《圆锥曲线》知识点小结

一、椭圆：（1）椭圆的定义：平面内与两个定点的距离的和等于常数（大于）的点的轨迹。

其中：两个定点叫做椭圆的焦点，焦点间的距离叫做焦距。

注意：表示椭圆；表示线段；没有轨迹；

（2）椭圆的标准方程、图象及几何性质：

3．常用结论：（1）椭圆的两个焦点为，过的直线交椭圆于两点，则的周长=         

（2）设椭圆左、右两个焦点为，过且垂直于对称轴的直线交椭圆于两点，则的坐标分别是                               

二、双曲线：

（1）双曲线的定义：平面内与两个定点的距离的差的绝对值等于常数（小于）的点的轨迹。

其中：两个定点叫做双曲线的焦点，焦点间的距离叫做焦距。

注意：与（）表示双曲线的一支。

表示两条射线；没有轨迹；

（2）双曲线的标准方程、图象及几何性质：

（3）双曲线的渐近线：

①求双曲线的渐近线，可令其右边的1为0，即得，因式分解得到。

②与双曲线共渐近线的双曲线系方程是；

（4）等轴双曲线为，其离心率为

（4）常用结论：（1）双曲线的两个焦点为，过的直线交双曲线的同一支于两点，则的周长=          

（2）设双曲线左、右两个焦点为，过且垂直于对称轴的直线交双曲线于两点，则的坐标分别是                               

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圆锥曲线

1．定义和方程

（1）椭圆：（）表示焦点在轴上；

（）表示焦点在轴上.

（2）双曲线：（，）表示焦点在轴上；

（，）表示焦点在轴上.

（3）抛物线：（焦点在轴上），（焦点在轴上）

2．几何性质

（1）离心率：

（2）通径：过焦点作与焦点所在坐标轴垂直的直线与曲线两个交点的距离

（3）焦点三角形：椭圆（或双曲线）上一点与两焦点形成的三角形，记

（4）渐近线：（，）的渐近线方程为

与具有相同渐近线的双曲线方程：

等轴双曲线：实轴与虚轴长相等，，离心率

共轭双曲线：实虚对调，的共轭双曲线是

（5）抛物线的焦半径：

①，

②，

（6）弦中点问题（点差法）

直线与（）交于，两点，的中点为，则

直线与（，）交于，两点，的中点为，则

直线与交于，两点，的中点为，则

（7）弦长公式

或

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高二圆锥曲线知识点总结与例题分析

一、椭圆

1、椭圆概念

平面内与两个定点、的距离的和等于常数2（大于）的点的轨迹叫做椭圆。这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点的距离2c叫椭圆的焦距。若为椭圆上任意一点，则有。

椭圆的标准方程为：（）（焦点在x轴上）

或（）（焦点在y轴上）。

注：①以上方程中的大小，其中；

②在和两个方程中都有的条件，要分清焦点的位置，只要看和的分母的大小。

例如椭圆（，，）当时表示焦点在轴上的椭圆；当时表示焦点在轴上的椭圆。

2、椭圆的性质

①范围：

由标准方程知，，说明椭圆位于直线，所围成的矩形里；

②对称性：

椭圆关于轴、轴和原点对称。这时，坐标轴是椭圆的对称轴，原点是对称中心，椭圆的对称中心叫椭圆的中心；

③四个顶点： ，，，

线段、分别叫做椭圆的长轴和短轴，它们的长分别为和，和分别叫做椭圆的长半轴长和短半轴长。

由椭圆的对称性知：椭圆的短轴端点到焦点的距离为；在中，，，，且，即；

④离心率：椭圆的焦距与长轴的比叫椭圆的离心率。

3、点与椭圆的关系

点和椭圆（）的关系：

（1）点在椭圆外；

（2）点在椭圆上＝1；

（3）点在椭圆内

二、双曲线

1、双曲线的概念

平面上与两点距离的差的绝对值为非零常数的动点轨迹是双曲线。

注意：

①        式中是差的绝对值，在条件下；时为双曲线的一支；时为双曲线的另一支（含的一支）；

②        当时，表示两条射线；

③     当时，不表示任何图形；

④     两定点叫做双曲线的焦点，叫做焦距。

椭圆和双曲线比较：

注意：

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《圆锥曲线》知识点小结

一、椭圆：（1）椭圆的定义：平面内与两个定点的距离的和等于常数（大于）的点的轨迹。

其中：两个定点叫做椭圆的焦点，焦点间的距离叫做焦距。

注意：表示椭圆；表示线段；没有轨迹；

（2）椭圆的标准方程、图象及几何性质：

3．常用结论：（1）椭圆的两个焦点为，过的直线交椭圆于两点，则的周长=         

（2）设椭圆左、右两个焦点为，过且垂直于对称轴的直线交椭圆于两点，则的坐标分别是                               

二、双曲线：

（1）双曲线的定义：平面内与两个定点的距离的差的绝对值等于常数（小于）的点的轨迹。

其中：两个定点叫做双曲线的焦点，焦点间的距离叫做焦距。

注意：与（）表示双曲线的一支。

表示两条射线；没有轨迹；

（2）双曲线的标准方程、图象及几何性质：

（3）双曲线的渐近线：

①求双曲线的渐近线，可令其右边的1为0，即得，因式分解得到。

②与双曲线共渐近线的双曲线系方程是；

（4）等轴双曲线为，其离心率为

（4）常用结论：（1）双曲线的两个焦点为，过的直线交双曲线的同一支于两点，则的周长=          

（2）设双曲线左、右两个焦点为，过且垂直于对称轴的直线交双曲线于两点，则的坐标分别是                               

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高中数学知识点大全—圆锥曲线

一、考点（限考）概要：
    1、椭圆：
      （1）轨迹定义：
           ①定义一：在平面内到两定点的距离之和等于定长的点的轨迹是椭圆，两定点是焦点，两定点间距离是焦距，且定长2a大于焦距2c。用集合表示为：；
           ②定义二：在平面内到定点的距离和它到一条定直线的距离之比是个常数e，那么这个点的轨迹叫做椭圆。其中定点叫焦点，定直线叫准线，常数e是离心率。
              用集合表示为：；
     （2）标准方程和性质：

         

           注意：当没有明确焦点在个坐标轴上时，所求的标准方程应有两个。
       （3）参数方程：（θ为参数）；
     3、双曲线：
       （1）轨迹定义：
            ①定义一：在平面内到两定点的距离之差的绝对值等于定长的点的轨迹是双曲线，两定点是焦点，两定点间距离是焦距。用集合表示为：
            ②定义二：到定点的距离和它到一条定直线的距离之比是个常数e，那么这个点的轨迹叫做双曲线。其中定点叫焦点，定直线叫准线，常数e是离心率。
               用集合表示为：
       （2）标准方程和性质：
             

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高考数学圆锥曲线部分知识点梳理

一、方程的曲线：

在平面直角坐标系中，如果某曲线C(看作适合某种条件的点的集合或轨迹 )上的点与一个二元方程f(x,y)=0的实数解建立了如下的关系：(1)曲线上的点的坐标都是这个方程的解；(2)以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点，那么这个方程叫做曲线的方程；这条曲线叫做方程的曲线。

点与曲线的关系：若曲线C的方程是f(x,y)=0，则点P₀(x₀,y₀)在曲线C上f(x₀,y ₀)=0；点P₀(x₀,y₀)不在曲线C上f(x₀,y₀)≠0。

两条曲线的交点：若曲线C₁，C₂的方程分别为f₁(x,y)=0,f₂(x,y)=0,则点P₀(x₀,y₀)是C₁，C₂的交点{方程组有n个不同的实数解，两条曲线就有n个不同的交点；方程组没有实数解，曲线就没有交点。

二、圆：

1、定义：点集｛M｜｜OM｜=r｝，其中定点O为圆心，定长r为半径.

2、方程：(1)标准方程：圆心在c(a,b)，半径为r的圆方程是(x-a)²+(y-b)²=r²

                  圆心在坐标原点，半径为r的圆方程是x²+y²=r²

(2)一般方程：①当D²+E²-4F＞0时，一元二次方程x²+y²+Dx+Ey+F=0叫做圆的一般方程，圆心为半径是。配方，将方程x²+y²+Dx+Ey+F=0化为(x+)²+(y+)²=

②当D²+E²-4F=0时，方程表示一个点(-,-);

③当D²+E²-4F＜0时，方程不表示任何图形.

（3）点与圆的位置关系  已知圆心C(a,b),半径为r,点M的坐标为(x₀,y₀)，则｜MC｜＜r点M在圆C内，｜MC｜=r点M在圆C上，｜MC｜＞r点M在圆C内，其中｜MC｜=。

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《圆锥曲线》知识点小结

一、椭圆：（1）椭圆的定义：平面内与两个定点的距离的和等于常数（大于）的点的轨迹。

其中：两个定点叫做椭圆的焦点，焦点间的距离叫做焦距。

注意：表示椭圆；表示线段；没有轨迹；

（2）椭圆的标准方程、图象及几何性质：

3．常用结论：（1）椭圆的两个焦点为，过的直线交椭圆于两点，则的周长=         

（2）设椭圆左、右两个焦点为，过且垂直于对称轴的直线交椭圆于两点，则的坐标分别是                               

二、双曲线：

（1）双曲线的定义：平面内与两个定点的距离的差的绝对值等于常数（小于）的点的轨迹。

其中：两个定点叫做双曲线的焦点，焦点间的距离叫做焦距。

注意：与（）表示双曲线的一支。

表示两条射线；没有轨迹；

（2）双曲线的标准方程、图象及几何性质：

（3）双曲线的渐近线：

①求双曲线的渐近线，可令其右边的1为0，即得，因式分解得到。

②与双曲线共渐近线的双曲线系方程是；

（4）等轴双曲线为，其离心率为

（4）常用结论：（1）双曲线的两个焦点为，过的直线交双曲线的同一支于两点，则的周长=          

（2）设双曲线左、右两个焦点为，过且垂直于对称轴的直线交双曲线于两点，则的坐标分别是                               

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