1．2．2组合

教学目标：

知识与技能：理解组合的意义，能写出一些简单问题的所有组合。明确组合与排列的联系与区别，能判断一个问题是排列问题还是组合问题。

过程与方法：了解组合数的意义，理解排列数与组合数之间的联系，掌握组合数公式，能运用组合数公式进行计算。

情感、态度与价值观：能运用组合要领分析简单的实际问题，提高分析问题的能力。

教学重点：组合的概念和组合数公式

教学难点：组合的概念和组合数公式

授课类型：新授课

课时安排：1课时

教    具：多媒体、实物投影仪

内容分析：

排列与组合都是研究从一些不同元素中任取元素，或排成一排或并成一组，并求有多少种不同方法的问题.排列与组合的区别在于问题是否与顺序有关.与顺序有关的是排列问题，与顺序无关是组合问题，顺序对排列、组合问题的求解特别重要.排列与组合的区别，从定义上来说是简单的，但在具体求解过程中学生往往感到困惑，分不清到底与顺序有无关系.   

指导学生根据生活经验和问题的内涵领悟其中体现出来的顺序.教的秘诀在于度，学的真谛在于悟，只有学生真正理解了，才能举一反三、融会贯通.
    能列举出某种方法时，让学生通过交换元素位置的办法加以鉴别.
    学生易于辨别组合、全排列问题，而排列问题就是先组合后全排列.在求解排列、组合问题时，可引导学生找出两定义的关系后，按以下两步思考：首先要考虑如何选出符合题意要求的元素来，选出元素后再去考虑是否要对元素进行排队，即第一步仅从组合的角度考虑，第二步则考虑元素是否需全排列，如果不需要，是组合问题；否则是排列问题.
    排列、组合问题大都来源于同学们生活和学习中所熟悉的情景，解题思路通常是依据具体做事的过程，用数学的原理和语言加以表述.也可以说解排列、组合题就是从生活经验、知识经验、具体情景的出发，正确领会问题的实质，抽象出“按部就班”的处理问题的过程.据笔者观察，有些同学之所以学习中感到抽象，不知如何思考，并不是因为数学知识跟不上，而是因为平时做事、考虑问题就缺乏条理性，或解题思路是自己主观想象的做法（很可能是有悖于常理或常规的做法）.要解决这个问题，需要师生一道在分析问题时要根据实际情况，怎么做事就怎么分析，若能借助适当的工具，模拟做事的过程，则更能说明问题.久而久之，学生的逻辑思维能力将会大大提高.

教学过程：

一、复习引入：

1．排列的概念：从个不同元素中，任取（）个元素（这里的被取元素各不相同）按照一定的顺序排成一列，叫做从个不同元素中取出个元素的一个排列

2．排列数的定义：从个不同元素中，任取（）个元素的所有排列的个数叫做从个元素中取出元素的排列数，用符号表示

3．排列数公式：（）

4阶乘：表示正整数1到的连乘积，叫做的阶乘规定．

5．排列数的另一个计算公式：= 

6.提出问题：

示例1：从甲、乙、丙3名同学中选出2名去参加某天的一项活动，其中1名同学参加上午的活动，1名同学参加下午的活动，有多少种不同的选法？

示例2：从甲、乙、丙3名同学中选出2名去参加一项活动，有多少种不同的选法？

引导观察：示例1中不但要求选出2名同学，而且还要按照一定的顺序“排列”，而示例2只要求选出2名同学，是与顺序无关的引出课题：组合．

二、讲解新课：

1组合的概念：一般地，从个不同元素中取出个元素并成一组，叫做从个不同元素中取出个元素的一个组合

说明：⑴不同元素；⑵“只取不排”——无序性；⑶相同组合：元素相同

例1．判断下列问题是组合还是排列

（1）在北京、上海、广州三个民航站之间的直达航线上，有多少种不同的飞机票？有多少种不同的飞机票价？

（2）高中部11个班进行篮球单循环比赛，需要进行多少场比赛？

（3）从全班23人中选出3人分别担任班长、副班长、学习委员三个职务，有多少种不同的选法？选出三人参加某项劳动，有多少种不同的选法？

（4）10个人互相通信一次，共写了多少封信？

（5）10个人互通电话一次，共多少个电话？

问题：（1）1、2、3和3、1、2是相同的组合吗？

（2）什么样的两个组合就叫相同的组合

2．组合数的概念：从个不同元素中取出个元素的所有组合的个数，叫做从 个不同元素中取出个元素的组合数．用符号表示．

3．组合数公式的推导：

（1）从4个不同元素中取出3个元素的组合数是多少呢？

启发：由于排列是先组合再排列，而从4个不同元素中取出3个元素的排列数可以求得，故我们可以考察一下和的关系，如下：

        组 合                  排列

      

由此可知,每一个组合都对应着6个不同的排列，因此，求从4个不同元素中取出3个元素的排列数，可以分如下两步：① 考虑从4个不同元素中取出3个元素的组合，共有个；② 对每一个组合的3个不同元素进行全排列，各有种方法．由分步计数原理得：＝，所以，．

（2）推广：一般地，求从n个不同元素中取出m个元素的排列数，可以分如下两步：

① 先求从n个不同元素中取出m个元素的组合数；

② 求每一个组合中m个元素全排列数，根据分步计数原理得：＝．

（3）组合数的公式：

或

    规定: .

三、讲解范例：

例2．计算：（1）；  （2）；    

（1）解： ＝35；

（2）解法1：＝120．

     解法2：＝120．

例3． 一位教练的足球队共有 17 名初级学员，他们中以前没有一人参加过比赛．按照足球比赛规则，比赛时一个足球队的上场队员是11人．问：

 (l)这位教练从这 17 名学员中可以形成多少种学员上场方案？

(2)如果在选出11名上场队员时，还要确定其中的守门员，那么教练员有多少种方式做这件事情？

分析：对于（1)，根据题意，17名学员没有角色差异，地位完全一样，因此这是一个从 17 个不同元素中选出11个元素的组合问题；对于（ 2 ) ，守门员的位置是特殊的，其余上场学员的地位没有差异，因此这是一个分步完成的组合问题．

解： (1）由于上场学员没有角色差异，所以可以形成的学员上场方案有 C ｝手＝ 12 376 （种） .

(2）教练员可以分两步完成这件事情：

第1步，从17名学员中选出 n 人组成上场小组，共有种选法；

第2步，从选出的 n 人中选出 1 名守门员，共有种选法．

所以教练员做这件事情的方法数有

=136136（种）.

思考：对于问题（2），你还有别的解题方法吗？

练习1．（1）平面内有10 个点，以其中每2 个点为端点的线段共有多少条？

(2）平面内有 10 个点，以其中每 2 个点为端点的有向线段共有多少条？

解：(1）以平面内 10 个点中每 2 个点为端点的线段的条数，就是从10个不同的元素中取出2个元素的组合数，即线段共有

 （条）.

(2）由于有向线段的两个端点中一个是起点、另一个是终点，以平面内10个点中每 2 个点为端点的有向线段的条数，就是从10个不同元素中取出2个元素的排列数，即有向线段共有

（条）.

例4．求证：．

证明：∵

＝

＝

∴

练习2．设 求的值

    解：由题意可得：  ，解得，

∵，   ∴或或，

当时原式值为7；当时原式值为7；当时原式值为11．

∴所求值为4或7或11．

四、课堂练习：

1、甲、乙、丙、丁4支足球队举行单循环赛，

 (1)列出所有各场比赛的双方；

（2)列出所有冠亚军的可能情况.

2、学校开设了6门选修课，要求每个学生从中选学3门，每个学生有多少种不同的选法？

3、从3、5、7、11这四个质数中任取两个相乘，可以得到多少个不相等的积？

五、课堂小结：（学生总结，教师补充）

1、组合、组合数的概念

2、组合与排列的区别与联系

3、求组合数转化为求排列数，体现了数学中的化归思想.

六、课后作业：习题1.2 B组 1、2、3、4

七、板书设计（略）

八、教学反思：

排列组合问题联系实际生动有趣，题型多样新颖且贴近生活，解法灵活独到但不易掌握，许多学生面对较难问题时一筹莫展、无计可施，尤其当从正面入手情况复杂、不易解决时，可考虑换位思考将其等价转化，使问题变得简单、明朗。

第二篇：组合

组合

教学目标

(1)使正确理解组合的意义,正确区分排列、组合问题;

(2)使把握组合数的计算公式、组合数的性质用组合数与排列数之间的关系;

(3)通过学习组合知识,让学生把握类比的学习方法,并提高学生分析问题和解决问题的能力;

(4)通过对排列、组合问题求解与剖析,培养学生学习爱好和思维深刻性,学生具有严谨的学习态度。

教学建议

一、知识结构

二、重点难点分析

本小节的重点是组合的定义、组合数及组合数的公式,组合数的性质。难点是解组合的应用题。突破重点、难点的关键是对加法原理与乘法原理的把握和应用,并将这两个原理的基本思想贯穿在解决组合应用题当中。

组合与组合数,也有上面类似的关系。从n个不同元素中任取m(m≤n)个元素并成一组,叫做从n个不同元素中任取m个元素的一个组合。所有这些不同的组合的个数叫做组合数。从集合的角度看,从n个元素的有限集中取出m个组成的一个集合(无序集),相当于一个组合,而这种集合的个数,就是相应的组合数。

解排列组合应用题时主要应抓住是排列问题还是组合问题,其次要搞清需要分类,还是需要分步.切记:排组分清(有序排列、无序组合),加乘明确(分类为加、分步为乘).

三、教法设计

1.对于基础较好的,建议把排列与组合的概念进行对比的进行学习,这样有利于搞请这两组概念的区别与联系.

2.学生与老师可以合编一些排列组合问题,如“45人中选出5人当班干部有多少种选法?”与“45人中选出5人分别担任班长、副班长、体委、学委、生委有多少种选法?”这是两个相近问题,同学们会根据自己身边的实际可以编出各种各样的具有特色的问题,教师要引导学生辨认哪个是排列问题,哪个是组合问题.这样既调动了学生学习的积极性,又在编题辨题中澄清了概念.

3.排列组合的应用问题,教师应从简单问题问题入手,逐步到有一个附加条件的单纯排

列问题或组合问题,最后在设及排列与组合的综合问题.

对于每一道题目,教师必须先让学生独立思考,在进行全班讨论,对于学生的每一种解法,教师要先让学生判定正误,在给予点播.对于排列、组合应用问题的解决我们提倡一题多解,这样有利于培养学生的分析问题解决问题的能力,在学生的多种解法基础上教师要引导学生选择最佳方案,总结解题规律.对于学生解题中的常见错误,教师一定要讲明道理,认真分析错误原因,使学生在是非的判定得以提高.

4.两个性质定理教学时,对定理1,可以用下例来说明:从4个不同的元素a,b,c,d里每次取出3个元素的组合及每次取出1个元素的组合分别是

这就说明从4个不同的元素里每次取出3个元素的组合与从4个元素里每次取出1个元素的组合是—一对应的.

对定理2,可启发从下面问题的讨论得出.从n个不同元素 , ,…, 里每次取出m个不同的元素( ),问:(1)可以组成多少个组合;(2)在这些组合里,有多少个是不含有 的;(3)在这些组合里,有多少个是含有 的;(4)从上面的结果,可以得出一个怎样的公式.在此基础上引出定理2.

对于 ,和 一样,是一种规定.而学生经常误以为是推算出来的,因此,教学时要讲清楚. 教学设计示例

教学目标

(1)使正确理解组合的意义,正确区分排列、组合问题;

(2)使把握组合数的计算公式;

(3)通过学习组合知识,让学生把握类比的学习方法,并提高分析问题和解决问题的能力;

教学重点难点

重点是组合的定义、组合数及组合数的公式;

难点是解组合的应用题.

教学过程设计

(-)导入新课

(教师活动)提出下列思考问题,打出字幕.

[字幕]一条铁路线上有6个火车站,(1)需预备多少种不同的普通客车票?(2)有多少种不同票价的普通客车票?上面问题中,哪一问是排列问题?哪一问是组合问题?

(活动)讨论并回答.

答案提示:(1)排列;(2)组合.

[评述]问题(1)是从6个火车站中任选两个,并按一定的顺序排列,要求出排法的种数,属于排列问题;(2)是从6个火车站中任选两个并成一组,两站无顺序关系,要求出不同的组数,属于组合问题.这节课着重研究组合问题.

设计意图:组合与排列所研究的问题几乎是平行的.上面设计的问题目的是从排列知识中发现并提出新的问题.

(二)新课讲授

[提出问题 创设情境]

(教师活动)指导带着问题阅读课文.

[字幕]1.排列的定义是什么?

2.举例说明一个组合是什么?

3.一个组合与一个排列有何区别?

(学生活动)阅读回答.

(教师活动)对照课文,逐一评析.

第三篇：项目合作协议书范本

项目合作协议书

项目合作协议由：项目出资人（以下简称甲方）和项目技术负责人（以下简称乙方）

甲：_______，身份证号：_______，籍贯_______

乙：_______，身份证号：_______，籍贯_______

甲乙双方本着公平、平等、互利的原则订立合作协议如下：

第一条 甲乙双方自愿合作经营塑胶和金属油漆项目，总投资为20万元，甲方以人民币方式出资15万元，乙方以人民币出资5万元及技术和客户资源。

第二条 本合伙依法组成合伙企业，在合伙期间合伙人出资的为共有财产，不得随意分割。合伙终至后，各合伙人的出资仍为个人所有，届时予以返还。

第三条 本合伙企业经营期限为三年。如果需要延长期限的，在期满前六个月办理有关手续。

第四条 双方共同经营，合伙人执行合伙事务所产生的收益归全体合伙人，所产生的亏损或者民事责任由全体合伙人。

第五条 企业固定资产和盈余按照取得的销售净利润的甲方60%、乙方40%的比例分配。

第六条 企业债务按照甲方60%、乙方40%比例负担。任何一方对外偿还债务后，另一方应当按比例在十日内向对方清偿自己负担的部分。

第七条 每年项目产品总销售利润的百分之十进行固定投入。销售利润分红，一年结算第八条 本协议未尽事宜，双方可以补充规定，补充协议与本协议有同等效力。

第九条 本协议一式贰份，合伙人各一份。本协议自合伙人签字（或盖章）之日起生效。

第十条 自协议签订之日起，乙方需要负责技术和市场开发及售后跟进，甲方负责管理及日常事务。 第十一条 本协议有效期暂定三年，自双方代表(乙方为本人)签字之日起计算，即从_______年_______月_______日至_______年_______月_______日止。

第十二条 争议处理

1、对于执行本合同发生的与本合同有关的争议应本着友好协商的原则解决；

2、如果双方通过协商不能达成一致，则提交仲裁委员会进行仲裁，或依法向人民法院起诉； 第十三条 本协议到期后，双方均未提出终止协议要求的，视作均同意继续合作，本协议继续有效，如果

不再继续合作的，退出方应提前三个月向另一方提交退出的书面文本，并将己方的有关本合同项目的资料及客户资源都应交给另一方。

第十四条 违约处理

如果一方违反本合同的任何条款，非违约方有权终止本合同的执行，并依法要求违约方赔偿损害。 第十五条 协议解除

1、 一方合伙人有违反本合协议的，另一方有权解除合作协议

2、 合作协议期满

3、 双方同意终止协优议的

4、 一方合伙人出现法律上问题及做对企业有损害的，另一方有权解除合作协议

第十六条 未尽事宜，双方可再协商补充协议，补充协议同等本协议有效

甲方：（签章）_______  乙方：（签章）_______

地址：______________  地址：______________

合同签订地点：_____________________

合同签订时间：_______年_______月_______日

第十七条 本合同一式两份，双方各执一份，具有相同的法律效力

甲方身份证复印件

粘贴处

乙方身份证复印件

粘贴处