排列组合中的同元问题和顺序问题
王忠全
在处理排列组合的相关问题中，经常会遇到有顺序或有相同元素的问题，这类问题的处理，一般用除法。
定理：在n个元素中有m个元素顺序相同的排列数为
.
证明:设n个元素为a1,a2,….,am,Am+1,Am+2,…,An,其中, a1,a2,….,am的顺序不变,(这m个元素可在n个元素中“插队”，只要顺序不变即可)，设n个元素对应n个空，首先，从n个选出m个空把a1,a2,….,am按要求顺序填入，有
种填法；余下n-m个空把Am+1,Am+2,…,An填入，有
种填法，由分步计数原理，共有种方法，而
=
我们有理由记住，顺序问题用除法。
推论；在n个元素中有m个元素相同的排列数为.
例1、（1）6个人排成一排，其中赵，钱顺序不变的排法有几种？
（2）6个人排成一排，其中赵，钱顺序不变，孙、李顺序也不变的排法有几种？
解析：（1）有
种；
（2）有
种。
评析：对于（2），切不可做成
，两个两个的顺序不变，并不保证四个人的位置不变，如a，b；c，d，还可变为c，d；a，b.可这样考虑:赵,钱不变,有
种,在这种情况下,孙,李不变,从而有种.
例2、三个2和四个1，能组成多少个不同的七位数？
法1：有
=35个；
法2：（用空选元素）从7个空中选3个填2，余下四个填1，有
=35个.
变式1、7男3女排成一排,3女顺序不变的排法有几种?(这里,顺序不变是指只能按同一顺序,不可分类,试想,把各种类别的排法加在一起,还有顺序吗?
变式2、有人把“good”的写法忘了,只记得有这三个字母子,并有两个o,问:共有几种写错的方法?
模式:顺序问题,同元问题用除法.
第二篇：排列组合中的“定序问题”
排列组合中的“定序问题”
近几年高考在选择题和填空题中常常出现排列组合的试题，其题型灵活多样，解法也变化万端，学生掌握起来颇费精力，但归结起来无非是几种固定的模式，其中“定序问题”已渐渐成为了一个新的热点，本文将试着分析一下这类问题的解答策略。
问题：（xx年湖北卷理科14题）某工程队有6项工程需要先后单独完成，其中工程乙必须在工程甲完成后才能进行、工程丙必须在工程乙完成后才能进行、又工程丁必须在工程丙完成后立即进行。那么安排这6项工程的不同排法的种数是 。（用数字作答）
分析上例我们不难发现工程甲、乙、丙、丁的先后顺序已经固定，而且丙和丁必须相邻（相邻可以做“捆绑”处理看作一个元素），所以这是一个“定序问题”，有些资料上面已经明确说明可以作“除法处理”，即6项工程（丙、丁看作一个元素）先全排列有A55种，然后除以甲、乙、丙丁的顺序得
A5A
5
3
3
?20种。
对上面的分析结果进行一下简单的数据处理又得到两种有效的结论：①数据
A5A
5
3
3
又等于
A5?20，结论——相当于5个位置先排好有顺序的两个元素，定序的元素排法就唯一确
2
定了；②数据
A5
53
11
也等于C4C5?20，结论——相当于先排好定序的3个元素，然后形成4
A3
个空，选一个位置插入第四个元素，随之形成5个空，再选一个位置插入第五个元素。 特别说明插空处理的时候也可以考虑分类进行，即排好定序的元素后，对每空内插入的元素个数进行分类。如上例可以解作先排好定序的甲、乙、丙丁有1种排法，另两个工程分
12
插两个空位有A4?12种，插在同一个空位有C4A2?8种，共12+8=20种。
2
说到这我们马上会想到一些类似的高考题，能不能也有相同的发现呢？试看下面两例： （xx年春季北京卷理科9题）某班新年联欢会原定的5个节目已排成节目单，开演前又增加了两个新节目，如果将这两个新节目插入原节目单中，那么不同的插法种数为（ ）
A. 42 B. 30 C. 20 D. 12
分析：题目虽然看似插空问题，但我们转换一下思维实际上却是“定序问题”最快捷的
2
计算应该是“只排有序”即A7?42种。
（xx年江苏卷13题）今有2个红球、3个黄球、4个白球，同色球不加以区分，将这9个球排成一列有 种不同的方法（用数字作答）。
分析：同色球不加以区分可以理解为定序，故解作
A9
2
2
9
44
AAA
33
?C9C7?1260。
23
通过上述几例易得处理排列组合中的“定序问题”的一般解答策略应该有三种：①除法处理；②只排有序；③插空处理。