等比数列

三．要点精讲

1．等比数列定义

一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比；公比通常用字母表示，即：：

（注意：“从第二项起”、“常数”、等比数列的公比和项都不为零）

2．等比数列通项公式为：。

说明：（1）由等比数列的通项公式可以知道：当公比时该数列既是等比数列也是等差数列；（2）等比数列的通项公式知：若为等比数列，则。

3．等比中项

如果在中间插入一个数，使成等比数列，那么叫做的等比中项（两个符号相同的非零实数，都有两个等比中项）。

4．等比数列前n项和公式

一般地，设等比数列的前n项和是，当时， 或；当q=1时，（错位相减法）。

说明：（1）和各已知三个可求第四个；（2）注意求和公式中是，通项公式中是不要混淆；（3）应用求和公式时，必要时应讨论的情况。

四．典例解析

题型1：等比数列的概念

例1．“公差为0的等差数列是等比数列”；“公比为的等比数列一定是递减数列”；“a,b,c三数成等比数列的充要条件是b²=ac”；“a,b,c三数成等差数列的充要条件是2b=a+c”，以上四个命题中，正确的有（    ）

A．1个                   B．2个                     C．3个                  D．4个

解析：四个命题中只有最后一个是真命题。

命题1中未考虑各项都为0的等差数列不是等比数列；

命题2中可知a_n+1=a_n×，a_n+1<a_n未必成立，当首项a₁<0时，a_n<0，则a_n>a_n，即a_n+1>a_n，此时该数列为递增数列；

例5．一个等比数列有三项，如果把第二项加上4，那么所得的三项就成为等差数列，如果再把这个等差数列的第三项加上32，那么所得的三项又成为等比数列，求原来的等比数列。

解析：设所求的等比数列为a，aq，aq²；

则2(aq+4)=a+aq²，且(aq+4)²=a(aq²+32)；

解得a=2，q=3或a=，q=－5；

故所求的等比数列为2，6,18或，－，。

点评：第一种解法利用等比数列的基本量，先求公比，后求其它量，这是解等差数列、等比数列的常用方法，其优点是思路简单、实用，缺点是有时计算较繁。

例6．已知正项数列，其前项和满足且成等比数列，求数列的通项

解析：∵10S_n=a_n²+5a_n+6， ①

∴10a₁=a₁²+5a₁+6，解之得a₁=2或a₁=3。

又10S_n－1=a_n－1²+5a_n－1+6(n≥2)，②

由①－②得 10a_n=(a_n²－a_n－1²)+6(a_n－a_n－1)，即(a_n+a_n－1)(a_n－a_n－1－5)=0

∵a_n+a_n－1>0  , ∴a_n－a_n－1=5 (n≥2)。

当a₁=3时，a₃=13，a₁₅=73，a₁, a₃,a₁₅不成等比数列

∴a₁≠3；

当a₁=2时,，a₃=12， a₁₅=72，有 a₃²=a₁a₁₅ , ∴a₁=2, ∴a_n=5n－3。

点评：该题涉及等比数列的求和公式与等比数列通项之间的关系，最终求得结果。

题型4：等比数列的求和公式及应用

例7．（1）在等比数列中,,前项和为,若数列也是等比数列，则等于（   ）

A．              B．                      C．                       D．

（2）（20##年北京卷）设，则等于（   ）

       A．              B．       C．       D．

（3）（1996全国文，21）设等比数列｛a_n｝的前n项和为S_n，若S₃＋S₆＝2S₉，求数列的公比q；解析：（1）因数列为等比，则，因数列也是等比数列，

则

即，所以，故选择答案C。

（2）D；

（3）解：若q=1，则有S₃=3a₁，S₆=6a₁，S₉=9a₁。

因a₁≠0，得S₃+S₆≠2S₉，显然q=1与题设矛盾，故q≠1。

由S₃+S₆=2S₉，得，整理得q³（2q⁶－q³－1）=0，由q≠0，得2q⁶－q³－1=0，从而（2q³＋1）（q³－1）=0，因q³≠1，故q³=－，所以q=－。

例9．（1）在各项都为正数的等比数列{a_n}中，首项a₁＝3，前三项和为21，则a₃＋a₄＋a₅＝（     ）

（A）33        （B）72        （C）84        （D）189

（2）（2000上海，12）在等差数列｛a_n｝中，若a₁₀＝0，则有等式a₁+a₂+…＋a_n=a₁+a₂+…＋a_19－n（n＜19，n∈N成立.类比上述性质，相应地：在等比数列｛b_n｝中，若b₉＝1，则有等式     成立。

解析：（1）答案：C；解：设等比数列{a_n}的公比为q(q>0)，由题意得:a₁+a₂+a₃=21,即3+3q+3q²=21,q²+q-6=0，求得q=2(q=－3舍去)，所以a₃+a₄+a₅=q²(a₁+a₂+a₃)=4故选C。

（2）答案：b₁b₂…b_n＝b₁b₂…b_17－n（n＜17，n∈N^*）；

解：在等差数列｛a_n｝中，由a₁₀＝0，得a₁＋a₁₉＝a₂＋a₁₈＝…＝a_n＋a_20－n＝a_n＋1＋a_19－n＝2a₁₀＝0，

所以a₁＋a₂＋…＋a_n＋…＋a₁₉＝0，即a₁＋a₂＋…＋a_n＝－a₁₉－a₁₈－…－a_n＋1，

又∵a₁＝－a₁₉，a₂＝－a₁₈，…，a_19－n＝－a_n＋1

∴a₁＋a₂＋…＋a_n＝－a₁₉－a₁₈－…－a_n＋1＝a₁＋a₂＋…＋a_19－n，

若a₉＝0，同理可得a₁＋a₂＋…＋a_n＝a₁＋a₂＋a_17－n，

相应地等比数列｛b_n｝中，则可得：b₁b₂…b_n＝b₁b₂…b_17－n（n＜17，n∈N^*）。

例11．已知公比为的无穷等比数列各项的和为9，无穷等比数列各项的和为。

(Ⅰ)求数列的首项和公比；

(Ⅱ)对给定的，设是首项为，公差为的等差数列．求数列的前10项之和。

解析：(Ⅰ)依题意可知：，

(Ⅱ)由(Ⅰ)知,，所以数列的的首项为,公差，,即数列的前10项之和为155。

点评：对于出现等差、等比数列的综合问题，一定要区分开各自的公式，不要混淆。

五．思维总结

（1）掌握等比数列定义＝q（常数）（nN），同样是证明一个数列是等比数列的依据，也可由a_n·a_n＋2＝来判断；

（2）等比数列的通项公式为a_n＝a₁·q^n－1；

（3）对于G 是a、b 的等差中项，则G²＝ab，G＝±；

（4）特别要注意等比数列前n 项和公式应分为q＝1与q≠1两类，当q＝1时，S_n＝na₁，当q≠1时，S_n＝，S_n＝。

2．等比数列的判定方法

①定义法：对于数列，若，则数列是等比数列；

②等比中项：对于数列，若，则数列是等比数列。

3．等比数列的性质

①等比数列任意两项间的关系：如果是等比数列的第项，是等差数列的第项，且，公比为，则有；

②对于等比数列，若，则，也就是：，如图所示：。

③若数列是等比数列，是其前n项的和，，那么，，成等比数列。

如下图所示：

第二篇：第四讲：等差数列

高一数学练习题（四）

等差数列与等差数列的性质

一、选择题

1.在100至500之间的正整数能被11整除的个数为( )

A.34

B.35

C.36

D.37

2.在数列{an}中，a1=1,an+1=an2－1(n≥1),则a1+a2+a3+a4+a5等于( )

A.－1

B.1

2f(n)?n

2

C.0 D.2

3.设函数f(x)满足f(n+1)=

A.95

(n∈N*)且f(1)=2,则f(20)为( )

C.105

D.192

B.97

4.已知等差数列｛an｝中公差d≠0.若n≥2,n∈N*,则( )

A.a1an+1＜a2an

B.a1+an+1＞a2+an C.a1+an+1＜a2+an

D.a1an+1＞a2an

5.等差数列｛an｝中，a4+a7+a10=57,a4+a5+…+a14=275,ak=61,则k等于( )

A.18

B.19

C.20

D.21

6.已知等差数列{an}的公差为正数，且a3·a7=－12,a4+a6=－4,则S20为( )

A.180

B.－180 C.90

a5a3

?59

D.－90

7.设Sn是等差数列前n项的和，若,则

S9S5

等于( )

12

A.1 B.－1 C.2 D.

8.已知｛an｝是递增数列，且对任意n∈N*都有an=n2+λn恒成立，则实数λ的取值范围是( )

A.(－

72

,+∞) B.(0,+∞) C.(－2,+∞) D.(－3,+∞)

2

?0，S2m?1?38，则m等于( ) 9．已知等差数列{an}中，an?0，若m?1，且am?1?am?1?am

A.38 B.20 C.10 D.9

10．已知{an}的前n项和Sn?n2?4n?1，则|a1|?|a2|???|a10|的值为( )

A.67 B.65 C.61 D.56

11.已知数列｛an｝的通项公式为an=(－1) n1·(4n－3),则它的前100项之和为( )

－

A.200 B.－200

S4S8

?13

C.400

,那么

S8S16

?

D.－400

12．已知等差数列{an}的前n项和为Sn,且

A．

81

B．

3

1

C．

9

1

D．

310

13．若{an}是等差数列，Sn是其前n项和，a3?a8?0，S9?0，则S1，S2，S3，…，Sn中最小的是

A．S4； B．S5； C．S6； D．S9.

二、填空题

14.设数列{an}的前n项和为Sn,Sn=

a1(3?1)

2

n

(n∈N*),且a4=54,则a1的值是________.

15．设f（x）=

12?

x

2

.利用课本中推导等差数列前n项和的公式的方法，可

求得f（－5）+f（－4）+…+f（0）+…+f（5）+f（6）的值为_____.

16.等差数列{an}中，a1+a2+a3=－24,a18+a19+a20=78,则此数列前20项的和等于________. 17.数列{an}中，a1=1,a2=

23

,且n≥2时，有

1an?1

?

1an?1

=

2an

,则an18.等差数列{an}中，a1=－5,它的前11项的平均值是5，若从中抽取1项后余下的10项的平均值仍为5，则抽

取的是第_______项.

19.在等差数列{an}中，若a1+3a8+a15=120,则2a9－a10=________. 三、解答题

20.已知数列｛an｝满足下列条件，写出它的前3项，并求出数列的一个通项公式.

(1)a1=0,an+1=an+(2n－1);

(2)a1=1,an+1=

21.有30根水泥电线杆，要运往1000米远的地方开始安装，在1000米处放一根，以后每隔50米放一根，一直

向前放.一辆汽车一次最多运三根，如果用一辆车完成这项任务，从开始运第一车算起，运完货后回到起点，这辆汽车的行程是多少千米？

22.用分期付款方式购买家用电器一件，价格为1150元，购买当天先付150元，以后每月这一天都交付50元，

并加付欠款的利息，月利率为1%，若交付150元后的第一个月开始算分期付款的第一个月，问分期付款的第十个月该交付多少钱？全部货款付清后，买这件家电实际花了多少钱？

2anan?2

.