高中数学研究性学习备选课题
一、函数部分
问题1 整理求定义域的规则及类型(特别是复合函数的类型)。
问题2 求函数的值域、单调区间、最小正周期等有关问题时,往往希望将自变量在一个地方出现,所以变量集中的原则就提供了解题的方向,试研究所有与变量集中原则有关的类型。
问题3 总结求函数值域的有关方法,探索判别式法的一般情形?实根分布的条件用于求值域。
问题4 利用条件最值的几何背景进行命题演变,与命题分类。
问题5 回顾解指数、对数方程(不等式)的化归实质(利用外层函数的单调性去掉两边的外层函数的符号),我们称之为“给函数更衣”,于是我们可以随心所欲地将方程(不等式)进行演变。你能利用这一点编拟一些好题吗。 问题6 探求“反函数是它本身”的所有函数。从而可解决一类含抽象函数的方程,概括所有这种方程的类型。
问题7 在原点有定义的奇函数,其隐含条件是f(0)=0,试以这一事实编拟、演变命题。
问题8 把两面镜子相对而立,若你处于其中,将看到许多肖像位置呈现出周期性,你能把这一事实数学化吗?若把轴对称改为中心对称又怎么结论?
问题9 对于含参数的方程(不等式),若已知解的情况确定参数的取值范围,我们通常用函数思想及数形结合思想进行分离参数,试概括问题的类型,总结分离参数法。
问题10 改变含参数的方程(不等式)的主元与参数的地位进行命题的演变。探索换主元的功能。
二、三角部分
问题1 数形结合是数学中的重要的思想方法之一,而单位圆中的三角函数线却被人们所遗忘,试探它在解决三问题中的数形结合功能。
问题2 概括sinx+cosx=a时相应x的取值范围,及问题条件中涉及这一条件时的所隐含的结论。
问题3 整理三角代换的的类型,及其能解决的哪几类问题。
问题4 构造法在求三角最值中的应用。
问题5 一个三角公式不仅能正用,还需会逆用与变用,试将后者整理之。 问题6 三角形的形状判定中,对于含边角混合关系的条件,利用正、余弦定理总有两种转化,即转化为角关系或边关系,探索其中一种对另一种解法的启示功能。
…… …… 余下全文