因式分解常用技巧总结
基本的四种技巧：
一．提取公因式法：
；
例：
二．公式法：
推广：
；
（n为奇数）
例：
变式1：
答案：
三．十字相乘法：
推广：
，（
≠０）
例：
变式1：
四．分组分解法：分组以后能提公因式或利用公式分解，从而把原多项式因式分解
例：
推广：（1）拆项法：把多项式里的某一项拆成两项或多项，使其能进行分组分解
例：
答案：
（2）添项法：在多项式中适当地添上一些项，使其能转化为可进行分组分解
例：
答案：
变式1：
变式2：
其他重要的因式分解技巧：
1．换元法：换元法是在分解因式时，通过将原式的代数式用字母代替后，达到简化原式结构的目的
例1：
提示：令 
，原式=
例2：
答案：
变式1：
变式2：
2．主元法：主元法就是将多元（多个字母）中某个元作为主要字母，视其他元为常数，重新按主元排列多项式，排除非主元字母的干扰，从而简化问题。
例： 
提示：按y为主元重新排列，答案：
变式1：
变式2：20y3+6ax2-8axy-15xy2 （以a为主元）
变式3：
（以a为主元）
3．待定系数法：待定系数法是数学常用方法，用途十分广泛。在因式分解中，就是首先设出几个含有待定系数的因式，然后根据多项式恒等和方程（组）来确定待定系数，从而分解因式。
例：若
有两个因式x+1和x+2, 求（a+b）的值
4．配方法：配方法是把一个式子的一部分配成完全平方式或几个完全平方式的和（差）的形式，在此基础上分解因式
例：
（提示：
）
变式：
5．综合法：在分解因式的过程中，往往要将几个分解因式的方法结合起来才能解决一个因式分解的问题，对上述方法要灵活的运用。
例：
提示：令m=x-2,n=y-2，m-n=x-y ，在换元的基础上，通过分组、公式、提公因式等多种方法来完成分解因式，答案：3(x-2)(y-2)(x-y)
【巩固练习】
一、选择题
1．将x2(x-y)2-y2(y-x)2因式分解的结果是（ ）
(A) (x-y)2(x2+y2) (B) (x-y)2(x2-y2) (C) (x-y)2(x-y)(x+y) (D) (x-y)3(x+y)
2．下列多项式中能运用公式法因式分解的是（ ）
(A) –a3-b3 (B) a2-ab+b2 (C) a2+b2 (D) –a-b
3．用分组分解法把多项式ab-c+b-ac分解因式，分组的方法有（ ）
(A) 4种 （B）3种 （C）2种 （D）1种
4．用分组分解法分解多项式a2-b2-c2+2bc时，分组正确的是( )
(A) (a2-c2)+(2bc-b2) (B) (a2-b2-c2)+2bc (C) (a2-b2)-(c2-2bc) (D) a2+(2bc-b2-c2）
5．已知多项式2x3-x2-13x+m有一个因式是2x+1，则m的值是( )
（A）0 （B）6 （C）-1 （D）-6
6．下列多项式按下面的分组不能分解的是（ ）
（A）(2ax-10ay)+(5by-bx) (B) (5by-10ay)+(2ax-bx)
(C) (x2-y2)+(ax+ay) (D) (x2+ax)-(y2-ay)
二、填空题
7．利用公式填空
（1）
( )2=( )2
(2) 多项式x4-y4, x4+2x2y2+y4, x3y+xy3, x6+y6的公因式是————
（3）9x2+( )+16y2=( )2
(4) 将-m4+m2n2因式分解的结果是___________
(5) 分解因式8x3-12x2y+6xy2-y3适当分组的方法是_________
8．在下列多项式a2-4b2-a+2b, a2b2-4ab+4-c2, 4a2-9b2+24bc-16c2, a2-4b2+4b-1, 16a2-16b2+8a+1中用分组分解法时，能够分成三项一组和一项一组的多项式有_____个。
三、解答题
9．把x3y-xy3分解因式
10．把16(x+y)2-24(x+y)+9分解因式
11．把(x2+y2)2-4x2y2分解因式
12．x6n+2+2x3n+2+x2
13．9(a+1)2(a-1)2-6(a2-1)(b2-1)+(b+1)2(b-1)2
14．
15．把16x2-8x-y2+2y分解因式
16．把x3+2x2-4x-8因式分解
17．把下列各式分解因式
（1）x2-y2-z2-2yz (2) a3+a2+b3+b2+2ab (3) 16-x2n-100y2+20xny
(4) ab(c2-d2)-cd(a2-b2) (5) x3-x2-x-y3+y2+y (6) 4x4+1
18．使多项式2x3-x2-2x+1的值等于0的x值为_______
19．已知x+y=1,求x3+3xy+y3的值
【参考答案】
一、1．D；2．A； 3．C； 4．D； 5．D；6．D
二、7．（1）2n、
（2）(x2+y2)2 (3) (3x+4y)2
(4) –m2(m+n)(m-n) (5) (8x3-y3)-(12x2y-6xy2)
8．3
三、解答题
9．xy(x+y)(x-y) 10．(4x+4y-3)2 11．(x-y)2(x+y)2 12．x2(xn+1)2(x2n-xn+1)2
13．(3a2-b2-2)2 14．
15．(4x-y)(4x+y-2) 16．(x+2)2(x-2)
17．(1) (x+y+z)(x-y-z); (2) (a+b)(a2-ab+b2+a+b) (3) (4+xn-10y)(4-xn+10y)
(4) (ac+bd)(bc-ad) (5) (x-y)(x2+xy+y2-x-y-1) (6) (2x2+2x+1)(2x2-2x+1)
18．
1, -1 提示：将2x3-x2-2x+1因式分解
19． 1 提示：将x3+y2因式分解，再将已知条件中代入
第二篇：初二数学因式分解重点难点总结
因式分解的一点补充——十字相乘法
教学重点和难点
重点：正确地运用十字相乘法把某些二次项系数不是1的二次三项式因式分解。
难点：灵活运用十字相乘法因分解式。
一、 导入新课
前一节课我们学习了关于x2+（p+q）x+pq这类二次三项式的因式分解，这类式子的特点是：二次项系数为1，常数项是两个数之积，一次项系数是常数项的两个因数之和。
因此，我们得到x2+（p+q）x+pq=（x+p）(x+q).
课前练习：下列各式因式分解
1．- x2+2 x+15 2．（x+y）2-8（x+y）+48；
3．x4-7x2+18； 4．x2-5xy+6y2。
答：1．-（x+3）（x-5）； 2．（x+y-12）（x+y+4）；
3．（x+3）（x-3）（x2+2）； 4．（x-2y）（x-3y）。
我们已经学习了把形如x2+px+q的某些二次三项式因式分解，也学习了通过设辅助元的方法把能转化为形如x2+px+q型的某些多项式因式分解。
对于二次项系数不是1的二次三项式如何因式分解呢？这节课就来讨论这个问题，即把某些形如ax2+bx+c的二次三项式因式分解。
二、新课
例1 把2x2-7x+3因式分解。
分析：先分解二次项系数，分别写在十字交叉线的左上角和左下角，再分解常数项，分别写在十字交叉线的右上角和右下角，然后交叉相乘，求代数和，使其等于一次项系数。
分解二次项系数（只取正因数）：
2=1×2=2×1；
分解常数项：
3=1×3=3×1=（-3）×（-1）=（-1）×（-3）。
用画十字交叉线方法表示下列四种情况：
1 1 1 3 1 -1 1 -3
2 × 3 2 × 1 2 × -3 2 × -1
1×3+2×1 1×1+2×3 1×（-3）+2×（-1） 1×（-1）+2×（-3）
=5 =7 = -5 =-7
经过观察，第四种情况是正确有。这是因为交叉相乘后，两项代数和恰等于一次项系数-7。
解 2x2-7x+3=（x-3）（2x-1）。
2一般地，对于二次三项式ax+bx+c（a≠0），如果二次项系数a可以分解成两个因数之积，即a=a1a2，常数项
c可以分解成两个因数之积，即c=c1c2，把a1，a2，c1，c2排列如下：
a1 c1
a × c
a1c2 + a2c1
按斜线交叉相乘，再相加，得到a1c2+a2c1，若它正好等于二次三项式ax2+bx+c的一次项系数b，即a1c2+a2c1=b，那么二次三项式就可以分解为两个因式a1x+c1与a2x+c2之积，即
ax2+bx+c=（a1x+c1）（a2x+c2）。
像这种借助开十字交叉线分解系数，从而帮助我们把二次三项式分解因式的方法，通常叫做十字相乘法。
例2 把6x2-7x-5分解因式。
分析：按照例1的方法，分解二次项系数6及常数项-5，把它们分别排列，可有8种不同的排列方法，其中的一种
2 1
2×（-5）+3×1=-7
是正确的，因此原多项式可以用直字相乘法分解因式。
解 6x2-7x-5=（2x+1）（3x-5）。
指出：通过例1和例2可以看到，运用十字相乘法把一个二次项系数不是1的二次三项式因式分解，往往要经过多次观察，才能确定是否可以用十字相乘法分解因式。
对于二次项系数是1的二次三项式，也可以用十字相乘法分解因式，这时只需考虑如何把常数项分解因数。例如把x2+2x-15分解因式，十字相乘法是
1 -3
1 × 5
1×5+1×（-3）=2
所以x2+2x-15=（x-3）（x+5）。
例3 把5x2+6xy-8y2分解因式。
分析：这个多项式可以看作是关于x的二次三项式，把-8y2看作常数项，在分解二次项及常数项系数时，只需分解5与-8，用十字交叉线分解后，经过观察，选取合适的一组，即
1 2
1×（-4）+5×2=6
解 5x2+6xy-8y2=（x+2y）（5x-4y）。
指出：原式分解为两个关于x，y的一次式。
例4 把（x-y）（2x-2y-3）-2分解因式。
分析：这个多项式是两个因式之积与另一个因数之差的形式，只有先化简，进行多项式的乘法运算，把变形后的多项式再因式分解。
问：两个乘积的式子有什么特点，用什么方法进行多项式的乘法运算最简便？
答：第二个因式中的前两项如果提出公因式2，就变为2（x-y），它是第一个因式的二倍，然后把（x-y）看作一个整体进行乘法运算，可把原多项式变形为关于（x-y）的二次三项式，就可以用址字相乘法分解因式了。 解 （x-y）（2x-2y-3）-2
=（x-y）［2（x-y）-3］-2 1 -2
=2（x-y）2-3（x-y）-2 2 × +1
=［（x-y）-2］［2（x-y）+1］ 1×1+2×（-2）=-3
=（x-y-2）（2x-2y+1）。
指出：把（x-y）看作一个整体进行因式分解，这又是运用了数学中的“整体”思想方法。
三、课堂练习
1．用十字相乘法因式分解：
（1）2x2-5x-12； （2）3x2-5x-2； （3）6x2-13x+5；
（4）7x2-19x-6； （5）12x2-13x+3； （6）4x2+24x+27。
2．把下列各式因式分解：
（1）6x2-13x+6y2； （2）8x2y2+6xy-35；
（3）18x2-21xy+5y2； （4）2（a+b）2+（a+b）（a-b）-6（a-b）2。
答案：1．（1）（x-4）（2x+3）； （2）（x-2）（3x+1）；
（3）（2x-1）（3x-5）； （4）（x-3）（7x+2）；
（5）（3x-1）（4x-3）； （6）（2x+3）（2x+9）。
2．（1）（2x-3y）（3x-2y）； （2）（2xy+5）（4xy-7）；
（3）（3x-y）（6x-5y）； （4）（3a-b）（5b-a）。
四、小结
1．用十字相乘法把某些形如ax2+bx+c的二次三项式分解因式时，应注意以下问题：
（1）正确的十字相乘必须满足以下条件：
a1 c1
在式子 a1a2=a，c1c2=c；在上式中，斜
a2 c2
向的两个数必须满足关系a1c2+a2c1=b，分解思路为“看两端，凑中间。”
（2）由十字相乘的图中的四个数写出分解后的两个一次因式时，图的上一行两个数中，a1是第一个因式中的一次项系数，c1是常数项；在下一行的两个数中，a2是第二个因式中的一次项的系数，c2是常数项。
（3）二次项系数a一般都把它看作是正数（如果是负数，则应提出负号，利用恒等变形把它转化为正数），只需把经分解在两个正的因数。
2．形如x2+px+q的某些二次三项式也可以用十字相乘法分解因式。
3．凡是可用代换的方法转化为二次三项式ax2+bx+c的多项式，有些也可以用十字相乘法分解因式，如例4。
五、作业
1．用十字相乘法分解因式：
（1）2x2+3x+1； （2）2y2+y-6； （3）6x2-13x+6； （4）3a2-7a-6；
（5）6x2-11xy+3y2； （6）4m2+8mn+3n2； （7）10x2-21xy+2y2；
（8）8m2-22mn+15n2。
2．把下列各式分解因式：
（1）4n2+4n-15； （2）6a2+a-35； （3）5x2-8x-13；
（4）4x2+15x+9； （5）15x2+x-2； （6）6y2+19y+10；
（7）20-9y-20y2； （8）7（x-1）2+4（x-1）（y+2）-20（y+2）2。
答案：
1．（1）（2x+1）（x+1）； （2）（y+2）（2y-3）；（3）（2x-3）（3x-2）； （4）（a-3）（3a+2）；
（5）（2x-3y）（3x-y）； （6）（2m+n）（2m+3n）；（7）（x-2y）（10x-y）； （8）（2m-3n）（4m-5n）。
2．（1）（2n-3）（2n+5）； （2）（2a+5）（3a-7）；(3）（x+1）（5x-13）； （4）（x+3）（4x+3）；
（5）（3x-1）（5x+2）； （6）（2y+5）（3y+2）；（7）（4y+5）-（5y-4）； （8）（x+2y+3）（7x-10y-27）。