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教育硕士专业学位论文
高中数学教师进行反思性教学的实践与思考
目 录
中文摘要························································································· Ⅰ
ABSTRACT······················································································ Ⅱ
第一章：问题的提出及研究价值····························································· 1
1．1问题的提出·········································································· 1
1．2问题的研究价值····································································· 2
1．3问题研究综述······································································· 2
第二章：反思性数学教学的理论分析······················································· 4
2．1反思性数学教学相关概念的辨析················································· 4
2．2反思性教学的有关理论···························································· 6
2．3反思性数学教学的基本特征······················································· 8
2．4反思性教学实践的基本方法······················································· 9
第三章：数学教师进行反思性教学的实践·················································· 11
3．1数学教师进行反思性教学的实践的内容········································· 11
3．2数学教师进行反思性教学的具体操作方式······································ 22
第四章：数学教师进行反思性教学的思考·················································· 25
4．1 数学教师要培养学生的反思性数学学习能力·································· 25
4．2 影响数学教师进行反思性教学的不利因素····································· 27
结 束 语························································································· 28
注 释························································································· 29
参考文献························································································· 30
攻读学位期间研究成果……………………………………………………………………31
致 谢························································································· 32
中 文 摘 要
反思是主体自觉地对自身活动进行思考、总结和调节的过程，是主体对自身行为和认知的自我监控、自我评价过程。成为反思型教育工作者是当前教育教学改革的发展趋势。教师能够对整个教学过程进行回顾、分析和审视，形成自我反思的意识和自我监控的能力，才能不断丰富自我素养，提升自我发展能力，逐步完善教学艺术。在此基础上，才能更好的指导学生进行反思性学习。本文从当前新课程改革的背景和高中数学教师进行反思性教学的现状入手，对新课程理念下反思性数学教学实践的基本内容和操作手段进行了初步研究。具体来说，全文重点阐述了以下几个方面：
1．反思性教学，不仅可以促进教师专业化的发展，也可以培养和促进学生的数学思维的发展。国内外对反思性教学已经有较为系统的理论研究。作为教育工作者，应与时俱进，将反思性教学与培养学生的反思性学习有机地结合起来,及时更新知识结构、能力结构和人文素养，以适应新的教育体制改革的需要。
2．结合相关理论及实践方面的文献资料，阐述了什么是反思、反思性教学，反思性数学教学，并且将反思性数学教学与其他教学方式进行了比较辨析，探究了反思性教学实践的基本特征和基本方法，即教学反思应以改进教学为主要目标，并要结合一定的行动研究。
3．在实际工作中进行有针对的，可具体操作的反思性教学，才能在教育教学工作中发挥实效作用。本文着重从课程意识、数学思想的渗透、教学设计各环节、教学效果的评价等方面论证了如何实施反思性数学教学。教师的反思是一种习惯和意识，不断的反思，才能不断的进步。教学是一个系统的工程，教师的反思的具体操作，是全方位，多角度，多层次的。本文总结了几种行之有效的具体操作方式，可以将之运用到教学实践中。
4．反思型教师不仅应反思自己的教学效果和改进措施，更应注重培养学生的反思性思维。教学的目的是为了培养学生良好的学习方法。具有较高反思能力的教师才能在教学中更好的引导学生。教师为学生反思性数学学习能力的培养和发挥提供了重要的外部条件。教师应反思如何利用自身的教学水平、教学模式等因素对学生反思性数学学习起到监督和示范作用，进而培养其反思性数学学习能力。另外，本文研究了影响教师进行反思性教学的不利因素，以期找到行之有效的解决办法。
关键词：反思，反思型教师，反思性教学
ABSTRACT
Reflection is a process in which teachers think about, summarize and adjust their own activities consciously and is also a process where teachers control and evaluate their own behaviors as well as cognition. According to current education reform, becoming teachers who are good at reflective teaching is a trend. A teacher should review, analyze and survey his whole teaching procedure to form his own consciousness of reflection and ability of inspecting and controlling. In this way, a teacher can constantly enrich his professional knowledge, improve his self- learning ability and make his teaching skill perfect so that he can guide his students to learn through reflection. This article analyzes the background of the new curriculum and the present situations where senior high school teachers of math use reflective teaching method, and makes a pilot study on basic content and means of reflective teaching method in math. In sum, I summarize the main ideas in my thesis as follows:
1．Reflective teaching can develop the specialization of teachers, and also can develop the math thinking of students.
There are many theoretical systems on reflective teaching at home and abroad. As a educator, we should advance along with the whole society and combine reflective learning as well as reflective teaching, thus renewing the construction of knowledge, ability and self-cultivation and adapting to the new reform of education.
2．I combine the relative theory and practice to explain reflection, reflective teaching and reflective mathematics teaching. Furthermore, I compare and analyze reflective mathematics teaching method and other teaching methods, and show the necessity of reflective teaching method from psychological aspects. By studying the characteristics, the basic means and effect of reflective teaching method, I believe the primary aim of reflective teaching method is to improve teaching along with the action of studying.
3．Only using reflective teaching methods that are practical and easy to operate can we make our teaching effective. The article analyzes how to use reflective mathematics teaching method from many aspects, such as curriculum awareness, infiltration of math thought, teaching procedure and evaluation. Teachers’ reflective behavior should be a kind of accustomed, conscious and constant reflection. Teaching is a systemic work and teachers’ material operation of reflective teaching method should be all-around. This article concludes several effective reflective teaching means.
4．Reflective teachers should not only consider his teaching effect and improvement, but also pay more attention to develop students’ reflective thinking. The aim of teaching is to develop students’good learning ability. Only teachers equipped with high reflective ability can guide students to learn better, which plays an important role in developing and improving students’ reflective mathematics learning ability. Teachers should consider how their teaching levels, teaching patterns and other factors guide supervise and demonstrate their students reflective mathematics learning, and thus affect their reflective mathematics learning levels. Besides, I study the disadvantages that affect teachers’reflective teaching, in hopes of finding the way to solve.
Keywords: reflection, reflective teacher, reflective mathematics teaching.
第一章 问题的提出及研究价值
1.1 问题的提出
工作几年的教师，随着教学经验的积累，已逐渐能够对课堂进行驾驭，对课堂的一些突发情况可以做到应付自如。但在教学实践中，繁忙的日常工作和各自的狭隘经验，极大地缩小着广大教师的专业和理论视野，教学成为一种开始时承袭他人，到后来重复自己的一种机械运动。在课堂教学中教师的专业化程度越高对数学的理解就越具有高度的自动化，而使得对学生的数学不理解，甚至不理解学生。[1]同一个数学问题，对教师理解起来容易，但对学生理解起来却很难。其实，站在学生的角度去一步一步分析过程，才会感觉到和学生的思维同步。所以，我们应该在教学过程中，不断地进行各角度的反思。
1898年波斯纳提出过一个个体成长的公式：经验+反思=成长。荷兰数学教育家弗赖登塔尔也指出：反思是数学思维活动的核心和动力。[2]可见他们都非常注重反思在思维活动中的作用：如何能够促进教师的专业化发展和个人教学风格的形成？如何能使我们的教育教学更加的科学化？我们在实践中应该怎样思考？我们的教学实践过程是否合理？实施教育反思的具体途径和方法都有哪些？这些问题都是和我们这些教学一线的中学教师息息相关并且是非常具有实效的。而数学学科的逻辑性，概念性，解题过程的特殊性，更要求数学教师在教学各环节上进行必要的反思。若数学教师反思的少，势必会造成对学生学习方式方法的指导质量低下，数学思维发展水平不高；甚至造成自己的教学水平停滞不前，跟不上现在教育改革的步伐。“思之则活，思活则深，思深则透，思透则新，思新则进”[3],这句话很好的体现了反思的促进教育教学发展的作用。也就是说，反思是教育教学不可缺少的重要环节之一，成为反思型教育工作者是当前教育发展的趋势。
成为反思型数学教师是数学教学心理的本质决定的。
数学学习是知识建构的过程，而教师是促进学生知识建构的主体。数学学习是完善个体认知结构的过程，而教师是促进学生完善认知结构的主体。数学教学是一种伴随着监控的过程，而教师是这一过程的外部监控主体。[4]
目前，随着一切以学生为本的教育教学指导方针的全面开展，很多教育教学研究的对象皆以学生为主。如何对学生的反思能力进行培养逐渐引起教育工作者的重视。如何培养学生的反思性学习的文章频繁出现在学术专刊和杂志上。诚然，反思性学习方法值得探究与推广，但首先是我们教师应该认识到反思性教学及学习的方式方法，并将之运用到平时的教学各个环节中。教师应先反思自己的教学行为，总结教学的得失与成败，对整个教学过程进行回顾、分析和审视，才能形成自我反思的意识和自我监控的能力，才能不断丰富自我素养，提升自我发展能力，逐步完善教学艺术，在此基础上，才能更好的指导学生进行反思性学习。针对此，本篇论文主要研究了作为数学教师应该如何在数学教学各个环节上实施反思性教学实践及进行反思性教学的具体操作策略，希望能为数学教学新理念的有效实施添砖加瓦。
1.2 问题研究的价值
反思意识和能力是一种理性的智慧，增进数学教师的反思意识有着重要的作用：
增进数学教师的反思意识将有助于提高教学水平。
一个习惯于反思的数学教师是会把握住教学的各个环节的。在教学前进行的反思，可以使教师对自己的教学具有前瞻性，可以提高我们的预测和分析能力。在教学实践中能够及时，自觉的进行反思的教师，具有比别的教师更好的调控和应变能力，并使自己的反思应用于教学实践中，具有监控性。而习惯教学后进行总结反思的教师，可以批判地进行有意义的评价，能迅速的使自己的教学经验理论化。
增进数学教师的反思意识将有助于解决教育实际问题。
通过各个环节的反思，教师可以对教学经验特别是问题性经验作出批判性分析。这样，可以主动地将一些与行为有关的因素纳入到教学过程中来，重新审视自己实践操作所依据的理论思想，并积极思考理论与实践的切合点。对于适合的，加以保留；不适合的，针对问题情境积极地寻找新思想和新策略来解决。
反思性教学可以促进学生的发展，同时也可以促进教师的专业化发展。从数学学科角度来讲，反思性教学和学习可以很好的促进教师和学生的数学思维的发展。数学学习的理性思维很强，缺少了各个环节的反思，只会陷入理论混乱的题海中，找不到头绪。数学的学习和教学的过程，尤其要注意从低级到高级，从感性到理性，从实践到理论的循环往复的反思，只有这样，学生才会提炼并体会到知识的真正实质，教师才会从自己狭隘的教学经验中走出来，真正提升自己的专业水平。[5]
1.3 问题研究综述
纵观历史，反思性学习并不是新思想。荀子在《劝学篇》中提出过“君子博学而日参省乎己，则知明而行无过矣”的名言。许多国外学者，也对反思提出了见解和精确的定义，并构建了反思的基本模式。爱迪生说过：“一个人年轻的时候不会思考，将一事无成”。从历史上看，较早系统研究反思的有洛克，斯宾诺莎，杜威等著名的学者。并总结出反思的基本性质：教育家杜威认为“反思是一种思维活动”，反思活动具有“对象性，自觉性和技巧性”。并得出，探究性是反思的最基本特征之一。
南京大学的郑毓信教授从建构主义与数学教育的角度指出，“数学抽象就其本质而言是一种建构活动,但这种建构不仅仅是纯粹个人的行为，而且更是一个在不同个体之间进行表述、交流、批判与反思，以及不断改进的过程，个人的创造建构只有得到数学共同体所接受，才能真正成为数学的组成部分”。[6]所以，我们不能在讲台上，自说自话，以自己对知识的”想当然“的起因，发展，结论等等一味的“灌”给学生，而应该不断地反思课程设计，是否符合学生的认识顺序与接受水平，再给予适当的学习方法的指导。
近几年我国的一些学者对教师的反思性教学进行了深入研究，提出了自己独特见解。特别是熊川武教授的《反思性教学》的论著，对教师反思的涵义与由来、反思性教学的思想渊源、特征、反思内容、反思策略、反思模式、反思传统等作出了精辟的阐述。但针对数学教师的反思性教学具体操作措施的研究很少，希望借助这些理论性论著，能让我在教育教学中总结出的实践经验更有推广的价值。
第二章 反思性数学教学的理论分析
2.1 反思性数学教学相关概念辨析
2.1.1 反思的定义
反思一词无论在教育理论还是教育实践中，都是使用频率很高的一个词。但是人们对它的理解还存在很多偏差。有很多人认为：反思就是回顾，或总结一下。教育界一般认为：“反思是思维的一种。是个体成熟的标志”。[7]
反思是立足于自我之外的批判地考察自己的行动及情境的能力。使用这种能力的目的是为了以职业知识促进思考而不是以习惯，传统或冲动的简单作用为基础的令人信服的行动。反思在教师的职业上，要求教师审慎的考虑实践的伦理意义，并乐意根据顿悟矫正不良行为。
反思具体分解可以由以下六个阶段组成。
①内在的不适感受。
②可以识别或澄清问题
③对来自内外的新信息具有敏感性，有观察和吸收多种看法的能力。
④整合，以及创造性地综合表达。
⑤建构过去，现在和将来的自我连续体。
⑥决定是否按反思加工的结果行动。
著名教育家杜威认为：当人审慎地考察某个观念的基础以及佐证信念的充分性时，这个过程就被称作是反思。[8]
准确的讲，反思应该跟行动结合起来，而不应停留在反溯性思考的层面上。
2.1.2 教师的反思：
对教师而言：反思是教师以自己的教学活动过程为思考对象，对自己所做出的行为，决策以及由此产生的结果进行审视和分析的过程。是一种通过提高参与者的自我觉察水平来促进能力发展的途径。
对于教师的反思，还有很多种不同的观点：
第一种观点：教师的反思是分析教学技能的一种技术。
第二种观点： 教师的反思是对教育观念，教育背景的深入思考。
第三种观点：教师的反思是对教学经验的重新建构。
第四种观点：教师反思是一种社会性，公开性的活动。[9]
所以，对教师而言，反思不是独处放松，是一种需要认真思索乃至用极大的努力去探究的过程。不单单是教学经验的总结，它是伴随整个教学过程的监视分析和解决问题的活动。
2.1.3. 反思性教学：教学主体借助行动研究不断探究并解决自身和教学目的以及教学手段等方面的问题，将教师的学会教学与学生的学会学习结合起来，努力提升教学实践合理性，使自己成为学者型教师的过程。
◆ 反思性教学以探究和解决教学问题为基本点。
◆ 反思性教学以追求教学实践合理性为动力。
◆ 反思性教学是全面发展教师的过程。
我们认为反思性教学，是指对教学经验进行回顾与重新认识（包括思考，评价，整改等），以至产生新的更趋合理性的教学方案与行为的活动过程。通俗地说，反思性教学，即“教学的反思”与“反思的教学”二者有机的统一。
著名学者维拉在国际教育百科全书中阐述：“反思性教学是教师借助发展逻辑推理的技能和仔细推敲的判断以及支持反思的态度进行的批判性分析的过程。”
反思性教学实践从时间纬度上，可以分为：对实践反思，实践中的反思和为实践反思。具体到课堂上的反思有3个层次：
①反思课堂情境中各种技能与技术的有效性。
②针对课堂实践基础的假说，和特定的策略，以及课堂的结果。
③主要针对道德和伦理的以及其他直接或间接的与课堂教学有关的规范性标准。[10]
2.1.4 反思性数学教学：反思性数学教学就是教学者对自身数学教学活动的过程 ，以及活动过程中涉及的有关的事物、材料、信息、思维、结果等的教学特征的反向思考。是教学者对自己的教学过程的自我意识，自我监控的能力，以反思的技能和反思的毅力为基础，并在对数学教学过程的评价，控制和调节中显示出来，对数学教学过程起到指导，支配，决定，监控的作用。
反思性数学教学不仅仅是对数学教学过程一般性的回顾或机械重复，而是深究数学教学活动中所涉及的知识、方法、思路、策略。具有了较强的科学研究的性质 。反思的目的也不仅仅为了回顾过去或培养元认知意识 更重要的是指向未来的活动 。尤其是今天当我们以创新性和探究能力，还学生以主体地位，以学生为主来作为衡量和评价数学教学的主要标准时，更应该重视反思性教学。
由于数学对象的抽象性，数学活动的探索性、数学推理的严谨性和数学语言的特殊性，决定了正处于思维发展阶段的中学生不可能一次性地直接把握数学活动的本质。这就要求教师必须要经过反复的换位思考，深入研究，不断调整，研究学生心理和掌握知识的认知顺序和语言特征，并加以科学的指导，即坚持反思性数学教学。
2.1.5 反思性数学教学与操作性（经验性）数学教学：
这两种教学方式方法形成鲜明对照。操作性数学教学是教师凭借自己工作中积累的经验进行简单重复的教学活动，这种活动所依赖的是那些想当然的固定模式，进行的自动化的、直觉的操作活动。教学人员按照教材和教学大纲或上级的要求等按部就班的行事，旨在完成教学任务，大多数情况下，以操作性进行的教学是生硬而不灵活的。
进行操作性数学教学的教师对完成任务的情况只问怎么样，而进行反思性教学的教师不仅问怎么样而且问为什么，是追问型教师，善于向经验学习。操作性数学教学以“教授知识”为目的，关注学习目的转化的直接结果。而反思性数学教学不仅要完成学习任务，而且注重学生的理性思维得到提高，如何达到最佳教学效果并如何加以改进。反思性教学更加关注间接结果即眼前的学习成绩和学生自身未来的发展。
2.1.6 教学评价：教学评价一般是指对教学的价值判断。
它事先制订一个评价方案（含评价标准与评价方法等），然后对教学作出是否达到标准、达到程度如何等等的价值评判。
2.1.7 教学反馈：一般是指将一部分教学的结果（知识结论）又返回其知识发生过程和教学过程中以检验其结果，即知识结论的正确性与否。
2.1.8 教学反思：是关于教学是否符合教学规律、是否趋向合理性的一种理性思考，事先不可能拿什么规律和合理性作为标准，只是一些公认的教育常理或教育理念，以及那些体现教育规律和教育意志的教育方针、政策等。
反思性教学不同于教学评价和教学反馈，也不全等于教学反思。因为它丰富和发展了教学反思，不仅有教学的反思，更有反思的教学。即不仅只对教学经验作出静态的反思，更有反思后的积极整改的更趋合理性的教学实践。但值得指出的是，反思性教学在实践过程中常常离不开教学评价和教学反馈。[11]
2.2 反思性教学的有关理论
2.2.1 认知主义的数学教学观：
教师与学生是教学的双主体，教师应把自己作为一个认知学习过程的指导者或建议者，力图在课堂上创设一种积极愉快的情境，使学生充分发挥个人的学习潜能，体现出教的主体性。
根据学生信息加工过程来考察教学活动。只有促进了学生对信息的有意义，创造性的加工才是有效的教学过程。为此，教师要充分了解学生的学习状况，为学生提供有效的信息，促进学生的理解。
要求教师应依据信息加工的不同阶段制定相应的教学策略，例如，知觉的选择性策略，记忆策略，促进新旧知识联系的策略，问题解决策略等。另外，对学生进行元认知知识的直接指导，对学生进行元认知技能的规程化训练等。
教学评价以行为测验和认知分析相结合的方法进行。测验的目标注重学生是否能够应用适当的知识去解决问题，对问题的回答是否与他可用的资料或事实一致，回答问题过程中是否清晰严密；论题，论据和结论是否前后一致；注重考察学生的思维的发展：诸如学生的运算能力，逻辑思维能力，空间想象能力以及分析问题和解决问题的能力是否随知识的增长而得到同步的发展，学生的合情推理能力，直觉思维能力是否随学习的深化在不断的提高；评价方法应兼容测验、观察、调查、行为追踪和访谈方法于一体。
2.2.2 人本主义数学的课程观。
人本教育主要有以下七项目标：①理解学习者的需要和理想，发展其经验，各种教学方案应有助于学习者独特潜能的发挥。②促进学习者的自我实现，使学习者意识到个人的成就。③使学习者获得复杂社会生活所必须具备的基本技能，包括学术的、个人的、人际的和信息沟通的、经济生存的能力。④使教育决策和教育实践个人化。⑤承认人的情感、价值及知觉在教育过程中的重要性。⑥建立挑战的、理解的、支持的、激励的、无威胁的学习环境。⑦培养真诚关心和尊重他人价值的态度，获得解决矛盾冲突的技巧。
2.2.3 教学活动的自我监控。
教学活动的自我监控，是指为了保证教学的成功，提高教学的效率，达到教学的目标，而对自己所从事的教学的活动进行积极和自觉的计划，监视，检查，评价，反馈，控制和调节。并由此给出了自我监控的有效成分。其中分为：教学活动前的自我监控、教学活动中的自我监控、教学活动后的自我监控。
教学活动前的自我监控要具备计划性和准备性。
在教学前，对教学活动的计划和安排。如教学之前做好计划，对教学哪些内容，如何去教，以及教学时间进度的安排。在教学前为教学活动做好各种具体的准备。如准备好教学用具，创设好教学环境，调整好情绪和精力。
教学活动中的自我监控要具备意识性、方法性和执行性。
在教学活动中，清楚教学的目标，对象和任务，知道为什么讲这些内容，以及为这些内容进行的铺垫。在教学活动中讲究策略，并采取合适的教学方法。在教学活动中控制自己去执行教学计划，排除有关干扰，保证教学的顺利进行。
教学活动后的自我监控要具备反馈性、补救性和总结性。
教师在教学活动后对自己的教学状况和效果进行检查，反馈和评价。教师在自己的教学活动后根据反馈结果对自己的教学进行补救措施。在教学活动后思考和总结教学的经验和教训。如借鉴别人或教学参考上好的教学方法和经验，不断提炼和完善自己的教学方式、方法。
2.3 反思性数学教学的基本特征：
反思性数学教学要求教师具有一定的问题意识。反思性教学要求教师在教学活动中不断发现问题，并能提出影响教学效果的因素。能够针对问题设计教学方案并组织教学，在解决问题的同时使教学过程更加优化，以取得更好的教学效果。与传统的经验性教学不同，反思性教学不是按教材、大纲、标准按部就班完成教学任务，而是及时捕捉教学过程中的信息和问题，既关注教学的结果，又关注对产生这种结果进行的反思。
教师要进行反思性教学的重要特征，就是要具有探究意识和问题意识。而作为数学教师，随着教育教学改革的全面展开，数学学科知识更新速度的加快，题目的逻辑性，思维性很强等特征，就需要数学教师具有更强的探究意识。
数学教师在进行反思性教学时，体现出了以下特征：
◆内隐性：教师要用新的教育理念来衡量和评价以往的教育教学行为，慎重决定以后的行为，对各种行为进行比较和筛选，这种新我与旧我不断的斗争是来自心灵深处的，具有内在性。
◆批判性：教师的反思必须作到对自己和他人的言行作到健康的怀疑和批判，可以排除定向思维或知识的自动化获取过程，勇于否定自我，在批判中改进，并通过不断实践，思考并构建新的教育理念。
◆顿悟性：教师的反思是个长期的过程。但在某种特定环境下，由于数学思维的多样性和灵活性，会突然产生灵感或受某种事物的启发。其实，这种顿悟不是偶然，而是长期反思和积累的必然结果。
◆对比性：反思是一种对比，是自我的纵向对比，和与他人的横向对比。当然，是借鉴他人的长处进行的积极比较。通过对比，发现自己以往的不足之处；或者是在取得进步的基础上，总结经验进行再推广。[12]
反思性教学实施时体现出以下特征：
◆反思性教学要以改进教学为目标。
新的教育哲学观的一个基本特征是“人才培养，应从以学科为中心向以学习者为中心转变”。反思性教学应注重学生独立思考和自主学习的能力培养，通过传统教学方式的改变，师生共同建立起平等、民主、教学相长的教学过程，提高学生分析、解决实际问题的能力，使教与学的重心从知识的获取转向“学会学习”、掌握学习方法，转向更科学、更先进、更高层次的主动探究性学习。教师在组织学生自主学习的过程中，只有从学生“学会学习”的角度去思考，才能真正“学会教学”，才能在不断变化的教育实践中科学有效地指导学生“学会学习”。
◆反思性教学是一个循环的或螺旋式的提高过程。
教师教学效能的提高是在具体的实践操作中，教师是对自我的现行的行为观念或学生的行为观念进行的深刻的解剖分析，是一个要经过意识期，思索期，修正期的过程，是一个循环渐进的过程。
◆反思性教学最明显的特征是要根据反思要有所行动。
荀子曾说过：“吾尝终日而思矣，不如须臾之所学也”，很好的说明了，思而不动的弊端。教学反思是诱发教师教学实践和学习等行动研究的催化剂。教师进行行动研究时，采用计划——应用——观察——反思——改进的框架。行动研究的特性，决定了它一旦引入教学过程，教师就成了研究型、反思型的教师。教师就要时刻面对新的教学问题，并进行教学假说，最后付之行动，通过自己的实践检验假说。
◆反思性教学还具有：对象性，自觉性，技巧性，实践性，针对性和过程性等特征。
2.4 反思性教学实践的基本方法：
反思性教学实践的基本方法有：实践前反思，实践中反思，实践后反思。又称过程反思法，就是指在教学过程中的事前反思、事中反思和事后反思。
现代教学理论将教学活动描述为一种师、生、文本之间对话的过程；一种思想，观念的不断碰撞的过程；精神、情感不断交流的过程；理想，信念不断生成的过程。在这个过程中，对话的主体是多元的，也是平等的，学生不仅是知识的接受者，而且是教学活动参与者和合作者，教师则起到了组织和引领的作用。因此，课堂教学不仅需要关注“预设”，而且要关注“生成”，而从预设到生成的桥梁则是对话，这就需要教师要有实践前的反思，对所有可能发生的情况提前预测；当然也要有一种教学机智才能因势利导，对问题迎刃而解。
在实践中，当学生与别人的见解不同时，教师要给予最大的鼓励与赏识。鼓励学生求异，求新。当课堂教学出现意外，教师事先准备好的成功经验受到冲击时，教师应充分肯定和鼓励学生敢想，善想。让学生畅所欲言地展示独特情感体验，因为学生的不同体验就是创新的有利因素。
实践后的反思，是通过对实践过程的回顾，思考成败之处，结合学生的反映情况，改过留真。实际效果由于受到很多主观客观因素的限制，而并不等同与教学设想。对教学效果进行深刻的反思，保留有益的部分，摒弃无用的或对学生帮助不大的教学方式方法，以求在以后的教学中借鉴。教师通过对实践后的反思，实现客观的自我评价，使自己的教学更趋成熟。
为实践反思是通过实践中反思与实践后反思最终形成的超前反思，使教师养成了于实践前未雨绸缪、三思而行的习惯。可见，教师进行教学反思其目的不仅是回顾过去，不仅是对过去的教学过程进行察觉与质疑，更重要的是为了指导未来的教学行动。
数学教学方面，其余的反思方法主要有：案例反思法、专题反思法、因果反思法、辩证反思法、评价性反思法、技巧反思法、回头看反思法等。如因果反思法（也叫结果反思法），即由结果反思原因与行为的方法，可分由结果反思目标与计划、由结果反思内容与策略、由结果反思过程与方法等。辩证反思法，即由教反思到学、由学反思到教，由成功反思到失误、由失误反思到发展，由现象反思到本质，由个体反思到集体等。[13]
第三章 数学教师进行反思性教学的实践
数学教师工作开展的平台是数学教学的各个环节，我们只有深入到具体细微的实际工作中来，有针对的进行反思性教学，才能真正发挥实效作用。我们应该思考怎样将课程标准和教材要求转化为实际的教学目标，怎样确定学生现有的实际水平与我们期望的目标水平之间存在的差距。凭经验形式拿出几条目标或照搬照抄课程标准（或教材目标）是不科学的，也是不负责任的。我们更应该思考：目标确定以后，怎样引领学生到达？怎样选择合适的活动方式，学习方法及媒体，才能引发学生的兴趣与自信心？学习内容的背景设置应符合学生的实际，怎样使初始问题与学生已有的知识和经验相联系？怎样实施认知干预，提升学生的学习境界？怎样引领学生进行逻辑概括，提炼观点，拓展研究的问题？怎样进行教学设计，才符合学生的具体到抽象，特殊到一般，现象到本质的认知特点和心理发展规律等等都是我们要反思的问题。
3.1 数学教师进行反思性教学的实践的内容
3.1.1 对课程意识的反思
对课程意识的反思是提高教学效率的关键，是一个教师走向成熟的标志。
如：高三数学复习效果的好坏，最关键的因素是教师必须树立良好的课程意识。教学中选择什么内容和材料作为复习的重点，其有效性和针对性更强；其次才是怎么教的问题。例如：函数的第二轮复习，许多资料的内容仍旧是：函数的定义域，值域，函数的单调性和奇偶性等，似乎是第一轮的浓缩。这样学生很难从整体意义上建构起知识与思想方法的网络，章节知识之间的内在联系。综合运用知识的能力难以有质的提高。应逐步改成：以定义域为前提，单调性为依据，注意值域的变化，重视图象的运用的整体观念。应注重函数与解析几何，函数与不等式，函数与导数，函数与数列的交汇问题；注重函数与实际生活中的信息迁移问题。在这一阶段，选择例题尤其注意引领学生站在一定的高度去俯视知识点和知识点之间的内在联系。
再如：在第二轮高三复习中如何协调专题训练与综合训练的关系，是另一个课程建设的问题。专题的复习特点是中心突出，缺点是对知识和思想方法的覆盖面受到一定的限制。所以高三后一阶段，都会穿插着一些综合练习，以防对知识遗忘。但如果穿插的考试过于频繁，就会造成学生的心理疲劳，和学习上的高原反应。所以，我们作为教师，尤其是高三教师，就需要思考的问题是，如何协调好专题与综合训练的关系。具体操作方法可以采用：在专题讲座时，每周抽出一定的时间来处理学生的离散性错误，在这个看似烦乱无章的错误中，提取出学生共同的问题，形成一节专题进行讲解，事实证明，收效很好。
3.1.2 对数学思想的反思，
有许多学生和教师都有一种错误的想法，就是学好数学就是会解题，从而陷入大量的重复性的劳动中。其实，数学中的教学应更重视向学生渗透数学思想的教学，掌握了数学思想，用数学的思维方式去考虑问题，才会达到事半功倍的效果。中学常用的数学思想方法有：函数与方程思想，数形结合思想，化归思想，分类讨论思想等。这些基本数学思想都对学生形成数学的思维习惯，提高数学分析问题能力方面起到引领作用。所以一节课下来，一定要反思，是否有数学思想的渗透。
3.1.3 对知识背景的反思。
试题逐渐和高等数学内容接轨，是近年高考的命题重点。只有站在一定的高度，适当了解高等数学中与高中数学相关的内容，掌握题目的知识背景，才能掌握主动权，俯视高考。如：不动点问题，函数的凸凹性问题，函数的二阶导数问题，虽然是大学课程的内容，但都在高考题中有所体现。
在一道有关自然数的证明题 
中，所涉及的知识背景就是高等数学基础知识之一，
.另外，有些题目中，灵活考察和渗透了高等数学中函数的凸凹性，在某些程度上，为高中数学的教学指明了方向。
例1:05年辽宁高考题:
（1）用x0,f(x0),f /(x)表示m
（2）证明: x0∈(0,+∞),g(x)≥f(x)
（3）关于x的不等式,x2+1≥ax+b≥
在[ 0,+∞)上恒成立，
求证:
证明：（1）（2）从略。
（3）证明：
虽然在问题中，没有提到凸凹性，但切线恒在曲线上方或下方，恰是应用了这一性质。作为高中数学教师，有必要对高等数学知识进行系统的学习和掌握，以了解题目的背景，作到了有的放矢，才会更好地指导平时教学。
3.1.4 对教学效果的反思
在平时作业和教学测试中，我们常会发现这样的现象：有些类型题在教学中已反复强化，但学生的解答情况却依然不尽如人意。这时，我们如果把责任一味推给学生，认为学生不用功或接受能力差，将无济于事。只有冷静反思教学过程的科学性和合理性，反思该问题本身的困难所在以及学生思维的最近发展区等诸多因素，再作出教学方法的调整，才能收到预期的教学效果。
学生们对解析几何的综合性问题很是头痛，特别是解析几何与向量的综合性问题上，
例2：（如图）
从答卷上看，学生过早的把向量符号坐标化，由于设元太多而陷入繁杂的运算，从而迷失了解题的方向，是导致丢分主要原因。另外，对圆锥曲线的第二定义和离心率的关系没有很好的融会贯通，没有带着目的性进行分析问题解决问题。找到了问题的症结，评讲时即可对症下药。通过师生对话，大家悟出了这样一个道理：求解解析几何问题，首先要对几何图形的性质做全面细致的分析，如度量，位置及对称等。对图形和定义的把握越透彻，解题的目标就越清晰，运算量也可得到相应的控制。
我们可以比较一下这两种解答方法的难易性。
方法一：用坐标方法进行运算。（此处还有很多同学对第二个向量关系进行向量语言与坐标语言之间的转化，会更繁琐，）
方法二：
本题的叙述方式以向量语言为主，这就要求解答者先把这些信息转化为图形语言，再对几何图形作出整体的分析，然后通过坐标化思想求解。反思高二解析几何的教学，教材上很少用向量语言给出问题的背景，单元小结中虽然做了强化，但要学生形成自觉转化的意识，显然不是一节两节课能够完成的，需要教师在平时的教学中坚持长期有意识的渗透。
3.1.5 在教学设计中的反思
由于师生最好的交流平台就是课堂，所以一堂课设计的好与坏，直接影响到学生的参与程度、学生思维的活跃程度、学生能否真正领悟数学思想、方法,能否真正体会理性思维。教学设计包括诸多环节，教师应在各个环节上深入探究，找到最适合的实施方案。
3.1.5.1.对教学引入的反思
在教学引入环节上，教师要做到，少一些预设，多一些生成。应遵循学生的认知水平来引入问题，引入的问题应多提出一些管理性提问或复杂性提问（创造性提问），在给学生更多的空间时，让学生在探究中享受到知识的生成过程。很多教师为了加快教学进度，或者认为开门见山式的讲解简单明快，忽略了教学引入。特别是经过了高三几轮复习的教师，对教学的这个基本环节上更容易忽略。为验证教学引入环节是否会对教学效果有影响，我在所授课的高二两个同类班级中进行了一次对比性实验。
讲授内容：二项式定理展开式的应用。
学生知识基础：熟练掌握了排列与组合相应知识。
实验设计：在实验班，针对二项展开式的由来，由具体到抽象的引入。
对比班：老师直接给出公式，同时分析公式的特点。
实验猜想：由具体到抽象的引入过程有助于对问题实质的理解。
实验操作：（实验班引入实录）用我们已经学习过的组合的知识，解决下面问题：4个容器中有红、蓝玻璃球各一个，每次从4个容器中各取一个球，有什么样的取法？各种取法有多少种？（配图示）
针对刚才同学的回答，把红，蓝色球标注成字母a，b逐步实现从具体到抽象的知识得出。学生很容易理解，二项式展开的实质是从各个括号中逐步取出各项。
实验检测：检测变式练习：三项式的展开。即对公式的实质进行应用，课堂效果进行验收。
测试题目之一：求在展开式（2x+y-z）6中，x3y2z项的系数。
正确理解：x3y2z是由
（2x+y-z）（2x+y-z）（2x+y-z）（2x+y-z）（2x+y-z）（2x+y-z）的6个括号中，进行选择，3个2x，2个y，1个z，
所以，含x3y2z项的系数：
。
结果分析：实验班57人，41人解答正确。正确率为72%：对比班48人，19人答对，正确率：39%。通过测验成绩明显看出，直接给出结论而不给出思考的过程，老师的讲解代替了学生的探索过程，势必造成教学效果的低下。学生即便暂时性的“记”住了结论，也不能够做到触类旁通，举一反三。通过这个简单的小实验，足以说明教学引入环节是多么的重要。
除此之外，适当的数学史、趣味数学故事做课前引入，会提高学生的注意力和学习数学的兴趣，对课堂效果起到很大的作用。
3.1.5.2要对教学设计中的教学目的进行反思
新课标要求在制定每节课（或活动）的教学目标时，要特别注意培养学生的科学素养即“三个维度”----知识、能力、情感态度与价值观。
现代教学要求摆脱唯知主义的框框，进入认知与情意和谐统一的轨道。因为对学生的可持续发展来讲，能力、情感态度与价值观，其适用性更广，持久性更长。许多知识都随着时间的推移容易遗忘，更何况当今知识更新的速度极快，只有具备获取知识的能力，才可以通过多种渠道获取知识。所以，教师在教学设计时，必须反思怎样将情感、态度、价值观有机地融入到课程教学内容中去，并有意识地贯穿于教学过程中，使其成为课程教学内容的血肉，成为教学过程的灵魂。
另外，我们要正确看待教学目标的完成与否的问题。教学目标的完成，不能单指内容上的一丝不苟、时间上掌握的恰倒好处等表面上的完成，而要看学生的能力是否得到了提高，思维是否得到了拓展和训练。所以，我们在设计教学目标时，一定要在新课程理念的指导下，以新的观念来设计和完成教学目标。
3.1.5.3要对教学设计中的理论基础进行反思
在排列组合教学中，我们经常会遇到一个典型的抽取贺卡问题:即几个人去抽取贺卡,在抽取的过程中，每个人不能抽到自己的贺卡。在前几轮的教学中，由于所有的参考资料上，都只限定于3人和4人互抽贺卡问题，所以，没有对题目中的理论基础进行思考，究其所以然。而只是对同学说明:高考只考虑到3人或4人即可。但作为反思型数学老师，应该深入研究其理论基础，不但要了解5人互抽贺卡问题该如何解决，甚至要了解经过推广后的n个人互抽贺卡问题的理论依据。
实际上，设n人互抽贺卡共有Mn种不同的方法。很容易得到：Mn=（n-1）（Mn-2+Mn-1） （n≥3）
Mn-nMn-1=-[Mn-1-（n-1）Mn-2]
故，数列{ Mn-nMn-1 }是一个以1为首项，以-1为公比的等比数列，
Mn-nMn-1=（-1）n
构造累加方式，两边除以n！，得
得到公式：
这样站在一定的理论高度去审视这类问题，才能更好的对此类问题触类旁通、深刻理解，培养学生的探究意识。
3.1.5.4反思教学过程中是否有“沟通”和“合作”
教育专家叶澜教授曾提出：“人类的教育活动起源于交往，教育是人类一种特殊的交往活动。”教学活动作为教育活动的一部分，“没有沟通就不可能有教学”，失去了沟通的教学是失败的教学。教学，是集中化、高密度和多元结构的沟通活动。成功的教学过程，应该形成多种多样的、多层面、多维度的沟通情境和沟通关系。教学过程是师生交往、积极互动、共同发展的过程。教学中的师生关系不再是发号施令与被动承受者的关系，教师不再是特权式人物，而是与学生平起平坐的一员；教学便是师与生彼此敞开心扉、相互理解、相互接纳的对话过程。在教学中教师要努力营造尊重、坦诚、公正的集体文化氛围,形成一种和谐、民主、融洽的师生互动的“情感场”, 包括同学间积极评价、相互鼓励的氛围,以满足学生的情感需要。逐渐消除学生数学学习的障碍,增强他们学习数学的信心和兴趣,提高学习的独立性和创造性。并采取积极的心理暗示,及时肯定他们学习上的每一点进步,让学生融入这样一种亲和的心理环境,发现真正的自我,树立自信、自强的良好心态。在成功的教学过程中，师生应形成了一个“学习共同体”，他们都作为平等的一员在参与学习过程，进行心灵的沟通与精神的交融。没有交往，没有互动，就不存在或未发生教学，那是只有教学形式表现而无实质性交往发生的“假教学”。
3.1.5.5反思教学设计是否创造性地使用了教材
教材，历来被看作课程之本，对高考起到重要的指导作用。很多同学甚至个别老师都有一个误区，认为必须把那些“大同小异”的高考复习练习册掌握透彻才能对高考应对自如，实际上这是一种错误的想法，是对教材没有作到深刻研究而下的结论，很多高考题目就是对教材题目的改编。教师在平时教学时，应以教材为本，引领学生一起重视教材，挖掘教材。教师不仅是教材的使用者，也是教材的建设者，要创造性的使用教材。《全日制普通高级中学教科书（必修）第一册（上）》第二章函数复习参考题第6题：
，此题的论证很简单，但论证过后应该反思这个结论是否有推广的价值？是否可以进行改编？其实，仔细探究，其实质为：自变量互为倒数的函数值互为相反数。在这个高度上来分析问题，很多问题就可以迎刃而解，如可以求值：
，很容易得到结果为0。20##年全国高考题，就有一类似题目：
，求值：
学生掌握了教材题目的实质后，这个问题就会从
着手，
当得到结果1时，很容易得到此题的最终结果：
。再如：春季高考招生试题，：
，这个问题从
入手，当得到结果为
时，很容易得到此题的最终结果：
。这两题可以说是课本习题的再次引申，也可以说是利用等差数列求和公式的推导思路的拓展。在这种探究的过程中，学生不仅体会到知识迁移的奥妙，又会对教材足够的重视起来。
新的课程理念下，教材的首要功能仍是作为教与学的一种重要资源。但因为新的课程改革中的一些改革理念仍具有实验性质，不是定论，不是新教条，不是不允许质疑的结论，还有待在实践中进一步检验、发展和完善。因此，我们在创造性使用教材的同时，可以在“课后反思”中作为专题内容加以记录，既积累经验又为教材的使用提供建设性的意见，使教师、教材和学生成为课程中和谐的统一体。
3.1.5.6反思教学设计是否存在着“内伤”
要反思自己是否在刻意追求所谓的“好课”标准：教学环节中的“龙头”、“凤尾”、“铜腰”个个精雕细琢，教学手段中的“电媒”、“声媒”、“光媒”一个不能少；学生讨论热热闹闹，回答问题对答如流。这种“好课”似乎无懈可击，但有没有给学生思考的空间？小组合作学习有没有流于形式？讨论是否具有成效？“满堂电”是否有越俎代庖之嫌？有没有关注学生情感、态度、价值观的变化？学生的创造性何在？对这些“内伤”必须认真回顾、仔细梳理、深刻反思、无情剖析，并对症下药，才能找出改进策略。
3.1.5.7反思教学过程中是否迸发出“智慧的火花”
教学目标综合性决定了师生活动的多样性和教学环境的复杂性。教师必须把开发学生潜能作为教学的最重要的任务，必须意识到学习是不可重复的激情和智慧的综合生成过程。教学，不仅仅是一种告诉，更重要的是如何引导学生在情境中去经历、去体验、去感悟、去创造。教学过程中，学生常常会于不经意间产生出“奇思妙想”、生发出创新火花，教师不仅应在课堂上及时将这些细微之处流露出来的信息捕捉、加以重组整合，并借机引发学生开展讨论，给课堂带来一份精彩，给学生带来几分自信，更应利用课后反思去捕捉、提炼，既为教研积累了第一手素材，又可拓宽教师的教学思路，提高教学水平。将其记录下来，可以作为教学的宝贵资料，以资研究和共享。
在高三复习时，经常有学生在学习的过程中迸发出智慧的火花，让我对学生产生的灵感和对知识融会贯通的能力感到震惊：在证明下面这个题目：当 0<a<1,0<b<1时，证明，
学生采用了很多方法，如:比较法,分析法,综合法,三角换元法等等。但是,另一个同学用数列各项和重新赋予了
意义后，结合不等式知识给出了以下精彩的证明:
惊讶之余，我也陷入深深的反思中：在教学过程中，把握住学生一闪而过的灵感与智慧的火花，不仅可以培养学生的创新能力，而且可以帮助学生树立学习数学的自信心和进一步研究的科学探索精神。
3.1.5.8反思教学设计是否符合学生的个性差异
学生的个性差异是客观存在的。成功的教育制度，成功的教育者，必须根据学生的个性特长秉赋优点，因材施教，因人施教，因类施教，充分发挥学生的个性特长，让性格各异的学生争奇斗艳，各领风骚，让每一个学生都有施展才能的天地与机会。换言之，成功的课堂教学，应让基础好的学生“吃得饱”、“跑得快”，让中等生“吃得好”、“跑得动”，让学困生“吃得了”、“不掉队”。因此，无论是情境的创设还是内容的呈现，无论是问题的设置，还是释疑解惑，均应“为了一切学生”，多层次、多维度、多渠道地开展教育活动。因为教育的最大使命就是尊重学生的个性差异，尽可能地创设条件发展学生的思维能力，培养学生的思维品质，促进全体学生的发展。
3.1.5.9反思教学过程是否存在“伪探究”
有的探究性学习只表现在问题的探究上，只要教师抛出一个问题，几个学生立即围成一团分组讨论，也不管小组成员的组合是否合理，问题的价值是否有讨论的必要；待几分钟后，教师一声击掌，学生的讨论戛然而止，再由小组中的“老面孔”优等生发言。至于其他学生，尤其是学习有困难的学生，在讨论时是否真正学会了应该学会的方法、技能、知识，就不得而知。这种“神散形未散”的“伪探究”掩盖了个性之间的差异，甚至会剥夺部分学生的独立思考、质疑、发言的权利。到底解决了多少“疑难病症”？又有多少学生真正参与、体验了学习的快乐、获得心智的发展就未得而知了。教师应反思现在仍然在倡导的启发式教学，怎么样合理的让位于“学生主体“，让学生真正在互动中有所交流，在交流中有所提高。
3.1.5.10对多媒体辅助数学课堂的反思
随着信息技术进入到数学课堂以来,对传统的数学教学产生了很大的冲击。但是，信息技术应用的是否恰当，是否能对数学学科起到直观形象的作用，还是只是起到幻灯片的作用，是我们应该反思的问题。
在一次习题课中，我出示了这样一道例题：“就m的变化过程，讨论方程mx2+(2-m)y2=1表示曲线的形状变化，”，学生通过讨论，总算得到了完整的结论，但对遗漏现象仍心有余悸。于是教师引导学生通过数轴来发现质变点——系数的零点。结合利用《几何画板》制作的软件，绘声绘色地描述曲线的动态美：当m<0时，随m的增大，焦点在y轴上的双曲线开口渐渐张大，m=0时，突变为两条平行于x轴的直线。把两条直线慢慢弯成扁椭圆(0<m<1)，再把椭圆似皮球般充气，逐渐鼓起为圆(m=1)，进而挤压成竖椭圆(1<m<2)，继续充气则裂变为两平行于y轴的直线(m=2)，最终把它变成焦点在x轴上的双曲线(m>2)，这种富有哲理和动态美的点睛之笔，在学生的记忆深处打下了深深的烙印。
在屏幕的变化过程中，有学生通过变化过程的演示图象，观察出了另外一个特点：该曲线族绕着四个定点在变动。通过探究，即把方程化为m(x2-y2)+2y2-1=0，即求得四个定点的坐标为(，
),(-,)这一意外的发现使我陷入了反思。有人说，数学是一门严谨而抽象的学科，用直观的手段会削弱学生抽象思维的发展。但只要应用得当，就会促进学生对问题的感知，有利于抽象思维的形成和发展。以本题为例，用形象化的语言展示数与形变化过程中的数学美，不仅可以提高学生的审美能力，增加学生的学习兴趣，而且还强化了分类讨论的几何解释，引动了学生进一步探究的热情，从而反现了恒过定点的这一不容易被发现的性质。所以说，在适当时候以多媒体等先进手段辅助教学会起到事半功倍的效果。但是，数学学科有些课程安排上，却不一定达到无“机”不能授课的地步。有些抽象的问题还需要学生通过想象力、实际操作、演算来体会知识的来龙去脉。有些“多媒体”的介入，高科技逼真的动画代替了学生头脑中想象的画面，大容量的板书在电子按键中一闪而过，学生来不及思考，来不及一步一步演算，甚至来不及犯错，一节“精彩”的课程过后结果未必精彩。所以，掌握多媒体辅助教学的度，是我们数学教师应该反思的问题。
3.1.5.11反思数学教学如何在知识网络上进行迁移。
数学虽然在教学中，分割成了各章各节，但是，要想把数学知识掌握的融会贯通，就要横向考虑整个高中数学体系，在知识的交汇点上如何进行整合？这不但是高考的热门话题，而且更能考察学生对数学的真正理解程度。为此，在平时教学中，教师更应该加强这方面的反思，以起到对学生的更好的指导。
在人教版《高三数学选修II》中，讲解数学归纳法的时候，教材后面有个习题：平面上有n条互不重合的直线，其中，任意2条直线不平行，任意3条直线不交于同一个点，用数学归纳法证明：平面内的交点个数为：
这是一道很简单的习题，可以简单的针对题目讲解一下数学归纳法的步骤。但是作为反思型教师，就应该思考，教材的这道题目可否推广到更深一层的含义。作为高三的学生，可否把前面的知识在此处融会贯通，让同学们知道所以然。所以，笔者在此处的教学采用了专题形式，，把此题的相关问题展现给学生，让学生了解知识是怎样形成体系的，各章节的知识是怎样联系起来的。
问题一：除了证明题目外，可否用第十章，排列组合的思想，自己求解平面内的交点个数？
（学生恍然大悟）：原来就是组合数公式：
问题二：同样题目背景下，可否问：这n条直线把平面分成了几个部分？
适当结合班级情况，给予提示，关键的递推关系式是推导公式的基础，也是数学归纳法证明的关键一步：
即这n条直线把平面分成的部分：
问题三：由问题一与问题二维数的变化，你想到了什么？提出问题并用两种以上的办法进行解决。
学生很快会联想到三维立体空间上，空间内有n个互不重合的平面，其中，任意2个平面不平行，任意3个平面不共线。用数学归纳法证明：这n个平面最多可以把空间分割成多少部分？
问题是类比出来了，但是究竟是多少部分很多同学无论用数列办法，还是用前2题的结论都觉得此题的难度很大，很多同学小声嘀咕，如果给结论，用数学归纳法证明还可以。针对这种情况，老师给出了结论，看看大家依据证明题的方式可否找到关键点：
这n个平面最多可以把空间分割成 
部分。
这时，我们联想（2），第n个平面与前n-1个平面都将有交线，那么这n-1条交线把这个平面最多分成了多少个部分，（问题二的结论）就是平面数增加到第n个时，多分割的空间部分，即递推中最重要的一步。
这样，通过这一系列的问题，同学们可以很好的梳理知识脉络：即数学归纳法，递推数列，排列与组合等知识是如何相互渗透的。
实践表明，“反思性教学”在课堂教学中可以有效的运用。教师对教学要有自觉的反思意识，在不断尝试“反思性教学”过程中培养自己对教学活动的自我评价的习惯和能力，以及对教学过程进行修正和控制的方法和技能，同时养成对学生的敏感性。这样，教师的监控能力不断得以提高，面对教学过程中各种问题都可以应对自如。
3.2 数学教师进行反思性教学的具体操作方式
教师的反思是一种习惯和意识，不断的反思，才能不断的进步。教学是一个系统的工程，教师反思的具体操作，是全方位，多角度，多层次的，具体操作方式可以有如下几种：
3.2.1利用教学札记
通过坚持记教学札记，可以对自己的教学活动的精彩与失败之处进行信息记录。掌握这些信息，可以帮助教师更好地洞察自己非常熟悉且习以为常的教学实践，揭示自己在实际的教学生活中所采用的而非应该尊崇的教学假定和教育理念。那么，教学札记应该记什么？
◆记成功之举
将教学过程中达到预先设计的目的、引起教学共振效应的做法；课堂教学中临时应变得当的措施；层次清楚、条理分明的板书；某些教学思想方法的渗透与应用的过程；教育学、心理学中一些基本原理使用的感触；教学方法上的改革与创新等等，详细得当地记录下来，供以后教学时参考使用，并可在此基础上不断地改进、完善、推陈出新。
◆记"败笔"之处
即使是成功的课堂教学也难免有疏漏失误之处，对它们进行回顾、梳理，并对其作深刻的反思、探究和剖析，使之成为以后再教时应吸取的教训。
◆记教学机智
课堂教学中，随着教学内容的展开，师生的思维发展及情感交流的融洽，往往会因为一些偶发事件而产生瞬间灵感，这些"智慧的火花"常常是不由自主、突然而至，若不及时利用课后反思去捕捉，便会因时过境迁而烟消云散，令人遗憾不已。
◆记学生见解
在课堂教学过程中，学生是学习的主体，他们总会有"创新的火花"在闪烁。教师应当充分肯定学生在课堂上提出的一些独到的见解，这样不仅使学生的好方法、好思路得以推广，而且对他们也是一种赞赏和激励。同时，这些难能可贵的见解也是对课堂教学的补充与完善，可拓宽教师的教学思路，提高教学水平。由于数学题目解决的多样性，总会有学生解决问题的方法和角度和你的所有设想都不同，如排列组合一章里，学生就会有很多解决方法非常精彩，将其记录下来，可以作为以后丰富教学的材料养分。
◆记再教设计
一节课下来，静心沉思，摸索出了哪些教学规律；教法上有哪些创新；知识点上有什么发现；组织教学方面有何新招；解题的诸多误区有无突破；启迪是否得当；训练是否到位等等。及时记下这些得失，并进行必要的归类与改进，考虑一下再教这部分内容时应该如何做，写出“再教设计”。这样可以做到扬长避短、精益求精，把自己的教学水平提高到一个新的境界和高度。总之，写课后反思，贵在及时，贵在坚持，贵在执着地追求。一有所得，及时记下，有话则长，无话则短，以记促思，以思促教，长期积累，必有“集腋成裘、聚沙成塔”的收获。
3.2.2利用教学摄像。
想让自己的教学过程再现，通过教学摄像等现代化手段可以很好的实现。我们知道在听课中，站在旁观者的角度，可以更好的从同行中吸收经验，了解各环节的优势和弊端，而自己却无法再重现自己讲课的各环节。即便课后进行回忆，也不可能对各个细节之处都了如指掌。所以，通过教学影像资料，我们可以自己当自己的观摩者，是进行自我检验的一个非常好的手段。
3.2.3通过同行进行反思
通过听课、研讨、集体备课等形式, 从同行的教育教学中取长补短。在教育研讨中，可以倾听同行对自己的教育教学的意见和建议,会成为自己发现自己优缺点的一条有效的捷径。也可以在别人的教学环节中，自己快速的提高。
在学校学校组织的教师基本功竞赛中，学校可以选择多名数学教师讲解相同的内容。这样，听课教师很容易在同行们内容相同而方式不同的授课中，发现优缺点，受益匪浅。在一次教师基本功竞赛的参与中，我获得了很大的感受：教授内容为高三数学选修II数学归纳法，因为其证明方法与以往学生所接触的方法的区别性，历来是学生理解与接受的难点。在引入数学归纳法的时候，很多教师都采用了“多米诺骨牌”效应进行引入，用以说明与数学归纳法的可类比之处：
为使整个骨牌倒下，要具备的初始条件是：即第一块倒下。递推的条件是要具备传递性，即每块倒下后，必须导致它的下一块倒下。再配以形象的多媒体显示，学生会一下子调动起兴趣。但是，与数学命题进行联系时，还是有很多同学无法从刚才的“游戏”中形成知识的迁移。而另一位教师利用了曾经学过的数列的递推性质引入，虽然很朴素，却收到了很好的效果。他的引入是：在递推数列中，要想确定一个数列，则a1=1是确定这个数列的一个初始条件，而 an+1与an的关系则是递推的依据。这样，再迁移到与自然数有关的命题证明中来，学生接受的情况反而很快。所以，听同行的讲课，可以缩短你的教学回馈时间，及时发现效果的好与坏。反思随课程各个环节而进行，旁观而冷静的思考，是教师进行反思的一个非常行之有效的途径。
3.2.4通过理论学习进行反思
《普通高中数学课程标准（实验）》的理论学习中，指出：“高中数学课程应注重提高学生的数学思维能力，”、“数学探究是高中数学课程中引入的一种新的学习方式，”同时提出评价应关注学生“能否不断反思数学学习过程，并改进学习方法”。[14]这些新的理论为什么要提出，提出的目的如何，怎样应对这些新的课程要求而改进自己的原有的理念并进行操作等问题就会摆在教师面前。在理论学习中，教师必须具有反思意识，才会冲击原有的根深蒂固的传统观念，以改进自己的教学行为，从而使自己站在教学改革的前沿。
第四章 数学教师进行反思性教学的思考
4.1 数学教师要培养学生的反思性数学学习能力
教师“会教”是学生“会学”的前提。教学是一个双边的活动，学生才是教学活动的主体，教师进行反思性教学最主要的目的应该是逐步培养学生的反思性数学学习的能力，通过自己在进行反思性教学的过程中所采用的反思的方式、方法、手段等各方面潜移默化的影响给学生。只懂得自己进行反思性教学，而不了解如何指导学生进行反思性学习的教师，所有的工作只能是无的放失。教师要在概念教学、解题教学、阶段性复习教学等各个环节,为学生创造适当的机会,留给学生充足的时间,创设合理问题情景,逐步地、长期持久地培养学生反思性学习习惯,引领学生从不同方面多角度观察事物、思考问题；引领学生不满足于常规的思考方法解决问题,善于在学习中质疑。只有具备较高反思能力的教师才能在教学中更好的引导学生，通过提高自己的教学水平、采取适合的教学模式等因素对学生反思性数学学习起到引导、监督和示范作用，进而影响其反思性数学学习能力的发展和提高。
所以说，教师为学生反思性数学学习能力的培养和发挥提供了重要的外部条件，要想真正发挥这一条件，必须努力提高自身的业务水平，这不只是教授学生知识的重要保证，更是有效的培养学生反思性数学学习能力的保证，这是因为：
教学水平较高的教师能够为学生提供良好的反思性数学学习的范例。在日常教学活动中，教学水平较低的教师往往不能准确、清晰表达自己完整的解题过程，他们更多的是带给学生完整的答案，而其中复杂的思维过程却不从让学生知晓，这就使学生失去了一个锻炼的机会，学生在碰到难题时就无法独立解答。而教学水平高的教师能向学生系统准确表述自己如何认识问题、如何制定解题计划、选择解题方法、改变思路等等，以及如何在解题过程中实施自我反思，如何克服解题中碰到的障碍，解题后的反思在回顾中如何进行。教学水平高的教师在教学过程中主要进行两方面的示范与指导:第一是解题的思维展现、推理过程，第二是自我反思过程。
教学水平高的教师能够明确阐述自己运用策略时的思维过程，将运用策略过程中不外显的心理活动过程明确地呈现给学生，这样可以减少学生的模糊认识，促使学生有意识地反思所学的策略和明确需要运用策略的条件，逐渐掌握反思策略中所包含的全部心理技能，发展自身的反思水平。
教学水平较高的教师能够恰当的监督和指导学生的反思性数学学习行为。教师在教学中对学生的指导并不仅仅是传授给学生关于数学的各种知识，更重要的是要为学生提供一个重要的“外控”条件。具体来说，如果在学生学习的过程中，教师能够在反思性学习能力方面给予较多的监督和指导，如引导学生不断地关注解题策略与问题最终解决之间的差距、及时地重审己知条件、引导学生排除解题干扰，并在解题后马上反思解题的过程、数学知识的运用、反省自己的策略是否恰当等等，那么，学生就能从中获得较多的实际体验，更加明确地意识到自己解题的全部过程，从而使制定解题计划、正确使用解题方法和解题策略、对解题的效果及时反馈与总结、对解题过程的缺陷及时补救、控制和解题后反思过程等方面得到提高和改善。正是在教学环境的外部他控与自控的相互作用过程中，学生才逐渐从教师引导、监督下进行数学学习发展到自我引导、自我调节，由教师的正确示范和帮助发展到自己注重并开始学习反思自己解题过程的技能。因此，只有教学水平高的教师才能在与学生相互作用的过程中突出地使学生更明确地体验到反思活动，更多地练习反思技能。
另外，数学教师采用的教学模式与学生反思性数学学习能力的培养与提高关系也很密切。教师应反思应采用什么样的教学模式，才会对培养学生的反思性数学学习能力有利。
首先，一个良好的教学模式既要有教师的主导作用，同时更重要的是学生主体作用的充分发挥。学生既要参与问题的发现，又要参与问题的解决，还要参与学习过程的评价与反思。[15]
其次，数学教学模式直接影响着学生数学认知结构的形成。影响学生反思性数学学习能力的最核心的认知因素是学生的数学知识经验。许多学生的解题障碍往往来自于知识经验的贫乏。从目前的数学教学实际来看，这些知识经验基本上是以具体的数学知识的学习为载体，以潜在的形式运行的。如果学生靠自己的学习经验去摸索、发现、积累这些知识，结果大多是能说得出所学的知识，却不知是通过怎样的认知过程得到这些知识的。学生习惯性地运用某些解题策略，但并没有意识到这些策略的存在价值以及使用这些策略受哪些因素的影响。不能安排、评价、调整这些解题策略的使用，遇到新的问题情境不知改用更为恰当的策略等。这种状况的造成与目前数学教师重结论、轻过程，重陈述性知识、轻程序性知识，偏重解题结果的注入式教学模式是分不开的。教师只有反思造成这种现象产生的原因，并积极整改，在知识教学和策略的学习与使用之间建立明确的关系，使二者有机统一起来，才能使学生懂得各种解题策略的特点和效用，恰当地应用数学知识经验，从而提高学生对自己学习过程的反思和监控水平。
总之，教师的反思能力与学生的反思能力有着相同或相似的发展机制和规律，教师的反思能力能给学生提供模仿的榜样，我们应该努力提高自己的反思能力，培养好的反思习惯，这样也能进一步促进学生反思能力的提高。
4.2 影响教师进行反思性教学的不利因素
◆流于形式，理论基础差。
教师的理论基础学习决定着反思的程度。理性的反思不同于直觉的反思，不是简单由习惯引起的，是需要凭借一定的理论进行分析的过程。是有理论支持下的质疑，探知，明理，悟道，深化的过程。需要教育工作的反思者具备一定的教育学，心理学，以及其他方面的知识。在平时繁忙的教育教学中，我们一定要加强自身的理论学习，否则，进行的反思性教学就不是真正意义上的反思。
◆找不到行之有效的操作办法。
教师反思需要贯穿教学活动的始终。既要有教学行动前的期待性反思，又有教学后对教学行动的记忆性和追溯性反思，还有教学过程中的情境性反思。在反思中，教师运用多种视角对自己或他人的教学经验进行审视，批判，辨析和识别属于自己的创造所在，追寻和探索那些被常识掩盖的对于实践经历的真正理解，从而作出决策和付诸行动。要做到这点，需要教师选择适当的操作方法来进行反思。而很多教师苦于操作方法的选择不当而成为反思性教学实施的障碍。
◆经验型教师的束缚。
教师在长期的学习和工作实践中，都形成了对教育教学的思维定势。在平时的教学中，会产生我讲，你学，我出题你来做等因循守旧的思想，而对一些成功的经验和做法，没有及时的进行总结提炼。忽略“我为什么这样教，”“怎样进一步改进会更有利于学生的接受？”等有关问题的提出和解决。这些观念上的滞后都影响教师及时树立反思的意识。
结 束 语
随着新一轮教育教学改革的到来，成为探究型，创新型，反思型教师将是教育改革对教师提出的基本要求。而我们教师更多更好的培养具有创新意识、创新精神、创新能力的创新型人才是教育所面临的一项重要任务，需要我们采取行之有效的措施。创新离不开反思，教师需要养成良好的反思性教学习惯，具备较强的反思意识，才能培养学生的反思性学习能力，进而培养学生的创新能力。反思性教学的研究既有理论意义，也有现实意义。本论文没有充实教师的反思性数学教学和学生的反思性数学学习结合在一起的有效事例，有机会，我会从培养学生反思性学习的角度出发来继续进行这方面的研究。
论文的书写，阅读了大量理论文献并结合自己和同事平时的工作实践中遇到的实例，是一个把实践与理论结合的过程，也是对理论进行验证的过程。在整理自己的反思札记时，反思这些年在教学工作中的过程，从最开始的不知反思，到后来的流于形式的反思，再到真正发现反思的必要性，这中间浪费了很多第一手的宝贵经验，但也正是这从亲身实践中总结的教训，让我更深刻的认识到教师要与时俱进,将反思性教学与培养学生的反思性学习有机地结合起来,及时更新知识结构、能力结构,不断提高自身的人文素养,在实践中反思,在反思中实践，使自己的教育观念、教育教学的行为能力和教育艺术水平有本质性的提高,只有这样，才能更好地实践新课程的理念。
注释：
[1]．程广文.案例分析:数学理解自动化与教学反思[J].中学数学教学参考,2005,9
[2][11][13]刘丽红. 高中数学教学中培养学生反思性学习能力的研究及实践[J].山东师范大学 20## 届教育硕士学位论文
[3]王安丽.新理念下的教学的反思[J].数学教学研究,2004,11
[4]喻平著.数学教育心理学[M].广西:广西教育出版社.20##年
[5]曹一鸣,王仲英.略论数学反思能力的培养[J].中学数学教学参考,2004,9
[6]郑毓信著.数学教育:从理论到实践[M].上海:上海教育出版社.2001 年
[7][9]吕洪波编著.教师反思的方法.[M].北京.教育科学出版社.20##年.
[8][10]熊川武著.反思性教学[M].上海:华东师范大学出版社.1999年
[12]赵玉香主编.反思性学习理论与实践探索[M].济南:山东大学出版社.20##年
[14]中华人民共和国教育部制订.普通高中数学课程标准(实验)[M].北京:人民教育出版社.20##年
[15] [英]Andrew Pollard. Reflective Teaching in the Primary School ---A Handbook for the Classroom (Third Edition), 王薇 郑丹丹译[M] .中国轻工业出版社.20##年.
参 考 文 献
1． 喻平著.数学教育心理学[M].广西:广西教育出版社.20##年
2． 熊川武著.反思性教学[M].上海:华东师范大学出版社.1999年
3． [美]Scott G. Paris, Linda R. Ayres:培养反思力一一通过学习档案档案和真实评估学会反思，袁坤译[M].中国轻工业出版社.2001 年
4． [美]Stephen D, Brookfield:批判反思型教师 ABC，张伟泽[M].中国轻工业出版社.2002 年
5． [英]Andrew Pollard. Reflective Teaching in the Primary School ---A Handbook for the Classroom (Third Edition), 王薇 郑丹丹译[M] .中国轻工业出版社.20##年.
6. 赵玉香主编.反思性学习理论与实践探索[M].济南:山东大学出版社.20##年
7. 吕洪波编著.教师反思的方法.[M].北京.教育科学出版社.20##年.
8. 陈琦,刘儒德主编.当代教育心理学[M].北京:北京师范大学出版社.1997 年
9. 唐瑞芬著.数学教学理论选讲[M].上海:华东师范大学出版社.2001 年
10. 郑毓信著.数学教育:从理论到实践[M].上海:上海教育出版社.2001 年
11. 尤善培著.反思与监控[M].大象出版社.2000 年
12. 王健吾著.数学思维方法引论[M].安徽:安徽教育出版社.1996 年
13. 刘丽红. 高中数学教学中培养学生反思性学习能力的研究及实践[J].山东师范大学 20## 届教育硕士学位论文
14. 王振英.新课程理念下引导高中生反思性数学学习的研究 [J].山东师范大学2006 届教育硕士学位论文
15. 倪进.高中数学反思性学习的现状调查[J].中学数学杂志,2006,4
16. 涂荣豹.试论反思性数学学习[J].数学教育学报,2000,11
17. 陈开龙.中学数学的反思性学习浅探[J].数学教学通讯,2006,7
18. 曹一鸣,王仲英.略论数学反思能力的培养[J].中学数学教学参考,2004,9
19. 程广文.案例分析:数学理解自动化与教学反思[J].中学数学教学参考,2005,9
20. 华志远.教学反思:从经验走向智慧[J].中学数学教学参考,2004,9
21. 刘希栋.高中数学反思性学习的实践与思考[J].数学教学研究,2004,10
22. 王安丽.新理念下的教学的反思[J].数学教学研究,2004,11
23. 阳志长.在教学反思中研究教学[J].中学数学教学研究,2004,10
攻读硕士学位期间的研究成果
1． 高俊玲，论文《几种常见的数列递推关系式》 发表于《数理化学习》（高中版）杂志 20##年第3期第4页
致 谢
该学位论文是在我尊敬的导师王辉教授的悉心指导下完成的，从论文从选题到定稿，王导师提出了大量富有建设性的意见和建议，在此，我谨致以最崇高和最衷心的感谢。就读期间，数学学院众多老师们在学业上给予了我们耐心细致的指导，使我们在实践经验的基础上，提高了理论水平，提高了科研的意识和水平，他们的工作态度、治学精神、人格风范将永远影响我今后的工作、治学和做人。资料室的老师们在资料查找方面给我提供了热情帮助,值此学满毕业之际，谨致以我最诚挚的谢意。
同时，本文在写作的过程，参阅了大量的文献资料,在这里谨向文献的作者表示衷心的感谢!
附录4：
全国优秀教育硕士专业学位论文
推荐表
单位名称： 填表日期：20##年 12月 25 日
说明：学科专业方向包括教育管理、教育技术、小学教育和学科教学，其中学科教学要说明具体方向，如学科教学（数学）。本表可复印、附页。