不等式的解法（师）

（1）一元一次不等式的解法：

     1） ax>b(a≠0)     ①a>0时x>;②a<0时，x<

2) ax≥b(a≠0)     ①a>0时x≥;②a<0时，x≤

（2）一元二次不等式的解法：利用判别式结合二次函数图象

    1) ax²+bx+c>0(a>0)

  △>0时，解集为（-∞，x₁）∪（x₂ ,+ ∞）（x₁<x₂）;△=0时，解集为{x|x≠-};△<0时,解集为R

2) ax²+bx+c<0(a>0)

△>0时，解集为（x₁ ,x₂）（x₁<x₂）;△=0或△<0时，解集为Φ

    3) ax²+bx+c≥0(a>0)

  △>0时，解集为（-∞，x₁]∪[x₂ ,+ ∞）（x₁<x₂）;△=0或△<0时,解集为R

4) ax²+bx+c≤0(a>0)

△>0时，解集为[x₁ ,x₂];△=0解集为{x|x=-}；△<0时，解集为Φ

例1 1．不等式组 的解集是{x|x＞2}, 则实数a的取值范围是 (  B  )

(A)a≤-6 (B) a≥-6 (C) a≤6  (D) a≥6

2．若不等式mx²＋mnx＋n＞0的解集为{x|1＜x＜2}，则m＋n的值为(  D  )

(A)              （B)              (C)－             (D)－

3．若ax²+ax+a+3>0对一切实数x恒成立, 则实数a的取值范围是(  C  )

(A)-4<a<0            (B)a<-4或a>0   (C)a≥0             (D)a<0

4．已知集合A＝{x|x²－5x＋6＜0}，B＝{x|x<}，若A(≠B，则实数a的取值范围是______________．（a≥6）

5．解不等式：x²-(a+a²)x+a³>0    当时，或；当 时，；                        

当时，或;当时，；当 时，或

(3) 一元高次不等式的解法：数轴表根法

设x₁<x₂ …<x_n,,则

对于不等式（x-x₁）（x-x₂）…（x-x_n）< 0或（x-x₁）（x-x₂）…（x-x_n）> 0

可以在数轴上将根表出，然后画图，从最右端起，正负相间、“穿针引线”得解。

例2解下列不等式：

（1）x(x-1)(x+1)(x-4)(x+3)>0     (2)(x+2)²(x+1)(x-3)(x+6)(x-7)<0

 (3) x(x-1)(x+1)(x-4)(x+3)≤0      (4)(x+2)³(x+1)(x-3)(x+6)(x-7) ≥0

说明：（1）解不等式时，要注意 “< “  “> “  “ ≤”  “≥” 的区别。（2）画图时，“奇穿偶不穿”。

（4）分式不等式的解法：利用符号法则将分式不等式化为整式不等式解。

1)>of(x)g(x)>0;             2)<of(x)g(x)<0 

3)of(x)g(x) 0且g(x)≠0  4）≤of(x)g(x) ≤0且g(x)≠0

例3（0）．若a＋b＞0，则关于x的不等式＜0的解集为(    )

(A){x|x＞a}(B){x|x＞a或x＜－b(C){x|x＜a或x＞－b     (D){x|－b＜x＜a

（1） 解不等式（2）

（3）    （ 4）

（5）   （或且）（6）．解不等式≥1.

例4.若，解关于的不等式

      当时，或

当时，或

当时，或

(5)含有绝对值的不等式的解法：去绝对值，变成不含有绝对值的不等式。

a>0时  |f(x)|<a -a<f(x)<a ;          |f(x)|>a -f(x)>a 或f(x)<a

   

    f(x)>g(x)或)f(x)<-g(x)

|f(x)| >|g(x)| f²(x)>g²(x)

 例5.解不等式（1） （或） 

（2） （或或）

（3） （）   

            （4）  x²-|x|>0（5）（或）

例6.

（6）指数不等式a^f(x)>a^g(x)

1.a>1时，a^f(x)>a^g(x)f(x)>g(x);        2.0<a<1时，a^f(x)>a^g(x)  f(x)<g(x)

（7）对数不等式log_af(x)>log_ag(x)

1.a>1时，log_af(x)>log_ag(x)f(x)>g(x)>0  2.0<a<1时，log_af(x)>log_ag(x) 0<f(x)<g(x)

(8)三角不等式的解法

Sin(ωx+φ)=a;   cos(ωx+φ)=a;    tan(ωx+φ)=a.需利用三角函数的值域及单调性解；

举例：例1．解下列不等式（1）2^x+x≤（）^x-2答案：-4≤x≤1

（2），＞(a＞0，a¹1)

答案：当0＜a＜1时，2＜x＜3； 当a＞1时x＞3或x＜2

    例2.(1)解下列不等式:

        ①log_x(2x+1)>log_x(3-x)    ②log_a(2x+1)>log_a(3-x)

         答案:①0<x<或1<x<3  ②a>1,<x<3 ,0<a<1,-<x<

（2）解不等式log_a(x²+x-2)>log_a(x+1-)+1(a>0且a≠1)

a>1时，x∈Φ； 0<a<1时x∈(a,+∞)

(3) 解不等式logx-(a+)logx+1<0(a∈R)

1)a>1或-1<a<0时，（）^a<x<（）

2)0<a<1或a<-1时，（） <x<（）^a      3)a=1时无解

例3.解不等式①log[4^2x+2(6)^x-9^2x+1]<0 ②log[a^2x+2(ab)^x-b^2x+1]<0(a,b>0)

例4．①cos(2x+)>②sin(2x+)<-

③tan(x+)<1

例5．已知f(x)=2cosxsin(x+)-sin²x+sinxcosx

①当x ∈[]时解方程已知f(x)=1；② 解不等式f(x)<1.

第二篇：常见不等式的解法知识点总结

常见不等式的解法

（一）一元一次不等式
1、定义：
  用不等号连接的，含有一个未知数，并且未知数的次数都是1，系数不为0，左右两边为整式的式子叫做一元一次不等式

  2.一元一次不等式的解集
  将不等式化为ax>b的形式
  (1)若a>0，则解集为x>b/a
  (2)若a<0，则解集为x<b/a

（二）一元二次不等式的解法   

1、一元二次不等式：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是的不等式．

2、二次函数的图象、一元二次方程的根、一元二次不等式的解集间的关系：

（三）含绝对值不等式的解法（关键是去掉绝对值）

1、利用绝对值的定义：（零点分段法）    

2、利用绝对值的几何意义：表示到原点的距离

公式法：,与型的不等式的解法.

（四）分式不等式的解法

1）标准化：移项通分化为(或)；(或)的形式，

2）转化为整式不等式（组）

（五）指数、对数不等式的解法

①当时

        

②当时

        

（六）  高次不等式的解法

根轴法（零点分段法）

1） 化简（将不等式化为不等号右边为0，左边的最高次项系数为正)；

2） 分解因式；

3） 标根（令每个因式为0，求出相应的根，并将此根标在数轴上。注意：能取的根打实心点，不能去的打空心）；

4） 穿线写解集(从右到左，从上到下依次穿线。注意：偶次重根不能穿过)；