〖1.2〗函数及其表示

【1.2.1】函数的概念

（1）函数的概念

①设、是两个非空的数集，如果按照某种对应法则，对于集合中任何一个数，在集合中都有唯一确定的数和它对应，那么这样的对应（包括集合，以及到的对应法则）叫做集合到的一个函数，记作．

②函数的三要素:定义域、值域和对应法则．

③只有定义域相同，且对应法则也相同的两个函数才是同一函数．

（2）区间的概念及表示法

①设是两个实数，且，

满足的实数的集合叫做闭区间，记做；

满足的实数的集合叫做开区间，记做；

满足，或的实数的集合叫做半开半闭区间，分别记做，；

满足的实数的集合分别记做．

注意：对于集合与区间，前者可以大于或等于，而后者必须．

（3）求函数的定义域时，一般遵循以下原则：

①是整式时，定义域是全体实数．

②是分式函数时，定义域是使分母不为零的一切实数．

③是偶次根式时，定义域是使被开方式为非负值时的实数的集合．

④对数函数的真数大于零，当对数或指数函数的底数中含变量时，底数须大于零且不等于1．

⑤中，．

⑥零（负）指数幂的底数不能为零．

⑦若是由有限个基本初等函数的四则运算而合成的函数时，则其定义域一般是各基本初等函数的定义域的交集．

⑧对于求复合函数定义域问题，一般步骤是：若已知的定义域为，其复合函数的定义域应由不等式解出．

⑨对于含字母参数的函数，求其定义域，根据问题具体情况需对字母参数进行分类讨论．

⑩由实际问题确定的函数，其定义域除使函数有意义外，还要符合问题的实际意义．

（4）求函数的值域或最值

求函数最值的常用方法和求函数值域的方法基本上是相同的．事实上，如果在函数的值域中存在一个最小（大）数，这个数就是函数的最小（大）值．因此求函数的最值与值域，其实质是相同的，只是提问的角度不同．求函数值域与最值的常用方法：

①观察法：对于比较简单的函数，我们可以通过观察直接得到值域或最值．

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函数的基本性质

基础知识：

1.奇偶性

（1）定义：如果对于函数f(x)定义域内的任意x都有f(－x)=－f(x)，则称f(x)为奇函数；如果对于函数f(x)定义域内的任意x都有f(－x)=f(x)，则称f(x)为偶函数。如果函数f(x)不具有上述性质，则f(x)不具有奇偶性.如果函数同时具有上述两条性质，则f(x)既是奇函数，又是偶函数。

注意：

①函数是奇函数或是偶函数称为函数的奇偶性，函数的奇偶性是函数的整体性质；

②由函数的奇偶性定义可知，函数具有奇偶性的一个必要条件是，对于定义域内的任意一个x，则－x也

  一定是定义域内的一个自变量（即定义域关于原点对称）。

（2）利用定义判断函数奇偶性的格式步骤：

①首先确定函数的定义域，并判断其定义域是否关于原点对称；

②确定f(－x)与f(x)的关系；

③作出相应结论：

若f(－x) = f(x) 或 f(－x)－f(x) = 0，则f(x)是偶函数；

若f(－x) =－f(x) 或 f(－x)＋f(x) = 0，则f(x)是奇函数。

（3）简单性质：

①图象的对称性质：一个函数是奇函数的充要条件是它的图象关于原点成中心对称；一个函数是偶函数的充要条件是它的图象关于y轴成轴对称；

②设，的定义域分别是，那么在它们的公共定义域上：

奇+奇=奇，奇奇=偶，偶+偶=偶，偶偶=偶，奇偶=奇

2.单调性

（1）定义：一般地，设函数y=f(x)的定义域为I， 如果对于定义域I内的某个区间D内的任意两个自变量x₁，x₂，当x₁<x₂时，都有f(x₁)<f(x₂)（f(x₁)>f(x₂)），那么就说f(x)在区间D上是增函数（减函数）；

注意：

①函数的单调性是在定义域内的某个区间上的性质，是函数的局部性质；

②必须是对于区间D内的任意两个自变量x₁，x₂；当x₁<x₂时，总有f(x₁)<f(x₂)。

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名词性从句知识点总结

　在句子中起名词作用的句子叫名词性从句(Noun Clauses）。 名词性从句的功能相当于名词词组, 它在复合句中能担任主语、宾语、表语、同位语、介词宾语等，因此根据它在句中不同的语法功能，名词从句又可分别称为主语从句、宾语从句、表语从句和同位语从句。

一． 主语从句

主语从句是在复合句中充当主语的从句，通常放在主句谓语动词之前或由形式主语it代替，而本身放在句子末尾。

1. It 作形式主语和it引导强调句的比较

It 作形式主语代替主语从句，主要是为了平衡句子结构，主语从句的连接词没有变化。而it引导的强调句则是对句子某一部分进行强调，无论强调的是什么成分，都可用连词that。被强调部分指人时也可用who/whom。例如：

    a) It is a pity that you didn’t go to see the film.  你不去看那场电影真可惜。

    b) It doesn’t interest me whether you succeed or not.　我对你成功与否不感兴趣。

    c) It is in the morning that the murder took place.　谋杀案是在早上发生的。（强调句型）

    d) It is John that broke the window.　是John打碎的窗户。（强调句型）

2. 用it 作形式主语的结构

(1) It is ＋ 名词 ＋ 从句

          It is a fact that …                      事实是…

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第一部分：基本要求（计算方面）

四阶行列式的计算；

N阶特殊行列式的计算（如有行和、列和相等）；

矩阵的运算（包括加、减、数乘、乘法、转置、逆等的混合运算）； 求矩阵的秩、逆（两种方法）；解矩阵方程；

含参数的线性方程组解的情况的讨论；

齐次、非齐次线性方程组的求解（包括唯一、无穷多解）；

讨论一个向量能否用和向量组线性表示；

讨论或证明向量组的相关性；

求向量组的极大无关组，并将多余向量用极大无关组线性表示；

将无关组正交化、单位化；

求方阵的特征值和特征向量；

讨论方阵能否对角化，如能，要能写出相似变换的矩阵及对角阵；

通过正交相似变换（正交矩阵）将对称矩阵对角化；

写出二次型的矩阵，并将二次型标准化，写出变换矩阵；

判定二次型或对称矩阵的正定性。

第二部分：基本知识

一、行列式

1．行列式的定义

用n^2个元素aij组成的记号称为n阶行列式。

（1）它表示所有可能的取自不同行不同列的n个元素乘积的代数和；

（2）展开式共有n!项，其中符号正负各半；

2．行列式的计算

一阶|α|=α行列式，二、三阶行列式有对角线法则；

N阶（n>=3）行列式的计算：降阶法

定理：n阶行列式的值等于它的任意一行（列）的各元素与其对应的代数余子式乘积的和。

方法：选取比较简单的一行（列），保保留一个非零元素，其余元素化为0，利用定理展开降阶。

特殊情况

上、下三角形行列式、对角形行列式的值等于主对角线上元素的乘积；

（2）行列式值为0的几种情况：

Ⅰ 行列式某行（列）元素全为0；

Ⅱ 行列式某行（列）的对应元素相同；

Ⅲ 行列式某行（列）的元素对应成比例；

Ⅳ 奇数阶的反对称行列式。

二．矩阵

1．矩阵的基本概念（表示符号、一些特殊矩阵――如单位矩阵、对角、对称矩阵等）；

2．矩阵的运算

（1）加减、数乘、乘法运算的条件、结果；

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光的粒子性

【考纲要求】

说明：相比10年，新考试说明中删去了康普顿效应

【知识要点】

1．光电效应

概念：在光(包括不可见光)的照射下，从物体发射        的现象叫做光电效应。

2．光电效应的实验规律

（1）存在遏止电压

如图所示，光线经石英窗照在阴极上，便有电子逸出----光电子。

光电子在电场作用下形成光电流。

概念：遏止电压

将换向开关反接，电场反向，则光电子离开阴极后将受反向电场阻碍作用。

当 K、A 间加反向电压，光电子克服电场力作功，当电压达到某一值 Uc 时，光电流恰为0。 Uc称遏止电压。

根据动能定理，有

 

实验表明，无论光的强弱如何，遏止电压都是一样的。光的频率改变时，遏止电压也会改变，这表明光电子的能量只与入射光的频率有关，而与入射光的强弱无关。

（2） 光电流与光强的关系：

饱和光电流强度与入射光强度成正比。

（3） 截止频率νc ----极限频率

对于每种金属材料，都相应的有一确定的截止频率νc 。

当入射光频率ν>νc 时，电子才能逸出金属表面；

当入射光频率ν <νc时，无论光强多大也无电子逸出金属表面。

（4）光电效应是瞬时的。从光开始照射到光电子逸出所需时间<10-9s。

3．光电效应解释中的疑难

经典理论无法解释光电效应的实验结果。

经典理论认为，按照经典电磁理论，入射光的光强越大，光波的电场强度的振幅也越大，作用在金属中电子上的力也就越大，光电子逸出的能量也应该越大。也就是说，光电子的能量应该随着光强度的增加而增大，不应该与入射光的频率有关，更不应该有什么截止频率。

光电效应实验表明：饱和电流不仅与光强有关而且与频率有关，光电子初动能也与频率有关。只要频率高于极限频率，即使光强很弱也有光电流；频率低于极限频率时，无论光强再大也没有光电流。

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第六章《电压　电阻》

一、电压 

　　（一）电压的作用 

　　1．电压是形成电流的原因：电压使电路中的自由电荷定向移动形成了电流。电源是提供电压的装置。 

　　2．电路中获得持续电流的条件：①电路中有电源（或电路两端有电压）；②电路是连通的。 

　  3．在理解电流、电压的概念时，通过观察水流、水压的模拟实验帮助我们认识问题，这里使用了科学研究方法“类比法” 

　　（二）电压的单位 

　　1．国际单位：V    常用单位：kV 、mV 、μV   

　　换算关系：1Kv＝1000V　1V＝1000mV  1mV＝1000μV 

　　2．记住一些电压值：一节干电池1．5V    一节蓄电池2V    家庭电压220V    安全电压不高于36V

 　　（三）电压测量： 

　　1．仪器：电压表，符号： 

　　2．读数时，看清接线柱上标的量程，每大格、每小格电压值 

　　3．使用规则：两要、一不 

　　①电压表要并联在电路中。 

　　②电流从电压表的“正接线柱”流入，“负接线柱”流出。否则指针会反偏。 

　　③被测电压不要超过电压表的最大量程。 

　　Ⅰ 危害：被测电压超过电压表的最大量程时，不仅测不出电压值，电压表的指针还会被打弯甚至烧坏电压表。 

　　Ⅱ 选择量程：实验室用电压表有两个量程，0～3V和0～15V。测量时，先选大量程，用开关试触，若被测电压在3V｀15V可测量，若被测电压小于3V则换用小的量程，若被测电压大于15V则换用更大量程的电压表。 

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线性代数知识点总结

第一章            行列式

第一节：二阶与三阶行列式

把表达式称为所确定的二阶行列式，并记作，

即结果为一个数。（课本P1）

同理，把表达式称为由数表所确定的三阶行列式，记作。

即=

二三阶行列式的计算：对角线法则（课本P2，P3）

注意：对角线法则只适用于二阶及三阶行列式的计算。

利用行列式计算二元方程组和三元方程组：

对二元方程组

设

则，（课本P2）

对三元方程组，

设，

，，，

则，，。（课本上没有）

注意：以上规律还能推广到n元线性方程组的求解上。

第二节：全排列及其逆序数

全排列：把个不同的元素排成一列，叫做这个元素的全排列（或排列）。

n个不同的元素的所有排列的总数，通常用Pn (或An)表示。（课本P5）

逆序及逆序数：在一个排列中，如果两个数的前后位置与大小顺序相反，即前面的数大于后面的数，那么称它们构成一个逆序，一个排列中，逆序的总数称为这个排列的逆序数。

排列的奇偶性：逆序数为奇数的排列称为奇排列；逆序数为偶数的排列称为偶排列。（课本P5）

计算排列逆序数的方法：

方法一：分别计算出排在 前面比它大的数码之和即分别算出这n个元素的逆序数，这个元素的逆序数的总和即为所求排列的逆序数。

方法二：分别计算出排列中每个元素前面比它大的数码个数之和，即算出排列中每个元素的逆序数，这每个元素的逆序数之总和即为所求排列的逆序数。（课本上没有）

第三节：n阶行列式的定义

定义：n阶行列式等于所有取自不同行、不同列的n个元素的乘积

的代数和，其中p1 p2 … pn是1， 2， … ，n的一个排列，每一项的符号由其逆序数决定。也可简记为，其中为行列式D的（i，j元）。（课本P6）

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