高中数学“有效教学”的几点思考

肖凌戆

（广东省广州市黄埔区教育局教研室 510700）

（本文已发表在《中国数学教育》20xx年第12期，13-15）

在现行高中数学教学中，大搞“题海战术”，追求“熟能生巧”，“三年课程两年完，留下一年搞训练”，是不争的事实．“教得辛苦，学得痛苦”是高中数学教育的现状.“题海战术”盛行，说明课堂教学效率较低．要克服“题海战术”顽疾，就必须提高课堂教学效率．高中数学新课程教学内容不断增加,而教学课时却在减少.要解决新课程教学时间偏紧的问题，迫切需要提升实践中的数学教学效率．在新课程背景下，实施高中数学有效教学具有重要的现实意义．（未用）

1．什么是“有效教学”

有效教学是一种现代教学理念[1]．要理解“有效教学”，就必须回答“什么是教学”、“什么样的教学是有效的”．

所谓“教学”，是指教师引起、维持或促进学生学习的所有行为，是师生互动交往的活动．从教学行为来看，它包括三个方面：一是激发学生的学习动机，教学是在学生“想学”的基础上展开的；二是指明学习目标与学习内容，即教师要让学生知道学到什么程度以及学什么，学生只有知道了自己学什么或学到什么程度，才会有意识地主动参与；三是采用易于学生接受与理解的教与学的方式．从教学过程来看，教学的本质是交往，交往就意味着教学过程就是平等对话、师生互动、合作交流的过程．也就是说，教学要以学生发展为本，课堂教学不能采用简单的灌输方法，把学生当作接受知识的容器，让学生被动接受知识．

所谓“有效”，是指教学活动有成效，课堂教学能促进学生发展，能达成教学目标，保证较高的教学效率和教学效益．它包括两个基本要素：一是有效率，二是有效益．

教学效率从过程上看，主要是指时间，我们要重视时间的充分利用．教学效率从结果上看，主要指学习效果，我们要追求教学的综合效果．美国著名教育心理学家布鲁姆指出：学习结果包括“成绩的水平、学习的速度和情感的结果”[2]．因此，综合效果应包括认知成绩、学习速度、情感发展等方面．教学效率包含时间和效果两个维度，若用确定的数学关系式表示的话，则有教学效率＝综合效果

时间．

教学效益是教学活动的效果和收益，体现教学的价值追求，是对教学结果与预期目标的吻合程度的评价．但教学效益难以量化，宜根据学生所获得的进步或发展，采用定性评价．经过一段时间的教学后，学生有无进步或发展是教学有没有效益的主要指标．

基于以上认识，笔者认为：（本人认为）有效教学是指教师在以学生发展为本的教育思想指引下，通过选择有效的教学策略，达成预期的教学目标，追求较高的教学效率和效益的教学活动．

2．高中数学“有效教学”的主要特征

笔者认为：（删掉）“有效教学”是高中数学“有效教学”的上位概念，高中数学“有效教学”既要具有高中数学教学的特点，又要践行“有效教学”的理念．

在高中新课程背景下，高中数学“有效教学”的主要特征是什么？通过文献分析与实践反思，笔者认为，（本人认为）有以下主要特征：

2.1目的性——促进学生发展

目的性，是指数学教学要有明确的教学目标．教学目标是实施有效教学的依据,教学目标有效，是高中数学有效教学的一个基本特征．

促进学生发展是高中数学教学的基本目标．“数学教育在学校教育中占有特殊的地位，它使学生掌握数学的基础知识、基本技能、基本思想，使学生表达清晰、思考有条理，使学生具有实事求是的态度、锲而不舍的精神，

[3]使学生学会用数学的思考方式解决问题、认识世界．”学生的发展不仅仅限于认知方面的发展，而是学生全面

和谐发展．在数学教学中，学生的全面和谐发展是学生的主体性发展和个性发展，是学生在数学知识、数学能力、情感态度和价值观上的全面提高与和谐发展．为了满足学生全面和谐发展的要求，新课程从知识与技能、过程与

方法、情感态度与价值观等三个方面提出教学目标（简称“三维目标”）．

具体到一堂课的教学目标是否都按照“三维目标”来制定，值得商榷．章建跃认为课堂教学目标应当强调“准

[4]确”“具体”“有用”.

2.2有效性——追求“高效率、轻负担”

有效性，是指通过教学能确保达成教学目标，保证课堂教学的效率和效益．有效性是高中数学有效教学的显著特征．

（1） 有效教学是提高教学效率的活动．

“教学效率从两个维度来认识．在学生的时间投入方面，指能够充分利用时间，全身心、积极、主动地参与数学学习．在数学教学结果方面，指多方面的学习效果——认知成绩、理性精神、效率意识、良好认知结构和数学学习能力．同样的学习结果，学生用时间较少，则教学效率高；同样的学习时间，学习效果好而且多样，则教

[5]学效率高．”这里的要点有两个方面：一是时间的充分利用，有效教学要有时间意识．时间是最为珍贵的教育

资源，对于学生来说，每个人的青春只有一次，如果我们的数学教学浪费了学生的时间，不能有效地指导学生学会学习，充分、高效地利用时间，那么将造成最大的浪费．二是综合效果，有效教学要有发展意识．“数学教育问题说到底是如何以数学育人的问题”，数学教育所追求的终极目标并不是单位时间内所获得的数学知识的多少，而是学生的和谐发展．因此，在数学教学中，既要强调珍惜时间，又要从学生发展的整体要求出发，追求数学教学的综合效果．

（2） 有效教学是追求教学效益的活动．

有效教学的核心问题是课堂教学效益问题，其实质是课堂教学质量．教学效益与教学效率紧密相关．从某种意义上讲，教学效率是对教学价值的量化评价，教学效益是对数学教学价值的综合评价；提高课堂教学效率讲究方式方法，追求课堂教学效益凸显人文关怀．数学有效教学要有质量意识．在数学教学中，我们要树立一种既掌握数学知识、形成数学能力，又促进学生成长的质量意识．教学质量的高低取决于学生参与学习活动的程度．在数学教学中，既要强调学生的思维参与，也要注重学生的情感参与；既要掌握基础知识、基本技能、基本方法，又要形成情感态度和价值观．数学教学效益在数学知识形成过程中动态生成，在学生可持续发展能力的培养中凸现．

（3）有效教学是关注学生成长的活动．

“高效率、轻负担”是有效教学追求的教学境界．数学有效教学要降低“心理成本”．“心理成本”是指在数学教学过程中师生认知活动的强度、情感投入的强度等．数学教学活动主要是师生的心理活动，学生成长也主要是一种心理成长．因此，数学教学中的这种“心理成本”直接决定着教学效率的高低．现行的“三年课程两年完，留下一年搞训练”的做法，大大增加了“心理成本”；从高一开始的，高密度的“月考”“模拟考”及没完没了的“解题训练”，是高中生数学课业负担加重的主要根源．这种在应试教育下形成的“拼时间、拼精力”的“题海战术”，是低效教学，必须彻底摒弃！数学教学要关注学生成长、促进学生发展．学生的发展是指个体在原有基础上的变化与提高，是个性发展，教学中要真正体现“不同人在数学上得到不同的发展”．

2.3思想性——学会数学思考

思想性，是指数学教学要重视数学思想方法的教学．数学是思维的科学,数学教学最重要的是要使学生学会数学地思维．因此，思想性是数学有效教学的重要特征．

数学思想方法是一种“隐性知识”,是数学的灵魂．数学思想方法是对数学对象的本质认识，是对数学知识进一步提炼、概括而形成的．数学概念和数学方法都是外显的，而数学思想则是内隐的，蕴涵在数学概念和数学方法之中，数学概念、原理以及数学思想和数学方法共同组成了数学的知识体系．

数学思想方法的教学要讲究教学策略．章建跃认为，有序性策略、过程性策略和变式策略是数学思想方法教

[6]学的常用策略.

3.提高数学课堂教学有效性的具体策略

3.1面向全体

素质教育的核心任务是使每一个学生的身心都得到全面和谐的发展．这就要求数学教师要正视学生知识水平的差异性和认知能力的差异性，在教学中注重因材施教，使每个学生都得到适合自己的数学知识，提高数学能力．为此，教学中可采用“低起点、多层次、勤交流、常总结”的方法．

（1）低起点．适当降低教学起点，课堂上尽量使绝大多数学生都能轻松的学习．为此教师要关注学生已有知识水平，关注学生思维的最近发展区．

案例1．两点间的距离公式的建立

教学时，设计如下问题可体现“低起点”要求．

①在平面直角坐标系中，已知O(0,0),P(1,2)，如何求O,P间的距离|OP|？

②在平面直角坐标系中，已知P,?1),P2(1,2)，如何求P1(?11,P2的距离|PP12|？

③在平面直角坐标系中，已知P1(x1,y1),P2(x2,y2)，如何求P1,P2的距离|PP12|？

（2）多层次．降低起点，降低难度，但不能降低要求．对于较难的数学问题，在设计教学过程时要注意由浅入深，对于较浅的典型问题要注意引申推广．

（3）勤交流．数学学习是以学生为主体的交流过程，要引导学生积极参与数学知识的形成过程，倡导学生合作交流．

（4）常总结．良好的总结能力有助于学生知识的掌握和思想方法的体验．因此，教师在每节课上都要引导学生小结，在每一个单元教学任务完成后也要组织学生进行总结．经常总结归纳，有利于完善学生的认知结构．

3.2问题驱动

“做数学”是学好数学的有效途径．数学学习要解决“问题”，课后练习是演练“问题”，数学考试是回答“问题”．因此，问题是贯穿数学教学活动的一条主线，是学生开展数学学习的驱动力之一．中国数学双基教学的经

[7]验表明，一个基本概念或基本技能的形成需要有一定程度的重复，重复经过变式得以发展 ．这里的变式也是用

问题来驱动的，变式问题为数学学习提供了认知台阶．不断变化的问题，为学生提供了合适的变异空间，有助于多角度地理解概念的本质和建立实质性联系；循序渐进地解决一系列的变式问题，有利于形成比较系统的数学知识模块．因此，问题驱动是开展有效教学的一种重要策略．

教学中如何运用问题驱动呢？笔者认为，可从设计有效“问题”入手，用问题导引学习．

本文中的“问题”，即数学问题．数学问题指学生个体与已有认知产生矛盾冲突，还不能理解或者不能正确解答的数学结构．有效的“问题”，至少要具备下列特征之一．

第一，目的性:问题要有意义，针对一定的教学目标，能反映当前学习内容的本质．

第二，直观性:问题直观而符合学科特点，学生通过直观感知，能领悟数学本质．

第三，适度性:问题的难易程度要适合学生的现有发展水平，“跳一跳，够得到”．

第四，开放性:问题入手较易，开放性强，探究空间较大，有助于学生创新思维．

第五，体验性:问题能提供数学学习的体验，有助于发展学生的问题意识和探究意识．

案例2．余弦定理的发现与证明

余弦定理的发现与证明是教学的一个重点和难点，学生已有知识主要包括正弦定理、平面向量的数量积、三角函数的定义及坐标法的初步知识等．下面是笔者设计：

问题1．正弦定理给出了三角形边角的数量关系，正弦定理是怎样证明的？正弦定理可以解决哪些类型的解三角形问题？

问题2．在三角形中已知两边及夹角，怎样求第三边？

问题3．在?ABC中，角A、B、C的对边分别记为a,b,c，

0（Ⅰ）若A?90,b?3,c?4，则a??

0（Ⅱ）若A?60,b?3,c?4，则a??

0（Ⅲ）若A?150,b?3,c?4，则a??

问题4．一般地，在?ABC中，已知b、c和A．怎样求a？

问题5．你发现了什么结论？你能用文字语言与符号语言表述你的发现吗？能给出证明吗？

问题6．若已知三角形的三边，如何求它的三个角？

问题7．在上述结论的证明方法中，何种证法更简洁？

上述问题是有效的．问题1提供了“先行组织者”，为学生发现并证明余弦定理提供了研究方法的指导．问题2体现了目的性，问题3体现了直观性，问题4、问题5及问题6体现了开放性，问题7体现了体验性．问题2和问题3从学生现有发展水平提出问题，通过这些问题达到一种可能达到的新的发展水平，即潜在发展水平，再在此水平上提出问题4和问题5，引导学生达到另一个潜在发展水平，如此形成余弦定理的发现和证明的问题

链，引领学生自主探究，获得新知，发展了学生的思维，加深了对数学的理解．

前苏联心理学家维果茨基认为，学生有两种发展水平：一种是现有发展水平（已经达到的发展水平），表现为学生能够独立地、自主地完成教师提出的智力任务；另一种是潜在发展水平（可能达到的发展水平），表现为学生还不能独立地完成教师提出的智力任务，但是在教师的指导下，通过自己的努力才能完成的智力任务．在现有发展水平与潜在发展水平之间存在一个“最近发展区”，教学要在最近发展区提出问题，让学生经历适当的困难，体验探究的过程．

3.3展示过程

展示过程，是指数学教学要展示思维过程，注重提高学生的数学思维能力。普通高中数学课程标准明确指出：“高中数学课程应注重提高学生的数学思维能力，这是数学教育的基本目标之一。人们在学习数学和运用数学解决问题时,不断经历直观感知、观察发现、归纳类比、空间想像、抽象概括、符号表示、运算求解、数据处理、演绎证明、反思与建构等思维过程。这些过程是数学思维能力的具体体现，有助于学生对客观事物中蕴涵的数学模式进行思考和做出判断。”因此，展示过程，是高中数学有效教学的基本策略。

展示思维过程通常从展示知识的形成过程、问题的提出与探究过程、方法的建构与反思过程等三个方面进行．在数学教学中，教师既要向学生展示自己的思维过程，让学生有机会学习教师解决问题的思想方法、了解教师在解决问题时遇到的困惑与挑战、与教师共同经历解决问题的曲折与艰辛．同时，也要引导学生暴露自己的思维过程，帮助学生树立战胜困难的信心，优化解决问题的方法，与学生共同分享数学学习的成功与快乐．

3．4变式探究

变式探究，是指通过“变式”，引导学生提出问题、探究解决问题的方案、获得“未曾有过”的知识．变式有多种形式，如“形式变式”、“方法变式”、“内容变式”．变式是模仿与创新的中介[8]．

变式探究的常用方法有“变式设问”、“变更题目”、“变位思考”、“正误辨析”等[9]．在数学教学中，要让学生掌握变式探究的方法，学会在变式探究中提出问题．

值得特别注意的是：变式探究要控制问题变式的难度，特别是开放性变式题要控制在学生认知水平的“最近发展区”内，否则，学生会有畏难情绪，从而丧失探究兴趣；变式探究要控制问题变式的数量，否则，学生会有厌烦情绪，从而产生逆反心理；变式探究要把握时机，若过早地进行变式或“告知”结论，学生难以体验问题发展和形成的过程；变式探究要有深度，问题变式要反映数学思想方法，能促进学生对数学本质的深刻理解．

4．高中数学“有效教学”的课堂评价

如何评价课堂教学的有效性？这是一个难度较大的问题。按照发展性评价和有效教学的理念，笔者认为，数学课堂教学的有效性主要从三个方面进行评价：

4.1教学目标有效－教学目标明确具体、多元生成、操作性强

教学目标体现课标要求，符合数学学科特点和学生实际，学生能明确自己的学习内容和目标，认知目标明确、具体、有用，能力目标和情意目标在达成认知目标的过程中动态生成。

4.2教学过程有效－教学活动合理有序、变式有效、关注个性

教师的教学策略有针对性，有实效。从学生的可接受性来看，创设有效的问题情境；从教师的角色定位来看，展现有效的思维过程；从学生的认知特点来看，设置有效的变式练习；从教学的归宿点来看，开展有效的反思评价。

4.3教学效率较高－学习活动状态优良、参与充分、注重创新

课堂教学的目的在于促进学生发展，教学效果要通过学生的表现来反映。学生能获得对数学知识的真正理解，能用自己的语言复述数学知识，并运用新知识解决具体问题；学生形成了积极主动的学习方式，能主动参与教学活动，能与同伴合作交流，能主动提问，有探究问题的欲望；学生能体验数学知识与方法的建构过程及应用价值，理性精神和创新意识得到发展。

参考文献：

[1]钟启泉等．为了中华民族的复兴，为了每位学生的发展――《基础教育课程改革纲要（试行）》解读[M]．上

海:华东师范大学出版社，2001．

[2]施良方．学习论――学习心理学的理论与原理[M]．北京:人民教育出版社，2000．

[3]中华人民共和国教育部制订．普通高中数学课程标准(实验)［M］．北京:人民教育出版社，2003．

[4]章建跃．对高中数学新课标教学的若干建议［J］．中学数学教学参考，2007,3：1－3。

[5]王光明．重视数学教学效率，提高数学教学质量［J］．数学教育学报，2005,14（3）:43－46．

[6]曹才翰，章建跃．数学教育心理学［M］．北京:北京师范大学出版社，2006．

[7]张奠宙．中国数学双基教学［M］．上海:上海教育出版社，2006．

[8]肖凌戆．“变式创新模式”的理论建构[J]．中学数学，2000,9：4－5．

[9]肖凌戆．从被动接受学习走向变式创新学习[J]．中学数学，2003,10：5－8．

第二篇：浅谈对高中数学生态课堂中有效教学的几点思考