正弦定理、余弦定理的应用
教学目的：1
进一步熟悉正、余弦定理内容；
2能够应用正、余弦定理进行边角关系的相互转化；
3能够利用正、余弦定理判断三角形的形状；
4能够利用正、余弦定理证明三角形中的三角恒等式
教学重点：利用正、余弦定理进行边角互换时的转化方向
教学难点: 三角函数公式变形与正、余弦定理的联系
教学方法：启发引导式
1启发学生在证明三角形问题或者三角恒等式时，要注意正弦定理、余弦定理的适用题型与所证结论的联系，并注意特殊正、余弦关系的应用，比如互补角的正弦值相等，互补角的余弦值互为相反数等；
2引导学生总结三角恒等式的证明或者三角形形状的判断，重在发挥正、余弦定理的边角互换作用
教学过程：一、复习引入：
正弦定理：
余弦定理：
，
二、讲解范例：例1在任一△ABC中求证：
证：左边=
=
=0=右边
例2 在△ABC中，已知
，
，B=45° 求A、C及c
解一：由正弦定理得：
∵B=45°＜90° 即b＜a ∴A=60°或120°
当A=60°时C=75° 
当A=120°时C=15° 
解二：设c=x由余弦定理 
将已知条件代入，整理：
解之：
当
时
从而A=60° ，C=75° 当
时同理可求得：A=120° ，C=15°
例3 在△ABC中，BC=a, AC=b, a, b是方程
的两个根，且
2cos(A+B)=1 求（1）角C的度数 （2）AB的长度 （3）△ABC的面积
解：（1）cosC=cos[p-(A+B)]=-cos(A+B)=-
∴C=120°
（2）由题设：
∴AB2=AC2+BC2-2AC•BC•osC
即AB=
（3）S△ABC=
例4 如图，在四边形ABCD中，已知AD^CD, AD=10, AB=14, ÐBDA=60°, ÐBCD=135° 求BC的长
解：在△ABD中，设BD=x
则
即
整理得：
解之：
（舍去）
由余弦定理： 
∴
例5 △ABC中，若已知三边为连续正整数，最大角为钝角，1°求最大角 ;
2°求以此最大角为内角，夹此角两边之和为4的平行四边形的最大面积
解：1°设三边
且
∵C为钝角 ∴
解得
∵ ∴
或3 但时不能构成三角形应舍去
当
时 
2°设夹C角的两边为
S
当
时S最大=
例6 在△ABC中，AB＝5，AC＝3，D为BC中点，且AD＝4，求BC边长
分析：此题所给题设条件只有边长，应考虑在假设BC为ｘ后，建立关于ｘ的方程而正弦定理涉及到两个角，故不可用此时应注意余弦定理在建立方程时所发挥的作用因为D为BC中点，所以BD、DC可表示为
，然用利用互补角的余弦互为相反数这一性质建立方程
解：设BC边为ｘ，则由D为BC中点，可得BD＝DC＝，
在△ADB中，cosADB＝
在△ADC中，cosADC＝
又∠ADB＋∠ADC＝180°
∴cosADB＝cos（180°－∠ADC）＝－cosADC
∴
解得，ｘ＝2, 所以，BC边长为2
评述：此题要启发学生注意余弦定理建立方程的功能，体会互补角的余弦值互为相反数这一性质的应用，并注意总结这一性质的适用题型
另外，对于本节的例2，也可考虑上述性质的应用来求解sinA，思路如下：
由三角形内角平分线性质可得
，设BD＝5ｋ，DC＝3ｋ，则由互补角∠ADC、∠ADB的余弦值互为相反数建立方程，求出BC后，再结合余弦定理求出cosA，再由同角平方关系求出sinA
三、课堂练习：
1半径为1的圆内接三角形的面积为0．25，求此三角形三边长的乘积
解：设△ABC三边为a，b，c则Ｓ△ABC＝
∴
又
，其中R为三角形外接圆半径
∴
, ∴abc＝4RS△ABC＝4×1×0．25＝1
所以三角形三边长的乘积为1
评述：由于题设条件有三角形外接圆半径，故联想正弦定理：
，其中R为三角形外接圆半径，与含有正弦的三角形面积公式Ｓ△ABC＝发生联系，对abc进行整体求解
2在△ABC中，已知角B＝45°，D是BC边上一点，AD＝5，AC＝7，DC＝3，求
AB
解：在△ADC中，
cosC＝
又0＜C＜180°，∴sinC＝
在△ABC中，
∴AB＝
评述：此题在求解过程中，先用余弦定理求角，再用正弦定理求边，要求学生注意正、余弦定理的综合运用
3在△ABC中，已知cosA＝
，sinB＝
，求cosC的值
解：∵cosA＝＜
＝cos45°，0＜A＜π ∴45°＜A＜90°, ∴sinA＝
∵sinB＝＜＝sin30°，0＜B＜π ∴0°＜B＜30°或150°＜B＜180°
若B＞150°，则B＋A＞180°与题意不符 ∴0°＜B＜30° cosB＝
∴cos（A＋B）＝cosA·cosB－sinA·sinB＝
又C＝180°－（A＋B）
∴cosC＝cos［180°－（A＋B）］＝－cos（A＋B）＝－
评述：此题要求学生在利用同角的正、余弦平方关系时，应根据已知的三角函数值具体确定角的范围，以便对正负进行取舍，在确定角的范围时，通常是与已知角接近的特殊角的三角函数值进行比较
4.在△ABC中已知a＝2bcosC，求证：△ABC为等腰三角形
证：欲证△ABC为等腰三角形可证明其中有两角相等，因而在已知条件中化去边元素，使只剩含角的三角函数由正弦定理得a＝
∴2bcosC＝，即2cosC·sinB＝sinA＝sin（B＋C）＝sinBcosC＋cosBsinC
∴sinBcosC－cosBsinC＝0 即sin（B－C）＝0，∴B－C＝ｎπ（ｎ∈Ｚ）
∵B、C是三角形的内角，∴B＝C，即三角形为等腰三角形
四、小结 通过本节学习，我们进一步熟悉了三角函数公式及三角形的有关性质，综合运用了正、余弦定理求解三角形的有关问题，要求大家注意常见解题方法与解题技巧的总结，不断提高三角形问题的求解能力
五、课后作业：
课后记： 1正、余弦定理的综合运用余弦定理是解斜三角形中用到的主要定理，若将正弦定理代入得：sin2A＝sin2B＋sin2C－2sinBsinCcosA
这是只含有三角形三个角的一种关系式，利用这一定理解题，简捷明快。
［例1］在△ABC中，已知sin2B－sin2C－sin2A＝
sinAsinC，求B的度数
解：由定理得sin2B＝sin2A＋sin2C－2sinAsinCcosB，
∴－2sinAsinCcosB＝sinAsinC
∵sinAsinC≠0 ∴cosΒ＝－
∴B＝150°
［例2］求sin210°＋cos240°＋sin10°cos40°的值
解：原式＝sin210°＋sin250°＋sin10°sin50°
在sin2A＝sin2B＋sin2C－2sinBsinCcosA，令B＝10°，C＝50°，则A＝120°
sin2120°＝sin210°＋sin250°－2sin10°sin50°cos120°
＝sin210°＋sin250°＋sin10°sin50°＝（）2＝
［例3］在△ABC中，已知2cosBsinC＝sinA，试判定△ABC的形状
解：在原等式两边同乘以sinA得：2cosBsinAsinC＝sin2A，由定理得sin2A＋sin2C－sin2Β＝sin2A， ∴sin2C＝sin2B∴B＝C故△ABC是等腰三角形
2一题多证:
［例4］在△ABC中已知a＝2bcosC，求证：△ABC为等腰三角形
证法一：欲证△ABC为等腰三角形可证明其中有两角相等，因而在已知条件中化去边元素，使只剩含角的三角函数由正弦定理得a＝
∴2bcosC＝，即2cosC·sinB＝sinA＝sin（B＋C）＝sinBcosC＋cosBsinC
∴sinBcosC－cosBsinC＝0 即sin（B－C）＝0，∴B－C＝ｎπ（ｎ∈Ｚ）
∵B、C是三角形的内角，∴B＝C，即三角形为等腰三角形
证法二：根据射影定理，有a＝bcosC＋ccosB，
又∵a＝2bcosC∴2bcosC＝bcosC＋ccosB∴bcosC＝ccosB，即
又∵
∴
即tanB＝tanC
∵B、C在△ABC中，∴B＝C∴△ABC为等腰三角形
证法三：∵cosC＝
∴
化简后得b2＝c2∴b＝c ∴△ABC是等腰三角形
解三角形的应用教学反思
按照新课程理念的要求，数学教学应该是建立在学生的认知发展水平和已有的知识经验基础之上，教师应激发学生的学习积极性，向学生提供充分从事数学活动的机会，帮助他们在自主探索和合作交流的过程中真正理解和掌握基本的数学知识和技能、数学思想和方法，获得广泛的数学活动经验。在教学活动中，学生是数学学习的主人，教师是数学学习的组织者、引导者和合作者。本节课就是本着这一目的，使学生在熟练掌握三角形的解法的基础上，能将一些实际问题转化为解三角形的数学问题，从而培养学生分析问题和解决问题的能力。
在原来课的设计中，本节课课堂练习4为讲解题，为了充分发挥学生的主观能动性，在正式上课时，原方案改为课堂练习，由学生证明，并试着找出不同证法。看上去最后的达成度是一样的，但后者更注重于思维的发展，更注重过程研究，学生通过小组讨论，大胆地发表意见，提高了学生学习数学的兴趣。虽然这个研究过程影响了课的一部分进程，但能够使学生自己通过正余弦定理解决具体问题的证明，这本身是一个质的飞跃。在教学过程中，我还注重引导学生运用方程思想解决实际问题，数学思想方法的渗透使学生的能力发展先于知识能力，从而促进学生知识能力的提高。
在教学中，我还注重对学生进行数学学习方法的指导。在数学学习中，有一些学生往往不注重基本概念、基础知识，认为只要会作题就可以了，结果往往失分于选择题、填空题等一些概念性较强的题目。通过引导学生进行知识梳理，教会学生如何进行知识的归纳、总结，进一步帮助学生理解、掌握基本概念、基础知识。
本节课是我对新课程理念的初次尝试，存在许多缺陷，促使我进一步研究和探索。我们必须清醒地认识到，课程改革势在必行，在教学中加入新的理念，发挥传统教学的基础性和严谨性，不断地改善教法、学法，才能适应现代教学。