2015.01.15线性代数复习重点小结

代数余子式；伴随矩阵，公式；

若a是A的特征值，则f(a)是f(A)的特征值；

初等矩阵，参照P188,9（2）；

矩阵的逆；矩阵的秩；行列式性质；范德蒙行列式；向量集的线性相关，线性无关性；

求行列式的值；参照P194,6作业题

解矩阵方程；参照P186,4

求线性方程组的解；参照P196,3,4,5

求向量集的秩，最大线性无关子集，并会用最大无关子集把其他向量线性表出；参照P197,8,9，10

会求矩阵的特征值，特征向量，会判断矩阵是否相似于对角阵，并写出变换阵。参照P115，例3及P118例3续

  

参照课件中的相关例题进行复习！

   祝大家考出好成绩！寒假愉快！

附注：

考试题型：选择题，填空题，计算题

考试时间：20##-01-15，14:00-16:00

考试地点：由于考试班级较多，系统里面显示的地点及学院信息并不完整，因此我无法跟大家一一说出考试的具体地点。请大家在学院教务那里搞清楚考试地点。

第二篇：线性代数复习重点

复习重点： 第一部分 行列式

1． 排列的逆序数（P.5例4；P.26第2、4题）

2． 行列式按行（列）展开法则（P.21例13；P.28第9题） 3． 行列式的性质及行列式的计算（P.27第8题） 第二部分 矩阵 1． 矩阵的运算性质

2． 矩阵求逆及矩阵方程的求解（P.56第17、18题；P.78第5题）

3． 伴随阵的性质（P.41例9；P.56第23、24题；P.109第25题）、正交阵的性质（P.116） 4． 矩阵的秩的性质（P.69至71；P.100例13、14、15） 第三部分 线性方程组

1． 线性方程组的解的判定（P.71定理3；P.77定理4、5、6、7），带参数的方程组的解的判定（P.75例13；P.80第16、17、

18题）

2． 齐次线性方程组的解的结构（基础解系与通解的关系） 3． 非齐次线性方程组的解的结构（通解）

第四部分 向量组（矩阵、方程组、向量组三者之间可以相互转换） 1．向量组的线性表示 2．向量组的线性相关性 3．向量组的秩

第五部分 方阵的特征值及特征向量 1．施密特正交化过程

2．特征值、特征向量的性质及计算（P.120例8、9、10；P.135第7至13题） 3．矩阵的相似对角化，尤其是对称阵的相似对角化（P.135第15、16、19、23题）

要注意的知识点：

线性代数

1、行列式 1. 2.

2

n行列式共有n个元素，展开后有n!项，可分解为2行列式；

代数余子式的性质： ①、Aij和aij的大小无关；

②、某行（列）的元素乘以其它行（列）元素的代数余子式为0； ③、某行（列）的元素乘以该行（列）元素的代数余子式为A； 代数余子式和余子式的关系：Mij?(?1)行列式的重要公式：

①、主对角行列式：主对角元素的乘积；

n(n?1)

n

3. 4.

i?j

AijAij?(?1)

i?j

Mij

②、副对角行列式：副对角元素的乘积??(?1)

2

；

◥???◣?）：主对角元素的乘积； ③、上、下三角行列式（?

n(n?1)

◢?：副对角元素的乘积??(?1)④、?◤?和?

⑤、拉普拉斯展开式：

2

；

AC

OB

?

AO

CB

?AB、

CB

AO

?

OB

AC

?(?1)

m?n

AB

⑥、范德蒙行列式：大指标减小指标的连乘积； ⑦、特征值

5. 证明A?0的方法： ①、A??A； ②、反证法；

③、构造齐次方程组Ax?0，证明其有非零解； ④、利用秩，证明r(A)?n； ⑤、证明0是其特征值；

2、矩阵 1.

A是n阶可逆矩阵：

?A?0（是非奇异矩阵）； ?r(A)?n（是满秩矩阵） ?A的行（列）向量组线性无关； ?齐次方程组Ax?0有非零解； ??b?R，Ax?b总有唯一解； ?A与E等价；

?A可表示成若干个初等矩阵的乘积； ?A的特征值全不为0； ?ATA是正定矩阵；

?A的行（列）向量组是Rn的一组基； ?A是Rn中某两组基的过渡矩阵；

2.

对于n阶矩阵A：AA?AA?AE 无条件恒成立；

*

*

n

3. (A)?(A)

T

T

?1**?1

(A)

?1T

?(A)

*

*

T?1

(A)

*T

T*

?(A)

(AB)?BA

4. 5.

T

(AB)?BA

*

(AB)

?1

?B

?1

A

?1

矩阵是表格，推导符号为波浪号或箭头；行列式是数值，可求代数和； 关于分块矩阵的重要结论，其中均A、B可逆：

?A1?

若A??

???

A2

?

??

?，则： ??As?

Ⅰ、A?A1A2?As；

Ⅱ、A

?1

?A1?1???????O??B?A??O?C??B?

?1

A2

?1

?

???； ???1

As??

?A

②、?

?O?O③、?

?B?A④、?

?O

?A?1???O?O???1

?A?A?1???O

O?

?1?B?B?? O?

?1

?1

?1

?1

?1

?ACB

B

?1

?? ?

?1

?A⑤、?

?CO??B??1

?A???1?1

??BCA

O?

?1?B?

3、矩阵的初等变换与线性方程组

1.

一个m?n矩阵A，总可经过初等变换化为标准形，其标准形是唯一确定的：F??

?Er?OO?

； ?

O?m?n

等价类：所有与A等价的矩阵组成的一个集合，称为一个等价类；标准形为其形状最简单的矩阵； 对于同型矩阵A、B，若r(A)?r(B)?????A?B； 2.

行最简形矩阵：

①、只能通过初等行变换获得； ②、每行首个非0元素必须为1；

③、每行首个非0元素所在列的其他元素必须为0； 3.

初等行变换的应用：（初等列变换类似，或转置后采用初等行变换）

r

①、 若(A?,?E)

???(E?,?X)，则A可逆，且X

?A

?1

；

?1

②、对矩阵(A,B)做初等行变化，当A变为E时，B就变成A

?1

B，即：(A,B)???(E,AB)；

r

c

③、求解线形方程组：对于n个未知数n个方程Ax?b，如果(A,b)4.

初等矩阵和对角矩阵的概念：

?(E,x)，则A可逆，且x?

Ab；

?1

①、初等矩阵是行变换还是列变换，由其位置决定：左乘为初等行矩阵、右乘为初等列矩阵；

??1?

②、???

???

?2

?

??

?，左乘矩阵A，?乘A的各行元素；右乘，?乘A的各列元素；

ii

???n?

③、对调两行或两列，符号E(i,j)，且E(i,j)

?1

??

?E(i,j)，例如：1?

??

?1

1

???1??

?1

?

??1???

?1

1

??； ?1??

1k

??

?(k?0)； ?1??

④、倍乘某行或某列，符号E(i(k))，且E(i(k))

?11

?E(i())，例如：?

?k

??

k

???1??

?1

??????

⑤、倍加某行或某列，符号E(ij(k)),且E(ij(k))

?1

?1

?如：?E(ij(?k))，

???

1

k???1??

?1

?1

?????

1

?k?

?

(k?0)； ?1??

5. 矩阵秩的基本性质：

①、0?r(Am?n)?min(m,n)； ②、r(A)?r(A)；

③、若A?B，则r(A)?r(B)；

④、若P、Q可逆，则r(A)?r(PA)?r(AQ)?r(PAQ)；（可逆矩阵不影响矩阵的秩） ⑤、max(r(A),r(B))?r(A,B)?r(A)?r(B)；（※） ⑥、r(A?B)?r(A)?r(B)；（※） ⑦、r(AB)?min(r(A),r(B))；（※）

⑧、如果A是m?n矩阵，B是n?s矩阵，且AB?0，则：（※）

Ⅰ、B的列向量全部是齐次方程组AX?0解（转置运算后的结论）；

T

Ⅱ、r(A)?r(B)?n

⑨、若A、B均为n阶方阵，则r(AB)?r(A)?r(B)?n； 6.

三种特殊矩阵的方幂：

①、秩为1的矩阵：一定可以分解为列矩阵（向量）?行矩阵（向量）的形式，再采用结合律；

?1?

②、型如0

??0?

a10

c??

b的矩阵：利用二项展开式 ?1??

③、利用特征值和相似对角化： 7.

伴随矩阵：

?n

?*

①、伴随矩阵的秩：r(A)??1

?0?

②、伴随矩阵的特征值：③、A?AA8.

*

?1

r(A)?n?????r(A)?n?1； r(A)?n?1

*

?1

*

A

?

*

??(AX??X,A?AA???AX?

n?1

A

?

X)；

、A?A

关于A矩阵秩的描述：

①、r(A)?n，A中有n阶子式不为0，n?1阶子式全部为0；（两句话） ②、r(A)?n，A中有n阶子式全部为0； ③、r(A)?n，A中有n阶子式不为0；

9. 线性方程组：Ax?b，其中A为m?n矩阵，则： ①、m与方程的个数相同，即方程组Ax?b有m个方程； ②、n与方程组得未知数个数相同，方程组Ax?b为n元方程；

10. 线性方程组Ax?b的求解：

①、对增广矩阵B进行初等行变换（只能使用初等行变换）； ②、齐次解为对应齐次方程组的解； ③、特解：自由变量赋初值后求得；

11. 由n个未知数m个方程的方程组构成n元线性方程：

?a11x1?a12x2???a1nxn?b1????

ax?a22x2???a2nxn?b2???①、?211；

?

?????????????ax?ax???ax?b

m22nmnn?m11

?a11

?②、?a21

????am1

a12a22?am2

????

a1n??

??a2n

???????amn??

x1??b1????x2b

???2??Ax?b（向量方程，????????xm??bm?

A为m?n矩阵，m个方程，n个未知数）

③、?a

1

a2

?

??an??

???x1??b1????x2b

???（全部按列分块，其中???2?）；

?????

???xn??bn?

④、a1x1?a2x2???anxn?

?（线性表出）

⑤、有解的充要条件：r(A)?r(A,?)?n（n为未知数的个数或维数） 4、向量组的线性相关性 1.

m个n维列向量所组成的向量组A：?1,?2,?,?m构成n?m矩阵A?(?1,?2,?,?m)；

??1T?T?2

TTT

m个n维行向量所组成的向量组B：?1,?2,?,?m构成m?n矩阵B??

???T???m

含有有限个向量的有序向量组与矩阵一一对应； 2.

①、向量组的线性相关、无关 ②、向量的线性表出

???； ????

?Ax?0有、无非零解；（齐次线性方程组）

?Ax?b是否有解；（线性方程组）

③、向量组的相互线性表示 3.

?AX?B是否有解；（矩阵方程）

矩阵Am?n与Bl?n行向量组等价的充分必要条件是：齐次方程组Ax?0和Bx?0同解；(P101例14)

T

r(AA)?r(A)；(P101例15)

4. 5.

n维向量线性相关的几何意义：

①、?线性相关 ②、?,?线性相关

???0；

??,?坐标成比例或共线（平行）；

③、?,?,?线性相关 ??,?,?共面； 6.

线性相关与无关的两套定理：

若?1,?2,?,?s线性相关，则?1,?2,?,?s,?s?1必线性相关；

若?1,?2,?,?s线性无关，则?1,?2,?,?s?1必线性无关；（向量的个数加加减减，二者为对偶） 若r维向量组A的每个向量上添上n?r个分量，构成n维向量组B：

若A线性无关，则B也线性无关；反之若B线性相关，则A也线性相关；（向量组的维数加加减减） 简言之：无关组延长后仍无关，反之，不确定； 7.

向量组A（个数为r）能由向量组B（个数为s）线性表示，且A线性无关，则r?s； 向量组A能由向量组B线性表示，则r(A)?r(B)； 向量组A能由向量组B线性表示

?AX?B有解；

8.

?r(A)?r(A,B)

向量组A能由向量组B等价??r(A)?r(B)?r(A,B)

方阵A可逆?存在有限个初等矩阵P1,P2,?,Pl，使A?P1P2?Pl；

r

①、矩阵行等价：A~B?PA?B（左乘，P可逆）?Ax?0与Bx?0同解

c

②、矩阵列等价：A~B?AQ?B（右乘，Q可逆）； ③、矩阵等价：A~B?PAQ?B（P、Q可逆）； 9.

对于矩阵Am?n与Bl?n：

①、若A与B行等价，则A与B的行秩相等；

②、若A与B行等价，则Ax?0与Bx?0同解，且A与B的任何对应的列向量组具有相同的线性相关性； ③、矩阵的初等变换不改变矩阵的秩； ④、矩阵A的行秩等于列秩； 10.

若Am?sBs?n?Cm?n，则：

①、C的列向量组能由A的列向量组线性表示，B为系数矩阵； ②、C的行向量组能由B的行向量组线性表示，A11.

T

为系数矩阵；（转置）

齐次方程组Bx?0的解一定是ABx?0的解，考试中可以直接作为定理使用，而无需证明； ①、ABx?0 只有零解???Bx?0只有零解；

②、Bx?0 12.

有非零解???ABx?0一定存在非零解；

设向量组Bn?r:b1,b2,?,br可由向量组An?s:a1,a2,?,as线性表示为：

(b1,b2,?,br)?(a1,a2,?,as)K（B?AK）

其中K为s?r，且A线性无关，则B组线性无关?r(K)?r；（B与K的列向量组具有相同线性相关性） （必要性：?r?r(B)?r(AK)?r(K),r(K)?r,?r(K)?r；充分性：反证法） 13.

注：当r?s时，K为方阵，可当作定理使用； ①、对矩阵Am?n，存在Qn?m，AQ?Em ②、对矩阵Am?n，存在Pn?m，PA?En 14.

?r(A)?m、Q的列向量线性无关；

?r(A)?n、P的行向量线性无关；

?1,?2,?,?s线性相关

?存在一组不全为0的数k1,k2,?,ks，使得k1?1?k2?2???ks?s?0成立；（定义）

??

?(?,?,?,?)?

12s

???

x1??x2

??0有非零解，即Ax?0有非零解； ???xs?

?r(?1,?2,?,?s)?s，系数矩阵的秩小于未知数的个数；

15. 16.

设m?n的矩阵A的秩为r，则n元齐次线性方程组Ax?0的解集S的秩为：r(S)?n?r；

若?为Ax?b的一个解，?1,?2,?,?n?r为Ax?0的一个基础解系，则?,?1,?2,?,?n?r线性无关；

*

*

5、相似矩阵 1.

正交矩阵?AA?E或A

T

?1

?A（定义），性质：

T

T

①、A的列向量都是单位向量，且两两正交，即aiaj??

?1?0

i?ji?j

(i,j?1,2,?n)；

②、若A为正交矩阵，则A

?1

?A也为正交阵，且A??1；

T

③、若A、B正交阵，则AB也是正交阵； 2.

注意：求解正交阵，千万不要忘记施密特正交化和单位化； 施密特正交化：(a1,a2,?,ar)

b1?a1； b2?a2?

3.

[b1,a2][b1,b1]

?b1 ??? br?ar?

[b1,ar]b[2a,r]b?r[1ar,]

?b1??b2????b?r;1

[b1,b1]b[2b,2]br?[b1r?,1]

对于普通方阵，不同特征值对应的特征向量线性无关； 对于实对称阵，不同特征值对应的特征向量正交；

第三篇：文科线性代数复习_总结精华!!

线性代数复习总结

第一章：行列式

一、概念（1）全排列与逆序数.

（2）行列式：不同行不同列元素乘积的代数和（共项）

二、性质

1、  经转置行列式的值不变

2、  某行有公因子，可以把提到行列式外

3、  某行所有元素都是两个数的和，则可写成两个行列式之和

4、  两行互换行列式变号

5、  某行的倍加到另一行，行列式的值不变

三、展开式

1、  （按第行展开） （按第列展开）

2、    

3、其中是中的代数余子式.

四、计算

1、化成上三角或下三角行列式

2、利用行列式的性质

3、利用行列式的展开式

4、用矩阵的性质,为阶方阵，则有,  

 , ,其中是方阵.

5、用特征值

第二章：矩阵

一、初等变换：

1、初等矩阵：单位阵经过一次初等变换所得的矩阵

2、初等矩阵左乘所得就是对作了一次与同样的初等行变换；初等矩阵左乘所得就是对作了一次与同样的初等列变换

3、任何矩阵都可以通过一系列初等行变换变成行阶梯型与行最简型矩阵

二、逆矩阵

1、证法：阶方阵可逆使得（或者）的特征值全不为零

2、求法：（1）用定义，找矩阵,使得，则

         (2) 初等变换法

         (3) 用伴随矩阵法,    

        （4）用分块矩阵法

3、矩阵方程    

三、矩阵的秩

1、计算：用初等变换法，用定义法

2、性质

（1）为矩阵，则有

（2）;如果可逆，则有

(3) 为阶方阵，则有;

四、矩阵运算的性质

 (其中是数)

     

为阶方阵，则有,  

方阵的幂

五、特殊矩阵

伴随矩阵，正交矩阵，对称矩阵，反对称矩阵，对角矩阵

第三章：向量

一、线性表示

向量可由向量组线性表示

存在数使得，

方程组有解（即是有解）

（即是）

二、线性相关与线性无关

1、向量组线性相关存在不全为零的数使得，

2、向量组线性无关如果则有

3、向量组线性相关（无关）方程组有非零解（只有零解）（即是有非零解（只有零解））

（即是）

其中

4、向量组，如果是方阵，则线性相关（无关）

三、最大无关组与向量组的秩

概念

求法：求向量组的秩及其最大无关组，令，然后对矩阵进行行初等变换，化到行阶梯型（或者行最简型），求出的秩，向量组的秩也是。

四、向量组的等价:互相表示

五、向量的正交，

与正交

第四章：线性方程组

（以下为矩阵，方程组为元方程组）

一、基本结论

1、只有零解  ；有非零解

2、如果是阶方阵，则只有零解  ；有非零解

3、）有唯一解

有无穷解

无解

4、如果是阶方阵，则有唯一解  且有,其中是系数行列式中把第列改为常数列，其他不变.（克莱默法则）

二、基础解系，解得结构

1、定理，的秩则得基础解系恰有个线性无关的解向量.

2、求的解，求导出组的基础解系与的一个特解

3、解的性质

若是的解，则是的解；

若是的解，是的解，则是的解.