数学广角—等量代换

教学目标

1、使学生在解决实际问题的过程中，初步体会等量代换的数学思想方法。

2、通过观察、操作、交流等活动掌握用等量代换解决问题的思路，培养学生观察、分析和推理能力。

3、经历解决问题的全过程，感受等量代换与生活的密切联系及应用价值。

教学重难点

1.运用等量代换的数学思想方法解决实际问题;

2.掌握等量代换解决问题的思路

教材解析

《数学广角—等量代换》这节课是人教版义务教育课程标准实验教科书小学数学三年级下册第九单元“数学广角”的第2课时。 “等量代换”是数学中的一种基本的思想方法，是代数思想方法的基础。本课旨在通过解决一些实际问题，使学生初步体会等量代换的思想方法。

“系统而有步骤地渗透数学思想方法，尝试把重要的数学思想方法通过学生可以理解的简单形式，采用生动有趣的事例呈现出来”是人教版课标实验教材总体设想之一，“等量代换”这一课，教材通过呈现两个小朋友在水果市场上称东西这一日常生活事例，从而引出本节课要探究的数学问题。在称东西这个大场景的下面，教材又呈现了三幅天平图，利用天平的原理，当天平两边平衡时，左右两边的物体同样重，让学生直观理解“一个西瓜和4千克的砝码一样重”、“4个苹果和1千克的砝码一样重”这两个等量关系，在此基础上，引发学生去探究解决“一个西瓜和几个苹果一样重”的问题。

教学过程

一、 谈话引入，揭示课题

今天，老师将和大家一起走进数学广角。数学广角里有很多有趣的数学问题，让我们赶紧去看看吧。出示课题：数学广角

二、 引导观察，体验等量

1、 呈现问题情景，提出问题。（课件动态演示例2的教学情景。）

情景（一）小明和小红称西瓜。引出问题：天平两边平衡了，这说明了什么？

情景（二）小明和小红称苹果。引出问题：通过观察，你又知道了什么？你是怎样知道的？

2、观察天平图，获取信息

出示称西瓜、苹果的天平图，说一说你获得了哪些信息？

3、引导形成等式图

1个西瓜和4千克的砝码这两个量之间，我们可以用一个什么数学符号连接？为什么？ 根据学生的回答，板书等式图

:

4、认识“等量”

师：1个西瓜和4千克砝码重量相等，我们就可以说这两个量是“等量”。板书：等量

5、讨论交流，进一步理解“等量”。

（1）说一说谁和谁是等量？还有谁和谁是等量？

（2）西瓜和苹果都和谁有等量关系？

6、提出问题：西瓜和苹果都与1千克砝码有等量关系，那西瓜与苹果之间又有怎样的等量关系？请提出一个数学问题。（根据学生的回答，用课件出示问题的天平图，板书问题的等式图。）

三、直观操作，体验等量代换

1、解决问题：1个西瓜=？个苹果

师：你能借助已知的两个等量关系，解决一个西瓜和几个苹果一样重的问题吗？请同学们独立思考，如果有困难，可借助学具摆一摆，然后在小组内说一说自己的想法。

2、汇报交流：说一说你是从哪个条件入手？怎样想？

3、引导从不同的解决方法中发现共同点。

提出质疑：同学们解决这个问题的思路各有不同，但是都是用的几个苹果去换1个砝码？如果这里用3个苹果换1个砝码，你们认为行吗？为什么？

4、理解等量代换。

师：在解决1个西瓜和几个苹果一样重的问题中，必须要用4个苹果去换1个砝码。用相等的量去代替、去交换，也就是等量代换。等量代换是一种重要的数学思想和方法。板书：等量代换

5、引导归纳用等量代换解决问题的基本思路。

质疑交流：（1）同学们在解决1个西瓜和几个苹果一样重的问题时，都是从哪个条件入手？为什么？

（2）根据这个条件，确定把什么换成什么？再根据什么条件确定怎样代换呢？

过渡语：通过解决这个问题，我们初步认识了用等量代换的方法解决问题的思路，下面我们运用这种思路来解决实际问题看看。

四、灵活运用，解决实际问题

1、试一试：一个西瓜和4个1千克砝码一样重，三个梨子和1个1千克砝码一样重。一个西瓜和几个梨子一样重？

（1）理解图意：根据图上所示，已知哪些等量关系？要解决什么问题？

（2）独立思考：要建立西瓜和梨之间的等量关系，应该从哪个条件入手？把什么换成什么？

（3）汇报交流。（课件演示等量代换的过程）

过渡语：我们解决了一个西瓜和几个梨子一样重的问题，接下来正在玩翘翘板的小动物们也有一个疑难问题等着我们来帮助解决呢。请看——

2、做一做：教材第109页

（1） 理解图意：说一说已知哪些等量关系？问题是什么？

（2） 独立思考：解决这个问题应该从哪个条件入手？确定把什么换成什么？

（3） 提出质疑，引导交流，形成解决问题的思路。

师：问题中是2头牛，可是条件中是1头牛，牛的数量不相同，该怎么办呢？请同学们独立思考，再在小组内交流一下自己的想法。

（4） 引导归纳：当问题和条件中相同物体的数量不相同时，我们可以先想办法统一，使之转化成一道基本的等量代换的题目，然后用等量代换的思路进行解决。

3、练一练：教材第111页第3题。

（1） 理解题意：默读题目，已知哪些信息？ 要解决什么问题？

（2） 建立等量：该怎样表示出这道题的等量关系呢？先独立思考，再在小组内议一议，然后在本子上用自己喜欢的方式表示出来。

（3） 交流反馈不同的表示方法。

（4） 根据这些等量关系，独立解决问题。

（5） 全班交流，展示不同的解决问题的思路。

小结：同学们，你们真棒。这样一个复杂的问题都能解决。当一个问题比较复杂，数量关系难以理解时，我们可以借助图或符号表示出题目中的等量关系，再用等量代换的解题思路进行解决。

五、全课小结：通过这节课的学习，你们有什么收获？

六、作业：教材第111页第4、5题.

教学反思

“等量代换”是一种很抽象的数学思想方法，学生理解起来有一定困难。作为执教者，怎样让孩子们在数学活动中去经历这种数学思想的感性积累？去获得一种数学方法的领悟呢？怎样才能让孩子们通过数学思考，灵活地运用“等量代换”来解决实际问题呢？带着这些

思考，我尝试以直观体验为主线，由直观感受等量关系到操作体验等量代换，由浅入深，由易到难，层层递进。从课堂上孩子们展现的思维过程中，使我欣喜地看到：孩子们在有经历、有体验的数学活动中，通过有效的数学思考，很好地掌握了“等量代换”这种数学思想方法。

一、关注体验过程，促进对“等量代换”的感悟

为理解“等量”的含义，教材呈现了称西瓜和苹果的天平图，旨在利用天平的原理，让学生直观感知什么是“等量”。在研读教材时，我思考：教材呈现的天平图是静止的，它反映的是西瓜和砝码，苹果和砝码之间的等量关系，那是不是这样就够了呢？仅此就能使学生深入理解“等量”的含义吗？基于这些思考，我设计用多媒体课件动态演示天平称西瓜和苹果的全过程。课上，学生聚精会神地观察天平的左边放1个西瓜，天平的右边一个一个地增加砝码，当放了2个一千克砝码时，学生情不自禁地发出“1个西瓜等于3千克”的猜想声，随着第3个砝码放上去后，学生观察到这时天平两边还是不平衡，又兴奋地猜想“一个西瓜重4千克”，当第4个砝码放到天平的右边，学生发现天平两边平衡了，都高兴地喊起来“4千克，4千克。”学生经历这样一个从不等量到等量的变化过程，从而获得“等量” 关系形成的体验，有效促进了学生对“等量”的感悟。

当“1个西瓜和几个苹果一样重”的问题抛出后，学生们开始思考。我看见：有的学生拿出椭圆、长方形、圆形等图片，不知所措；还有的学生拿出西瓜、砝码、苹果图片，在尝试操作。片刻后，我看见有学生摆出了“1个砝码换成4个苹果，4个砝码换成16个苹果”的交换过程。正是在这样的摆一摆、换一换、算一算的数学活动中，学生感悟到“等”是“换”的必要条件。学生在亲历知识的形成过程中，建立了等量代换的直观表象，感悟到等量是如何进行代换的。

二、关注数学思考，建立“等量代换”问题模型

随着对“等量代换”问题的直观感知，隐藏在直观感知中的数学思想方法会逐渐显现出来，而这种数学思想方法的掌握则需要通过数学思考来实现。在这样一个“朦朦胧胧”、“似有所悟”的关键时刻，作为教师就应抓住知识的发展点，进行及时地启发与指导，直至产生顿悟。

如：反馈解决“1个西瓜和几个苹果一样重”的思路和方法后，我故意提出质疑：“同学们解决这个问题的思路各有不同，但都是用几个苹果去换1个砝码呢？如果用3个苹果换1个砝码，你们认为可行吗？为什么？”这一问题的提出，有效地激发了学生对 “4个苹果换1个砝码”的反思，明确只有相等的量才能代替和代换。

又如：通过动手操作或抽象思考，学生虽然找到了解决这个问题的具体办法，但对于用“等量代换”解决问题的模型还不曾建立。于是，我设计了二个问题：（1）同学们在解决1个西瓜和几个苹果一样重的问题时，都是从哪个条件入手？为什么？（2）根据这个条件，确定把什么换成什么？再根据什么条件确定怎样代换呢？这样的数学思考，有效促进了“等量代换”解决问题模型的建立。

不难发现，学生对“等量代换”这一问题的建模需要有一个不断渗透、循序渐进、由浅入深，逐步积累形成的过程。在这个过程中，需要我们教师做一个“过程”的加强者和引导者，去“敲打”学生的思维，让学生在一次次的“敲打”过程中，积累、感悟、直到学会应用。

以上，只是针对本课中自己感到成功的片段进行的反思。虽有欣喜和成功，但同时还有一些困惑。如：对于三年级学生而言，他们年龄小，抽象思维能力弱，如果用算式表示“等量代换”解决问题的过程，要求有些过高。如果不用算式，那该如何记录表示解决问题的过程呢？

专家点评：

这是一节设计新颖，有着浓厚数学韵味的课。整节课学生在轻松愉悦的氛围中，在教师的精心组织下，自主探究，亲历了获取新知的全过程。从开课时曹冲称象的故事，一直到课尾小兔换萝卜的生活趣题，教师每一处别具匠心的设计，都紧紧抓住了学生的好奇心、求知欲。教者独具特色的教艺，给我留下了深刻的印象。

一、素材“多样化”，唤醒学生的符号意识

罗素说过：“数学就是符号加逻辑。”数学符号是具有简洁性和抽象性的规范语言，它准确、清晰，具有简约思维、提高效率、便于交流的功能，是人们进行表示、计算、推理、交流和解决问题的工具。学习数学的目的之一是要学生懂得符号的意义，会运用符号解决实际问题和数学本身的问题，发展学生的符号感。因此，在设计例题的教学活动时，教师为学生提供了多样化的素材：第一类是西瓜、砝码、苹果的实物图片，第二类是用绿色的大椭圆表示西瓜，灰色的长方形表示砝码，红色的小圆形表示苹果，用一些简单的图形来表示具体实物的学具。在反馈学生的学习过程时，教师有意识地让使用第一类学具的学生和使用第二类学具的学生按先后顺序进行汇报。并及时采访摆第二类学具的学生，是用什么来分别表示西瓜、砝码、苹果这些实物，这样对于解决问题有什么作用？还可以用什么来表示这些实物呢？通过这一系列的问题让学生初步感受到符号的作用。紧接着，教师通过层层递进的练习，给学生提供机会经历从具体事物到用符号化表示这一逐步符号化、形式化的过程，让学生在自主体验、解决问题的过程中，进一步运用符号。通过这些看得见、摸得着的操作活动，唤醒学生的符号意识，让学生感受到数学符号语言的简洁与实用。凸显了符号作为数学语言的简洁性与抽象性，并能广泛使用的意义。

二、关注“个性化”，挖掘学生的内在潜能

大教育家苏霍姆林斯基曾说：教学和教育的技巧和艺术就在于，要使每个儿童的潜能发挥出来，使他享受学习的成功乐趣。只有关注学生的“个性”，教育才会出现“鹰击长空，鱼翔浅底”“万类霜天竞自由”的生动局面。

在本节课的教学过程中，教师并没有强求每个学生都运用摆学具的方法，来探究问题。而是充分研究学生的前在状态、潜在状态、生活经验和思维发展的特点，帮助学生学会根据自己的需求作出判断与选择。可以把思考的过程自己轻轻的说一说，可以借助实物学具摆一摆，还可以借助符号学具摆一摆。这些针对不同学生提出的要求，正是教师对学生人文关怀的充分体现。在这样的氛围中，学生思维活跃，有的在摆学具，有的在轻轻地说思考过程。这个看似简单的细节，却体现了教师既看到学生的“前在”，又努力挖掘他们的“潜在”，更重要的是，在努力唤醒学生判断选择和把握自己的自觉意识的过程中，学生的潜能得到了激发，个性得到了张扬。

三、重视“数学化”，促进学生的终身发展

思想是数学的灵魂，不管是数学概念的建立，数学规律的发现，还是数学问题的解决，乃至整个“数学大厦”的构建，核心问题在于数学思想方法的培养和建立，在于让学生“数学化”，即用数学的眼光去解释生活中的一些现象，解决生活中的一些简单问题。

本节课教师紧紧围绕“等量代换”这一核心新问题，通过有层次的教学，引导学生学会有序的思考，在润物细无声中渗透数学思想方法，让学生经历“数学化”的过程。在例题中“一个西瓜和几个苹果一样重？”的问题提出后，学生根据自己的学习需要自主选择，有的在看图抽象思考，有的在动手摆学具。紧接着全班交流，得出了解决问题的办法。但教师并不满足于此。因为，教师认识到：学生的思维还仅仅停留在个体问题思考的层面上，他们并没有找到等量代换这一类问题的结构特征和解决的思维方法。因此，在多个学生反馈自己的学习过程，展现不同的思考方法后，教师以“虽然同学们解决问题的具体方法不同，但在想法上有没有共同点呢？” 这一问题激发学生的分析、综合、概括等抽象思维活动，启发学生探究出解决等量代换问题的一般思考方法。紧接着，通过一系列有层次的应用与拓展，让学生在运用等量代换的思想方法解决问题的过程中，不断经历“数学化”的过程。教师及时地把学生不同的方法和想法通过实物投影或板书展示给所有学生，并让学生说出自己是怎么得到这个结果的，让大家共同分享探索的过程、成功的喜悦！

回味彭老师的课，我感受到的是，“开放”但不失“引导”，“多样”但不失“优化”，“活泼”但不失“实在”。只有像这样，踏踏实实地走好每一步，我们的数学课堂，才能真正成为学生学习的乐园！

第二篇：《等量代换》教学案例

《等量代换》教学案例

武平县平川中心学校 刘永招 教材内容：教材第109页例2。

学情分析：等量代换的理论是比较系统、抽象的数学思想方法，学生只要能够用自己的方法解决问题就可以了，因此教学时老师不用要求学生使用等量代换等数学化的语言进行描述，可以充分利用学具、多媒体课件等辅助手段，从“换”字入手，化解学生对等量代换的陌生感，用直观的方式激发学生的学习兴趣。让学生通过生活中容易理解的题材如天平、跷跷板的原理，初步体会这种思想方法，为后继学习打下必要的基础。

教学目标：

1、使学生理解等量代换的意义，能根据实物代换，计算物体的数量，在解决实际问题的过程中，掌握等量代换的方法，体会等量代换的思想。

2、通过培养学生的推理能力和语言表达能力，发展学生的思维。

3、体会数学与生活的联系，增强学习数学的兴趣，培养学生学习数学的自信心。

教学重点：

利用天平或跷跷板的原理，使学生在解决实际问题的过程中初步体会等量代换的思想方法，为以后学习代数知识做准备。

教学难点：

使学生学会运用等量代换这一数学思想方法来解决一些简单的实际问题或数学问题。

教学准备：课件、苹果图片等。

教学过程：

一、创设情境，引入新知。

1、故事导入。

师：同学们，你们听过《曹冲称象》的故事吗？（课件出示《曹冲称象》 1

的画面）

师：那曹冲是怎么称象的？谁能说说？（生叙述称象的过程）

师：你觉得这种办法可行吗？

生：行。因为石头的重量和大象的重量相等。 【设计意图：等量代换的前提条件是存在“等量”，为了让学生建立“等量”的概念，我从学生熟知的故事《曹冲称象》中引入“等量代换”的思想。这样的情境创设不仅极大地调动了学生探索新知奠定了良好的心理基础，而且与学生所要探索的知识有紧密的内在联系，能让学生触景生思，诱发学生数学思维的积极性，为学习新知奠定了基础。】

2、揭示、板书课题

师：因为石头的重量和大象的重量相等，所以用称石头来代替称大象。用数学眼光来看，曹冲称象是巧妙的运用了数学当中的一种思想叫“等量代换”。

二、自主探究，合作交流。

1、了解天平的原理。

课件出示天平图，问：你们知道这是什么吗？

师：它有什么用处？天平保持平衡说明什么？（左右两边的物体同样重。） 师：是呀，当天平平衡时，左右两边的物体同样重，我们把这种关系叫等量关系。（板书：等量关系。）

师：下面我们就利用天平的两端平衡就说明两边的重量相等的原理，解决一些生活中的实际问题。

2、教学例2

（1）分析题意

师：从图中你能得到哪些信息？（根据学生回答老师写出信息）

生：一个西瓜重４千克。（板书：1个西瓜=4千克）

生：四个苹果重１千克。（板书：4个苹果=1千克）

师：根据我们得到的两组等量关系，你能提出数学问题吗？

2

生：一个西瓜可以换多少个苹果？（老师认为你的问题很有价值，好样的）（板书：1个西瓜=？个苹果）

（2）自主探究

师：现在就请大家根据自己得到的信息，解决问题。可以摆一摆，（用一个大圆表示一个西瓜，用一个小正方形表示一千克的砝码，用一个小圆表示一个苹果。）画一画，算一算。做完后请与同桌互相交流。（生做的时候，然后巡视。个别交流提示。）

（3）汇报交流

师：现在我们集体来交流一下。谁先说说你的想法吗？（生叙述换的过程） 师：老师准备了一些学具，谁愿意上来摆一摆？

反馈学生摆学具的情况。

（4）教师小结

一个西瓜重４千克，四个苹果重１千克。求一个西瓜可以换多少个苹果，其实就是求几个苹果等于4千克。所以我们就可以用4个苹果代换1千克，4千克就是就代换4次，4个4也就是16个苹果。（教师边总结边课件演示）

（5）师：列成数学算式的话该怎样列呢？4×4＝16（个）

（6）小结：西瓜和苹果的质量没有直接的关系，但它们的重量都和砝码有关系，我们就把砝码叫住西瓜和苹果的中间量。（板书：中间量）刚才的方法都是把谁替换了？（砝码）也就是把中间量替换了，从而得出结论。

师：等量代换关键是要找到中间量，再通过代换中间量从而解决问题。

【设计意图：利用天平的原理，通过仔细观察前两张天平图中的信息，让学生感知事物之间存在等量关系，学会自己提出问题，建立了清晰的等量关系表象，为后面的操作推理奠定了基础。在解决“一个西瓜=几个苹果”问题的过程中，我让学生观察，动手操作，交流，自主探究出多种不同的解决问题方法，从而体会等量代换的数学思想。】

三、运用知识，自主练习

1、完成“做一做”

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师：体会了等量代换的思想方法以后，让我们穿越时空隧道来到远古时代，那时人们不是用钱来买物品的，而是“以物换物”（出示课件）张大伯有一头牛，想换成羊，你能帮他换换吗？从图中你能找到哪些等量关系呢？

生：一头猪能换2只羊，一头牛能换4头猪。

师：牛要换成羊，这中间量是什么？（猪）怎么通过猪的代换来解决问题呢？请同学们先独立思考，然后把自己的想法表达出来，怎么想的就怎么写，可以写一写，画一画，算一算。

全班交流。

2、说图意，再回答。

师：解决完了张大伯家的换牛问题，我们去逛逛水果市集吧（课件出示）让学生说图意。

2个苹果=4个桃子，2个梨=6个桃子，问：一个苹果和一个梨=？桃子 学生独立思考后，交流汇报结果，然后再课件演示。

3、第114页第3题

从水果市场出来，跷跷板乐园又传出了争吵声，让我们赶快去看看吧。课件出示，1只鸡和1只鸭，谁重一些？

师：谁能把画面内容给大家介绍一下？

师：同桌讨论一下，你们是怎么想的？

生1：2只鸭=1只鹅，2只鸡 4只鸡，所以1只鸭比1只鸡重。

生：??（课件演示过程）

（提示：直接比较 1 只鸡和 1 只鸭谁重一些比较困难，可以转化为 2 只鸡和 2 只鸭，或 4 只鸡和 4 只鸭的比较。）

师：看来同一个问题我们可以从不同的角度去思考，去解决。

【设计意图：由于学生的年龄特征，抽象思维尚处于发展初期，语言表达能力不强，为了感受解决问题方法的多样性，学生在宽松、和谐的氛围中表达自己的想法，怎么想的就怎么写，之后鼓励学生在交流、倾听中感悟问题解决的最佳策略。】

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四、拓展延伸，感悟等量代换作用

师：同学们，感受了古代的以物换物生活，想不想体验一下？（课件出示）想一想，有几种换法？怎么换？

【设计意图：本环节设计的“以物换物”有多种的换法且有一定的难度，学生的思维有了飞跃的空间，同时激发学生探索数学问题的兴趣和欲望，培养了学生发现、欣赏数学美的意识。】

五、归纳小结，结束全课 。

师：同学们，这节课我们学了哪些知识？（自由回答）

等量代换是一种非常重要的数学思想。在今后我们还会陆续学到这方面的知识。希望同学们能够学好它，并运用这种思想解决生活中遇到的实际问题。（统计评比出优胜小组：一面红旗＝2面黄旗，1面黄旗＝2面蓝旗） 【设计意图：让学生质疑反思，在反思中不断进步。让学生说出自己的收获，让学生感受成功的喜悦，提高自信，有利于以后更好地学习。 同时利用本节课的知识评出优胜小组，学以致用，再次让学生感受到数学就在身边，给课堂画上一个圆满的句号。】

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