第15课时  等差数列小结

学习目标： 

1、掌握等差数列的通项公式及前n项和公式及相关的性质；

2、会用等差数列知识解决一些简单的与等差数列有关的问题。

学习过程：

一、知识要点：

1、等差数列的定义：如果数列从第二项起每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列叫做等差数列，这个常数叫等差数列的公差。即.(或)；

2、等差中项：若a、A、b三个数成等差数列，则A叫做a与b的等差中项，即A=。

3、等差数列的通项公式：. 公式变形为:. 其中a=d, b= －d。

4、等差数列的前n项和公式：.

   公式变形为：，其中A=，B=.

   注意：已知n,d, ,, 中的三者可以求另两者，即所谓的“知三求二”。

5、等差数列的设法：

若三数成等差，则可设为a,a+d,a+2d或a－d,a,a+d；

  若四数成等差，则可设为a－3d, a－d, a+d, a+3d。

6、等差数列的判定方法：

  ①定义法：为等差数列。

② 中项法： 为等差数列。

③通项公式法：（a,b为常数）为等差数列。

④前n项和公式法：（A,B为常数）为等差数列。

7、等差数列的性质：

(1)，其中m,n.

(2)公差；. m,n.

(3)若m+n=p+q,则.

(4)若m , n , p成等差数列，则

(5)对称性：若是有穷数列，则与首末两项等距离的两项之和都等于首末两项之和.

(6)项数成等差,则相应的项也成等差数列.即成等差.

(7)数列、、等数列都是等差数列，其中c、p、q为常数， 为等差数列.

(8) 构成的数列是等差数列.

(9)

(10)若共有2n项,则；；.

若共有2n－1项,则； ；.

(11)单调性：设d为等差数列的公差，则

   d>0是递增数列；d<0是递减数列；d=0是常数数列。

8、已知成等差数列，求的最值问题：

①  若,d<0且满足,则最大；

②若,d>0且满足,则最小。

二、例题剖析

例1、(1)在等差数列中,已知

 (2)若一个等差数列前3项和为34,后3项和为146,且所有项的和为390,

求这个数列项数.

 (3)已知为等差数列,前10项的和为前100项的和,求前110项的和

　

例2、数列{a_n}的前n项和为S_n=npa_n（n∈N^*）且a₁≠a₂，

（1）求常数p的值；（2）证明：数列{a_n}是等差数列.

例3、已知数列{a_n}的前n项和为S_n，且满足a_n+2S_n·S_n－1=0（n≥2），a₁=.

（1）求证：{}是等差数列；（2）求a_n的表达式.

例4、设实数a≠0，函数f（x）=a（x²+1）－（2x+）有最小值－1.

（1）求a的值；（2）设数列{a_n}的前n项和S_n=f（n），令b_n=，证明:数列{b_n}是等差数列.

　

三、巩固练习

1．等差数列{a_n}的前n项和为S_n，若a₂＋a₆＋a₇＝18，则S₉的值是　　　　　　

　

2．已知等差数列{a_n}的前n项和为S_n，若a₄＝18－a₅，则S₈等于　　　　　

　

3．已知等差数列{a_n}的前n项和为S_n，若m>1，a_m－1＋a_m＋1－a_m²－1＝0，S_2m－1＝39，则m等于　　　　　　

　

4．设等差数列{a_n}的前n项和为S_n.若a₁＝－11，a₄＋a₆＝－6，则当S_n取最小值时，n等于　　　　　　

　

5、等差数列{a_n}前9项的和等于前4项的和．若a₁＝1，a_k＋a₄＝0，则k＝________.

　

6、设S_n是等差数列{a_n}的前n项和，a₁₂＝－8，S₉＝－9，则S₁₆＝________.

　

7、设f(x)＝，利用课本中推导等差数列前n项和的公式的方法，可求得f(－5)＋f(－4)＋…＋f(0)＋…＋f(5)＋f(6)的值为________．

　　

8、在数列{a_n}中，a₁＝1,3a_na_n－1＋a_n－a_n－1＝0(n≥2)．

(1)求证：数列{}是等差数列；(2)求数列{a_n}的通项．

　

第二篇：高一数学 等差数列总结

第二章    数列

2.1等差数列

教学目标：

1.理解等差数列的概念，掌握如何判别是否是等差数列

2.能发现并总结常见的数列的规律，掌握其常见的变形方法

3.会使用常见方法求等差数列的通项公式，如累加法、跌乘法，证明法，减法(S_n-S_n-1)

教学内容：

1.     等差数列的定义（深刻理解）

等差数列，如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差。

an=a1+(n-1)d即 an=dn+a1-d，就是一次函数形式。因为我们说数列可以看成关于n的函数f(n)，所以等差数列的通项公式就可以看成一个关于n的一次函数，事实上：{an}是等差数列等价于an=An+B，（A≠0，A，B∈R）。比如，要证明一个数列是等差数列，你只要证明他的通项公式是一次函数即可。     

2.     找数列的规律，总结规律，加强对等差数列的理解

（1）是否有限个

（2）是否正负摆动

（3）是否递增或者递减

（4）是否是常熟数列

（5）相邻两项差的关系

（6）后项与前项或者前几项和或者积的关系

（7）各项平方的关系

（8）各项倒数或者倒数和的关系

（9）分数分子分母的关系

总之：发现规律  总结规律  应用规律

3.     对给定的数列写通项公式及等差数列的通项公式的写法

等差数列的通项公式是一次函数

（1）由规律法或定义法写出等差数列通项公式

（2）A_n=S_n-S_n-1

（3）错位想减法

（4）性质法（灵活）

4.     判断等差数列的方法（定义法，递推发，通项公式法，求和法，性质法）

5.     等差数列的性质

（1）任意相邻两项差为定值等差数列的定义：（d为常数）（）

（2）等差数列通项公式：

 ，首项:，公差:d，末项:

 推广： ．    

（3）等差中项

如果，，成等差数列，那么叫做与的等差中项．即：或

数列是等差数列

（4）等差数列的判定方法

定义法：若或(常数)是等差

等差中项：数列是等差．

数列是等差数列（其中是常数）。一次函数

数列是等差数列,（其中A、B是常数）

（5）单调性：

当公差时，等差数列的通项公式是关于的一次函数，且斜率为公差；前和是关于的二次函数且常数项为0.

当公差，则为递增等差数列，若公差，则为递减等差数列，若公差，则为常数列。

当时,则有，特别地，当时，则有.

注：，

（6）若、为等差数列，则都为等差数列

（7） 若{}是等差数列，则 ，…也成等差数列；每隔k(k)项取出一项()仍为等差数列

（8）设数列是等差数列，d为公差，是奇数项的和，是偶数项项的和，是前n项的和

1.当项数为偶数时，

2、当项数为奇数时，则

（其中是项数为2n+1的等差数列的中间项）．

（9）、的前和分别为、，且，

则.