篇一：数学物理方程小结

数学物理方程小结

第七章数学物理定解问题

数学物理定解问题包含两个部分：数学物理方程（即泛定方程）和定解条件。

§7.1数学物理方程的导出

一般方法：第一确定所要研究的物理量u ,第二分析体系中的任意一个小的部分与邻近部分的相互作用,根据物理规律, 抓住主要矛盾, 忽略次要矛盾。（在数学上为忽略高级小量.）第三然后再把物理量u随时间，空间的变为通过数学算式表示出来, 此表示式即为数学物理方程。

（一）三类典型的数学物理方程

（1）波动方程：

此方程适用于各类波动问题。（特别是微小振动情况.）

（2）输运方程：

此方程适用于热传导问题、扩散问题。

（3）Laplace 方程：

稳定的温度和浓度分布适用的数学物理方程为Laplace 方程, 静电势u在电荷密度为零处也满足Laplace 方程。

§7.2定解条件

定解条件包含初始条件与边界条件。

（1）初始条件的个数等于方程中对时间最高次导数的次数。例如波动方程应有二个初始条件, 一般选初始位移u（x,o）和初始速度u_t（x,0）。而输运方程只有一个初始条件选为初始分布u（x,o）,而Laplace 方程没有初始条件。

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篇二：0 数学物理方程概述

数学物理方程概述

什么是数学物理方程或数学物理方程是研究什么的.

关于方程含有未知数的等式叫做方程,方程有多种多样,例如

函数方程:含有未知函数的等式,叫做函数方程.

常微分方程:含有未知(一元)函数导数的等式,叫做常微分方程.

偏微分方程:含有未知多元函数的偏导数的等式叫做偏微分方程,

例如

等.

什么是数学物理方程:

数学物理方程主要指物理学及其自然科学,技术科学中所产生的偏微分方程(有时也包括积分方程,微分积分方程等),它们反映了有关的未知变量关于时间的导数和关于空间变量的导数之间的制约关系.

数学物理方程的研究对象:

连续介质力学,电磁学,量子力学等等方面的基本方程都属于数学物理方程的范围,电动力学,流体力学,磁流体力学,反应流体力学,弹性力学,热弹性力学,粘弹性力学,气体分子运动论,狭义相对论,量子力学等物理,力学学科中其基本方程均是偏微分方程.

数学物理方程的研究历史:

微积分产生以后,人们就开始把力学中的一些问题,归结为偏微分方程进行研究.早在18世纪初,人们已经将弦线振动的问题归结为弦振动方程,并探讨了它的解法.19世纪,傅立叶做出了关于热的解析理论的工作.

傅立叶的主要成就理解为这样两个方面:

第一,把物理问题的公式化为表示当作线性偏微分方程的边值问题来处理,这种处理使理论力学扩展到牛顿<<原理>>所规定的范围以外的领域;

第二,他为这些方程的解所发明的强有力的数学工具,这些工具产生了一系列派生物,并且提出了数学分析中那些激发了19世纪及以后的许多第一流工作的问题.

随后,人们又陆续了解了流体的运动,弹性体的平衡的振动,热传导电磁相互作用,原子核和电子的相互作用,化学反应过程等等自然现象的基本规律,把它们写成偏微分方程的形式,并且求出了典型问题的解答,从而能通过实践,验证这些基本规律的正确性,显示了数学物理方程对于认识自然界基本规律的重要性.

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篇三：数学物理方程期末考试试题及答案

数学物理方程期末考试试题及答案

一、求解方程（15分）

其中。

解：设则方程变为：

，(8’)由边值条件可得：

由即得：

。

二、利用变量分离法求解方程。（15分）

其中。为常数

解：设代于方程得：

，(8’)

，

由边值条件得：

，

三．证明方程具有狄利克雷边界条件的初边值问题解的唯一性与稳定性. (15分)

证明：设代入方程：

设都是方程的解设代入方程得：

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篇四：数学物理方法总结(改)

数学物理方法总结

第一章 复变函数

复数的代数式:z=x+iy

复数的三角式和指数式:和

欧拉公式:{

柯西-黎曼方程(或称为柯西-黎曼条件):{ (其中f(z)=u+iv)

函数f(z)=u+iv在点及其领域上处处可导,则称f(z)在点解析.在区域B上每一点都解析,则称f(z)是在区域B上的解析函数.

解析函数的性质:1.若函数f(z)=u+iv在区域B上解析,则 (为常数)是B上的两组正交曲线族.

2.若函数在区域B上解析,则u,v均为B上的调和函数,即

例题: 已知某解析函数f(z)的实部,求虚部和这个解析函数.

解答: 由于=2;=-2;则

曲线积分法=2x;=-2y.根据C-R条件有:=2y;=2x.

于是 ;

凑全微分显式法 由上式可知

则易得

则显然

不定积分法上面已有 =2y;=2x

则第一式对y积分,x视为参数,有 .

上式对x求导有 ,而由C-R条件可知 ,

从而 .故 v=2xy+C.

第二章 复变函数的积分

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篇五：数学物理方法大总结

数学物理方法

一、填空题

1、Г函数为：Г(x)= ；又称为第二类欧拉积分的为：。

2、B函数（又称为第一类欧拉积分）为：；B函数与Г函数之间的重要关系为：

3、勒让德P_l(x)的母函数：（B卷）

4、贝塞尔J_n(x)的母函数：；其积分形式为：（B卷）

5、球阶函数：

6、

7、S—L方程表现形式：

8、复数

9、

10、复数

11、在可展开为洛朗级数：

12、函数在z=0处的奇点类型为本性奇点，其留数为：。

13、已知x为复数，则 0 。

14、函数的傅里叶变换为：。

15、函数的傅里叶变换为：。

16、数学物理方程定解问题的适定性是指解的存在性，唯一性，稳定性。

17、的模为，主辐角为： -1 。（B卷）

18、若解析函数的虚部且，则解析函数为。

19、 0 　　。

20、在的环域上，函数的洛朗级数展开为

21、。

22、函数在的奇点类型为可去奇点，其留数为 0 。

23、求解本性奇点留数的依据为洛朗级数展开的负一次项系数。

24、在这个周期上，。其傅里叶级数展开为

25、当时，；当时，；当时，。则函数的傅里叶变换为

26、的拉普拉斯变换为。

27、一根两端(左端为坐标原点而右端）固定的弦，用手在离弦左端长为处把弦朝横向拨开距离，然后放手任其振动。横向位移的初始条件为。

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篇六：数学物理方程复习

数学物理方程复习

一．三类方程及定解问题

（一）方程

1. 波动方程（双曲型）

Utt = a2Uxx +f; 0＜x＜l,t＞0

U(0,t)= Φ1（t）;

U(l,t)= Φ2（t）;

U(x,0)= Ψ1（x）;

Ut(x,0)=Ψ2（x）。

2. 热传导方程（抛物型）

Ut = a2Uxx +f; 0＜x＜l,t＞0

U(0,t)= Φ1（t）;

U(l,t)= Φ2（t）;

U(x,0)= Ψ1（x）.

3. 稳态方程（椭圆型）

Uxx +Uyy =f; 0＜x＜a;0＜y＜b;t＞0.

U(0,x)= Φ1（x）;

U(b,x)= Φ2（x）;

U(y,0)= Ψ1（y）;

Ut(y,a)=Ψ2（y）。

（二）解题的步骤

1. 建立数学模型，写出方程及定解条件

2. 解方程

3. 解的实定性问题（检验）

（三）写方程的定解条件

1. 微元法：物理定理

2. 定解条件：初始条件及边界条件

（四）解方程的方法

1. 分离变量法（有界区域内）

2. 行波法（针对波动方程，无界区域内）

3. 积分变换法（Fourier变换Laplace变换）

Fourier变换:针对整个空间奇：正弦变换偶：余弦变换

Laplace变换：针对半空间

4. Green函数及基本解法

5. Bessel函数及Legendre函数法

例一：在弦的横震动问题中，若弦受到一与速度成正比的阻尼，试导出弦阻尼振动方程。

解：建立如图所示的直角坐标系，设位移函数为U（x,t）,取任意一小段△x进行受力分析，由题设，单位弦所受阻力为b Ut（b为常数），在振动过程中有△x所受纵向力为：（T2COSa2-T1COSa1）横向力为：（T2SINa2-T1SINa1-b Ut(x+n△x））(0＜n＜1). T2,T1为△x弦两端所受的张力，又因为弦做横振动而无纵振动，由牛顿定律有T2COSa2-T1COSa1=0，T2SINa2-T1SINa1-b(x+n△x)Ut=p Utt(x+n△x)△x

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