《分解质因数》教学案例
分解质因数是小学数学五年级下学期的内容。这部分内容是在学习了约数、倍数、质数、合数及能被2、3、5整除的数的特征的基础上进行教学的，这部分只是主要是让学生理解质因数和分解质因数的概念。培养学生分析和概括的能力，五年级的学生已经具有一定的知识基础和概括能力，但他们还是小学生，他们的精神世界中还有强烈的发现欲和探索欲。根据学生的特点，我给学生提供了一个自主探索的平台。 教学过程：
（一） 故事引入
1643年，来自欧洲的殖民者在美洲大陆田纳地区经历了一场恐怖 ：大量的蝉达到每公顷百万只，仿佛一夜之间从地底冒出，几个星期之后，有销声匿迹，事隔17年，这一现象再次出现，直到19xx年，共出现22次，周期非常准确科学家发现蝉的生命周期大都为质数，比如在北美洲北部地区周期为17年，而在北美洲南部地区周期为13年，为什么时17和13，而不是其他数字那，科学家解释说，蝉进化的过程中选择质数为生命的周期，可以大大降低与天敌遭遇的概率。比如它的生命周期是12年，则与那些生命周期为1年、2年、3年4年、6年、12年的天敌都可能遭遇，而使得种群生存受威胁。这是一个我们将要研究的原理，引出课题——分解质因数。
（二） 探究新知
1、 游戏：我们先玩一个游戏，玩游戏之前要交代几条游戏规则：
（1） 把一个数写成两个数相乘或连乘的形式，连乘的因数越多得
分越高；
（2） 只能用非零自然数；
（3） 不能用1。
2、3、6、18、19、32、53、57、78、
学生小组讨论把这些数按游戏规则写成乘法算式。展示学生的练习，按游戏规则加分后，评出一、二名发给大、小红旗。 师：那些数能写成几个数相乘的形式，那些不能？
生1：质数不能写，因为质数只有约数1和它本身。按游戏规则不能写。
生2：合数能写，合数除了1和他本身以外还有其它约数。 师：你能用6举例说明吗？
生：6=2×3
师：这是算式分解式，现在老师告诉你们一个新写法塔式分解式。 6 （板演）
/ \
2 ×3
师：你现在会了吗？
生：会。
师：按我们的游戏规则你用塔式分解式和算式分解式分解28、60、
学生分解教师巡视。学生做完后，投影部分学生作品。 师：在乘法里，各部分有什么叫法？
生：因数、因数=积。
师：2、2和7是质数又是28的因数
2、2、3和5是质数又是60的因数
那么2、2和7是28的什么？
2、2、3和5是60的什么？
生：质因数。（随学生回答板书。）
师：引导学生读出质因数的含义。
师：60=2×2×3×5 2、2、3、5是60的因数吗？都是质因数吗？
生：是
师：刚才我们的游戏规则为什么“不能用1”？
生：因为1不是质数所以不能做质因数。
师从游戏中我们得到只有合数能分解质因数，你知道什么叫分解质因数吗？（板书）
引导
生1：把合数写成质因数的乘积
生2：把合数用质因数相乘的形式表示出来
师：判断哪个同学说的对？为什么？
生：生2的对，因为有我们的算式分解式可以看出
师：回答的非常好，一定把一个合数写成质因数相乘的形式。 教后感：
这节课我经过三次设计，三次试验，这一次效果最好。五年级学生
希望自己是一个发现者、研究者、探索者，这些都在这节课里面得到体现。下面谈谈我的认识。
创设情景，让学生产生探究欲望。苏霍姆林斯基说过，在人的内心深处都有一种根深蒂固的需要，这就是希望自己是一个发现者、研究者、探索者，在儿童的精神世界中，这种需要特别强烈。所以，应该在课堂教学中创设情景，把问题隐藏在情景之中，形成悬念，引起学生迫不及待的探索和研究。这样不仅激发学生学习数学的兴趣，同时给学生提供了自主探索的机会，让学生在自主探索中建构数学知识。
如在本案例中，传统的教学是：什么是质数？什么是合数？下面哪些数是质数？哪些数是合数？2、3、7、9、18、70。接着引出本课的课题。在这个过程中，老师讲学生作，学生被动的接受，不要说让学生感兴趣引入新知识，就是对以前知识学生也厌烦了。这种以复习习题引入的方式显然不适应新课程标准的要求。所以我在设计这节课时，以故事引入，使学生产生强烈的探究欲望，探究蝉是怎样选择生命周期的。
激发学生的学习兴趣是发挥学生在认知活动中主体作用的重要条件。因此，在这节课中我从学生的年龄特点出发，一改传统的教学方式，以游戏的形式展示本课内容。使学生在玩中总结出质因数和分解质因数的意义，使学生对质因数和分解质因数的意义理解的更透彻，掌握的更牢固。
第二篇：分解质因数(二)
分解质因数（二）
利用分解质因数的方法可以解决许多相关的数学问题，这一讲我们继续学习讨论分解质因数的问题。
例1 144的全部约数有多少个？它们所有的约数的和是多少？
解析：我们知道，凡是能整除144的数都是144的约数，约数是一对一对出现的，所以只要一一列出就可以了。而求和便只要将所有约数直接相加就可以了。但这并不是较好的方法，我们可以先分解质因数，然后将相同质因数的个数分别加上1后相乘，所得的积就是所有约数的个数。
将合数A分解质因数得：
A=
（其中
，
，
，……，
为质数，
，
，
，……，
为自然数），则约数的个数为：（+1）×（+1）×（+1）×……×（+1）。
根据上述方法，因为144=24×32，由24可知144的约数有1、2、4、8、16，由32可知144的约数有1，3，9。而144的所有约数是1、2、4、8、16中每个数与1、3、9中的每一个数分别相乘的结果（包括它们本身）。
对于数A，它的约数和用算式表示为：
解：将144分解质因数得：
144=24×32
144的所有约数的个数是：
（4+1）×（2+1）=15（个）
144的所有约数的和是：
（1+2+4+8+16）×（1+3+9）=403
答：144有15个约数，它们的所有约数的和是403。
例2 某自然数是3和4的倍数，这个数包括1和它本身在内共有10个约数，这个自然数是多少？
解析：根据“某自然数是3和4的倍数”可以知道，这个数中必定含有质因数3和2。因为这个数共有10个约数，由求约数个数的方法可以知道，10=2×5=（1+1）×（4+1），所求自然数只有质因数2和3，其中一个质因数的个数是1个，另一个质因数的个数有4个。又因为这个自然数是4的倍数，所以质因数的个数是4个的只能是2这个质因数，而3这个质因数只能是1个。
解：因为10=2×5=（1+1）×（4+1）
所以24×31=48
答：这个自然数是48。
注意：在利用求约数个数的方法进行逆推时，要处理好两个问题，一是确定好质因数的种类，另一个是确定好每类质因数的个数，此类问题答案常常不惟一。
例3 一个自然数是由5个2，3个3，2个5和1个7组成的连乘积，这个数的两位数约数中最大的一个是多少？
解析：要找出这个数的约数中是两位数且最大的一个，从这个数的质因数中去找就可以了。但这个数中有这么多的质因数，如何确定是哪些质因数呢？
我们可以换个角度来思考，最大的两位数是99，而99含有质因数11 ，所以99不符合条件，同理98和97也不符合条件，而96正好是符合题意的最大两位数。
从问题可能的结果入手，寻找符合题意的答案，有时比直接寻找问题的答案显得更加简捷。
解：96=25×31
答：这个数的两位数约数中最大的一个是96。
从可能的最大值或最小值入手，进行合理尝试，这是解决一些数学问题的有效策略。
例4 试找出所有不大于50的、约数个数为6的自然数（包括50）。
解析：此题还是从“约数个数为6”入手分析，根据求约数个数的方法知道，6有两种分解方式，即（5+1）或（1+1）×（2+1）。
第一种分解式只能含有一种质因数，且个数为5，即
，第二种分解式有两种质因数，即
，在寻找合适的自然数时，要按照从小到大的顺序依次将质因数代入。
解：根据约数的个数是6，可知：6=（5+1）=（1+1）×（2+1），
即符合题意的质因数分解式有两种。
第一种为，即25=32，而35〉50，所以舍去（以下大于50的均舍去）。
第二种为：
答：所有符合题意的自然数有12，18，20，28，32，44，45，50。
例5 把1，2，3，4，5，6，7，8，9填入到下面的算式的方框内（每个数字都要用到），并使算式成立。
□□□×□□=□□×□□=5568
解析：这道题与算术谜题有关，直接计算不能一下求出得数，只能从积5568入手进行分析。
先将5568分解质因数，因为5568=26×3×29，而题中是两个两位数相乘和三位数乘以两位数，所以将5568写成两个两位数的积就有两种情况：64×87；58×96。
对于这两种情况我们应分别讨论：先看64×87，如果先取这两个两位数，那么和三位数相乘的两位数只能取12，32和29，这时5568=12×464=32×174=29×192，其中有重复数字，不符合题意。再看58×96，那么和三位数相乘的两位数只能取32，可得：174×32=58×96=5568。
解：174×32=58×96=5568。
综合练习：
1．165的约数共有多少个？所有约数的和是多少？
2．某自然数是4和5的倍数，包括1和它本身在内共有9个约数，这个自然数是多少？
3．用一个两位数除3347，余数是83，求这个两位数。
4．幼儿园陈老师带了112元钱去商店买一种玩具若干个，由于这种玩具每个降价1元，陈老师所带的钱可以比原计划多买2个。陈老师原来准备买多少个这种玩具？
5．求不大于100的约数最多的自然数。
6．100～200之间只有3个约数的自然数有哪些？
7．小英参加学校组织的“探索与应用”数学竞赛。赛后她说：“我取得的成绩和我的岁数以及我取得的名次乘起来刚好是3916，满分是100分。”你能否知道小英的年龄、考试成绩及名次？
8．11112222枚棋子排成一个长方形阵，每一横行的棋子数比每一竖行的棋子数多一个，这个长方形阵每一横行有多少枚棋子？