平行四边形

一．平行四边形

1．定义：两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形.

2．性质定理：（1）平行四边形的两组对边分别平行.

            （2）平行四边形的两组对边分别相等.

（3）平行四边形的两组对角分别相等.

（4）平行四边形的对角线互相平分.

3．判定定理：（1）两组对边分别平行的四边形是平行四边形.

            （2）两组对边分别相等的四边形是平行四边形.

            （3）一组对边平行且相等的四边形是平行四边形.

（4）两组对角分别相等的四边形是平行四边形.

（5）两条对角线互相平分的四边形是平行四边形.

菱形

二．菱形

1．定义：一组邻边相等的平行四边形叫做菱形.

2．性质定理：（1）菱形具有平行四边形的一切性质.

            （2）菱形的四条边都相等.

（3）菱形的对角线互相平分且垂直且平分一组对角.

3．判定定理：（1）一组邻边相等的平行四边形是菱形.

            （2）四条边都相等的四边形是菱形.

            （3）对角线互相垂直的平行四边形是菱形.

矩形

三．矩形

1．定义：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形.

2．性质定理：（1）矩形具有平行四边形的一切性质.

            （2）矩形的四个角都是直角.

（3）矩形的对角线互相平分且相等.

3．判定定理：（1）有一个角是直角的平行四边形是矩形

            （2）四个角都是直角的四边形是矩形.

            （3）对角线相等的平行四边形是矩形.

正方形

四．正方形

1．定义：一组邻边相等的矩形叫做正方形.

2．性质定理：（1）正方形具有平行四边形、菱形、矩形的一切性质.

3．判定定理：（1）有一个角是直角的菱形是正方形.

            （2）对角线相等的菱形是正方形.

（3）一组邻边相等的矩形是正方形.

            （4）对角线互相垂直的矩形是正方形.

梯形

五．梯形

1．定义：有一组对边平行而另一组对边不平行的四边形叫做梯形.

2．性质定理：有一组对边平行.

3．等腰梯形定义：有两个腰相等的梯形.

4．等腰梯形性质定理：（1）等腰梯形同一底上的两个内角相等. （2）对角线相等.

5．等腰梯形的判定定理：（1）同一底上的两个内角相等的梯形是等腰梯形.

                      （2）对角线相等的梯形是等腰梯形.

6．直角梯形的判定定理：（1）一腰垂直于底的梯形是直角梯形.

（2）有一个角是直角的梯形是直角梯形.                 

平行线

一．平行线

公理一（平行线判定公理）：两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行.

定理（1）（平行线判定定理）：两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行.

定理（2）（平行线判定定理）：两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行.

公理二（平行线性质公理）：两条平行线被第三条直线所截，同位角相等.

定理（1）（平行线性质定理）：两条平行线被第三条直线所截，同旁内角互补.

定理（2）（平行线性质定理）：两条平行线被第三条直线所截，内错角相等.

全等三角形

二．全等三角形

公理三（三角形全等判定公理）：三边对应相等的两个三角形全等.（SSS）

公理四（三角形全等判定公理）：两边及其夹角对应相等的两个三角形全等.（SAS）

公理五（三角形全等判定公理）：两角及其夹边对应相等的两个三角形全等.（ASA）

推论      （三角形全等判定）：两角及其中一角对边对应相等的两个三角形全等.（AAS）

公理六（三角形全等性质公理）：全等三角形的对应边相等、对应角相等.

相似三角形

三．相似三角形

1．定义：三角对应相等、三边对应成比例的两个三角形叫做相似三角形.

2．判定定理：（1）定义.

            （2）两角对应相等的两个三角形相似.

            （3）三边对应成比例的两个三角形相似.

（4）两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似.

3．性质定理：相似三角形对应高的比、对应角分线的比和对应中线的比都等于相似比.

             相似三角形周长的比等于相似比，面积比等于相似比的平方.

等腰三角形

一．等腰三角形

1．等腰三角形性质定理：等腰三角形的两个底角相等.简单叙述为：等边对等角.

推论：等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合.

2．等腰三角形判定定理：有两个角相等的三角形是等腰三角形.简单叙述为：等角对等边.

3．等边三角形判定定理：有一个角等于的等腰三角形是等边三角形.

直角三角形

二．直角三角形

1．直角三角形性质定理：（1）（勾股定理）直角三角形两边直角边的平方和等于斜边的平方.

                     （2）在直角三角形中，如果一个锐角等于，那么它所对的直角边等于斜边的一半.

                     （3） 在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半.

2．HL定理：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等.

3．直角三角形判定定理：如果三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形.

线段的垂直平分线

三．线段的垂直平分线

1．线段的垂直平分线性质定理：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等.

2．定理：三角形三条边的垂直平分线相交于一点，并且这一点到三个顶点的距离相等.

3．线段的垂直平分线判定定理：到一条线段两端距离相等的点在这条线段的垂直平分线上.

四．角平分线

1．角平分线性质定理：角平分线上的点到这个角的两边的距离相等.

2．定理：三角形三条角平分线相交于一点，并且这一点到三条边的距离相等.

3．角平分线判定定理：在一个角的内部且到角的两边距离相等的点，在这个角的平分线上.

圆形

垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的弧.

垂径定理的推论（1）：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧.

垂径定理的推论（2）：圆的两条平行弦所夹的弧相等.

垂径定理的推论（3）：直径，平分弦，垂直，平分优弧，平分劣弧，5个中任意2个成立其余都成立.（5选2）

圆心角定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等；所对的弦，所对的弦心距相等，

圆心角定理的推论：在同圆或等圆中，如果两个圆心角，两条弧，两条弦，两条弦心距中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都等分别相等. （4选1）

圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半.

圆周角定理的推论（1）：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等.

圆周角定理的推论（2）：90°的圆周角所对的弦是直径.

圆周角定理的推论（3）：直径所对的圆周角是直角.

圆内接四边形

圆内接四边形性质（1）：圆内接四边形的对角互补.

圆内接四边形性质（2）：圆内接四边形的任意一个外角等于它的内对角.

圆是轴对称图形，对称轴是任意一条过圆心的直线.

圆是中心对称图形，对称中心是圆心.

 三角形的外接圆、三角形的外心

（1）   三角形的三个顶点确定一个圆，这个圆叫做三角形的外接圆，它的圆心是三角形的三边垂直平分线的交点，叫做三角形的外心.

（2）       三角形的外心到三角形的三个顶点的距离相等.

三角形的内切圆、三角形的内心

（1）   和三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆，它的圆心是三角形的三个角的角平分线的交点，叫做三角形的内心.

（2）       三角形的内心到三角形的三边的距离相等.

切线的性质定理：圆的切线垂直于过切点的直径（或半径）.

切线的判定定理：(1)经过直径的一端并且垂直于这条直径的直线是圆的切线.

                (2)圆心到直线的距离等于半径的直线是圆的切线.

                (3)和圆只有一个公共点的直线是圆的切线.

相切两圆的性质：如果相切两圆相切（内切或外切），那么两圆的连心线（经过两圆圆心的直线）必过切点，即两个圆的圆心、切点三点共线.

弧长公式：的圆心所对的弧长的计算公式为

如果扇形的半径为,圆心为 那么扇形的面积计算公式为；

若用弧长来表示扇形的面积为.

圆锥的母线长为，底面圆的半径为，那么这个扇形的半径为，扇形的弧长为，圆锥的侧面积：，圆锥的侧面积与底面积的和称为圆锥的全面积，即

第二篇：初中平面几何定理公理总结

初中平面几何定理公理总结

一、线与角

1、两点之间，线段最短

2、经过两点有一条直线，并且只有一条直线

3、对顶角相等；同角的余角（或补角）相等；等角的余角（或补角）相等

4、经过直线外或直线上一点，有且只有一条直线与已知直线垂直

5、（1）经过已知直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行

（2）如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也平行

6、平行线的判定：

（1）同位角相等，两直线平行（2）内错角相等，两直线平行（3）同旁内角互补，两直线平行

7、平行线的特征：

（1）两直线平行，同位角相等（2）两直线平行，内错角相等（3）两直线平行，同旁内角互补

8、角平分线的性质：角平分线上的点到这个角的两边的距离相等

角平分线的判定：到一个角的两边距离相等的点在这个角的平分线上

9、线段垂直平分线的性质：线段的垂直平分线上的点到这条线段的两个端点的距离相等 线段垂直平分线的判定：到一条线段的两个端点的距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上

二、三角形、多边形

10、三角形中的有关公理、定理：

（1）三角形外角的性质：①三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和②三角形的一个外角大于任何一个与它不相邻的内角③三角形的外角和等于360°

（2）三角形内角和定理：三角形的内角和等于180°

（3）三角形的任何两边的和大于第三边

（4）三角形中位线定理: 三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半

11、多边形中的有关公理、定理：

（1）多边形的内角和定理：n边形的内角和等于（ n－2）×180°

（2）多边形的外角和定理：任意多边形的外角和都为360°

（3）欧拉公式：顶点数 + 面数－棱数=2

1 2、如果图形关于某一直线对称，那么连结对应点的线段被对称轴垂直平分

13、等腰三角形中的有关公理、定理：

（1）等腰三角形的两个底角相等．（简写成“等边对等角”）

（2）如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等．（简写成“等角对等边”）

（3）等腰三角形的“三线合一”定理：等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线和底边上的高互相重合，简称“三线合一”

（4）等边三角形的各个内角都相等，并且每一个内角都等于60°

（5）三边都相等的三角形叫做等边三角形；有一个角等于60的等腰三角形是等边三角形； 三个角都相等的三角形是等边三角形

14、直角三角形的有关公理、定理：

（1）直角三角形的两个锐角互余

（2）勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方

（3）勾股定理逆定理：如果一个三角形的一条边的平方等于另外两条边的平方和，那么这个三角形是直角三角形

（4）直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半

（5）在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半

三、特殊四边形

15、平行四边形的性质： 0

（1）平行四边形的对边平行且相等（2）平行四边形的对角相等（3）平行四边形的对角线互相平分.

16、平行四边形的判定:

（1）两组对边分别平行的四边形是平行四边形

（2）一组对边平行且相等的四边形是平行四边形

（3）两组对边分别相等的四边形是平行四边形

（4）两组对角分别相等的四边形是平行四边形

（5）对角线互相平分的四边形是平行四边形

17、平行线之间的距离处处相等

18、矩形的性质：

（1）矩形的四个角都是直角（2）矩形的对角线相等且互相平分

19、矩形的判定：（1）有一个角是直角的平行四边形是矩形（2）有三个角是直角的四边形是矩形（3）对角线相等的平行四边形是矩形

20、菱形的性质：

（1）菱形的四条边都相等（2）菱形的对角线互相垂直平分，并且每一条对角线平分一组对角

21、菱形的判定：（1）有一组邻边相等的平行四边形是菱形（2）四条边相等的四边形是菱形（3）对角线互相垂直的平行四边形是菱形

22、正方形的性质：

（1）正方形的四个角都是直角（2）正方形的四条边都相等

（3）正方形的两条对角线相等，且互相垂直平分，每一条对角线平分一组对角

23、正方形的判定：

（1）有一个角是直角的菱形是正方形

（2）有一组邻边相等的矩形是正方形

（3）两条对角线垂直的矩形是正方形

（4）两条对角线相等的菱形是正方形

梯形：一组对边平行而另一组对边不平行的四边形是梯形

24、等腰梯形的判定：

（1）同一条底边上的两个内角相等的梯形是等腰梯形

（2）两条对角线相等的梯形是等腰梯形

25、等腰梯形的性质：

（1）等腰梯形的同一条底边上的两个内角相等

（2）等腰梯形的两条对角线相等

26、梯形的中位线平行于梯形的两底边，并且等于两底和的一半

四、相似形与全等形

27、相似多边形的性质：

（1）相似多边形的对应边成比例（2）相似多边形的对应角相等

（3）相似多边形周长的比等于相似比

（4）相似多边形的面积比等于相似比的平方

（5）相似三角形的对应角相等，对应边成比例；相似三角形对应高的比，对应中线的比，都等于相似比；相似三角形周长的比等于相似比；相似三角形的面积比等于相似比的平方

28、相似三角形的判定：

（1）如果一个三角形的两角分别与另一个三角形的两角对应相等，那么这两个三角形相似

（2）如果一个三角形的两条边与另一个三角形的两条边对应成比例，并且夹角相等，那么这两个三角形相似

（3）如果一个三角形的三条边和另一个三角形的三条边对应成比例，那么这两个三角形相似

29、全等多边形的对应边、对应角分别相等

30、全等三角形的判定：

（1）如果两个三角形的三条边分别对应相等，那么这两个三角形全等（S.S.S.）

（2）如果两个三角形有两边及其夹角分别对应相等，那么这两个三角形全等（S.A.S.）

（3）如果两个三角形的两个角及其夹边分别对应相等，那么这两个三角形全等(A.S.A.)

（4）有两个角及其中一个角的对边分别对应相等的两个三角形全等（A.A.S.）

（5）如果两个直角三角形的斜边及一条直角边分别对应相等，那么这两个直角三角形全等（H.L.）

五、圆

31、（1）在同圆或等圆中，如果两个圆心角，两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等；（2）半圆或直径所对的圆周角都相等，都等于90°（直角）；

（3）90°的圆周角所对的弦是圆的直径

32、在同一圆内，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于该弧所对的圆心角的一半；相等的圆周角所对的弧相等

33、不在同一条直线上的三个点确定一个圆

34、（1）经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线（2）圆的切线垂直于过切点的半径

35、从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分这两条切线的夹角

36、圆的内接四边形对角互补，外角等于内对角

37、垂径定理及推论：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分所对的弧；平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧

六、变换

37、轴对称：（1）关于某条直线对称的两个图形是全等形；如果两个图形关于某条直线对称，那么对称轴是对应点连线的垂直平分线；（2）两个图形关于某直线对称，如果它们的对应线段（或延长线）相交，交点一定在对称轴上；（3）两个图形关于某直线对称，如果它们的对应线段（或延长线）相交，交点一定在对称轴上；（4）如果两个图形的对应点连线被同一条直线垂直平分，那么这两个图形关于这条直线对称

38、平移：（1）平移不改变图形的形状和大小(即平移前后的两个图形全等)；（2）对应线段平行且相等（或在同一直线上）,对应角相等；（3）经过平移,两个对应点所连的线段平行（或在同一直线上）且相等.

39、旋转：（1）旋转不改变图形的形状和大小(即旋转前后的两个图形全等)（2）任意一对对应点与旋转中心的连线所成的角彼此相等(都是旋转角)（3）经过旋转,对应点到旋转中心的距离相等

40、中心对称：（1）关于中心对称的两个图形是全等形；（2）关于中心对称的两个图形，对称点连线都经过对称中心；（3）如果两个图形的对应点连线都经过某一点，并且被这一点平分，那么这两个图形关于这一点对称

41、位似：（1）如果两个图形不仅相似,而且每组对应顶点所在的直线都经过同一个点,那么这样的两个图形叫做位似图形,这个点叫做位似中心,这时的相似比又称为位似比；（位似图形上的任意一对对应点到位似中心的距离之比等于位似比

2）