数列的求和
教学目的：小结数列求和的常用方法，尤其是要求学生初步掌握用拆项法、裂项法和错位法求一些特殊的数列。
教学过程：
等比数列求和的补充练习：
1．设数列
的前
项和为
，当常数
满足什么条件时，数列是等比数列？
解：当
时，
当
时，
，
而时，
，要使为等比数列，必须
，即
所以时，为等比数列。
2．等比数列中，
，
，求
解：
，∴
3．等比数列中，
，求
。
解：据题
，两式相除得
，得
一、基本公式：
1.等差数列的前
项和公式：
， 
2．等比数列的前n项和公式：
当
时，
① 或
②
当
时，
二、特殊数列求和——常用数列的前n项和：
一、拆项法(分组求和法)：
例1：求数列
的前n项和。
解：设数列的通项为an，前n项和为Sn，则 
当
时，
当
时，
二、裂项法：
例2：求数列
前n项和。
解：设数列的通项为bn，则
（选讲）例3：求数列
前n项和。
解：
三、错位相减法：
例4：求数列
前n项和。
解：
①
②
两式相减：
例5：设等差数列{an}的前n项和为Sn，且
，求数列{an}的前n项和。
解：取n =1，则
又： 可得：
或解：取n =1，则
时，
{an}等差，所以
，
小结：本节课学习了以下内容：特殊数列求和：拆项法、裂项法、错位法。
板书设计：
课后反思：
第二篇：上教版高二数学教案——7.4数学归纳法1
数学归纳法（1）
教学目的：1．了解归纳法的意义，培养学生观察、归纳、发现的能力。能区分不完全归纳法与完全归纳法；学会由特殊到一般的思维方式。
2．了解数学归纳法的原理，并能以递推思想作指导，理解数学归纳法的操作步骤。
3．能用数学归纳法证明一些简单的数学命题，并能严格按照数学归纳法证明问题的格式书写。
教学重点：归纳法意义的认识和数学归纳法产生过程的分析。
教学难点：数学归纳法中递推思想的理解。
授课类型：新授课
教学过程：
一、复习引入：
问题1：这里有一袋球共十二个，我们要判断这一袋球是白球，还是黑球，请问怎么办？
方法一：把它倒出来看一看就可以了。
特点：方法是正确的，但操作上缺乏顺序性。
方法二：一个一个拿，拿一个看一个。
比如结果为：第一个白球，第二个白球，第三个白球，……，第十二个白球，由此得到：这一袋球都是白球。
特点：有顺序，有过程。
问题2：在数列
中，
，先算出
的值，再推测通项
的公式。
过程：
，
，
，由此得到：
，
解决以上两个问题用的都是归纳法。（得出归纳法的概念）
再请看数学史上的两个资料：
资料1：费马（Fermat）是17世纪法国著名的数学家，他是解析几何的发明者之一，是对微积分的创立作出贡献最多的人之一，是概率论的创始者之一，他对数论也有许多贡献。但是，费马曾认为，当n∈N时，
一定都是质数，这是他对n=0，1，2，3，4时的值分别为3,5,17,257,65537作了验证后得到的。18世纪伟大的瑞士科学家欧拉（Euler）却证明了当n=5时，
=4 294 967 297=6 700 417×641，从而否定了费马的推测。
有人说，费马为什么不再多算一个数呢？今天我们是无法回答的，但是要告诉同学们，失误的关键不在于多算一个上！
资料2：f（n）=n2+n+41，当n∈N时，f（n）是否都为质数？
f（0）=41，f（1）=43，f（2）=47，f（3）=53，f（4）=61，
f（5）=71，f（6）=83，f（7）=97，f（8）=113，f（9）=131，
f（10）=151，… f（39）=1 601．
但是f（40）=1 681=412是合数。算了39个数不算少了吧，但还不行！我们介绍以上两个资料，不是说世界级大师还出错，我们有错就可以原谅，也不是说归纳法不行，不去学了，而是要找出运用归纳法出错的原因，并研究出对策来。
对于生活、生产中的实际问题，得出的结论的正确性，应接受实践的检验，因为实践是检验真理的唯一标准。对于数学问题，应寻求数学证明。
课堂实验：（多米诺骨牌) ,多米诺骨牌游戏要取得成功，必须靠两条：
（1）骨牌的排列，保证前一张牌倒则后一张牌也必定倒；
（2）第一张牌被推倒。
用这种思想设计出来的，用于证明不完全归纳法推测所得命题的正确性的证明方法就是数学归纳法。
二、讲解新课：
1．归纳法：由一些特殊事例推出一般结论的推理方法。
特点：由特殊→一般。
2．不完全归纳法： 根据事物的部分(而不是全部)特例得出一般结论的推理方法叫做不完全归纳法。
如我们在推导涉及所有正整数的等差数列通项公式时，在考察了n=1，2，3，4几种特殊情形后得出的一般公式，就是作的一种不完全归纳。（如等差等比数列通项公式的推导）
我们已经知道，不完全归纳法所得到的命题并不能保证它成立，所以这种方法并不能作为一种论证方法；同时也应看到，不完全归纳法是研究数学的一把钥匙，是发现数学规律的一种重要手段。在问题探索中，为了寻求一般规律，往往先考察一些特例，通过对这些特例的不完全归纳形成猜想，然后再试图去证明或否定这种猜想。因而学会用不完全归纳法对问题进行探索，对提高我们的数学能力十分重要。
3．完全归纳法: 把研究对象一一都考查到了而推出结论的归纳法称为完全归纳法。
完全归纳法是一种在研究了事物的所有(有限种)特殊情况后得出一般结论的推理方法，又叫做枚举法。与不完全归纳法不同，用完全归纳法得出的结论是可靠的。通常在事物包括的特殊情况数不多时，采用完全归纳法。
4.数学归纳法:对于某些与正整数
有关的命题常常采用下面的方法来证明它的正确性：先证明当取第一个值
时命题成立；然后假设当
时命题成立，证明当
时命题也成立。这种证明方法就叫做数学归纳法。
5．数学归纳法的基本思想：即先验证使结论有意义的最小的正整数，如果
时，命题成立，再假设当时，命题成立。(这时命题是否成立不是确定的)，根据这个假设，如能推出当时，命题也成立，那么就可以递推出对所有不小于的正整数
，命题都成立。
6.用数学归纳法证明一个与正整数有关的命题的步骤：
(1)证明：当取第一个值结论正确；
(2)假设当时结论正确，证明当时结论也正确。
由(1)，(2)可知，命题对于从开始的所有正整数都正确。
三、讲解范例：
例1：用数学归纳法证明：如果
是一个等差数列，那么an=a1+(n－1)d对一切
都成立。
证明：(1)当
时，左边
，右边
，等式成立。
(2)假设当
时等式成立，即
那么当时，
即当n=k+1时，等式也成立。
由(1)和(2)可以判定，等式对任何都成立。
例2：用数学归纳法证明：
证明：(1)当时，左边
，右边，等式成立。
(2)假设当时等式成立，即
，
那么当时，
，等式也成立。
由(1)和(2)，可知等式对任何都成立。
四、课堂练习：
1.用数学归纳法证明：1+2+3+…+n=
。
证明：(1)当n=1时，左边=1，右边=
=1
∴等式成立。
(2)假设当n=k时，等式成立，即1+2+3+…+k=
，
那么当n=k+1时，
1+2+3+…+k+(k+1)=
k(k+1)+(k+1)=(k+1)(k+1)=(k+1)(k+1+1)
∴n=k+1时，等式也成立.
由(1)(2)可知等式对一切n∈N*都成立.
2.首项为
，公比为
的等比数列的通项公式是：
证明：(1)n=1时，左边，右边
∴左边=右边，等式成立。
(2)假设当时等式成立，即
，那么当时，
等式也成立。
由(1)、(2)可知等式对一切n∈N*都成立。
五、小结 ： (1)中心内容是归纳法和数学归纳法；(2)归纳法是一种由特殊到一般的推理方法，分类是完全归纳法和不完全归纳法二种，完全归纳法只局限于有限个元素，而不完全归纳法得出的结论不具有可靠性，必须用数学归纳法进行严格证明;(3)数学归纳法作为一种证明方法，它的基本思想是递推(递归)思想，它的证明步骤必须是两步，最后还要总结；(4)本节课所涉及到的数学思想方法有：递推思想、分类讨论思想、数形结合思想、函数与方程思想。
六、课后作业：书P31/1，2，3 练习册P12/2，3，4
七、板书设计（略）
八、课后反思：