《随机过程》论文

平稳的随机过程

学号： 姓名： 班级： 指导教师： 专业： 系别：

11404111 郭冬冬 11级1班 王颖俐 数学与应用数学

数学系

完成时间：20xx年1月

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摘 要： 本文主要通过自己的调研， 结合本学期所学的课程《随机过程》总结出一些随机过程在通信中的具体应用。 随着科学的发展， 随机过程与通信系统的关系越来越紧密，并且应用场合越来越多，如何在通信系统中正确应用随机过程的知识也越来越重要，随机过程中的一些概念在通信系统中应用中都具有一定的物理意义， 掌握其物理意义对于更好地理解随机过程有很大的帮助作用。 接着结合自己的研究方向，进一步列举了一些随机过程在通信系统中的具体应用。有许在随机过程的分类有许多的体现。按照随机过程的参数集和状态空间是连续还是离散可以分为四类：一是参数离散、状态离散的随机过程，或叫做离散随机过程。如贝努力过程等；二是参数离散、状态连续的随机过程，或（连续）随机序列。如DAC（数模变换）过程中对随机信号进行采样；三是参数连续、状态离散的随机过程。如程控设备转接语音电话的次数，跳频设备在通信过程中改变频率的次数等；四是参数连续、状态连续的随机过程。如扫频仪的扫频信号进行扫频，各类信号中的纹波电压等。多随机过程的数字特征的应用，比如随机过程的数学期望、方差、自协方差与自相关函数、互协方差与互相关函数等，如测量两条光纤信道的质量高低，我们可以通过OTDR多次发送光信号，在接收端来检测其损耗值，通过求损耗值的数学期望来选择质量好的光纤信道；如测试两种稳压芯片的性能，我们会多次记录对同一电压的采样值，通过求其采样值的方差，我们就可以简单的做出判断，因为方差函数描述了采样电压在各个时刻对其均值的偏离程度。

关键词： 随机过程 ，平稳过程

1. 平稳过程

平稳随机过程是一类应用非常广泛的随机过程，它在研究中有着极其重要的意义。定义：若一个随机过程X(t)发热任意有限维分布函数与时间的起点无关,即对于任意的正整数n和所有的实数△，有fn(x1,x2, …,xn;t1,t2,…,tn) =fn(x1,x2,…,xn;t1+△,t2+△,…,tn+△)则称该随机过程是在严格意义下的平

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稳随机过程，简称严平稳随机过程。该定义表明，平稳随机过程的统计特性不随时间的推移而改变。它的一维分布函数与时间t无关：f(x,t)=f(x)而二维分布函数只与时间间隔?=t2-t1有关：f(x1 ,x2 ;t1 ,t2)=f(x1 ,x2 ;?)其均值和自相关函数分别为：

E[X(t)]=?xf(x)dx?a ????

R(t1,t2)=E[X(t1)X（t2）]=??????????x1x2f(x1,x2;?)dx1dx2?R(?)

即平稳随机过程具有简明的数字特征：1) 均值与t无关，为常数a；2) 自相关函数只与时间间隔?=t2-t1有关。在通信系统分析中我们常用这两个条件来直接判断随机过程的平稳性，并把同时满足1)和2)的过程定义为广义平稳随机过程。

在科学生活中，绝大部分为广义平稳的随机过程。所以，平稳随机过程的研究也具有实际的意义。

2. 随机过程的期望。

随机过程的均值函数m(t)=E[X(t)]的物理意义是：如果X(t)是电流或电压，则m(t)可理解为t时间点上的电压或电流的直流分量。

3. 随机过程的均方值

随机过程X(t)的均方值E[|X(t)|2]的物理意义是：如果

X(t)表示电压或电流，则E[|X(t)|2]可以理解为在t时刻上这个电压或电流在1Ω电阻上的平均功率。

4. 随机过程的方差。

随机过程X(t)的方差D(t)=E[X(t)-m(t)]2的物理意义是:

如果 X(t)表示电压或电流，则D(t)可以理解为在t时刻上电压或电流的起伏分量在1Ω电阻上耗散的平均功率。

5.平稳随机过程。

狭义平稳概念：所谓平稳随机过程，是指它的任何n维分布函数

或概率密度函数与时间起点无关。也就是说，如果对于任意的n和τ，随

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机过程ξ(t)的n维概率密度函数满足

则称ξ(t)是平稳随机过程。

广义平稳概念：若一个随机过程的数学期望及方差与时间无关，而其相关函数仅与τ有关，则称这个随机过程为广义平稳随机过程。

6.学习《随机过程》第一章心得体会。

这个学期学习了学习了《随机过程》这门课程，让我了解了很多东西，第一章的引论讲解了基本概念和例子、有限维分布、数字特征、平稳过程、独立增量过程、 条件期望、矩母函数以及收敛性，在这其中平稳过程比较重要，讲了其定义及宽平稳过程（二阶矩平稳），在本书的第四章有专门讲到平稳过程，所以，这一内容比较重要。既然讲到平稳，就有非平稳，而在生活中，一般遇到的是平稳过程，因此，平稳过程在生活以及科学中应用比较广泛，尤其在噪音方面。

学习了这门课的同学们，要努力钻研，这样就能更好的从事国家的一些重要事业，可以更好的为广大人民服务，以此来减少人们生活中的麻烦，让广大人民生活更加舒适。

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●参考文献：

1.刘次华随机过程 [M].华中科技大学出版社,2008

2.方兆本随机过程 [M].科学出版社，3版，2011

3.缪柏其，胡太忠[M].概率论教程，中国科学技术大学出版社 2版，2009

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第二篇：随机过程答案

随机过程第三章与第四章习题解答

3.1 解：令表示时间内的体检人数，则为参数为30的poisson过程。以小时为单位。

则。

。

3.2 解：

法一：（1）乘坐1、2路汽车所到来的人数分别为参数为、的poisson过程，令它们为、。表示=的发生时刻，表示=的发生时刻。

 

（2）当=、=时，

法二：（1）乘车到来的人数可以看作参数为+的泊松过程。令、分别表示乘坐公共汽车1、2的相邻两乘客间到来的时间间隔。则、分别服从参数为、的指数分布，现在来求当一个乘客乘坐1路汽车后，下一位乘客还是乘坐1路汽车的概率。

。

故当一个乘客乘坐1路汽车后，下一位乘客乘坐2路汽车的概率为1-

上面的概率可以理解为：在乘客到来的人数为强度+的泊松过程时，乘客分别以概率乘坐公共汽车1，以的概率乘坐公共汽车2。

将乘客乘坐公共汽车1代表试验成功，那么有：

（2）当=、=时

3.3 解：（1）记第个过程中第一次事件发生的时刻为，。

则。由服从指数分布，有

（2）方法一：由为相互独立的poisson过程，对于。

这里利用了公式

所以是参数为的poisson过程。

方法二：

1当时，

2当时，

得证。

（3）

    

3.4 解：对过程，设每次事件发生时，有个人对此以概率进行记录，且，同时事件的发生与被记录之间相互独立，个人的行为也相互独立，以表示为到t时刻第i个人所记录的数目。现在来证明是参数为的poisson过程。

独立性证明：考虑两种情况的情形，即只存在两个人记录，

一个以概率，一个以概率记录，则是参数为的poisson过程，是参数为的poisson过程。

得证。

3.5 解：（1）

  （2）

       

（3）

3.6 解：

3.7 解：不是

，的一维特征函数为：

参数为的Poisson过程的特征函数的形式为，所以不是poisson过程。

3.8  解：

3.9 解：

 

3.10 解：从门诊部出来的患者可以看作服从参数为3的泊松过程（以小时为单位）。

  则在小时内接受治疗的患者平均停留时间为：

　

当ｔ＝４时，平均等待停留时间为２ｈ。

３.11 解：

（1）。

      

       从上面看出、不独立。

       以此类推，不独立。

  （2）；

       

       分布不同。

3.12 解：（1）记时刻7:00为时刻0，以小时为单位。经过路口的车辆数为一个非齐次poisson过程，其强度函数如下：

       

       则在7：30~11：20时间内，即时， 代表这段时间内通过的车辆数，它服从均值为如下的poisson分布。

。

即：，在给定的时间内平均通过的车辆数为280。

          （2）。

3.11 解：在内某系统受到的总损害为一个复合poisson过程，其中。

      

     

       系统的平均寿命为

4.1（1）对 （2）错 当时，有可能小于t（3）错，

时，可能等于n。

4.2 解：（1）

           

       （2）由强大数定律：

              ，以概率1成立。

              ，，

              ，。

              则：，故。

4.3 解：

       ；

       。

4.4 解：（1）

（2）

        （3）

4.5 解：记过程处于状态i记为开，从状态i+1到n，经过n再回到

1，再到i-1这一过程记为关。

    则有，。

    设初始状态从1第一次到i需要时间。

    则

    。

4.6 解：为t时刻剩余寿命，为t时刻年龄。

       若假设更新过程是将一个部件投入使用而一旦失效即更换所

产生的，则表示

在时刻t部件所使用的年龄，而表示它的剩余寿命。

       令，即表示两次相邻更新的时间间隔，我

们要计算，为此我们将一个开-关的循环对应于一

个更新区间，且若在t时刻的年龄小于或等于x，就说系统

在时刻t“开着”。换言之，在两次相邻的时间为的时间

内，前x时间内系统“开着”，而其余时间“关着”。

       那么若的分布非格点的，由定理4.10得到

同理:

4.7 解：表示时刻t前的最后一次更新。

令

对最后一次更新取条件概率有：

        ；

        ；

        ；

        

         为非负不增函数，且，则由关键更新定理得到：。

4.8 解：，，。

        令，从上面可以推出：

        

4.9 证明：

方法一：

方法二：

          令；对第一次更新时刻取条件概率得到：

          下面我们定义: 

，那么上面的式子可划简为：

                              

由于：

；

          ；则：。