整式的乘法

【教学要求】

1. 探索并了解正整数幂的运算性质（同底数幂的乘法，幂的乘方，积的乘方），并会运用它们进行计算。

2. 探索并了解单项式与单项式、单项式与多项式、多项式与多项式相乘的法则，会进行简单的整式的乘法运算。

3. 会由整式的乘法推导乘法公式，并能运用公式进行简单计算。

4. 理解因式分解的意义及其与整式的乘法之间的关系，从中体会事物之间可以相互转化的辩证思想。

5. 会用提公因式法、公式法、分组法、十字相乘法进行因式分解（指数是正整数）。

6. 让学生主动参与到一些探索过程中去逐步形成独立思考，主动探索的习惯，提高自己数学学习兴趣。

教学过程：

1. 正整数幂的运算性质：

（1）同底数幂相乘：

同底数幂相乘，底数不变，指数相加。

mnm?n即：a·a?a（m、n均为正整数） （2）幂的乘方： 幂的乘方：底数不变，指数相乘。

即：??amn

（m、n均为正整数）

（3）积的乘方：

积的乘方：等于各因数的乘方之积（把积的每一个因式分别乘方，再把所得幂相乘）。 ?am·n

即：?a·b??ambmm

（m为正整数）

注：①用同底数幂的乘法法则，首先要看是否同底，底不同，就不能用。只有底数相同，才能指数相加。

23如：a·a中底数a相同，指数2和3才能相加。

②同底数幂的乘法法则要注意指数是相加，而不是相乘，不能与幂的乘方法则中的指数相乘混淆。

③同底数幂乘法法则中，底数不一定只是一个数或一个字母，可以是一个式子，如：单项式、多项式等。

232?35x?y·x?y?x?y?x?y????????如：，其中x?y是一个多项式。 ④同底数幂乘法法则中，幂的个数可以推广到任意多个数。 2352?3?510a?b·a?b·a?b?a?b?a?b??????????如：

⑤要善于逆用积的乘方法则，有时可得不错结果，可使计算简便。 ?1??2??8?·???17?如：?2?1010?12???8???217?10?110?1

43

⑥在计算中要注意符号的变化，如：??a?与???a??的符号有区别。 43

⑦在进行幂的乘方时，要分清底数、指数，然后用法则。

2. 整式的乘法：

（1）单项式与单项式相乘

单项式与单项相乘，只要将它们的系数相同字母的幂分别相乘，对于只在一个单项式中出现的字母，则连同它的指数一起作为积的一个因式。

注：在进行单项式乘法时，可分别按系数各单项式中都含有的字母进行计算，有乘方的要先算乘方。

?1??3xy·xyz·??xy??3? 如：?2?32

??27x6y3·xyz·122xy9

1?????27??·x6·x·x2·y3·y·y2·z?9?????

??3xyz

（2）单项式与多项式相乘

单项式与多项式相乘，只要将单项式分别乘以多项式的各项，再将所得积相加，用式子表示如下：

96

注：单项式与多项式相乘的关键是转化，即运用乘法对加法的分配律将单项式乘以多项式转化为单项式乘以单项式，计算时要注意符号。

如：?2xx2?3x?2??ma?mb?mc（其中a、b、c、m都是单项式） ??

??2x·x2???2x?·3x???2x?·2 ??2x?6x?4x

（3）多项式与多项式相乘

多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项分别乘以另一个多项式的每一项，再把所得的积相加，用式子表示如下：

32

?b????am?an?bm?bn

注：a. 进行多项式乘法的关键是两次转化：第一次是把其中一个多项式看

作一项，运用分配律将多项式乘法转化为单项式乘以多项式。第二次是将单项式乘以多项式转化为单项式乘法。

b. 多项式乘法计算时注意不能漏项。

c. 多项式乘法计算时要注意符号，是同类项的一定要合并，最后对结果按某个指定的字母进行升（降）幂排列。 3. 乘法公式：

22（1）平方差公式：?a?b??a?b??a?b，即两数和与它们的差的积等于这

两数的平方差。

注：a. 运用平方差公式的关键是正确识别两数（或式），即看是哪两个数（或式）的和与差的积。

如：??m?1??1?m?可以写成??m??1??m??1 即：??m?与1的和与差的积。 22a?ba?b?a?b????b. 在平方差公式中，字母a、b可以表示具体的数（正????数、负数）、字母、单项式，也可以表示一个多项式，只要式子符合公式的结构特征，或变形后符合公式的结构特征，就可以运用公式进行计算。 如：?a?b?c??a?b?c?

??a??b?c???a??b?c??

2?a??b?c? 2 222a?b?a?2ab?b??（2）完全平方公式：，即两数的和（差）的平方，等于它们的平方和加上（减去）它们乘积的2倍。

注：a. 在运用完全平方公式时要注意符号与项数，不要漏掉中间的乘积项。 b. 三项式的平方，也可以写成两项和与第三项和的完全平方。

2a?2b?3c??如： ??a??2b?3c??2

22 ?a?2a?2b?3c???2b?3c?

c. 在综合运用公式时，要分清不同的公式的结构特征和不同的计算结果。

4. 因式分解：

（1）因式分解定义：把一个多项式化为几个整式的乘积形式，就是因式分解。

（2）公因式：多项式中各项都含有公共因式。

注：找公因式方法：a. 系数部分要提出各项系数的最大公因数。 b. 字母部分要找出相同字母。 23327xy?28xy中公因式为c. 指数部分要找出相同字母的最低次幂。如：

7x2y2。

（3）提公因式法：一般地，如果多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提到括号外面，将多项式写成因式乘积的形式，这种方法叫做提公因式法。 如：ma?mb?mc?m?a?b?c?

注：a. 当多项式的首项系数为负数，提公因式时要将负号提出，使括号内第一项的系数是正的，且要注意括号内其他各项的变号。如：?5a3?5ab??5aa2?b??。

b. 当公因式是多项式时，引入“整体”概念，只要把这个多项式看成一个“整体”或一个字母，按照提字母公因式一样提出即可。如：2a?b?c??3?b?c???b?c??2a?3?。

c. 有时需要对多项式的项进行适当的变形之后才能提公因式，这时要注意各项的符号变化。

如：6?x?2??x?2?x??6?x?2??x?x?2???x?2??6?x? （4）公式法： 22a?b??a?b??a?b? 平方差公式：2?完全平方公式：a?2ab?b??a?b? 2

注：a. 用公式法因式分解时，关键是掌握公式的结构特征。

b. 两种方法的综合运用是难点：一般情况下是先考虑是否可提公因式，然后，再运用公式法，要求分解时要分解到不能分解为止。分解之后，有时要合并

2x3?8x?2xx2?4?2x?x?2??x?2?同类项，即“一提，二套，三化简”。如：。 ??

另外补充两种因式分解方法： 2x（1）十字相乘法：??a?b?x?ab??x?a??x?b?

（2）分组分解法：四项式：二二分组或三一分组，分组后能提公因式继续分解，或分组后用公式，最终达到将四项式最后写成几个整式积的形式。

2如：x?5x?6 2?x??3?2?x?3?2 ??x?3??x?2?

x2?y2?ax?ay?x2?y2??ax?ay???x?y??x?y??a?x?y???x?y??x?y?a???

第二篇：整式的乘法

整式的乘法

一、  教学内容分析：

北师大版课标初中数学七年级数学上册第一章整式的运算第6节第一课时。

“整式的乘法”是整式的加减的后续学习从幂的运算到各种整式的乘法，整章教材都突出了学生的自主探索过程，依据原有的知识基础，或运用乘法的各种运算规律，或借助直观而又形象的图形面积，得到各种运算的基本法则、两个主要的乘法公式及因式分解的基本方法学生自己对知识内容的探索、认识与体验，完全有利于学生形成合理的知识结构，提高数学思维能力。

二、  学生学习情况分析

    在很多人的印象中，代数除了繁琐的计算就是空洞的符号，是一门内容枯燥、脱离实际的课程，事实上，代数是一门具有丰富内容并且与现实世界、学生生活、其他科学联系十分密切的学科，同时代数也是一门基础的数学学科，它为数学本身和其他学科的研究提供了语言、方法和手段。它的符号表示手段，深刻的揭示了存在于一类实际问题中的共性，有助于人们对现实世界的认识；它的运用代数式、表格、图像等多种表示的方法，不仅为解决实际问题提供了重要的策略，而且为数学交流提供了有效的途径；它的模型化的方法、表示的思想、方程的思想、函数的思想以及推理的方法等也为数学本身和其他学科的研究提供了基础。

    本节在呈现形式上力求突出：整式运算产生的实际背景——使学生经历实际问题“符号化”的过程，发展符号感；有关运算法则的探索过程——为探索有关运算法则设置了归纳、类比等活动；对算理的理解和基本运算技能的掌握——设置恰当数量和难度的符号运算，同时要求学生说明运算的根据。

    在整式的乘法教学中，教师应该关注以下三点：

第一、注重对运算法则的探索过程以及对算理的理解，发展有条理的思考与表达。

教科书为学生探索运算法则提供了较为丰富的素材，教学中不要简单的要求学生记忆各种运算法则，而要关注学生对法则的探索过程。同时，要重视学生对算理的理解，让学生尝试说出每一步运算的道理，有意识的培养他们有条理的思考和语言表达能力。例如，对于“多项式乘法运算法则”的学习，老师要鼓励学生通过对同一面积的不同表达和乘法分配率的运用两个方面，探索多项式相乘的运算法则，并体会乘法分配律的重要作用及转化思想。

第二、注重在代数学习中发展学生的推理能力。

《全日制义务教育数学课程标准（实验稿）》要求学生“能通过观察、实验、归纳、类比等获得数学猜想，并进一步寻求证据、给出证明或举出反例；能清晰有条理地表达自己的思考过程，做到言之有理、落笔有据；在与他人交流的过程中，能运用数学语言、合乎逻辑的进行讨厌与质疑”，也就是数学教学应培养学生推理能力。也许有人认为平面几何对发展学生逻辑推理能力有着重要作用，因此它就是培养学生推理能力的主要载体。事实上，逻辑推理只是推理中的一个方面，数学学习和研究还包括观察、实验、归纳、类比等合情推理的另一个方面；即使是逻辑推理能力的培养，也不应局限于平面几何，甚至并不局限于数学学科。总之数学学习的各个领域，包括代数、空间与图形、统计与概率等，都应该对全面发展学生的推理能力起到应有的作用。

第三、保证基本的运算技能，避免复杂的运算。

符号运算对数学来说是必不可少的，基本运算技能是学生学习本章内容的一个重要目标。因此，教学中必须要适当地、分阶段地提供一些必要的训练，使学生能准确地进行基本的符号运算，并能明白每一步的算理。

三、设计理念：

在教学中先对所学知识进行回顾，再从实际问题导入，让学生自己动手试一试，主动探索；在教学过程中引导学生参照引例解决方法，教师先不给出单项式与单项式相乘的运算法则，而是让学生先独立思考，再相互交流，然后由学生自己小结出如何进行单项式的乘法，在探索新知的过程中让学生体会从特殊到一般，从具体到抽象的认识过程．在这一过程中，要注意留给学生探索与交流的空间，让学生在自己的实践中获得单项式与单项式相乘的运算法则，从而构建新的知识体系．在此基础上要求学生用语言叙述这个性质，这有利于提高学生数学语言的表述能力。

四、教学目标：

(一)教学知识点

1.经历探索单项式与单项式相乘的运算法则的过程，会进行单项式与单项式相乘的运算。

2.理解单项式与单项式相乘的算理，体会乘法交换律和结合律的作用和转化的思想。

(二)能力训练要求

1.发展有条理的思考和语言表达能力。

2.培养学生转化的数学思想。

(三)情感与价值观要求

在探索单项式与单项式相乘的过程中，利用乘法的运算律将问题转化，使学生从中获得成就感，培养学习数学的兴趣。

五、教学重点和难点：

1、教学重点：单项式与单项式相乘的运算法则及其应用。

2、教学难点：灵活地进行单项式与单项式相乘的运算。

六、教学过程

第一部分——情景引入

为支持北京申办20##年奥运会，一位画家设计了一幅长6000米、名为“奥运龙”的宣传画。受他的启发，京京用两张同样大小的纸，精心制作了两幅画，如图1－16所示，第一幅画的画面大小与纸的大小相同，第二幅画的画面在纸的上、下方各留有x米的空白。

图1－16

(1)第一幅画的画面面积是       米²；

(2)第二幅画的画面面积是       米²。

【设计意图】：初中学生已经具有一定的生活经验和部分的科学知识，因此选择感兴趣的、与其生活实际密切相关的素材，此情景设计应该有助于学生对知识的发生发展的理解。这个生活问题很好地引入了单项式乘单项式的运算，并为单项式乘单项式的运算法则探索做了铺垫。

第一部分——例题讲解

［例1］计算：(1)(2xy²)·(xy)；      (2)(－2a²b³)·(－3a)；

【分析】：让学生现学现卖，用上面的计算法则就可以得到答案。

第二部分——复习回顾乘法交换律、结合律和同底数幂的运算性质来探讨单项式乘单项式的法则

让学生自主思考如何解决问题：结果可以表达的更简单些吗？

【分析】：x·(mx)

=m·(x·x)——乘法交换律、结合律

=mx²——同底数幂乘法运算性质

(mx)·(x)

=(m)(x·x)——乘法交换律、结合律

=mx²——同底数幂乘法运算性质

类似地，3a²b·2ab³和(xyz)·y²z也可以表达得更简单些吗？

【学生自主探究】：3a²b·2ab³

=(3×2)·(a²·a)·(b·b³)——乘法交换律、结合律

=6a³b⁴——同底数幂乘法运算性质

(xyz)·y²z

=x·(y·y²)·(z·z)——乘法交换律、结合律

=xy³z²——同底数幂乘法的运算性质

【教师总结】：单项式与单项式相乘，把它们的系数、相同字母的幂相乘，其余字母连同它的指数不变，作为及的因式。

第二部分——例题讲解

［例2］计算：(1)2ab(5ab²+3a²b)；    (2)(ab²－2ab)·ab；

【分析】：让学生现学现卖，用上面的计算法则就可以得到答案。

第三部分——引入新课

为支持北京申办奥运会，京京受画家的启发曾精心制作了两幅画，我们已欣赏过。宁宁也不甘落后，也作了一幅画，如图1－17：

图1－17

    (1)宁宁也作了一幅画，所用纸的大小与京京的相同，她在纸的左右两边各留了x米的空白，这幅画的画面面积是多少？

一方面，可以先表示出画面的长与宽，由此得到画面的面积为       ；

另一方面，也可以用纸的面积减去空白处的面积，由此得到画面的面积为       。

这两个结果表示同一画面的面积，所以       。

(2)如何进行单项式与多项式相乘的运算？

【学生自主探究】：根据题意可知画面的长为(mx－x－x)即(mx－x)米，宽为x米，所以画面的面积为x(mx－x)米²。

【分析】：先由学生回答问题，教师再引导学生计算所要求的面积，根据面积公式，获得单项式乘多项式的式子。

【设计意图】：根据以前所学过的图形面积求法，求出所需求出的面积，进而得到单项式与多项式的乘法表达式

问题2：x(mx－x)与mx²－x²都表示画面的面积，它们是什么关系呢？

【学生自主探究】：乘法分配律a(b+c)=ab+ac.所以x(mx－x)就需用x去乘括号里的两项即mx和－x,再把它们的积相加，即x(mx－x)=x·(mx)+x·(－x)=mx²－x²。

【设计意图】：根据之前学过的乘法分配律让学生自己动手找出解决问题的方法，进而探索单项式乘多项式的法则。

【教师总结】：单项式乘多项式就是根据分配律用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加。

第三部分——探究多项式乘多项式

利用下面长方形卡片中的任意两个，拼成一个更大的长方形。

   

图1－18

［生］用上面卡片中的任意两个拼出如下图形：

    

图1－19

［师］你能用不同的形式表示上面四个图形的面积吗？

【学生自主探究】：图A的面积可以表示为(n+a)m，也可以表示为nm+am；

图B的面积可以表示为n(m+b),也可以表示为nm+nb；

图C的面积可以表示为b(n+a),也可以表示为bn+ab；

图D的面积可以表示为a(m+b),也可以表示为am+ab。

由上面的同一图形不同的面积表示方程可得：

(n+a)m=nm+am；   n(m+b)=nm+nb；

b(n+a)=bn+ab；     a(m+b)=am+ab。

问题2如果再把A、B、C、D四个图形进一步摆拼，会得到比它们更大的长方形。你能用不同的形式表示这个图形的面积吗？并进行比较。

【学生自主探究】：上面的图形可以看成长为(m+b)、宽为(n+a)的长方形，其面积是(m+b)(n+a)；上面的图形还可以看成图A和图C两个图形组成的，其面积是m(n+a)+b(n+a)；还可以看成是四个小长方形的组合，其面积是mn+ma+bn+ba这三种方法表示同一图形的面积。因此，它们是相等的，即

(m+b)(n+a)=m(n+a)+b(n+a)=mn+ma+bn+ba.

【设计意图】：.通过拼更大的长方形，对比同一面积的不同表示方式，使学生对多项式与多项式的乘法有一个直观认识，再从代数角度去探索多项式与多项式乘法的运算法则。

【教师总结】：多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加。

第三部分——例题讲解

［例3］计算：(1)(1－x)(0.6－x);    (2)(2x+y)(x－y);

【分析】：让学生现学现卖，用上面的计算法则就可以得到答案。

试一试，计算：(a+b+c)(c+d+e)

【教师讲解】：(a+b+c)(c+d+e)

=a(c+d+e)+b(c+d+e)+c(c+d+e)

=ac+ad+ae+bc+bd+be+c²+cd+ce

第四部分——巩固练习

课本随堂练习一（1）、（2）、（3）、（4）

【设计意图】：练习一的设计与例一衔接，主要目的是帮助学生巩固多项式乘多项式的方法。

第五部分——小结与作业

学生自我总结

作业：1.课本P₂₈，习题1.10第1、2题.

2.归纳总结整式的乘法运算，并写出体会、经验在全班交流。

七、教学反思

    这部分内容是在学习了有理数的四则混合运算、幂的定义、合并同类项、去括号、整式的加减、幂的有关运算法则内容的基础上进行的，它是前面知识的延伸，具有承前启后的作用，承前是继整式的加减之后而学习，启后是它是学习整式的除法、分式的运算、函数、二次方程的解法学习以及进行整式的加、减、乘、除综合运算的基础。整式的乘法这一部分内容主要分成三部分内容。

    第一部分是单项式乘单项式，这一部分内容主要是要注意运算的法则依据是乘法的交换律，分成三步计算：一是各个单项式的系数相乘，二是同底数幂相乘，三是单独的字母照抄。这部分的计算中往往会混合了积的乘方，要注意运算的顺序，有乘方的要先算乘方，后算乘法，积的乘方应注意复习巩固。

    第二部分是单项式乘多项式，这一部分内容是第一部分的延伸，其依据是乘法分配律，要注意有乘方运算时的运算顺序以及符号的确定，还要注意分配律的复习。

第三部分内容是多项式乘多项式，注意带符号运算以及不要漏乘。混合运算是一个难点，在混合运算中注意括号运算，不要漏括号。

    在整个这一部分的内容教学中，难点与易错点主要是：一、符号不能正确的判断，其中主要是没有注意带符号运算或者没有注意整体思想，漏掉括号或者去括号错误。二、同时注意整体思想的渗透，作为整体的相反数的的变形，根据指数的奇偶性来判断符号。三、混合运算中符号及各种运算法则混淆不清，运用还不够熟练。对这些问题的解决除了加强基本法则运用之外，还应对于综合题目多加练习，以达到巩固提高的目的。