概率论与数理统计考研复习题（1）

古典概率

1．某城市发行三种报纸A，B，C，订A报的有45%，订B报的有35%，订C报的有30%，同时订A及B报的有10%，同时订A其C报的有8%，同时订B及C报的有5%，同时订A，B，C的有3%，试求下列事件的概率：

（1）只订A报；（2）只订A及B报；（3）只订一种报；（4）正好订两种报；

（5）至少订一种报；（6）不定任何报；（7）最多订一种报.

2．假设一批产品中一、二、三等品各占60%、30%、10%，从中随意取出一种，结果不是三等品，则取到的是第一等品的概率为多少？

3．0<P（A）<1，0<P（B）<1，P（A|B）+P=1，讨论A与B的相互独立性.

4．设一个口袋中有6个球，令依次表示这6个球分别为4红，2白；3红，3白；2红，4白。设验前概率为，，，现从这口袋里任取一球，得到白球，求相应的验后概率.

1．  两个盒子，第一个盒子装了2个红球，1个黑球，第二个盒子装有2个红球，2个黑球，先从两个盒子里各取1个球放在一起，再从中取出1球，问：

（1）这个球是红球的概率；

（2）若发现这个球是红球，问的一盒中取出的球是红球的概率.

6．甲、乙两人轮流投篮，游戏规则规定为甲先开始，且甲每轮只投一次，而乙每轮连投两次，已知甲乙每次投篮的命中率分别为p 与 0.5。求p为何值时，甲、乙的胜负概率相等.

1．  k个坛子各装n个球，编号为1，2，3 …，n，从没个坛子中各取一个球，计算所取到的k个球中最大编号是m (的概率.

8．设工厂A和B的次品率分别为1%和2%，现从A和B的产品分别占60%和40%的一批产品中随机抽取一件，发现是次品，则该次品属于A厂生产的概率是多少？

9．500页的书，共有100个错字，每个错字等可能的出现在每一页上，试求给定的一页上至少有两个错字的概率.

10．编号为I，II，III的三个口袋，其中I号袋内装有两个1号球，一个2号球与一个3号球；II号袋内装有两个1号球，一个3号球；III号袋内装有三个1号球，两个2号球。现在先从I号袋里随机地取一个球，放入与球上号数相同的口袋中，第二次从该口袋中任取一个球，（1）计算第二次取到几号球的概率最大，为什么？（2）若第二次取到1号球，文它取自哪一个口袋的概率最大？

11．设有m件产品，其中有n件次品，若从中任取k件产品，是求其中恰有q件次品的概率.

12．袋中有白球4个，黑球2个，连取两球，取出不放回，如果已知的一个是白球，问第二个球是白球的概率是多少？

13．一只书架上有6本数学书和4本物理书，求指定的三本数学书放在一起的概率.

14．设有n 个人，每个人都等可能的被分配到N个房间中的任一间去住，(。求下列事件的概率：

（1）指定的n个房间里各有一人住；

（2）恰有n个房间，其中各住一人.

15．A、B、C三个商店各有雇员50，75，100，分别有50%，60%，70%是妇女，所有雇员退职的机会均等与性别无关。一个雇员退职了，是个女的，求她是在商店C工作的概率.

16．有一个问题，甲先答对的概率为0.4，如甲答错了，由乙答，答对的概率为0.5，求问题由乙解答出的概率。

17．（配对问题）某人写了n封不同地址的信，现将这n封信随意插入n个具有不同地址的信封里，求至少有一封信查对信封的概率.

18．长度为a的线段内任取两点将其分成三段，求它们可以构成一个三角形的概率.

19．N个人排成一队，已知甲总排在乙的前面，求乙恰好紧跟在甲后面的概率.

20．某人有两盒火柴，吸烟时从任一盒中取出一根火柴，经过若干时间以后，发现一盒火柴已经用完，如果最初两盒中各有n根火柴，求这时另一盒中还有r 根火柴的概率.

21．已知男人中有5%是色盲，女人中有0.25%是色盲，今从男女数相等的人群中随机挑选一人，恰好是色盲患者，求此人是男性的概率.

22．求从5双不同的鞋子中任取4只，至少有2只成对的概率.

23．三人独立地破译一份密码，已知个人能译出的概率分别为 1/5，1/3，1/4。问三人中至少有一人能将此密码译出的概率是多少？

24．一条自动生产线连续生产n件产品不出故障的概率为，假设产品的优质率为p（0<p<1），如果各件产品是否优质相互独立.

（1）计算生产线在某两次故障间共生产出k件优质品的概率；

（2）若已知在某两次故障间该生产线生产了k件优质品，求它共生产m件产品的概率.

25．连续做某项试验，每次试验只有成功和失败两种结果。已知第k次成功时，第k+1次成功的概率为1/2，当第k次失败时，第k+1次成功的概率为3/4，如果第一次成功和失败的概率均为1/2，求第n次成功的概率.

26．一幢10层的楼房中的电梯在底层上了7位乘客，电梯在每一层都停，乘客可从第2层开始离开电梯，假设每位乘客在每一层离开电梯是等可能的，求没有两位及两位以上乘客在同一层离开的概率.

27．某制帽厂生产的帽子合格率为0.8，一盒中装有帽子4顶，一个采购员从每一盒中随机地取出两顶帽子，若两顶都合格，就买下这盒帽子，求每盒帽子被买下的概率.

第二篇：概率论与数理统计的学习心得

三四百年前在欧洲许多国家，贵族之间盛行赌博之风。掷骰子是他们常用的一种赌博方式。因骰子的形状为小正方体，当它被掷到桌面上时，每个面向上的可能性是相等的，即出现1点至6点中任何一个点数的可能性是相等的。有的参赌者就想：如果同时掷两颗骰子，则点数之和为9与点数之和为10，哪种情况出现的可能性较大？这应该是人们研究概率论的开端。这之后，帕斯卡、费尔马和惠更斯不断研究赌博问题，创立了早期概率论。

我们接触概率这一概念应该是从初中开始的，那时所认为的概率不过是简单的乘除法，像是一个骰子有六面，掷到每一面的概率是一样的，就是六分之一。到了高中，才陆续接触了期望方差，还有各种类型的分布等等，才知道概率论也是一门专业学科，有自己独特的概念和方法，内容丰富，在数学这个大家庭中也是不输于任何其他分支的存在。上到大学，在学习了更深层次的内容后，对于概率论的理解也就更深刻，同时也意识到概率论在日常生活和其他学科中的重要应用。因此，学会概率论，对我们的学习生活都十分重要。

我们在这学期学习的概率论与数理统计，总结起来一共有以下内容：1.随机事件及其概率。2.随机变量及其分布。3.随机变量的数字特征与极限定理。4.数理统计的基本概念。5.参数估计的基本方法。以我个人的理解，如果说微积分、线性代数只是分析数学、或是说解题的工具，那么概率论才是真正把实际问题转换为数学问题的学问，因为它解决的并非纯数学问题，不是给你一个命题让你去解决，而恰恰是让你去构思命题，进而构建模型来想方设法解决实际问题。如果是大样本问题，可以近似看作正态分布??学习概率论，我很大的一个感受就是和实际问题联系很紧密，对问题需要有更深层次的思考，因而学起来也比微积分和线代更吃力。我在学习概率论时，有一种感觉是课本内容能看懂，也觉得简单，但到了实际应用时，就不知所措，繁杂的公式定理容易搞混。没有书，感觉做题时就彻底失去了依靠。我认为原因是我只注意记住公式定理，却没有真正搞清楚公式定理的真正内涵，没有真正的理解这些内容。而且，做题的时候过于依赖书本，只记住程式化的解决过程，问题一有创新，思路就跟不上。所以在之后的复习过程中，我将着重于读懂课本，重新认识课本中的公式定理，做到会推会用，才算真正学好了这门学科。

而在学习了概率论这门学科之后，我也发现了概率论的很多实际应用，无论是在其他学科中的，还是我个人感兴趣的领域中，有或多或少有概率论的存在。 首先，我一个典型应用概率论的学科是大学物理。在统计物理学基础这一章中，首先学的就是统计概率与概率理论。统计物理学是从宏观物质系统是由大量微观粒子所构成的这一事实出发，认为物质的宏观性质是由大量的微观粒子性质的集体表现，宏观物理量是微观物理量的统计平均值。而对于每个微观粒子，它的运动是无规则的，偶然的，大量粒子的运动是确定的，必然的，符合一定的统计规律。所以，应用概率论，可以实现对于大量粒子统计规律的确定，从而计算出宏观物理量。这一章的内容也贯穿到了热力学一章的学习中，与之互相补充，相辅相成。所以概率论的使用必不可少。

其次是在生活中，比如彩票。概率论在彩票中主要有两个方面的应用：一个方面是利用概率公式计算各种数字号码出现的概率值，然后选择最大概率值数字

进行选号。另一方面的应用是统计，即把以前所有中奖号码进行统计，根据统计得到的概率值来预测新的中奖号码。南京的“专业”彩民则介绍一条选号规则———逆向选号法。从摇奖机的构造角度来说，它要保证每个数字中奖的概率都一样。虽然摇一次奖无法保证，摇100次奖也无法保证，但摇奖的次数越多，各个数字中奖的次数也必定越趋于平均。就像扔硬币，一开始就扔几次可能正反面出现的次数不一样，但随着扔的次数的增加，正反面出现的次数就会越来越接近。从这个角度考虑，在选号时就应该尽量选择前几次没中过奖的数字。这就是逆向选号法，即选择上一次或前几次没中奖的数字，这也说明了概率的无所不在。

再次是我个人感兴趣的方面，密码学。根据信息论，密码的最高境界是敌人在截获密码后，对我方所知没有任何增加。当密码之间分布均匀并且统计独立时，提供的信息量最小。也就是均匀分布使破译者无法统计。当今的密码设计，通用的是公开密钥的方法，而概率论的思想和方法在密码设计和分析中一直占有重要的地位，这里建立合适的概率模型是解决问题的关键。同时，概率论也是对密码算法设计的重要测试工具。

学好概率论与数理统计这门课程，其实有很大的作用，它会让人对日常生活中一些涉及概率方面的问题有更加深刻的体会。如果没有统计学，人们在收集资料和进行各项的大型的数据收集工作是非常困难的，通过对统计方法的研究，使得我们处理各种数据更加简便，所以统计也是一门很实用的科学，应该受到大家的重视。