2009-2010第二学期
八年级数学
课后教学反思
教学反思一：如何教学“认识不等式”
对于不等关系，学生在前面的数学学习中早就有所接触，本节课的内容是要使学生对不等式有较完整的认识，主要包括这几个方面：不等式是由表示问题情境中的不等关系的需要而产生的；不等号和不等式的概念；根据给定的条件列出不等式；在数轴上能表示出一些简单的不等式。
鉴于此本节课我以几个问题情境引入，让学生感受到不等式是为了描述客观世界中不等式数量关系而产生的数学模型，经历不等式的产生过程；此后学生在原有等式的基础上进行不等式概念的自我建构，内化概念；对于根据数量关系列出不等式，学生以往的学习中也早有经历，教学中我着重通过例题的详细讲解，引导学生总结并掌握列不等式的基本步骤和注意的地方，将问题的解决提升为一种方法，然后让学生课堂练习进行及时反馈，强化知识点，达到教学重点的突出；数轴是研究数和数量关系的重要工作，不等式在数轴上的表示更是解不等式组的重要基础，也是本节课的难点，如何突破教学难点，是本节课成功的关键。根据学生的认知结构和思维方式，我设计着先让学生回顾数轴及实数1、－2在数轴上的表示，学生很容易就能在数轴上找到一个相应的点进行对应，之后我就进行追问不等式x<1在数轴上的表示，学生这时产生了知识上的冲突和探索的欲望，我再引导学生跟x=1在数轴上的表示进行比较和区别，让学生逐步感受x<1在数轴上的表示是点汇集成一条线的过程，从而突破了教学上这一难点，从学生后面两个不等式在数轴上表示的自我探索的结果来看，这一设计是符合学生的认知方式的。最后例2不等式的应用，学生做起来并不困难，重要的是通过问题的解决向学生渗透一种数形结合的数学思想，例2体现了数学来源于生活并服务于生活，与开头呼应。
一节课下来总体感觉比试课的时候要好得多，也暴露出自己在教学上的一些问题，值得深思。课后各位老师给予了中肯的点评：教学设计比较优秀，主线很明朗，很多地方有闪光点，从引入到认识不等式到列不等式到在数轴上表示不等式整个过程都很流畅，教师基本功很扎实。但也存在着一些问题，主要是跟学生的交流不够，教学中没有体现学生的主体地位，仍然停留在传授式教学，学生接受的多，思考的少。因此导致了课堂内容单调，没有达到一种"开花"的效果。
教学反思二：探索学生的解题过程
数学是训练思维的体操，促进学生思维发展是数学课堂教学的灵魂，我在教授“一元一次不等式组”的过程中，有意识地以学生思维发展为主线展开教学，教学效果良好。现把教学时的所见所想总结了出来。
教材问题：现有两根木条 a和b，a长10cm，b长3cm，如果再找一根木条c，用这三根木条钉成一个三角形木框，那么对木条c的长度有什么要求？教材还设置了一个探究问题：用三根长度分别为14cm，9cm，6cm的木条分别试试，其中哪根木条跟a和b一起钉成三角形木框？ 教学过程：让学生用纸条代替木条进行探究，很快发现14cm的木条太长，6cm的木条太短，9cm的木条可以与木条a和b钉成三角形木框。通过探究，感知木条c要有一个范围，不能太长也不能太短。
接下来回忆三角形的三边的数量关系。内容实际有两部分，一是"三角形的两边之和大于第三边"，在本学期第七章《三角形》中作为重要结论学习，学生有较多的经验；二是"三角形的任意两边之差小于第三边"，是本章根据不等式的性质推导得到的。
然后学生探索解题。设木条c长为xcm，根据三角形的三边的关系列出不等式。课本给出两个不等式x＜10+3，x＞10-3。最后，类比方程组的概念，得出一元一次不等式组的概念。 现在我们分析学生的探索解题过程。备课时设置了如下问题：学生能否列出和课本相同的
不等式？如果得不到我们如何引导？如果得到的是其他的不等式我们如何处理？列出了不等式，是否也能说出列不等式的理由？
通过教学时的观察，学生做法大概有以下几种：
1．有一部分学生列出的不等式10+3＞x和10-3＜x。分析学生的思维过程，列出这样的不等式的同学，自然是直接运用了数量关系"三角形中两边之和大于第三边，三角形中两边之差小于第三边。"这些同学受到复习内容的影响较大。
2．列出不等式x＜10+3和x＞10-3的同学思维要多一步，根据不等式的对称性由不等式10+3＞x和10-3＜x转化而来。或是把"三角形中两边之和大于第三边，三角形中两边之差小于第三边。"转化为"三角形的一边应小于另外两边之和，且大于另外两边之差。"更简单一些说，三角形的第三边不能太长，最长也要小于已知两边的和，不能太短，最短也要大于已知两边之差。这些同学思维较灵活。
3．有一部分同学列出了x+3＞10,10+3＞x,x+10＞3中的两个或三个。分析学生的思维过程，他们列不等式的依据是"三角形中任意两边的和大于第三边"。如果给与指导，他们就会加以筛选，只列出前两个。根据经验，在三条线段中只要看较短的两条线段的和是否大于最长边，就可以判断这三条线段能否组成三角形。
4．利用"三角形中任意两边的差小于第三边"也可以列出一些不等式。它们是10-3＜x，3-10＜x，x-10＜3，10-x＜3，x-3＜10，3-x＜10。学生很少有这样做的，如何筛选也比较困难。 可以看出，由于学生的知识结构的差异与思维品质的不同，其解题的方法也不相同。面对学生各种解法，我让同学们先小组讨论，充分暴露思维过程，然后全班讨论，对各种解法及思维过程给与评价。
教学反思三：如何发展学生的思维谈谈自己的一些看法。
一、暴露思维过程，发展学生思维。
暴露思维过程是发展学生思维的有效手段。教学活动中，师生双方都必须充分暴露思维过程。教师要经常把自己置于困境中，然后再现从困境中走出来的过程，让学生看到教师的思维过程。学生自己动脑、动手，在尝试、探索的过程中，鼓励学生发表自己的看法，充分暴露学生的思维，通过多维的交流，从而找到解决问题的方法。我们要在暴露学生思维的过程中，评价学生的思路，改善学生的思维品质，着重培养思维的敏捷和灵活，使他们在分析中学会思考，需要把面对的问题通过转化、分析、综合、假设、对比等方法求得简捷，在运用中变得灵活，在疏漏后学会缜密。
二、抓住知识间的内在联系，发展学生思维。
系统性、逻辑性是数学的主要特征之一，数学本身的知识间内在联系是很紧密的，各部分知识都不是孤立的，而是一个结构严密的整体。数学教学主要是思维活动的教学，只有根据学生的认知特点，引导学生按照思维过程的规律进行思维活动，才能提高学生的思维能力。为此，教学应从较好的知识结构出发，把教学的重点放在引导学生分析数量关系上，依据知识之间的逻辑关系和迁移条件，引导学生抓住旧知识与新知识的连接点，抓住知识的生长点，抓住逻辑推理的新起点。这样就自然地把新的知识与已有的知识科学地联系起来。新的知识一经建立，便会纳入到学生原有的认知结构中去，建成新的知识系统。
教育学家说过"教会学生思考，对学生来说，是一生中最有价值的本钱。"那么促进学生数学思维的发展就应该是我们日常教学永恒不变的追求。
教学反思四：一元一次不等式的课时安排
讲完这章书以后，我对这章书的课时安排、教学方法做了如下的反思。
1、课时安排
虽然教学时已经强调了不等式的性质3，但测验时，发现学生对不等式的性质3还是掌握不牢，尤其是普通班的学生容易在这点上出错。因此，我们都认为对于普通班来说“不等式的简单变形”应该增加1课时，第一课时学习不等式的三个基本性质和例1、例2；第二课时强化训练并且与方程的“移项”、“化系数为1”做比较，让学生去发现他们的异同，使学生明确只有当不等式两边所乘以（或除以）的数是负数时，不等号的方向才改变。
2、教学方法
本章内容教学时，要注意用类比、转化、数形结合等方法分析问题，解决问题。
（1）不等式的基本性质与等式的基本性质进行类比；解一元一次不等式与解一元一次方程进行类比
（2）数形结合是一种重要的解题方法，通过在数轴上表示出不等式的解集可以直观地研究不等式组的解集，确定不等式中字母参数的取值范围。
( 3 )在讲解一元一次不等式组的步骤时，可以帮助学生归纳找解集的一般规律“同大取大，同小取小，有大有小画数轴，相对取中，相背为空”。
(4)在讲解一元一次不等式的解法时，因为学生已经有了解一元一次方程的经验，所以可以让学生主动出击，结合刚刚学过的不等式的性质，先试后学。让学生自己感受解不等式的解法。在黑板建立一个错题档案，即学生出现的错误让学生在黑板板演。
教学反思五：怎样教学一元一次不等式
1． 不等式与方程。不等式的一个极端状态即为方程，解集的一个极端即为方程的解，因此，下题也可以这样做：
已知关于x的不等式 ﹤ 的解集为x﹤7,求a的值。
解：由题意可知x=7是方程 = 的解，把x=7代入方程中，即得a=5。
2． 解不等式组的方法与前面学过的解二元一次方程组的方法有所不同。在解二元一次方程组的时候，两个方程不是孤立存在的，两者相互关联，而解不等式组是独立地解其中每一个不等式，在解的过程中，各不等式彼此不发生关系，“组”的作用在最后，即在每一个不等式的解集都求出来之后，才利用数轴从“公共部分”的角度去求“组”的解集。因此，解一元一次不等式组通常采用“分开解，集中判”的方法。
由两个一元一次不等式组成的不等式组的解集，最终可归结为四种基本类型来判定：（不妨设a﹤b）
可用顺口溜来帮助记忆结果：同大取大，同小取小，大（于）小（的）小（于）大（的）取中间，大（于）大（的）小（于）小（的）解无边（即无解）。
3． 解不等式组是中考命题的要点，解不等式（组）、求不等式（组）的特殊解及应用是中考命题的热点，关于不等式（组）的应用题也作为中考重点搬上了试卷，主要考查对数学的应用能力，利用不等式（组）取定最佳方案、获得最大收益、确定最优工作途径等，这类题目表现形式十分丰富，常作为压轴题。
中考中关于不等式（组）的基础题，以填空、选择、解不等式（组）及列不等式（组）解应用题的形式出现，这也是今后中考必考的内容。
如：（04 山西）商场出售的A型冰箱每台售价为2190元，每日耗电量为1度，而B型节能冰箱每台售价虽比A型冰箱高出10％，但每日耗电量却为0．55度．现将A型冰箱打折出售(打一折后的售价为原价的1/10)，问商场至少打几折，消费者购买才合算(按使用期为10年，每年365天，每度电0．40元计算)?
解： 设商场将A型冰箱按x折出售，则由题意
2190x 十365x10xlx0．4≤2190x（1+10％)+365x10x0．55x0．4∵x≤8，因此至少打8折。 教学反思六：因式分解——因式分解的定义
讲解因式分解的定义的时候，同学们都很清楚。而我也强调的就是因式分解与乘法公式是相反方向的变形，并且在练习中一再将公式罗列出来。然后讲授提公因式法、公式法（包括平方差、完全平方公式），讲课的时候是一个公式一节课，先分解公式符合条件的形式再练习，主要是以练习为重。讲课的过程是非常顺利的，这令我以为学生的掌握程度还好。
讲完因式分解的新课，我随堂出了一些综合性的练习题，才发现效果是不太好的。他们只是看到很表层的东西，而对于较为复杂的式子，却无从下手。
课后，我总结的原因有以下四点：
１、思想上不重视，因为对于公式的互换觉得太简单，只是将它作为一个简单的内容来看，所以课后没有以足够的练习来巩固。
２、在学习过程中太过于强调形式，反而如何创造条件来满足条件忽略了。导致他们对于与公式相同或者相似的式子比较熟悉而需要转化的或者多种公式混合使用的式子就难以入手。
３、灵活运用公式（特别与幂的运算性质相结合的公式）的能力较差，如要将9－25x２化成3２－（5x）２然后应用平方差公式这样的题目却无从下手。究其原因，和我布置的作业及随堂练习的单一性及难度低的特点有关。
４、因式分解没有先想提公因式的习惯，在结果也没有注意是否进行到每一个多项式因式都不能再分解为止，比如最简单的将a3－a提公因式后应用平方差公式，但很多同学都是只化到a(a２ －１)而没有化到最后结果a(a ＋１)(a －１)。
因式分解是一个重要的内容，也是难点，我认为我对教材内容的调整是比较适合的，但是我忽略了学生的接受能力，也没有注意到计算题在练习方面的巩固及题型的多样化。在以后的教学中应该更多结合学生的学习情况去调整教学进度，多发现学生在学习方面的优势和不足之处。 教学反思七：因式分解——公式法
这节课上的主要内容是因式分解中的公式法。因式分解和整式乘法正好是逆反的关系，所以备课时我想让学生们自己将新旧知识前后比较，去理解，去寻找因式分解的方法。所以授课中我将48位同学分成了6个小组，想让他们充分发挥集体的合作力量，一起讨论，思考，去寻找思维的交点。众人拾柴火焰高！
这节课我利用了多媒体教学，数学不象语文，英语等学科可以展示出很多美丽的图片和优美的语句，这块代数内容更加显得“单调”了。理性思维重，感性感受轻。所以设计中将天平侧重在了学生自己的尝试和练习中。先打出公式a2-b2=(a+b)(a-b)，让他们借助这根拐杖做题（例如m2-16）,接下来的练习中让同学们自己在小组当中探讨，再组与组之间竞争，比方法比速度比准确，发挥他们的主动性。每题结束后再由我来归纳注意点，层层递推，形成宝塔型。 在教学过程中的欠缺：
1．平时语速比较快，第一次开课，说话很紧张，语速又踩了油门更快了，使的学生有时来不及回味和消化。
2．在一些需要思考的题目中设疑不够，在引导方面需要改进。
3．语言不够简练，说得太多，把学生这个主演的角色换了过去。
4． 在练习中要让学生们拓宽思维，不一定要照着老师的思维去走，比如：简便计算：382-372，我本意是利用平方差公式因式分解，但有学生提出把它看成 （37+1）2-372,将它展开后也同样很简便。对于突发事件的处理尤其显得重要！,
5．学生在解题过程中，当新知识进来，就不知不觉对旧知产生了阻力。比如：有一题4a3-4a，
刚刚复习过提公因式法，在新课时他化为4aaa-4a后就卡住了。是旧知的不熟悉还是学习心理上的特点，请有经验的老师指教。
教学反思八：因式分解——运用公式法
运用公式法分解因式是指运用平方差公式 和完全平方公式 来分解因式的方法。它是分解因式最基本的方法之一，现将几种常见思路归纳如下，供同学们学习参考。
一. 直接用公式
例1 （1）分解因式：a2 －4 （2）分解因式：a2＋4ab＋4b2 。
分析：（1）此题是两项式，符合平方差公式的条件。从而a2－4=(a＋2)(a－2) ；
（2）此题是三项式，符合完全平方公式的条件。从而a2＋4ab＋4b2 =(a＋2b)2
二. 提公因式后用公式
例2分解因式: xy2－x.
分析：先提取公因式x，再运用公式。所以xy2－x =x(y2－1)=x(y－1)(y＋1)。
三. 化简后用公式
例3 分解因式：(a－b)2＋4ab 。
分析：先化简后再运用公式。所以(a－b)2＋4ab= a2－2ab＋b2＋4ab= a2＋2ab＋b2=(a＋b)2 例4分解因式：(2a＋b)2-(a－2b)2
分析：若把(2a＋b) 和(a－b) 视为整体，则原式可以看作为两项，符合平方差公式的条件。所以 (2a＋b)2－(a－2b)2=[(2a＋b)+ (a－2b)][ (2a＋b)－(a－2b)]=(3a－b)(a＋3b)。
例5 分解因式：16(a＋b)2 －25(a－b)2。
分析：若把4(a＋b) 和5(a－b) 视为整体，则原式可以看为两项，符合平方差公式的条件，所以 16(a＋b)2 －25(a－b)2=[4(a＋b)＋5(a－b)] [4(a＋b)－ 5(a－b) ] =(9a－b)(9b－a)
例6分解因式：（x2＋y2）2－4x2y2
若把(x2－y2) 和2xy视为整体，则原式可以看为两项，符合平方差公式的条件，所以 （x2＋y2）2－4x2y2=( x2＋y2＋2xy)( x2＋y2－2xy) =(x＋y)2(x－y)2
对学生来说例2、例5、例6的错误率比较高，分解因式不能分解到最后。注意分解因式一定要分解到不能分解为止.
教学反思九：因式分解——教学方法
推荐在新课引入的过程中，我首先让学生回忆了前面在整式的乘法中遇到的乘法公式，比如平方差公式、完全平方公式。接着就让学生利用平方差公式做三个整式乘法的运算。然后，我巧妙的将刚才用平方差公式计算得出的三个多项式作为因式分解的题目请学生尝试一下。只见我的题目一出来，学生就争先恐后地回答出来了。待学生回答完之后，我马上追问“为什么”时，学生轻而易举地讲出是将原来的平方差公式反过来运用，马上使学生形成了一种逆向的思维方式。之后，我就顺利地和同学们一起分析了因式分解中的平方差公式——两数的平方差等于这两个数的和与这两个数的差的积，讨论了“怎样的多项式能用平方差公式因式分解？”可以说，对新问题的引入，我是采取了由浅入深的方法，使学生对新知识不产生任何的畏惧感。接下来，通过例题的讲解、练习的巩固让学生逐步掌握了运用平方差公式进行因式分解。 教学反思十：因式分解——本章总结
因式分解是这章的难点，学生初学因式分解时往往要与乘法运算混淆。原因主要是概念不清。在教学时，因式分解与整式乘法的区别通过把等号两边的式子互相转换位置而直观得出。对于因式分解的方法，学生可通过自己的一系列练习实践去体会到此，故不需在开头引入的地
方多加铺垫，浪费了一定的时间。
在因式分解的几种方法中，提取公因式法是最基本的方法，学生也很容易掌握。十字相乘法学生也掌握的不错。公式法特别是对于多项式的完全平方公式，部分同学掌握不够，选择提取公因式法是常犯的错误。分组分解法是较灵活的方法。
在这节内容中，学生常犯的错误还有就是结果分解不彻底。在以后的教学中还要强调，因式分解必须在有理数的范围内分解到不能分解为止。
教学反思十一：分式——分式运算
“分式运算”教学中，学生在课堂上感觉不差，做作业或测试时却错处百出，尤其在分式的混合运算更是出错多、空白多、究其根源，均属于运算能力问题，因此在教学中应特别关注这一深层根源，并根据学生的实际情况寻找相应对策。
一、原因一：相互混淆 张冠李戴
对策一：重视基本功 克服典型错误。准确是运算的最基本要求，不少学生把粗心、马虎认为是自己出错的主要原因，其实，运算不准确，很大程度是由于对基本概念理解不深，对基本公式、法则不熟练造成的。就分式运算来说，我们常可以看到以下典型错误：１、对分式的基本性质不理解。２、对运算律缺乏认识。３、没有掌握有关运算的法则。要克服以上错误，就必须重视学生相应知识的理解和训练，把这些知识作为学好分式运算的基本功，做到分散解决、重点突破、及时检查、个别辅导，切不可让问题淤积，教学中应有预见性，尽可能在每次新课前帮助中下层生查缺补漏，对可能出现的普遍性错误重点讲解，以便引起学生的足够重视。
二、原因二：一日被蛇咬 十年怕井绳
对策二：过好心理关 提高学生的解题信心。分式运算（尤其是公式混合运算），常常字母多、算式长，不少中下层学生对分式运算信心不足，甚至有畏难心理，一解就错，渐渐就害怕了。面对这类学生，提供“成功的机会，解除心理障碍，增强学生解题的自信心，是我们工作的着眼点。”１、应有全局观念，要有意识的把分式运算中各种容易出现的问题，力争在分式混合运算学习之前得到解决；２、应在课堂上营造轻松愉快的学习环境，提供适合各层次学生的练习，让中差生有一定比例的可做题，以增强他们的自信心，减轻他们的心理负担；３、应让学生明白，较复杂的分式运算只不过是几个简单运算的组合，并教会学生拆分的方法。如：即是解决好“先做哪里和怎么做”的问题；４、为照顾程度较差的学生，必要时可以进行分步递进训练，不仅容易明白原题应先做括号内的减法，而且还容易发现括号内的两个分式可以化简；在作业批改时，应对学生出错之处加上批注，帮助学生分析出错的原因并及时加于辅导，对优生从严要求，对差生多加帮助，对学生解题中正确的成份给予充分肯定，尽量不要用“不对即错”去评价学生的作业。通过以上方法让学生觉得分式运算要做到会而准并不难，进而达到提高学生解题信心的目的。
三、原因三：一叶障目 草率出击
对策三：过好审题关 把握运算顺序。不少学生在分式运算中出错，是因为不重视审题，题没看完就动笔，或者受题中部分算式的特殊结构的影响而不遵循运算顺序，如化简，就常出现乱约分而不遵循运算顺序的典型错误，这类学生在有人提醒时，常常能顺利完成解题过程并获得正确答案，他们出错的根源是没有过好审题关。
分式运算的审题，我觉得至少包含以下几个方面内容的思考和分析：第一、全题包含了哪些运算；第二，各运算之间的先后顺序如何？第三，算式中有无应先整理的式子（如分数小数系数、多项式排列混乱、需要先因式分解等）；第四，是否有简便方法；第五哪些地方容易忽视和出错。
四、原因四：墨守陈规 错失良机
对策四：妙题求妙解 优化解题过程 激发学习兴趣。有些分式运算题有它的特殊性，按
照常规的方法可能比较复杂甚至无法解决，有些同学，同样由于不重视审题、不善于发现题中的妙处，解题时墨守陈规，把本来很容易得出答案的题做得很复杂，甚至无功而返。要解决这一问题，除加强审题训练以外，必须培养学生不仅要有做对每一道题的信心，还要有出精品的意识，在优化解题过程的训练中，激发学生的学习兴趣,要求学生在审题中发现问题的特殊性，简便的求出答案。
以上分析了导致分式运算出错的四个方面的原因，要较好解决学生分式运算出错多、能力差的问题，最见功夫的当属学生练习的“强度、深度和针对性”设计上。因为，分式运算能力形成的基本途径仍是练习，练得少或者缺乏针对性的练习是学生分式运算能力差的最大原因，应在教学中做到精讲多练，不可以评代练；其次，要坚持过度练习的原则，确保一定的练习量，不只停留在“会做”的层次上，要力求通过练习，使大部分学生达到“熟练而准确”的水平；第三，学生在分式运算中出错的原因各有不同，因此，练习又必须有显著的针对性，要从学生过去的练习中，分析他们出错的原因，进行个别辅导。总之，要解决初中中分式运算出错多的问题，就应该：“练习——纠正——再练”。
教学反思十二：分式——分式方程教学
在本课的教学过程中，我认为应从这样的几个方面入手：
1. 分式方程和整式方程的区别：分清楚分式分式方程必须满足的两个条件，⑴方程式里必须有分式，⑵分母中含有未知数。这两个条件是判断一个方程是否为分式方程的充要条件。同时，由于分母中含有未知数，所以将其转化为整式方程后求出的解就应使每一个分式有意义，否则，这个根就是原方程的增根。正是由于分式方程与整式方程的区别，在解分式方程时必须进行检验。
2． 分式方程和整式方程的联系：分式方程通过方程两边都乘以最简公分母，约去分母，就可以转化为整式方程来解，教学时应充分体现这种化归思想的教学。
3. 解分式方程时，如果分母是多项式时，应先写出将分母进行因式分解的步骤来，从而让学生准确无误地找出最简公分母
4． 对分式方程可能产生增根的原因，要启发学生认真思考和讨论。
教学反思十三：分式——总结
经历了两周的学习，学生已基本掌握了分式的有关知识，并且获得了学习代数知识的常用方法，感受到代数学习的实际应用价值。下面是我在教学中的几点体会：
一、教学中的发现
本章可以让学生通过观察、类比、猜想、尝试等活动学习分式的运算法则，发展他们的合情推理能力，所以教学时重点应放在对法则的探索过程上。一定要让学生充分活动起来。在观察、类比、猜想、尝试当一系列思想活动中发现法则、理解法则、应用法则，同时还要关注学生对算理的理解，以培养学生的代数表达能力、运算能力和有理的思考问题能力。可是我在知识的传授上并没有注重探索、类比法则，而重在对分式四则运算法则的运用和分式方程的运用上，没有抓住教学的关键环节恰当的选择教学方法。今后要避免类似事情的发生。
二、教学中的重建
分式运算是代数恒等变形的基础之一，但是不能盲目的加大运算量与题目的难度，重点应放在对运算过程推理的理解上。
另外，对《教材》上关于分式的具体问题一定要重视，并关注学生在这些具体活动中的投入程度，看他们能否积极主动地参与，其次看学生在这些活动中的思维发展水平——能否独立思考，能否用数学语言表达自己的想法，能否反思自己的思维过程，进而发现新的问题。