：

（1）在等差数列?an?中，从第2项起，每一项是它相邻二项的等差中项； （2）在等差数列?an?中，相隔等距离的项组成的数列是AP， 如：a1，a3，a5，a7，……；a3，a8，a13，a18，……； （3）在等差数列?an?中，对任意m，n?N?，an?am?(n?m)d，d?

an?amn?m

(m?n)；

（4）在等差数列?an?中，若m，n，p，q?N?且m?n?p?q，则am?an?ap?aq； 说明：设数列{an}是等差数列，且公差为d，

（Ⅰ）若项数为偶数，设共有2n项，则①S奇?S偶?nd； ②

S奇S偶

?anan?1S奇S偶

?

；

nn?1

（Ⅱ）若项数为奇数，设共有2n?1项，则①S偶?S奇?an?a中；②

。

6、数列最值

（1）a1?0，d?0时，Sn有最大值；a1?0，d?0时，Sn有最小值； （2）Sn最值的求法：①若已知Sn，可用二次函数最值的求法（n?N?）；②若已知an，则Sn最值时n的值（n?N?）可如下确定?

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等差数列

知识清单

1、等差数列定义：一般地，如果一个数列从第项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母表示。用递推公式表示为或。

根据定义，当我们看到形如：、、、、时，应能从中得到相应的等差数列。

等差数列的判定方法

1. 定义法：若或(常数) 是等差数列．

2.等差中项：数列是等差数列．

3.数列是等差数列（其中是常数）。

4.数列是等差数列,（其中A、B是常数）。

等差数列的证明方法

定义法：若或(常数) 是等差数列．

例1．设S_n是数列{a_n}的前n项和，且S_n=n²，则{a_n}是（    ）

A.等比数列，但不是等差数列                         B.等差数列，但不是等比数列

C.等差数列，而且也是等比数列                      D.既非等比数列又非等差数列

2．等差数列通项公式：

        ，  首项:，公差:d，末项:

   推广： ．      从而；

等差数列的通项公式是关于的一次函数，且斜率为公差；

说明：等差数列（通常可称为数列）的单调性：

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等差数列

1.  定义

一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母d表示。

用递推公式表示为（d为常数）（）；

2．等差数列通项公式：

（1）（首项:，公差:d，末项:）

（2）．      从而；

3．等差中项

（1）如果，，成等差数列，那么叫做与的等差中项．即：或

（2）等差中项：数列是等差数列

4．等差数列的前n项和公式：

（其中A、B是常数） （当d≠0时，S_n是关于n的二次式且常数项为0）

5．等差数列的证明方法

（1）定义法：若或(常数) 是等差数列．

（2） 等差中项：数列是等差数列．

（3）数列是等差数列（其中是常数）。

（4）数列是等差数列,（其中A、B是常数）。

注：（1）等差数列的通项公式及前和公式中，涉及到5个元素：、、、及，其中、称作为基本元素。只要已知这5个元素中的任意3个，便可求出其余2个，即知3求2。

（2）为减少运算量，要注意设元的技巧，如奇数个数成等差，可设为…，…（公差为）；偶数个数成等差，可设为…，,…（公差为2）

7.等差数列的性质：

（1）当公差时，等差数列的通项公式是关于的一次函数，且

斜率为公差；前和是关于的二次函数且常数项为0.

（2）若公差，则为递增等差数列，若公差，则为递减等差数列，若公差，则      

    为常数列。

（3）当时,则有，特别地，当时，则有.

注：，图示：

(4) 若{}是等差数列，则 ，…也成等差数列

图示：

（5）若等差数列、的前和分别为、，且，则.

（6）若、为等差数列，则为等差数列

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等差数列

1.  定义

一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母d表示。

用递推公式表示为（d为常数）（）；

2．等差数列通项公式：

（1）（首项:，公差:d，末项:）

（2）．      从而；

3．等差中项

（1）如果，，成等差数列，那么叫做与的等差中项．即：或

（2）等差中项：数列是等差数列

4．等差数列的前n项和公式：

（其中A、B是常数） （当d≠0时，Sn是关于n的二次式且常数项为0）

5．等差数列的证明方法

（1）定义法：若或(常数) 是等差数列．

（2） 等差中项：数列是等差数列．

（3）数列是等差数列（其中是常数）。

（4）数列是等差数列,（其中A、B是常数）。

注：（1）等差数列的通项公式及前和公式中，涉及到5个元素：、、、及，其中、称作为基本元素。只要已知这5个元素中的任意3个，便可求出其余2个，即知3求2。

（2）为减少运算量，要注意设元的技巧，如奇数个数成等差，可设为…，…（公差为）；偶数个数成等差，可设为…，,…（公差为2）

7.等差数列的性质：

（1）当公差时，等差数列的通项公式是关于的一次函数，且斜率为公差；前和是关于的二次函数且常数项为0.

（2）若公差，则为递增等差数列，若公差，则为递减等差数列，若公差，则为常数列。

（3）当时,则有，特别地，当时，则有.

注：，图示：

(4) 若{}是等差数列，则 ，…也成等差数列

图示：

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高中数学等差数列知识点总结

一．等差数列

　１．定义：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，则这个数列称为等差数列，这个常数称为等差数列的公差，通常用ｄ表示

　２．由三个数，，组成的等差数列可以看成最简单的等差数列，则称为与的等差中项，且

若，则称为与的等差中项

　３．等差数列的单调性

若ｄ＞０，则该等差数列是递增数列

若ｄ＝０，则该等差数列是常数列

若ｄ＜０，则该等差数列是递减数列

　４．等差数列的通项公式

　　（１）若等差数列的首项是，公差是，则

（２）通项公式的变形：

①；

②；

③；

④；

⑤．

５．等差数列的性质

（１）若是等差数列，且（、、、），则；（２）若是等差数列，且（、、），则　

（３）从等差数列中取出等距离的某些项，它们仍成等差数列

６．等差数列的图象是一些孤立的点

７．如何判断一个数列是否是等差数列

　（１）定义法：只需要＝同一个常数（ｎ＞１）

　（２）等差中项法

　（３）通项公式法

二同步练习　

１．在数列中，，，则＝　　　　

　２．已知和成等差数列，而 成等比数列，且，则＝　　

　３．已知数列的通项公式为＝ｐｎ＋ｑ，其中ｐ，ｑ是常数，那么这个数列一定是等差数列吗？

　

　

　

　

　４．求等差数列８，　５，　２，…的第２０项

　

　

　

　

　

　５．－４０１是不是等差数列－５，　－９，　－１３，…的项？如果是，是第几项？

　

　

　

　

　

　６．在等差数列中，若　　　　

　７．若，则　　，＝　　　　

　８．已知方程的四个根组成的一个首项为的等差数列，则  　　　　　

９．已知数列满足

   （Ⅰ）求证：数列为等差数列

　

　

　

　

　

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等差数列定义与性质

1.等差数列的定义：（d为常数）（）；

2．等差数列通项公式：

    ，  首项:，公差:d，末项:

   推广： ．      从而；

3．等差中项

（1）如果，，成等差数列，那么叫做与的等差中项．即：或

（2）等差中项：数列是等差数列

4．等差数列的前n项和公式：

5．等差数列的判定方法

（1） 定义法：若或(常数) 是等差数列．

（2） 等差中项：数列是等差数列．

（3） 数列是等差数列（其中是常数）。

（4） 数列是等差数列,（其中A、B是常数）。

6. 等差数列的性质：

（1）当公差时，是关于的一次函数，且斜率为公差；

前和是关于的二次函数且常数项为0.

（2）若公差，则为递增等差数列，若公差，则为递减等差数列，若公差，则为常数列。

（3）当时,则有，特别地，当时，则有.

注：，

（4）若、为等差数列，则都为等差数列

(5) 若{}是等差数列，则 ，…也成等差数列

（6）数列为等差数列,每隔k(k)项取出一项仍为等差数列，例如：仍为等差数列

（7）设数列是等差数列，d为公差，是奇数项的和，是偶数项项的和，是前n项的和

1.当项数为偶数时，

 

        

2、当项数为奇数时，则

等差数列练习：

1.下列数列不是等差数列的是(        )

（A）5,5,5, …,5,（B）-2,-1,0,1, …,n-3,（C）4,7,10,13, …,3n+1,（D）0,1,3, …,, …

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等差数列

一．等差数列知识点：

知识点1、等差数列的定义:

①如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母d表示知识点2、等差数列的判定方法:

②定义法：对于数列?an?，若an?1?an?d(常数)，则数列?an?是等差数列 ③等差中项：对于数列?an?，若2an?1?an?an?2，则数列?an?知识点3、:

④如果等差数列?an?的首项是a1，公差是d，则等差数列的通项为

an?a1?(n?1)d 该公式整理后是关于n的一次函数

知识点4、等差数列的前n项和: ⑤Sn?n(a1?an)n(n?1) ⑥Sn?na1?d 22

对于公式2整理后是关于n的没有常数项的二次函数知识点5、等差中项:

⑥如果a，A，b成等差数列，那么A叫做a与b的等差中项A?a?b或22A?a?b

在一个等差数列中，从第2项起，每一项（有穷等差数列的末项除外）都是它的前一项与后一项的等差中项；事实上等差数列中某一项是与其等距离的前后两项的等差中项知识点6、等差数列的性质: ⑦等差数列任意两项间的关系：如果an是等差数列的第n项，am是等差数列的第m项，且m?n，公差为d，则有an?am?(n?m)d

⑧ 对于等差数列?an?，若n?m?p?q，则an?am?ap?aq

也就是：a1?an?a2?an?1?a3?an?2???

⑨若数列?an?是等差数列，Sn是其前n项的和，k?N*，那么Sk，S2k?Sk，S3k?S2k成等差数列

1

S3k?????????????????????????a1?a2?a3???ak?ak?1???a2k?a2k?1???a3k ???????????????????????

SkS2k?SkS3k?S2k

* 10、等差数列的前n项和的性质：①若项数为2nn??，则S2n???n?an?an?1?，

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