第五章：分式与分式方程

5.1认识分式

一般地，用表示两个整式，可以表示成的形式，如果中含有字母，那么称为分式，其中称为分式的分子，称为分式的分母，对于任意一个分式，分母都不能为零.

例1，    下列各式中哪些是整式？哪些是分式？

分式的基本性质    分式的分子与分母都乘（或除以）同一个不等于零的整式，分式的值保持不变.

这一性质可以用式子表示为：.

把一个分式的分子和分母的公因式约去，这种变形称为分式的约分.

例2，  化简下列分式

在化简的结果中，如果分子和分母已没有公因式，这样的分式称为最简分式，化简分式时，通常要使结果成为最简分式或是整式.

5.2分式的乘除法

两个分式相乘，把分子相乘的积作为积的分子，把分母相乘的积作为积的分母；

两个分式相除，把除式的分子和分母颠倒位置后在与被除式相乘.

这一法则可以用式子表示为：.

   例3，  计算

5.3分式的加减法

同分母的分式相加减，分母不变，把分子相加减.

这一法则可以用式子表示为：.

例4，计算

根据分式的基本性质，异分母的分式可以化为同分母的分式，这一过程称为分式的通分，为了计算方便，异分母分式通分时，通常取最简单的公分母（最简公分母）作为它们的共同分母.

异分母分式的加减法法则是：

异分母的分式相加减，先通分，化为同分母的分式，然后再按同分母分式的加减法法则进行计算.

这一法则可以用式子表示为：

例5，计算

5.4分式方程

分母中含有未知数的方程叫做分式方程.

因为解分式方程可能产生增根，所以解分式方程必须检验.通常只需检验所得的根是否使原方程中分式的分母的值等于零就好了，如果使原方程中分式的分母的值等于零，则舍去此根.

例7，  解方程

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第三章 图形的平移与旋转

3.1图形的平移

在平面内，将一个图形沿某个方向移动一定的距离，这样的图形运动称为平移.平移不改变图形的形状和大小.

一个图形和它经过平移所得的图形中，对应点所连的线段平行（或在一条直线上）且相等；对应线段平行（或在一条直线上）且相等，对应角相等.

在平面直角坐标系中的图形，图形上点的横纵坐标加、减上一个数时，相当于图形依次沿X轴方向、Y轴方向平移后所得图形，可以看成是由原来的图形经过一次平移得到的.

3.2图形的旋转

在平面内，将一个图形绕一个定点按某个方向转动一个角度，这样的图形运动称为旋转，这个定点称为旋转中心，转动的角称为旋转角，旋转不改变图形的形状和大小.

一个图形和它经过旋转所得的图形中，对应点到旋转中心的距离相等，任意一组对应点与旋转中心的连线所成的角都等于旋转角；对应线段相等，对应角相等.

3.3中心对称

如果把一个图形绕着某一点旋转180，它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这个点对称或中心对称，这个点叫做它们的对称中心.

把一个图形绕某个点旋转180，如果旋转后的图形能与原来的图形

重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点叫做它的对称中心.

回顾与思考

①平移是否改变图形的位置、形状和大小？旋转呢？

②平移旋转各有哪些基本性质？

③两个成中心对称的图形有哪些特性？中心对称图形又要哪些特性？

第四章因式分解

4.1因式分解

把一个多项式化成几个整式的积的形式，这种变形叫做因式分解.例如：a2?a?a(a?1)(a?1)，am?bm?cm?m(a?b?c)，x2?2x?1?(x?1)2都是因式分解.因式分解也可成为分解因式.

例题：把下列各式进行因式分解

(1)x2?4x?4?

(2)4x2?1?

(3)10x2?5x?

4.2提公因式法

多项式ab?bc的各项都含有相同的因式b.我们把多项式各项都含有的相同因式，叫做这个多项式各项的公因式.如b就是多项式ab?bc各项的公因式.

如果一个多项式的各项含有公因式，那么就可以把这个公因式提出来，从而将多项式化成两个因式乘积的形式，这种因式分解的方法叫做提公因式法.

例题：把下列各式因式分解

(1)7(a?1)?x(a?1);　　　(2)x(x?y)(x?y)?x(x?y)2;

(3)(2a?b)(2a?3b)?3a(2a?b);　　

　(4)18(a?b)3?12b(b?a)2;

4.3公式法

事实把乘法公式(a?b)(a?b)?a2?b2反过来就是a2?b2?(a?b)(a?b) 类似的还有a2?2ab?b2?(a?b)2，像这样的，把利用某些乘法公式把某些多项式因式分解，这种因式分解的方法叫做公式法. (1)x2y2?2xy?1=

例如：(2)a2?2a(b?c)?(b?c)2?

x2

(3)?xy?y2?4