小学数学新课程标准的设计思路

一、数学教学设计概述

（一）什么是教学设计

教学设计，就是对教学的过程进行事前的思考，之后做出供下一步进行教学的一个行动方案，做出行动方案的过程，就是教学设计。

就其本质而言，教学设计是一个分析教学问题，设计、评价、修改解决方案的系统计划过程。一些专家所提出教学设计概念的观点大体一致，即他们都强调教学设计是一个系统化的过程，包括如何编写目标、如何进行任务分析、如何选择教学策略与教学媒体、如何编制标准参照测试等。这些操作是必要的，也是最基本的。

（二）教学设计要做什么

1、分析教学目标

分析教学目标是为了确定学生学习的主题，即与基本概念、基本原理、基本方法或基本过程有关的知识内容。分析教学目标时要考虑以下四个方面： 1、学习者的主体特征；2、教学目标只定义所有学习者都要达到的基本要求；3、教学目标应有一定的弹性和可变化性；4、注意能力与素质培养目标的提炼。

2、设计教学情境

创设情境的方法有很多，例如用计算、比喻、演示教具、设疑、对比、类比等等来创设情境。建构主义强调要在真实情境下进行学习，其好处就是能减少知识与解决问题之间的差距，强调了知识迁移能力的培养。我们教师应为学生提供一个完整的、真实的问题情境，以此为支撑物启动教学，使学生产生学习需求。例如：加减混合运算可以设计为乘公交车的上下车。

3、设计教学形式与方法

现在教学形式与方法是多种多样的，有合作探究的、动手实践的、观察比较、开放型的，等等。我们都是根据教学目标、学生特点来设计最适合的教学形式与方法。

4、设计学习方式

小学数学学习应该是儿童自主的数学活动，要让儿童在动手操作中探究、发现、解决问题。我们在设计学习方式时要让学生自主地参与，并关注学生学习

过程的亲历与体验。

二、新课程下的教学设计理念

（一）数学化设计理念

人们运用数学的方法观察现实世界，分析研究各种具体现象，并加以组织整理，发现其规律，这个过程就是数学化。数学的组织现实世界的过程，就是数学化的过程。因而我们在进行教学设计的时候，要将现实的以及现实之上抽象出来的各种层次的 “数学现实”世界，进行数学地处理，用数学化的意识去进行教学的设计，这种设计理念就是数学化设计理念。

（二）问题化设计理念

在教学设计的时候，如果始终将数学的教与学置于各种奇妙的富于思考问题情境之中，这种设计就是很好地贯穿了问题化设计理念。我们的教学设计，要处处体现问题化理念，问题化理念的根本目的，就是让学生想学数学。要将教学形式尽量设计成引导式启发式。具体体现在：一要创设思考数学的情景。二是教师在课堂上的教学用语要设计成多用问句、用巧妙的问句形式问出来。

（三）活动化设计理念

在进行小学数学教学设计时，如果能将静态的教学内容设计成动态的过程；将传统的 “老师讲，学生听”设计成老师与学生的互动；将传统意义上的“纸笔方式”设计成学生动手操作方式。……凡是将教学设计成“动脑思考与动手操作并用、学生与老师互动”的设计思想，这就是贯穿了活动化的教学设计理念。 教学中可以让学生亲眼看一看，亲耳听一听，亲手摸一摸，亲自试一试，亲身演一演。 当然，这里所讲的活动化设计理念，并不是要求把小学数学的所有内容都变成活动化的形式。但是，在新课程标准非常强调学生动手，学生操作，学生做数学的今天，数学设计的时候，尽量多一些贯穿 “活动化设计理念”，是有积极意义和作用的。

三、新课程下的教学设计策略

（一）内容设计科学化

1、教学内容本身要有科学性，要做到内容准确无误，符合科学规范。

2、在设计教学内容如何教的过程时，要符合学生的认知规律。

（二）形式设计趣味化

在教学中，凡是学生喜闻乐见的形式都应该是我们设计小学数学教学时所使用的载体。如小学生喜欢的卡通人物的主人公，神话故事里的人物，都可以借用过来进行教学设计。还有形式喜欢的活动或运动形式，也可以是用作载体的教学形式。

（三）结构设计生动化

将一节课的内容通盘考虑来进行设计，而不是一盘散沙式的。只有对整节课通盘设计，一节课的结构与主线才能富有逻辑性。只有设计出逻辑性强、结构严谨的整节课，再配合前面所谈的对内容与形式进行的巧妙设计，才能为那些善于语言表达的教师上好一节课做好充分的准备。

四、新课程教学设计的实施

（一）作为组织者如何调控应变

传统教学的 "问答式"、"说听式"教学，教师是课堂的主宰者，课堂成为教师的"一言堂"；学生不敢越雷池半步，只有先举手再发言、只有经过老师的同意才可以发言，课堂上一般不会出现"学生插嘴"的现象。然而，新课程倡导平等、民主、和谐的师生关系，倡导教师是学生学习的促进者、合作者、研究者，在这种宽松、融洽的课堂教学氛围中，"学生插嘴"现象的产生是合情合理的、无可非议的，它不是"乱"、而是"活"，它是新课程条件下的教学景观。"学生插嘴"是学生自我实现个性张扬的最佳途径，因为学生是在一种没有约束、没有负担的的教学情景中产生的"插嘴"，这种个性的张扬是真实的、积极的、有意义的，它是学生的直觉、顿悟和灵感而迸发出来的创新性思维。“学生插嘴”现象的产生将考验教师的教学理念、调控水平、应变能力以及引导学生解决问题的方法，如：当学生的"插嘴"不尽人意时，你怎样让学生愉悦地坐下来；当学生的"插嘴"富有挑战时，你如何盘活、如何进行教学的"二度设计"，让学生的"插嘴"成为学习的资源，成为学生探究知识、发现规律的新的起点。

（二）作为引导者如何启发思考

提问是每一个教师课堂教学最常用的方法，是引导学生积极思考的最直接的手段。但是，教师问什么，怎样问是应特别重视的问题，课堂上问题的设置是一项创造性的劳动。讲授一个定理可设计若干不同的问题，可有若干不同的问法，但不同的问题不同的问法会产生不同的效果。因此，准确掌握大纲所要求

的尺度，明确所学知识在本书中的地位和作用，恰切地把握学生的认识能力和思维水平，才能问有所思，问有所答，学生思维积极活跃，收到理想的教学效果。

（三）作为合作者如何平等参与

作为学习参与者，与学生分享自己的感情和想法；和学生一道寻找真理，并且能够承认自己的过失和错误。意味着人人参与，意味着平等对话，教师将由居高临下的权威转向 “平等中的首席”。

教师如何才能做到平等地参与课堂教学中?我们说，首先，你不要强迫学生于什么，而应该是通过你的组织和引导，将学生吸引到数学教学中来。其次，你能提出问题，你也一定要给学生机会，让学生也提出他们的问题。当你发表你的见解时，你要立即想到我与学生是平等的，那我在教学设计时，都要考虑给学生发表他们见解的机会。传统意义上，总是教师布置作业给学生做，作为平等参与者，教师能不能提倡学生也给老师布置作业呢?总之，一个原则，教师有的权力，也要考虑给学生这方面的权力。学生有的义务，教师可不能摆架子，也应该把自己看成是班上的一分子，也要有这个义务。

第二篇：小学数学新课程标准

《小学数学新课程标准》（修改稿）

前 言

《全日制义务教育数学课程标准（修改稿）》（以下简称《标准》）是针对我国义务教育阶段的数学教育制定的。根据《义务教育法》、《基础教育课程改革纲要（试行）》的要求，《标准》以全面推进素质教育，培养学生的创新精神和实践能力为宗旨，明确数学课程的性质和地位，阐述数学课程的基本理念和设计思路，提出数学课程目标与内容标准，并对课程实施（教学、评价、教材编写）提出建议。

《标准》提出的数学课程理念和目标对义务教育阶段的数学课程与教学具有指导作用，教学内容的选择和教学活动的组织应当遵循这些基本理念和目标。《标准》规定的课程目标和内容标准是义务教育阶段的每一个学生应当达到的基本要求。《标准》是教材编写、教学、评估、和考试命题的依据。在实施过程中，应当遵照《标准》的要求，充分考虑学生发展和在学习过程中表现出的个性差异，因材施教。为使教师更好地理解和把握有关的目标和内容，以利于教学活动的设计和组织，《标准》提供了一些有针对性的案例，供教师在实施过程中参考。

设 计 理 念

数学是研究数量关系和空间形式的科学。数学与人类的活动息息相关，特别是随着计算机技术的飞速发展，数学更加广泛应用于社会生产和日常生活的各个方面。数学作为对客观现象抽象概括而逐渐形成的科学语言与工具，不仅是自然科学和技术科学的基础，而且在社会科学与人文科学中发挥着越来越大的作用。数学是人类文化的重要组成部分，数学素养是现代社会每一个公民所必备的基本素养。数学教育作为促进学生全面发展教育的重要组成部分，一方面要使学生掌握现代生活和学习中所需要的数学知识与技能，一方面要充分发挥数学在培养人的科学推理和创新思维方面的功能。

义务教育阶段的数学课程具有公共基础的地位，要着眼于学生的整体素质的提高，促进学生全面、持续、和谐发展。课程设计要满足学生未来生活、工作和学习的需要，使学生掌握必需的数学基础知识和基本技能，发展学生抽象思维和推理能力，培养应用意识和创新意识，在情感、态度与价值观等方面都要得到发展；要符合数学科学本身的特点、体现数学科学的精神实质；要符合学生的认知规律和心理特征、有利于激发学生的学习兴趣；要在呈现作为知识与技能的数学结果的同时，重视学生已有的经验，让学生体验从实际背景中抽象出数学问题、构建数学模型、得到结果、解决问题的过程。为此，制定了《标准》的基本理念与设计思路。

基 本 理 念

数学课程应致力于实现义务教育阶段的培养目标，体现基础性、普及性和发展性。义务教育阶段的数学课程要面向全体学生，适应学生个性发展的需要，使得：人人都能获得良好的数学教育，不同的人在数学上得到不同的发展。

课程内容既要反映社会的需要、数学学科的特征，也要符合学生的认知规律。它不仅包括数学的结论，也应包括数学结论的形成过程和数学思想方法。课程内容要贴近学生的生活， 1

有利于学生经验、思考与探索。内容的组织要处理好过程与结果的关系，直观与抽象的关系，生活化、情境化与知识系统性的关系。课程内容的呈现应注意层次化和多样化，以满足学生的不同学习需求。

数学活动是师生共同参与、交往互动的过程。有效的数学教学活动是教师教与学生学的统一，学生是数学学习的主体，教师是数学学习的组织者与引导者。

数学教学活动必须激发学生兴趣，调动学生积极性，引发学生思考；要注重培养学生良好的学习习惯、掌握有效的学习方法。学生学习应当是一个生动活泼的、主动地和富有个性的过程，除接受学习外，动手实践、自主探索与合作交流也是数学学习的重要方式，学生应当有足够的时间和空间经历观察、实验、猜测、验证、推理、计算、证明等活动过程。教师教学应该以学生的认知发展水平和益友的经验为基础，面向全体学生，注重启发式和因材施教，为学生提供充分的数学活动的机会。要处理好教师讲授和学生自主学习的关系，通过有效的措施，启发学生思考，引导学生自主探索，鼓励学生合作交流，使学生真正理解和掌握基本的数学知识与技能、数学思想和方法，得到必要的数学思维训练，获得广泛的数学活动经验。

学习评价的主要目的是为了全面了解学生数学学习的过程和结果，激励学生的学习和改进教师的教学。应建立评价目标多元、评价方法多样的评价体系。评价要关注学生学习的结果，也要关注学习的过程；要关注学生数学学习的水平，也要关注学生在数学活动中所表现出来的情感与态度，帮助学生认识自我，尽力信心。

信息技术的发展对数学教育的价值、目标、内容以及教学方式产生了很大的影响。数学课程的设计与实施应根据实际情况合理地运用现代信息技术，要注意信息技术与课程内容的有机结合。要充分考虑计算器、计算机对数学学习内容和方式的影响以及所具有的优势，大力开发并向学生提供丰富的学习资源，把现代信息技术作为学生学习数学和解决问题的强有力工具，致力于改变学生的学习方式，使学生乐意并有更多的精力投入到现实的、探索性的数学活动中去。

设计思路---关于学段

为了体现义务教育数学课程的整体性，《标准》统筹考虑了九年的课程内容。同时，根据儿童发展的生理和心理特征，将九年的学习时间具体划分为三个学段：第一学段（1-3年级）、第二学段（4-6年级）、第三学段（7-9年级）。

设计思路---关于目标

《标准》提出义务教育阶段数学课程的总体目标和分学段目标，并从知识技能、数学思考、问题解决、情感态度等四个方面具体阐述。

《标准》用了“了解（认识）、理解、掌握、运用”等认知目标动词表述知识技能目标的不同水平。一句“基本理念”，数学学习必须注重过程，《标准》 2

使用“经历（感受）、体验（体会）、探索”等认知过程动词表述学习活动的不同程度。使用这些动词进行表述是为了更准确地刻画上述四个方面的具体目标。在《标准》中，这些动词的具体含义如下。

了解（认识）：从具体事例中知道或举例说明对象的有关特征；根据对象的特征，从具体情景中辨认或者举例说明对象。

理解：描述对象的特征和由来，阐述此对象与相关对象之间的区别和联系。 掌握：在理解的基础上，把对象用于新的情境。

运用：用已掌握的对象，选择或创造适当的方法。

经历（感受）：在特定的数学活动中，获得一些感性认识。

体验（体会）：参与特定的数学活动，认识或验证对象的特征，获得经验。 探索：独立或与他人合作参与特定的数学活动，发现对象的特征及其与相关对象的区别和联系，获得理性认识。

设计思路---关于学习内容之一：数与代数

在各个教学段中，《标准》安排了四个方面的内容：“数与代数”，“图形与几何”，“统计与概率”，“综合与实践”。

数与代数

“数与代数”的主要内容有：数的认识，数的表示，数的大小，数的运算，数量的估计；字母表示数，代数式及其运算；方程、方程组、不等式、函数等。

在“数与代数”的教学中，应帮助学生建立数感和符号意识，发展运算能力，树立模型思想。

数感主要是指关于数与数量表示、数量大小比较、数量和运算结果的估计等方面的直观感觉。建立“数感”有助于学生理解现实生活中数的意义，理解或表述具体情景中的数量关系。

符号意识主要是指能够理解并且运用符号表示数、数量关系和变化规律；知道使用符号可以进行一般性的运算和推理。建立“符号意识”有助于学生理解符号的使用是数学表达和进行数学思考的重要形式。

运算是“数与代数”的重要内容，运算是基于法则进行的，通常运算满足一定的运算律。学习这些内容有助于理解运算律，培养运算能力。

模型也是“数与代数”的重要内容，方程、方程组、不等式、函数等都是基本的数学模型。从现实生活或者具体情境中抽象出数学问题，是建立模型的出发点；用符号表示数量关系和变化规律，是建立模型的过程；求出模型的结果并讨论结果的意义，是求解模型的过程。这些内容有助于培养学生的学习兴趣和应用意识，体会数学建模的过程，树立模型思想。

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设计思路---关于学习内容之二：图形与几何

图形与几何

“图形与几何”主要内容有：空间和平面的基本徒刑，图形的性质和分类；平面图形基本性质的证明；图形的平移、旋转、轴对称、相似和投影；运用坐标描述图形的位置和图形的运动。

在“图形与几何”的学习中，应帮助学生建立空间观念。空间观念是指根据物体特征抽象出几何图形，根据几何图形想象出所描述的实际物体；能够想象出空间物体的方位和相互之间的位置关系；根据语言描述或通过想象画出图形等。

直观与推理是“图形与几何”学习中的两个重要方面。几何直观是指利用图形描述几何或者其他数学问题、探索解决问题的思路、预测结果。在许多情况下，借助几何直观可以把复杂的数学问题变得简明、形象。几何直观不仅在“图形与几何”的学习中发挥着不可替代的作用，并且贯穿在整个数学学习中。

推理是数学的基本思维方式，也是人们学习和生活中经常使用的思维方式，因此，与直观一样，推理也贯穿在整个数学学习中。推力一般包括合情推理和演绎推理。合情推理是从已有的事实出发，凭借经验和直觉，通过归纳和类比等推测某些结果，是由特殊到一般的过程。演绎推理是从已有的事实（包括定义、公理、定理等）出发，按照规定的法则（包括逻辑和运算）验证结论，是由一般到特殊的过程。在解决问题的过程中，合情推力有助于探索解决问题的思路、发现结论；演绎推理用于验证结论的正确性。

设计思路---关于学习内容之三：统计与概率

统计与概率

“统计与概率”主要内容有：收集、整理和描述数据，包括简单抽样、记录调查数据、描绘统计图表等；处理数据，包括计算平均数、中位数、众数、极差、方差等；从数据中提取信息并进行简单的判断。简单随机事件及其发生的概率。 在“统计与概率”中，帮助学生逐渐建立起数据分析的观念是重要的。数据分析包括：了解在现实生活中有许多问题应当先做调查研究、收集数据，通过分析作出判断，体会数据中是蕴涵着信息的；体验数据是随机的和有规律的，一方面对于同样的事情每次收集到的数据可能会是不同的，另一方面只要有足够的数据就可能从中发现规律；了解对于同样的数据可以有多种分析的方法，需要根据问题的背景选择合适的方法。在概率的学习中，所涉及的随机现象都基于简单事件：所有可能发生的结果是有限的、每个结果发生的可能性是相同的。“统计与概率”的内容与现实生活联系密切，必须结合具体案例组织教学。

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设计思路---关于学习内容之四：综合与实践

综合与实践

“综合与实践”是以一类问题为载体，学生主动参与的学习活动，是帮助学生积累数学活动经验的重要途径。针对问题情景，学生借助所学的知识和生活经验，独立思考或与他人合作，经历发现问题和提出问题、分析问题和解决问题的全过程，感悟数学各部分内容之间、数学与生活实际之间及其他学科的联系，激发学生学习数学的兴趣，加深学生对所学数学内容的理解。这种类型的课程对于培养学生的抽象能力和逻辑思维能力、对于培养学生的创新意识和应用能力是有益处的，还有利于培养学生的合作精神。合理地设计课程内容以及教学方法是达到教学目标的关键，既要考虑学生的直接经验、能够启发学生思考，也要考虑问题的数学实质、培养学生的数学素养。这种类型的课程对教师是一种挑战，教师应努力把握住问题的本质，能够引导学生思考，同时，教师又应努力帮助学生整理清楚自己的思路，指导学生以不同的形式展示自己的成果或报告自己的工作。 这种类型的课程应当贯彻“少而精”的原则，保证每学期至少一次。它可以在课堂上完成，也可以将课内外相结合。

设计思路---关于实施建议

为了保证《标准》的顺利实施，《标准》分别对教学活动、学习评价，以及教材编写、课程资源的开发与利用等方面提出了实施建议；同时，为了更好地说明课程内容，《标准》在相关部分提供了一些案例。以上内容供有关人员参考、借鉴。

《课标》修改稿---总体目标（1）

通过义务教育阶段的数学学习，学生能够：

1、获得适应社会生活和进一步发展所必须的数学的基本知识、基本技能、基本思想、基本活动经验。

2、体会数学知识之间、数学与其他学科之间、数学与生活之间的联系，运用数学的思维方式进行思考，增强发现问题和提出问题的能力、分析问题和解决问题的能力。

3、了解数学的价值，提高学习数学的兴趣，增强学好数学的信心，养成良好的学习习惯，具有初步的创新意识和实事求是的科学态度。

《课标》修改稿---总体目标（2）

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《课标》修改稿---总体目标（3）

总体目标的四个方面，不是互相独立和割裂的，而是一个密切联系、相互交融的有机整体。课程组织和教学活动中，应同时兼顾四个方面的目标。这些目标的实现，使学生受到良好数学教育的标志，它对学生的全面、持续、和谐发展，有着重要的意义。数学思考、问题解决、情感态度的发展离不开知识技能的学习，知识技能的学习必须有利于其他三个目标的实现。

《课标》修改稿---学段目标之第一学段（1-3年级）

知识技能

1、经历从日常生活中抽象出数的过程，理解常见的量；了解四则运算的意义，掌握必要的运算技能。了解估算。

2、经历从实际物体中抽象出简单几何体和平面图形的过程，了解一些简单几何体和常见的平面图形；感受平移、旋转、轴对称，认识物体的相对位置。掌握初步的测量、识图和画图的技能。

3、经历数据的收集和整理的过程，了解简单的数据处理方法。

数学思考

1、能够理解身边有关数字的信息，会用数（合适的量纲）描述现实生活中的简单现象。发展数感。

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2、再讨论简单物体性质的过程中，发展空间观念。

3、在教师的指导下，能对简单的调查数据归类。

4、会思考问题，能表达自己的想法；在讨论问题过程中，能够初步辨别结论的共同点和不同点。

问题解决

1、能在教师的指导下，从日常生活中发现和提出简单的数学问题。

2、获得分析问题和解决问题的一些基本方法，知道同一问题可以有不同的解决方法。

3、体验与他人合作交流、解决问题的过程。

4、初步学会整理解决问题的过程和结果。

情感态度

1、对身边与数学有关的事务（现象）有好奇心，能够参与数学活动。

2、在他人帮助下，体验克服数学活动中的困难的过程。

3、了解数学可以描述生活中的一些现象，感受数学与生活有密切联系。

4、在解决问题的过程中，养成询问“为什么”的习惯。

《课标》修改稿---学段目标之第二学段（4-6年级）

知识技能

1、体验从具体情境中抽象出数的过程；理解分数、百分数的意义，了解负数，掌握必要的运算技能；理解估算的意义；掌握用方程表示简单的数量关系、解简单方程的方法。

2、探索一些图形的形状、大小和位置关系，了解一些几何体和平面图形的基本特征；体验图形的简单运动，了解确定物体位置的方法，掌握测量、识图和画图的基本方法。

3、经历数据的收集、整理和分析的过程，掌握一些简单的数据处理技能；体验事件发生的等可能性，掌握简单的计算等可能性的方法。

数学思考

1、能够对生活中的数字信息作出合理的解释，会用数（合适的量纲）、字母和图表描述生活中的简单问题；初步形成数感，发展符号意识。

2、在探索简单图形的性质、运动现象的过程中，初步形成空间观念。

3、能根据解决问题的需要，收集与表示数据，归纳出有用的信息

4、能进行有条理的思考，能清楚地表达思考的过程与结果；在与他人交流过程中，能够进行简单的辩论。

问题解决

1、能从社会生活中发现并提出简单的数学问题。

2、能探索分析问题、解决问题的有效方法，了解解决问题方法的多样性。

3、能借助于数字计算器解决简单的计算问题。

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4、初步学会与他人合作解决问题，尝试解释自己的思考过程。

5、能初步判断结果的合理性，经历回顾与分析解决问题过程的活动。

情感态度

1、愿意了解社会生活中与数学相关的信息，主动参与数学学习活动。

2、在他人的鼓励和引导下，尝试克服数学活动中遇到的困难，相信自己能够学好数学。

3、在运用数学解决问题的过程中，体验数学的价值。

4、初步养成乐于思考、实事求是、勇于质疑等良好品质。

《课标》修改稿---学段目标之第三学段（7-9年级）

知识技能

1、体验从具体情境中抽象出数学符号的过程；理解有理数、实数、代数式、方程、不等式、函数。 掌握必要的运算（包括估算）技能；探索具体问题中的数量关系和变化规律，掌握用代数、方程、不等式进行表述的方式。

2、探索并理解图形的基本性质、位置关系和平移、旋转、轴对称等。掌握三角形、四边形的基本性质（包括判定），掌握基本的证明方法。

3、体验数据收集、处理、分析和推断过程，理解抽样方法；体验用样本估计总体的过程，理解频率。理解计算简单事件概率的方法。

数学思考

1、能从具体情境中抽象出数量关系，并且能用代数式、方程、不等式、函数等表述，体会模型的思想。

2、在研究图形运动现象、确定物体位置的过程中，进一步发展空间观念，初步建立几何直观。

3、初步建立数据观念，理解通过数据进行统计推断的合理性。

4、初步形成通过实例探索数学结论的思维方式。在多种形式的数学活动中，发展合情推理与演绎推理的能力。

问题解决

1、尝试在具体的情境中，从数学的角度发现问题和提出问题。

2、尝试从不同角度寻求分析问题和解决问题的方法，了解不同方法的差异。

3、在与他人合作和交流过程中，能较好地理解他人的思考方法和结论。

4、在表述自己的想法时，能针对他人所提的问题进行反思。

情感态度

1、愿意谈论某些数学话题，能够在数学学习活动中发挥一定的作用。

2、体验独立克服困难、解决数学过程的过程，有克服困难的勇气，具备学好数学的信心。

3、在运用数学表达现实、解决问题的过程中，认识数学抽象、严谨和应用广泛的特点，体会数学的价值。

4、勇于发表自己的观点，质疑他人的观点，养成良好的学习习惯。

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关于数学课标修订变化情况解读

作者:重庆师范大学 黄翔教授 录入时间:2011-6-17 阅读次数:723

重庆师范大学黄翔教授是国家课标修订小组核心成员，下面是黄翔教授关于《数学课程标准修订与小学数学课堂教学》的培训讲座整理稿

新修订课标主要呈现以下九大变化：

1. 基本理念“三句”变“两句”， “6条”改“5条”：

原来的“三句话”：

● 人人学有价值的数学

● 人人都能获得必需的数学

● 不同的人在数学上得到不同的发展

现在的“两句话”：

● 人人都能获得良好的数学教育

● 不同的人在数学上得到不同的发展

（修订后与过去的提法相比：有更深的意义和更广的内涵，落脚点是数学教育而不是数学内容，有更强的时代精神和要求（公平的、优质的、均衡的、和谐的教育。）

“6条”改“5条”：

在结构上由原来的6条改为5条，将原《标准》第2条关于对数学的认识整合到理念之前的文字之中，新增了对课程内容的认识，此外，将“数学教学”与“数学学习”合并为数学“教学活动”。

● 原课标： 数学课程——数学——数学学习——数学教学——评价——信息技术

● 修改后：数学课程——课程内容——教学活动——学习评价——信息技术

2.理念中新增加的提法：

● 要处理好四个关系

● 有效的教学活动是什么

● 数学课程基本理念（两句话）

● 数学教学活动的本质要求

● 培养良好的数学学习习惯

● 注重启发式

● 正确看待教师的主导作用

● 处理好评价中的关系

● 注意信息技术与课程内容的整合

3.关于数学观的修改：

原课标：

● 数学是人们对客观世界定性把握和定量刻画、逐渐抽象概括、形成方法和理论，并进行广泛应用的过程。

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● 数学作为一种普遍适用的技术，有助于人们收集、整理、描述信息，建立数学模型，进而解决问题，直接为社会创造价值。

● 数学是人们生活、劳动和学习必不可少的工具，能够帮助人们处理数据、进行计算、推理和证明，数学模型可以有效地描述自然现象和社会现象；数学为其他科学提供了语言、思想和方法，是一切重大技术发展的基础；数学在提高人的推理能力、抽象能力、想像力和创造力等方面有着独特的作用；数学是人类的一种文化，它的内容、思想、方法和语言是现代文明的重要组成部分。

· 课标修改稿：

● 数学是研究数量关系和空间形式的科学。

● 数学作为对于客观现象抽象概括而逐渐形成的科学语言与工具 ??

● 数学是人类文化的重要组成部分，数学素养是现代社会每一个公民应该具备的基本素养。 ● 要发挥数学在培养人的理性思维和创新能力方面的不可替代的作用

树立正确的数学教学观：教学活动是师生积极参与、交往互动、共同发展的过程。有效的教学活动是学生学与教师教的统一，学生是学习的主体，教师是学习的组织者、引导者与合作者。

数学教学中最需要考虑的是什么？数学教学活动应激发学生兴趣，调动学生积极性，引发学生的数学思考，鼓励学生的创造性思维；要注重培养学生良好的数学学习习惯，使学生掌握恰当的数学学习方法。

4.“双基”变“四基”。

“双基”：基础知识、基本技能；

“四基”：基础知识、基本技能、基本思想、基本活动经验

“四基”与数学素养：

● 掌握数学基础知识

● 训练数学基本技能

● 领悟数学基本思想

● 积累数学基本活动经验

《国家数学课程标准》制定组组长、东北师大校长史宁中教授提出了“数学教学的四基”，引起了数学教育界的广泛关注。以前强调的双基是指基础知识、基本技能，双基教学重视基础知识、基本技能的传授，讲究精讲多练，主张‘练中学’，相信‘熟能生巧’，追求基础知识的记忆和掌握、基本技能的操演和熟练，以使学生获得扎实的基础知识、熟练的基本技能和较高的学科能力为其主要的教学目标。现在提出的四基不但包括了基础知识、基本技能、还增加了基本思想、基本活动经验。

史宁中教授指出：“‘基本思想’主要是指演绎和归纳，这应当是整个数学教学的主线，是最上位的思想。”关于基本思想方法，陈老师为我们分析了数学思想方法的四大育人功能：一是有利于完善学生的数学认知结构；二是可以提升学生的元认知水平；三是可以发展学生的思维能力；四是有利于培养学生解决问题的能力。陈老师结合小学数学现有的课标教材重点给我们介绍了小学阶段涉及到的数学思想方法，比如分类、转化、归纳、数形结合、数学建模、猜想、符号化、方程与函数、极限等数学思想方法。他系统地为我们解读了这些数学思想方法的意义、在小学数学教学中的作用和价值以及应用时的注意事项，陈老师的分析让我认识到在教学中关注数学思想方法的重要性，在教学中渗透数学思想方法的必要性。

“双基”变“四基”，为数学教师提出了更高的要求，要求数学教师必须为儿童的学习和个人发展提供了最基本的数学基础、数学准备和发展方向，促进儿童的健康成长，使人人获得良好的数学素养，不同的人在数学得到不同的发展。“双基”变“四基”，任重而道远。

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常用的小学数学思想方法：对应思想方法、假设思想方法、比较思想方法、符号化思想方法、类比思想方法、转化思想方法、分类思想方法、集合思想方法、数形结合思想方法、统计思想方法、极限思想方法、代换思想方法、可逆思想方法 、化归思维方法、变中抓不变的思想方法、数学模型思想方法、整体思想方法等等。

· 5.关于设计思路的修改：

● 学段划分保持不变；

● 对课程目标动词及水平要求的设计基本保持不变，增加了目标动词的同义词；

● 对四个学习领域的名称作适当调整；

● 对学习内容中的若干关键词作适当调整对其意义作更明确的阐释。

6．四个领域名称的变化：

原课标：数与代数、空间与图形、统计与概率、实践与综合应用

修改后：数与代数、图形与几何、统计与概率、综合与实践

7.主要的关键词的变化：

● 原课标：数感、符号感、空间观念、统计观念、应用意识、推理能力

● 修改后：数感、符号意识、运算能力、模型思想、空间观念、几何直观、推理能力、数据分析观念

最近一次修改又加上了：应用意识、创新意识。

符号感为何改为符号意识？

● 符号感（Symbol Sense）

● 原课标：

“符号感”主要表现在：能从具体情境中抽象出数量关系和变化规律，并用符号来表示；理解符号所代表的数量关系和变化规律；会进行符号间的转换；能选择适当的程序和方法解决用符号所表达的问题。”

● 修改稿：

“符号意识”主要是指能够理解并且运用符号表示数、数量关系和变化规律；知道使用符号可以进行一般性的运算和推理。建立符号意识有助于学生理解符号的使用是数学表达和进行数学思考的重要形式。”

● 符号感与数感都用“感”，“感”的表述过多。符号感主要的不是潜意识、直觉。符号感最重要的内涵是运用符号进行数学思考和表达，进行数学活动。“意识”有两个意思：第一，用符号可以进行运算，可以进行推理；第二，用符号进行的运算和推理得到的结果具有一般性。所以这是一个“意识”问题，而不是“感”的问题。数学的本质是概念和符号，并通过概念和符号进行运算和推理。所以只能用“意识”。

8.关于课程目标的修改：

在总体目标中突出了“培养学生创新精神和实践能力”的改革方向和目标价值取向。

课程目标提法上的一些变化：

——明确了使学生获得数学的基础知识、基本技能、基本思想、基本活动经验（数学“四基）。 ——提出了培养学生发现问题、提出问题、分析问题和解决问题能力。

——目标具体从“知识技能”“数学思考”“问题解决”“情感态度”四个方面阐述。

——学段目标的表述方式有所改变

9.关于内容标准的修改

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结构上的变化：

数与代数的变化：（在内容结构上没有变化。）

第一学段:

①增加“能进行简单的整数四则混合运算（两步）”

②使一些目标的表述更加准确。例如将“能灵活运用不同的方法解决生活中的简单问题，并能对结果的合理性进行判断”，修改为“能运用数及数的运算解决生活中的简单问题，并能对结果的实际意义作出解释”。

第二学段：

①增加的内容：

● 增加“经历与他人交流各自算法的过程，并能表达自己的想法”。

● 增加“了解公倍数和最小公倍数；了解公因数和最大公因数”。

● 增加“在具体情境中，了解常见的数量关系：总价=单价×数量、路程=速度×时间，并能解决简单的实际问题”。

● 增加“结合简单的实际情境，了解等量关系，并能用字母表示”。

②调整的内容：

● 将“理解等式的性质”，改为“了解等式的性质”

● 将“会用等式的性质解简单的方程(如3x+2＝5，2x-x＝3)”，改为“能解简单的方程(如3x+2＝5，2x-x＝3)”。

③使一些目标的表述更加准确和完整。例如将“会用方程表示简单情境中的等量关系”，改为“能用方程表示简单情境中的等量关系，了解方程的作用”。

· 图形与几何的变化：

第一学段

①删除的内容

● 删除“能在方格纸上画出一个简单图形沿水平方向、竖直方向平移后的图形”，并将相关要求放在第二学段。

● 删除“能在方格纸上画出简单图形的轴对称图形”，并将相关要求放在第二学段。

● 删除“会看简单的路线图”，相关要求放入第二学段。

● 删除“体会并认识千米、公顷”，相关要求放入第二学段。

②降低要求

对于“东北、西北、东南、西南”四个方向，不要求给定一个方向辨认其余方向，降低要求为知道这些方向。

③使一些目标的表述更加准确和完整。例如将“辨认从正面、侧面、上面观察到的简单物体的形状”改为“能根据具体事物、照片或直观图辨认从不同角度观察到的简单物体的形状”。

第二学段：

①删掉“了解两点确定一条直线和两条相交直线确定一个点”。

②增加“知道扇形”。

③使一些目标的表述更加准确和完整。例如将“探索并掌握圆的周长公式”改为“通过操作，了解圆的周长与直径的比为定值，掌握圆的周长公式”。

统计内容主要变化如下：

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● 第一学段与《标准》相比，最大的变化是鼓励学生运用自己的方式（包括文字、图画、表格等）呈现整理数据的结果，不要求学生学习“正规”的统计图（一格代表一个单位的条形统计图）以及平均数（这些内容放在了第二学段）。

● 第二学段与《标准》相比，在统计量方面，只要求学生体会平均数的意义，不要求学生学习中位数、众数（这些内容放在了第三学段）。

● 加强体会数据的随机性。在以前的学习中，学生主要是依靠概率来体会随机思想的，《标准（修改稿）》希望通过数据分析使学生体会随机思想。

概率内容主要变化如下：

● 第一学段、第二学段的要求降低。在第一学段，去掉了《标准》对此内容的要求。第二学段，只要求学生体会随机现象，并能对随机现象发生的可能性大小做定性描述。

● 明确指出所涉及的随机现象都基于简单随机事件：所有可能发生的结果是有限的、每个结果发生的可能性是相同的。

第一学段：

①鼓励学生运用自己的方式（包括文字、图画、表格等）呈现整理数据的结果，删除“象形统计图、一格代表一个单位的条形统计图”、“平均数”的内容，相关要求放在了第二学段。

②删除“知道可以从报刊、杂志、电视等媒体中获取数据信息”。

③删除“不确定现象”部分，相关要求放在了第二学段。

第二学段:

①删除“中位数”、“众数”的内容，相关要求放在了第三学段。

②删除“体会数据可能产生的误导”。

③降低了“可能性”部分的要求，只要求学生体会随机现象，并能对随机现象发生的可能性大小做定性描述，定量描述放入第三学段。

加强体会数据的随机性

● 这是修改后的一个重要变化。原来，学生主要是依靠概率来体会随机思想的，现在希望学生通过数据来体会随机思想。

● 这种变化从“数据分析观念”核心词的表述也可以看出。

综合与实践的变化：

● 统一了三个学段的名称，进一步明确了其目地和内涵。

●“综合与实践”是一类以问题为载体，学生主动参与的学习活动，是帮助学生积累数学活动经验、培养学生应用意识与创新意识的重要途径。

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备学生，一个现实的教学问题

作者:泗洪县教育局教研室 马承珠 录入时间:2010-7-2 阅读次数:2568

一位特级教师先后在南京师范大学附属小学和泗洪县青阳小学执教《24时记时法》。 教师所采用的教学方法是一样的——

教师创设“新闻联播是在什么时刻播出的”这一问题情境后，引出两种记时法。然后给学生提供一些资料：

电视节目预报

8：50 9：30 14：00

上午8：50 上午9：30 下午2：00

16：00 19：00 22：00

下午4：00 晚上7：00 夜里10：00

学生结合教师提供的材料围绕下面的三个问题展开讨论：这两种记时法有什么特点? 它们的区别与联系是什么?生活中如何运用这两种记时法?

然而，教学过程和效果却大相径庭。附小的学生对三个问题都一一进行讨论并得出 了结论，而青阳小学的学生却无从下手，颇令教师失望。

课后，执教老师很谦虚地和我交流：“今天的课为什么会成这个样子呢?”我说：“农村学生对24时记时法的生活经验远远不如城市，所以在自主探究中，学生缺乏经验基础。”教师非常大度地把责任揽到自己身上：“这不能怪学生，只能说明我备课时缺乏备学生的已有知识经验，值得我认真反思。”

从同一位教师对不同学生的教学比较中，从特级教师对教学的反思中，我们能得到 比较深刻的启示：教师教学时，在认真研读教材内容、参考教学用书的基础上，还要认真备学生。那么，备学生要“备”什么呢?

一是备学生的已有经验。根据学生的实际情况选择合适的教学方法，才能保证课堂

教学的设想得以有效实施。如，教学《24时记时法》时，除了要知道学生对时、分、秒的相关知识掌握情况外，还需思考学生在平时生活中对24时记时法有没有认识，认识多少；学生已有的关于普通记时法的经验有多少，对24时记时法的学习有哪些促进作用，又有可能会有哪些干扰。为了了解学生的已有经验，教师可以课前与学生谈话，了解情况，进而为课堂教学做一些准备。

二是备学生的学习心理。学生是学习活动的主体，需要积极主动地投入到学习活动

中，因此，教学时要考虑学生的心理状态和心理需求，有针对性地设计教学方案。如，教学《24时记时法》，教师的意图是让学生围绕提出的材料进行自主思考，进而讨论。这样组织教学就需要思考：学生学习到这个环节，会有怎样的学习状态?他们愿不愿意积极主动地进行思考和探究?如果不愿意，原因是什么?怎样激发学生主动探究的愿望?只有想到这些，预设具有符合学生心理状态和实际需求的教学方案，才能保证教学更好地激发学生的主动性，从而更有效地促进学生的思维活动。

三是备学生的差异。教学不能仅靠班上几个优秀学生“搭台唱戏”，而让大部分学生成为听众和看客。教师在预设教学方案时，必须充分了解学生学习水平的差异，并能根据学生的整体情况设计有针对性的讨论问题，让不同水平的学生都有话能说，有事可做。这是全面提高小学数学教学质量的关键。

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如何保证学生课堂独立练习的时间

作者:《小学数学教学网》网友 录入时间:2011-4-20 阅读次数:768

不同的声音

我要回火星：这个主题的确是我们许多一线教师的困惑，事实是哪怕在课堂上再精讲，可学生的水平、素质参差不齐，根本不可能在40分钟内完成所有的练习。

无名剑客：我们班上有65名学生。每节课讲点错例，再进行新授，学生课堂上根本就没有练习的时间，只能留到课后，就更谈不上当堂批改作业了。

我是小桐桐：对于三年级的学生来讲，一节课有时教学书上的规定内容和课后“想想做做”的时间都不够。

采密者：课堂上学生能当堂完成作业，教师当堂批改完，这可说是我们数学老师追求的理想中的课堂教学，但现实与理想总是有很大的差距。

苗晓光：现在很多学校的班额都在50以上，当堂批改完学生的作业是不现实的。如果非要批改，那么，教师批改个别学生的作业时，其他学生应该做什么（因为很多学生是基本在同一个时段完成作业的）？再想想我们为什么要批改作业？我们不妨把批改作业改为处理作业。教师批改少部分，学生交流大部分，批改与交流同步，这样批改的目的就达到了。我们不应非要在一节课里完成所谓一教时规定的内容，只要把每一个环节做到位、不拖沓就行了。

花涧：刚开始教学时，我总是要求自己和学生“今日事，今日毕”，但结果是学生累，自己也累。因为时间有限，教学显得很仓促，一些学困生更是像机器一样连轴转。其实学生的认识是有过程的。所以，我现在对于学生当堂不能理解的题目，不再苛求学生囫囵吞枣地理解。过几天再想想，我认为这是符合认知规律的。

赵金华：大部分教师反映课堂时间不够用。我想这是比较真实的。归根到底是学生的个体差异性、“学力”高低的原因所致。学生的个体差异性体现在很多方面：预习，新知的学习，作业的速度，思维与表达，等等。在每一个环节中都有学生会跟不上整体步伐。要面向全体学生必须放慢节奏，时间就可能来不及。

如月景色：要在课堂内留足时间给学生做作业，并且保证大多数学生能基本完成，这需要教师对学生进行一定的训练。师生合拍了，达到这一点还是有希望的。

Jsntrgzh：课堂练习能不能在课内完成，首先是决心问题。我任教小学数学25年，因平时工作比较忙，所以我从80年代走上讲台就确立课堂作业课内完成并争取在课内批阅。正因为有了这样的决心，在教学中不断调整自己的教学，合理分布自己的教学时间，因此，工作以来，很少有课堂作业拿到办公室批阅的现象，也为我教学之余思考其他问题赢得了时间。因此我说，有决心就能成功。

学生作业做完了送给我批阅，我的做法是左边两大组排在讲台的左边，右边两大组排在右边。因学生作业以后就可得到教师的评价，作业的速度（也是一种习惯）明显提高。这样做还有利于学生独立思考，有利于学生当面辅导，变课后补差为课内调控。当出现错误个案的时候，教师可在批阅的时候进行个别辅导；而当出现共性错误的时候，我马上从自身教的角度进行瞬间反思、并及时调控，利用简短的时间，将相关问题再进行讲解。因为这时的讲解与练习直接联系，这时中下等生听讲的效率是相当高的。可以将减轻学生过重课业负担真正落实到课堂中来。

三个麦穗：学生很讨厌拖堂的教师，学生都讨厌你了，他们还会听你上课吗？所以拖堂只能偶尔为之。我每日上课总是看着时间，剩下五六分钟时就会立即打住，留下时间给学生做课堂作业，自 15

己则巡视辅导后进生，同时也纠正学生作业的习惯及发现教学中存在的问题，为下节课的复习积累资料。教师的教与学生的练，我认为教更重要。

教学对策

华琴：只有精讲才能多练！怎样才能做到精讲呢？就需要深入钻研教材，弄清所要教学内容的来龙去脉，即所要教学内容建立在什么知识的基础之上，为学习什么知识做准备，把握应教学到什么尺度。精讲还要讲在重点、难点处。

丹师附小：在学生思维的断点处巧妙设计启发语、反诘语，提高每个学生的听课效率，给学生留有较充裕的时间。

如月景色：精讲，教师要舍得“丢弃”。课堂上尽量丢弃无关紧要的话语，课堂的节奏紧凑，关注学生听课的效率，抓学生听课的专注力。

Jsntrgzh：精讲的前提是教师要对教材进行深入的分析、要对学情掌握透彻。另外，从以前有人做的一份调查来看，教师要精简自己“正确的废话”包括一些“牢骚话”等。二是要养成良好的教与学的习惯。课前学生准备好课本、自练本，学习委员发下课堂练习本等等，教师做好课前准备，现在有许多学校已普遍使用多媒体，我个人的习惯，在打预备铃的时候，做好一切准备，确保课堂时间不无谓浪费。

无名剑客：学习了谭老师的“五不”理论，即：凡是学生自己能看懂的，不教；凡是学生自己能学会的，不教；凡是学生自己能探索的，不教；凡是学生自己能做到的，不做；凡是学生自己能说出的，不说。我的体会是，我们要相信学生，其实学生是行的。

cmh0127：教师要整体着眼研究教材，在每一课时有效地落实教学目标，并为后面的学习进行知识、思维方式、学习方法等的孕伏，这样可以使我们的教学事半功倍、左右逢源。

采密者：为了能与理想靠近些，我尝试了以下做法：一是充分钻研教材，根据教材内容规划课时。在备课前，我会看以往的教学反思，根据教学反思中记录的情况结合学生实际情况来设定课时。对于教学一些知识点较多、练习量大的内容，适时增加课时，做到讲清楚、练到位。二是教学前将书上“想想做做”的内容与《补充习题》上的内容进行对照，对于同类型的题目进行筛选，减少重复练习，节约时间。

陆正庆：首先，教师要认真钻研教材上的习题。小学数学教材里配备的习题不仅为数学训练提供了大量的内容，而且习题本身所涉及的知识范围和出现的形式都较好地体现了数学学科特点和学生思维特点，是教师设计数学训练的主要材料。我们在备课时，应对这些习题认真钻研，根据教学目标，分析哪些题目可作新课准备题，哪些可作课中训练题，哪些可作课后训练题，哪些可留成家庭作业等。同时在教学中我们要用好配套的《补充习题》，作为教材习题的必要补充，学生必须完成所有的练习，有时候可以作为数学课堂作业。

其次，教师要在选题、编题上下工夫，要根据教学内容和学生实际精选习题，确保数学练习富有目的性、典型性和启发性。目的性就是要求习题必须针对本节课的教学内容，突出知识的重难点，让学生练有所得。典型性是指题目能起到触类旁通，举一反三的作用。启发性是指有利于帮助学生揭示事物的本质和规律，发展学生的思维。

陶翔：如果按教参中的要求一题一题解决，课堂40分钟肯定是不够的（对于绝大数课来说）。因此，我们可以根据学生的实际情况适当增删。我想只要抓住每单元的核心目标展开教学与训练，合理安排好每天的学习内容应该就可以的，不一定非要把目光局限于一节课。

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老骥：教师还需要具有根据课堂生成的实际预测学生对当堂知识的掌握程度，从而进行练习设计和评价的能力。针对不同的学习个体，进行灵活的练习安排，并充分调动学生的积极性和主动性，激发学生的活力。

我是小桐桐：尽量避免重复性、无意义的练习。对难度较小的习题可以同桌互相练说；有一定难度或学生未试过的以教师讲方法为主；对一些口算或计算还是重在基础训练，提高计算的速度和正确率。总之，把学生的需求放在首位，因为教师的教是为了不教。

如月景色：课堂上学生的作业要少而实。对学生可能出现的问题加以预设，重点引导，这样可以帮助学生少走弯路。同时，注意丰富作业的形式，一般来说真正写在作业本上的没有几题，保证学生基本在课堂上完成大部分。对于作业批改，可先批改一些细心、认真负责的学生的作业，再让这些学生帮忙批改其他学生的作业。也可以让学生分组互相批改。

娲女：今年我教五年级。我每天布置数学预习，让学生把预习提纲抄写在自主学习本上，带着提纲自学，把一些浅显的知识先行消化，再在课上交流大家自学中的疑惑，教师有意识的挖掘知识深层次的思维含量，提出问题，帮助学生真正学透，由于有预习的基础，课上时间节约了很多，能留下10分钟完成课堂检测。

彭从金：安排学生课前预习或做预习案，把学习的时间前置，这样算下来，学生的学习时间绝对超过一堂课的时间，我不太赞成。

九宫舞：新课程重视学生的个性发展，重视学生探索知识的过程，重视学生的小组合作和成果交流。这样的要求，势必要求我们教师在课堂上要给学生探索的时间，要给他们交流的时间，要给他们展示自我的时间。如果一味的精讲多练，忽视学生各种能力的培养，那这种精讲多练模式下训练出的学生迟早会变成解题、考试的机器，他们可能会是解题高手，但思维的灵活性、语言表达能力等一定都被我们老师扼杀了。

洪湖一叶舟：提高课堂教学的效率，教师需要关注学生自主学习能力的培养。让学生知道怎样学习数学，怎样阅读文本，怎样学习例题，怎样理解习题中蕴含的新知。

苏耀新：这个话题与教师的教学习惯和学生的学习习惯有很大关系，如果教师的教学风格雷厉风行，学生的学习习惯严谨自律，就可以节省课上不该浪费的时间，再加上教师操作教案娴熟，40分钟完成教学与练习是完全可以的。

梅翔：课堂教学时间必须整体安排。我的认识是：新课教学时间占25分钟左右，练习量控制在10分钟，有可能每节课留一道思维题，这样，基础知识和拓展练习相结合，效果比较好。在下一节新课时，用5分钟讲解一下。当然，不同的教师会有不同的想法，而且不少教师会利用其他时间讲解作业中的问题。

（本期沙龙话题由“网上沙龙”版版主、仪征市龙河中心小学崔小兵提供）

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数学教学中若干矛盾关系的辩证分析

作者:南京晓庄学院 张德勤 录入时间:2010-7-2 阅读次数:704

摘 要：教学计划的实施决定着上课的质量。在课堂教学计划实施时应处理好诸多关系，如注重直观和发展抽象思维的关系、讲和练的关系、教学基础知识和培养思维能力的关系、面向全体和因材施教的关系，使得数学课堂教学计划更加正确有效地实施。

关键词：数学教学 矛盾关系 辩证分析

数学教学的基本形式是课堂教学。课堂教学的质量如何，直接关系到学生对数学基 础知识的掌握、能力的发展，以及情感态度的培养。教学计划的制定是备课的重要过程， 但备课还只是个计划，要把计划变成现实，教师必须做好教学计划的实施。在课堂教学计划实施时应当处理好以下几个关系：

一、注重直观和发展抽象思维的关系

人们的认识都是从感性认识开始的。尤其是小学低年级学生，他们的数学感性认识， 主要依赖于教师向他们提供观察与比较的事物和对象所产生的关于数和形的一些具体的认识。这种感性认识尚未把事物和对象的本质属性与非本质属性区分开来，还必须通过分析、综合、抽象、概括、判断、推理等思维过程，才能实现感性认识到理性认识的转化，从而比较全面、深刻地理解数学知识。在这个过程中，我们既要重视直观教学，又要注意发展学生的抽象思维。

在进行直观教学时，要从教材内容和学生的年龄特点出发，以有利于学生理解数学基础知识为前提。一般来说，低年级比高年级用得多些。在低年级，实物直观用得多些。到高年级，则可多用模象直观和语言直观。

例如，在教学长方体的认识时，一位日本学者先要求学生用小刀将马铃薯切成长方体，一刀切一个平面，两刀相交切出一条棱，三刀相交得到一个顶点。然后复习长方形的特征，在明确长方形边的特征的基础上，引导学生用类比的方法研究长方体的特征。在研究棱与顶点的特征时，先引导学生用逐个计数，再按照空间三维方向计数的方法得到长方体有12条棱、8个顶点的结论。然后向学生提问：如果我们不用上面的计数方法，能否根据已经掌握的知识推出长方体有12条棱、8个顶点?以验证已有的结论。这样，通过“逐个计数——按群计数——推算”发展学生抽象思维的能力。

同样，教学长方体相对的面相同这一特征时，可以引导学生先通过观察得到结论，再 通过用纸张剪贴覆盖的实验方法验证结，最后用已有的知识来证明结论。这种从“直观几何——实验几何——论证几何”的教学过程可以提高学生的论证推理能力。

正如王策三先生所说：“赞可夫也批评向来的教学片面强调小学生只能认识感性事 物，过分强调客观，久而久之，很难发展学生的抽象思维能力。他认为，在小学——开始就可以引入抽象的概念。”

[1]因此，在实施新课程的过程中，数学教学不能仅仅停留在直观的水平上，要注意引导学生对直观演示进行仔细观察和分析，使他们的注意力集中在所演示的事物的本质特征方面，使形象直观及时地向抽象概括方面转化，使学生获得清晰的数学概念，正确地理解规则。

二、讲和练的关系

广义地理解，讲和练的关系属于当前数学教学实施过程中学习方式之争的话题。建 构主义学习观认为：学习是学生自己建构数学知识的过程，主张先练后讲。美国教育家施瓦布从方法论的角度对教学过程进行了剖析，主张学生按照科学家研究的程序和方法进行学习，并首先提出了探究学习。探究学习的基本特征是：学习内容不以定论的形式 直接呈现给学生，而是先让学生经历探究的过程，发现应有的结论。

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先练后讲的学习方式对于培养学生的创新能力有着重要的价值，正如布鲁纳说“学习的最好方式是让学生独立地发现应有的结论”。但这种方式要求较多的教学时间，而实际上可提供的教学时间有限。对此，著名教育家施良方先生曾经质疑：“布鲁纳比较详细地介绍了发现法，对其他教学方法不加谈论，这样做合适吗?时间允许吗?”因此，在每个学期中，只能有少数课题用于这种学习方式。而其他环节不得不用奥苏伯尔所说的“有意义的接受学习”，即先讲后练。学生主要以接受已有知识为主，数学知识(包括数学思想方法)都是可以传授的。学习过程应当是有意义的，而不是机械的，要处理好知识的系统学习与“问题解决”式学习的关系，处理好讲和练的关系。

狭义地理解，在小学数学教学中，讲授新知识和巩固练习都是不可缺少的教学环节。但是在实际教学中，往往由于没有处理好讲和练的关系，而得不到良好的教学效果。讲的内容过多、过细，就难以有效地进行巩固练习；讲得过于简略，学生还没有完全理解，就去做练习，也不会收到实效。因此讲授要精练得当，练习要充分适量，并且注意讲与练的适当配合。这就要求教师根据班级的具体情况以及教学的重点、难点和关键进行讲授，语言要简练，用词要准确，条理要清楚，逻辑要严密。把节省出来的时间用于加强练习。练习也要适量，也要抓住重点、难点和关键，容易的可以少练，难的、易错的要多练，防止单调重复、盲目多练。例如，教学小数乘法的关键是根据相乘的两个因数的小数位数来确定积的小数位数，练习时可以给学生一组题，只要求在积里点上小数点。有些内容可以讲练结合、边讲边练，并且要安排一点时间让学生在教师的指导下进行练习，以确保学生的独立作业有较高的质量和良好的效果。

三、教学基础知识和培养思维能力的关系

斯托利亚尔指出：“数学教学主要是数学思维活动的教学。”培养学生的数学思维是实现数学素养的基本点。学生的数感、符号感、空间观念、统计观念、应用意识与推理能力都是在数学思维中形成与发展的，通过数学思维获得对数学的基本理解，进而提升他们的数学素养。

有些教师由于教育心理素养的缺失，不注意处理好教学基础知识和培养思维能力的 关系，以及掌握基础知识和基本技能与培养创新意识和实践能力的关系，在数学教学过 程中，只注重学生对基础知识与基础技能的掌握，而忽略以这一过程为载体的思维发展 任务。有些教师逻辑素养不高，教学中经常发生概念、判断或推理的错误。有些教师数 学知识素养有待提高，教学中出现科学性错误与知识缺陷。对课改中出现的鱼龙混杂、泥沙俱下的现象如何“审问之，慎思之，明辩之”，首先必须努力提高自身的文化素养与思辨能力。

教学基础知识与培养思维能力是相辅相成的。20世纪20年代初以来的数学教学，就注重数学知识内容的系统性与推理的严密性之间的关系，指出“定理不熟，推开无从”。[2]两方面的任务不可偏废。如果忽视思维能的培养，学生掌握的数学知识就不会灵活运用；如果忽视数学基础知识的教学，思维能力也不可能培养起来。在一节课的各个环 节，都要注意发展思维，而且要根据不同教学内容和目的要求来确定发展思维能力的侧重点。例如，在教学新的数学概念时，可以着重发展学生的抽象、概括能力；练习可以着重发展学生的演绎推理能力和思维的灵活性；解决实践与综合应用问题时可以着重发展学生的分析、综合、判断、推理能力。

四、面向全体和因材施教的关系

小学数学教学是给学生打基础的。为了提高全民的文化、科学、技术水平，“作为学生，在学会学习的同时，学会做人；作为教师，在完成教学的同时，完成教育”。教学工作必须面向全体学生，使每个学生都达到基本的要求。在某些意在体现小组合作学习的活动中，学生之间本应该形成良好的互助、互动的关系。然而对于教师提出的问题，学生互动的多，互助的少；盲目讨论的多，友好分享的少，学生的参与度很不均衡。一些表演欲强的学生抢着发言，教师为了怕影响教学进度，总是选一 19

些尖子生代表小组发言，而不关注其他学生的学习情况和情感体验，大多数学生只能充当“听众”或“陪读”的角色，结果在知识的理解与掌握上，使得全班学生的学习过早地出现了两极分化。

由于学生之间存在着个体差异，同样的内容，有的学生感到学有余力，有的学生则感到难以消化。因此，在面向全体的同时，还要注意因材施教，把班级教学和个别指导结合起来。教学时，要从大多数学生的数学基础和智力发展水平出发，确定每一节课教学的广度、深度和进度，提出适当的要求，以适应不同程度学生的需要。例如，进行合作交流活动时，也应当因材施教，因人制宜。对能力较强的学生，可以少安排基本题，多安排稍有变化的练习题；而对基础较差的学生可以多做基本题，并适当给予辅导。课堂提问时，要面向全体学生，使他们都有回答问题、表达意见的机会。但对能力较强的学生可让他们回答较难的问题，以充分发展他们的智力；而对基础较差的学生，可让他们回答较为简单的基本问题，以提高他们学好数学的信心。

参考文献：

[1]王策三．教学论纲[M工北京：北京师范大学出版社，2005．

[2]郭五峰．由一本20世纪20年代的中国初中几何教材引发的思考LJ工课程·教材·教法，2008(11)：90．

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也谈深入研究教材

作者:江阴市夏港实验学校小学部 巢洪政 录入时间:2011-6-14 阅读次数:404

近来，国内某家有一定影响力的小学数学教学期刊发表的教育评论文章中有这样的议论：“当前小学数学学习内容有两种‘平移’，一是上下‘平移’，把原本是高年级的学习内容平移到低年级，把初中的学习内容平移到小学；二是左右‘平移’，把原本是‘奥数’中的题目放到教材中去，由少数学生能做的变成要求人人都要掌握的。”应该看到，就我目前使用的苏教版小学数学教材而言，按照数学课程标准的要求确实有极少部分内容进行了“上下平移”，也确实出现了部分内容“左右平移”的现象，将少量过去教材中没有出现而只在奥数书中才出现的一些内容吸收进了新教材。如“找规律”中的间隔排列、搭配问题、周期现象等；“解决问题的策略”中的一一列举、假设策略（以“鸡兔同笼”问题为例）等。而且国内其他版本的同类教材也存在这样的情况，如“鸡兔同笼问题”就已在人教版、北师大版、新世纪小学数学教材中不同年级以不同的形式出现了。教材之所以选择这些内容，是有各自的原因和理由的。苏教版教材主编王林曾经明确指出：“‘找规律’的重点在‘找’上，而不是规律的‘应用’，不是做竞赛题。通过增加找规律的机会和活动，让学生不断拓展获取数学知识的渠道，感受数学思考的合理性，激发学生找规律的兴趣，培养观察、抽象、概括的能力。”对于教材中出现“奥数”的问题，苏教版教材主编孙丽谷也在一次教学研讨会上明确进行过指导性说明：所谓的“奥数”题，原来是指在奥林匹克数学竞赛中出现的超过教材要求的难题，但很难明确划定“奥数”与“非奥数”的范围。这些难题也是相对的，有些题目对于低年级来说是“奥数”题，但在中高年级出现也就未必了。因此，不能看到教材中有了少量过去所谓的“奥数”题，就认为要教“奥数”了。从这样的说明中可以看出，教材编写者在选择“奥数”内容进入教材时是基于对儿童数学学习情况长期观察经验基础上的慎重选择，是充分考虑儿童认知的可接受性的。而且，苏教版教材培训手册中也明确指出：“（解决问题的策略）不把解决某些具体问题作为主要的学习目标，而是以一些常见的、现实有趣的问题为载体，重点让学生从中感受到运用策略解决问题的价值，增强运用策略解决问题的自觉性。??提高运用策略解决问题的水平。”我个人的理解，教材内容始终应与时俱进地变化，如果现在还是依据“以前教材是否出现”的标准来评判现在教材的话，这样的观念本身是否就已经比较陈旧呢？采用这些题目进教材的原因是因为它们是有关规律和策略的有效载体，也可以说这些题目是用来说明某种解题规律或策略的典型例证。如“鸡兔同笼问题”就是能够代表假设策略的典型例子，而且该问题是广泛流传的经典问题，所以被多家教材入选，这就很正常了。最关键和重要的是教者应该明确这样一点：设置“找规律”、“解决问题的策略”单元的目的是旨在提高学生创造性解决问题（主要指非常规问题）的能力，主要教学目标是指向学生发现规律的过程和提升学生解决问题的策略水平，不能片面地理解为是让教师教“奥数”。这也是符合课程标准注重培养学生创新精神和实践能力的要求的。

理解了教材的设计意图，还需要准确地确定具体内容的教学目标。如，苏教版五年级（下册）“找规律”例1一课主要的教学目标应该是：

1．使学生结合具体的情境，着重学习用平移的方法探索并发现简单图形覆盖现象中的规律，能根据简单覆盖图形被平移的次数推算图形覆盖的总次数，解决相应的简单实际问题。

2．使学生经历自主探索与合作交流的过程，体会有序列举和列表思考等解决问题的策略，进一步培养学生发现和概括规律的能力。

在确定合理的教学目标后，我们就要按照教材的要求，科学安排教学过程，以顺利实现教学目标。例如，五年级（下册）“找规律”例1的教材首先提供了“由10个方格组成的数表，先要在其中每 21

次框出连续的两个数，一共可以得到多少个不同的和？”这样的问题情境，学生可以用依次计算或用长方形框顺次平移两种方法找出答案；接着，变化每次框出连续数的个数，让学生探索框出3个连续数的规律和答案各是什么；再次，进一步变化每次框出连续数的个数，让学生探索规律并找出答案，填出相应的表格。在学生对例题中的规律有了一定感性认识的基础上，教材结合表格引导学生小组讨论与规律有紧密关系的问题，帮助学生初步找出规律。例题教学之后，教材又通过“试一试”，变化了例题中方格的总数，让学生尝试运用规律找出问题的答案，深化对所找规律的认识。教学时教师应尽量放手让学生自主探索规律。对于理解有困难的班级，教师还可以适当增加举例的数量，让学生在对大量实例的观察和概括的基础上，自主地发现问题中隐藏的规律。

反之，对于这两部分教材少部分老师如果错误地理解为教“奥数”的话，就可能会在教学中削弱学生探索规律和形成策略的学习过程，把规律和策略简单地奉送给学生，而把教学侧重点变为以运用规律和策略进行各种类型的变化练习为主。这样做就明显违背了教材的编写意图。

当然，对教学的评价也直接左右着教师的课堂教学行为。苏教版教材中解决问题教学的评价要求是十分明确的和一贯的。其确立的依据遵循了课程标准的要求，有关“找规律”和“解决问题的策略”的题目并不作为考试的重点内容，只要仔细分析每册教材最后的“整理与复习”部分的内容安排或者查阅教师教学用书和教材组提供的调查试卷就可以发现，其中较少出现这样的问题。即使出现了也是严格遵守解决问题的步数要求的比较简单的问题。如，五年级（下册）“找规律”的内容在教材的“整理与复习”中只出现一道简单的题。

综上所述，苏教版教材设置“找规律”和“解决问题的策略”单元的教学目的、教学过程要求和评价要求等在课程资源中都是十分明确的。尤其是“解决问题的策略”单元设计，作为亮点已经被越来越多的国内专家和老师所认同和赞扬。周玉仁教授也肯定地认为：“这样做是一次有益的尝试”。笔者曾两次有幸应邀参加了江苏省“解决问题的策略”教学研讨会，对这部分教材的设计意图精神有了较全面的理解。通过对教材的学习、使用和研讨，我深深地感受到：教师应该认真解读与教材有直接关系的课程资料，忠实地按照数学课程标准和教材的意图组织教学，开展学习评价，这样才能正确地分析教学过程中出现的一些问题，不断反思和改进自己的教学，真正将数学课程改革的理念和教材的编写意图落实到数学课堂上，促进学生数学素养的不断提升。

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走进数学思维（三）：转向数学活动

南京大学教授 郑毓信

作为数学课程改革的指导性文件，《数学课程标准》在经过了几年的修改以后现正处于最后的审查之中。据相关报道：新的“修订稿”与原来的“实验稿”相比在“课程目标”上有较大改动：不仅重新引入了过去一贯强调的“双基”，而且又新增加了两个：一个是“基本(数学)思想”，另一个是“基本(数学)活动经验”；由于对“双基”的突出强调正是我国数学教学传统的一项重要内容，因此，重新提出“双基”清楚地表明了 这样一种立场：在强调改革的同时，我们也应十分重视优良传统的继承和发展。另外，就我们当前的论题而言，我们显然应特别关注后两项新增加的内容。以下对“数学活动”作出具体分析。

首先应当肯定，对于“数学活动”的强调清楚地表明了这样一种观念：我们不应将数学等同于各种具体数学知识的简单汇集，而应主要地看成人类的一种创造性活动。 这也就是所渭的“动态的数学观”。 例如，美国著名数学教育家伦伯格曾明确指出：“两千多年来，数学一直被认为是与人类的活动和价值观念无关的毋庸置疑的真理的集合。现在这一观念遭到了越来越多的数学哲学家的挑战，他们认为数学是可错的、变化的，并和其他知识一样都是人类创造的产物??这种动态的数学观具有重要的教育含义。”

显然，从这一角度去分析，数学教育中对于解题活动的高度重视就是十分自然的了，后者就构成了20世纪80年代在世界范围内盛行的“问题解决”这一‘改革运动的直接背景，另外，就我国新一轮的数学课程改革而言，则又可以提及关于“知识技能目标”与“过程性目标”的区分，特别是数学教学应使学生“获得广泛的数学活动经验”，包括“经历(感受)，体验(体会)和探索等”。

综上可见．将“基本活动经验”明确纳入“数学课程目标”之中具有一定的合理性。但是，从教学的角度看，我们显然又应更加深入地去思考这样两个问题：第一，如何能对“基本活动经验”作出更加清楚的界定，特别是能够针对各个学段学生的特点在这一方面提出更加明确的要求?第二，我们应如何去进行“基本活动经验”的教学，特别是，应当如何去处理这一内容的教学与具体数学知识和技能(以及基本数学思想)教学之间的关系?更为一般地说，这也就是指，应当如何去处理“过程”与“结果”之间的关系?

笔者以为，相对于“基本思想”而言，“基本活动经验”的界定要困难得多。进而，又由于在数学活动与具体数学知识以及数学思维的学习之间明显存在相互渗透、互相依赖的辩证关系，因此，我们就有必要更加直接地提出这样一个问题：在“数学课程目标”中是否真有必要单独列入“基本(数学)活动经验”这样一项内容?

为了清楚地说明问题，我们先来看一些实例。例如，正如前一节的论述所表明的，“分类”既可看成一种基本的数学思想，同时也是一种基本的数学活动，特别是，只有通过相关的实践我们才能真正掌握这样一种数学思想，而这事实上也就是获得相关经验的过程。这里的关键不在于如何能对这两者作出清楚的区分，而是应当很好把握这两者之间的辩证关系。

就当前的小学数学教学而言，除去“分类”以外，“找规律”和“估算”这样两种活动应当说也得到了特别的重视：不仅各种现行的教材包含了这两方面的专门内容，而且它们往往也是各种教学观摩所经常选用的题材。但是，这两种数学活动是应当看成与具体知识内容的学习完全无关的，从而将其作为单独的一项内容加入到教材之中，还是应当将其渗透于具体知识内容的教学之中，从而不仅帮助学生逐步获得相关的经验，而且使其更好地认识这些活动的作用和意义?

相信任何对于小学数学较为熟悉的人都一定会得出这样的结论：如“分类”一样，“找规律”和“估算”作为两项基本的数学活动在小学数学中也有着十分广泛的应用。例如，任何一个算法的得出 23

显然都可以看成“找规律”的直接结果；同样，我们也未必一定等到专门讲“估算”时才让学生去进行估算，而应将这一活动渗透于平时的学习活动之中，如利用估算对已获得的计算结果进行检验等。

另外，在笔者看来，以下情况的出现就不能不说是单独进行“估算”教学所造成的一个消极后果。

【例七】“老师，这题要估算吗？”（王凌、余慧娟，《关于数学教育若干重要问题的探讨》，《人民教育》20xx年第7期）

王：我们可以联想到利用估算来解决相关实际问题的教学。教师创设了情境来引导学生感受估算的作用，但学生首先将其看成是一道在课内亟待解决的数学题，于是往往会首先算出精确结果，再保留其近似值，或者为寻求更接近准确值的近似值而不断地调整，或者看着情境图中的数据在心中利用竖式相加寻求估算结果??教学中的问题是学生并不明晰什么时候该用估算，什么时候该精确计算，因此往往会提出这样的问题：“老师，这题要估算吗?”

与此相对照，以下的教学实例其亮点之一就是将“估算”这样一种数学活动很好地渗透到了相应知识内容的学习过程之中。

【例八】“小数乘整数”与估算（贲友林，《“小数乘整数”教学实录与反思》，《小学数学教学》20xx年第10期）

任课教师在此首先采用了“让学生借助已有经验探索小数乘整数的计算方法”的教学策略，即通过若干购物实例(如，铅笔每支0.3元，买2支铅笔要多少元?)引出了“小

数乘整数”，并通过比较和总结指明了相应的解题策略。

师：大家的算法差不多。从刚才交流算法的过程中，我们可以发现，在计算小数乘整数的时候，都是把它先看做——

生：整数乘整数。

其次，教师又要求学生试着用竖式占汁算2.35×3。在这一过程中十分自然地渗透了“估算”这样一种数学活动。

例如，教师通过以下的实际问题引出了相应的算式：“妈妈买了一个西瓜，正好3千克，每千克

2.35元??”但在具体计算前，教师又提出了这样一些问题：“5元，够

吗?”??“10元呢?”

然后，在学生尝试着用竖式进行了计算以后，教师又做了如下的总结：

师：??刚才口述的这一段内容，是按照整数乘法的算法在进行计算??当成整数乘法计算之后，还要——

生：在积中点上小数点。

师：这一题积中的小数点应该点在什么位置?

师：联系这之前我们的估算，积比6多(因为在回答“5元，够吗”这一问题时，一个学生做出了这样的估算：2×3=6)，比9少(这是指另一学生在回答“10元呢”时所做出的估算：3×3=9)??关于在积中小数点的位置，你有什么想法？

对于“找规律”我们也可做出同样的分析。以下就是这方面的一个很好实例：任课教师在此同样将“找规律”这一活动与相关知识内容的学习很好地结合了起来。

【例九】“小数乘整数与找规律”（张勇成，《把准学习起点的“脉”——“小数乘整数”教学实录与反思，《小学数学教学》20xx年第10期》

师：有些小数和整数相乘很简单，同学们口算就可以解决了，请看——(出示图1)涂色部分用小数表示是多少?

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生：0.1。

师：你是怎么想的?

生：把正方形看做1，正方形被平均分成了10份，其中的1份就是它的110 ，也就是0.1。

师：很好，这样的4份呢?

生：是0.4，把正方形平均分成了10份，其中的4410 ，也就是0.4。

生：涂色部分是4个0.1，就是0.4。

师：4个0.1是多少?可以用怎样的算式表示?

生：0.1×4=0.4。

师：0.1×4就是小数和整数相乘，你们很快就得出了结果。这样的8份呢? 生：0.1×8=0.8。

(师出示图2)

师：涂色部分用小数表示是多少?

生：是0.04。

师：你是怎么想的?

生：把正方形看做l，正方形被平均分成了100份，4份就是它的4100，也就是0.04。

生：11100 ，也就是0.01。

涂色部分是4个0.01，就是0.04。

师：4个0.01是多少?可以用怎样的算式表示?

生：0.01×4=0.04。

师：这样的23份呢?

生：0.0l×23=0.23。

(师出示图3)

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师：涂色的小方块用小数表示是多少?为什么?

(生答略)

师：9个0.001是多少?可以用怎样的算式表示?

生：0.001×9=0.009。

师：这样的129个呢?

生：0.001×129=0.129。

师：刚才口算的这些乘法，都是哪些小数与整数相乘?

生：都是0.1、0.01、0.001与整数相乘。

师：当0.1、0.01、0.001与一个整数相乘时，你们为什么这么快就得出了结果?有什么规律吗? 生：乘得的结果越来越小。

生：都和几个零点几有关系。

生：乘得的结果都是小数。

师：同学们观察得很仔细，当0.1、0.01、0.001乘一个整数时，它们的计算结果是几位小数和谁有关系呢?

生：和零点几有关系。

师：好的，你们看，0.1是几位小数?

生：一位小数。

师：乘得的积呢?

生：一位小数。

师：0.01是几位小数?

师：也就是说，因数中有几位小数，积——

生：就有几位小数。

然后，在学生进行了一定的练习之后，教师又将他们的注意力引向了“更为一般的小数与整数相乘”的情况：通过对于0.8×3与2.35×3这样两道题的分别探究，教师又提出了一个新的问题以引导学生对这两者进行比较和归纳。

师：这两题的计算中，有什么相同的地方?

生：都是先用整数乘3，再乘零点几或零点零几。

生：都是把整数先相乘。

师：也就是先按整数乘法算出积。看一看，积的小数位数有什么规律?

生：积的小数位数和因数的小数位数相同。

师：也就是说，因数中有几位小数，积就有几位小数。

显然，后一结论的获得不仅彻底地解决了如何计算“小数乘整数”的问题，而且也是一个“找规律”活动，或者说，这两者在此得到了很好的结合。

与此相对照，现在诸多教材中“找规律”内容的一个通病是：我们似乎只是为了找规律而找规律，

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因为其中的大多数都不能看成真正的数学规律，从而相应的探究活动也不能看成真正的数学活动。例如，在各种教学观摩活动中经常可以看到的“植树问题”就是这样的一个实例。因为这一问题的核心显然在于“一一对应”这样一个数学思想，至于各种情况的区分(是否需要加1或减1)与其说表明了不同的规律，倒不如说十分清楚地表明了这样一点：无论就数学知识的学习或问题解决而言，重要的并不在于求全，特别是如何能够依据不同情况牢牢地记住各个相关的法则或解题方法，而是应当善于求联，求变，即应当将不同的情况联系起来加以考查，并能通过适当变化以核心内容去带动其他内容。

最后，应当强调的是：在教学中我们不应片面地去强调过程或结果中的任一方面，而应“过程与结果并重”，也就是应很好地去把握两者之间的辩证关系。例如，在笔者看来，我们显然应从这样的角度去理解国际数学教育委员会(ICMI)所组织的专题研究《数学与认知》中所给出的如下结沦：

“这些工作所涉及的??是如何像数学家那样去工作??即如何构造一个证明或反例，如何选择一个一般性的例子，如何使定义精确化，等等。这些诀窍(know-hows)并不是任何课程的明显内容，但如果对它们缺乏认识与理解，学生便注定只能低层次地模仿教师??”

“人们普遍地认识到诸如形象化、解题策略和各种表征之间的关系等论题有一定的问题，而造成这种现象的原因就在于它们一直被认为是可以自动学会的。但我们现在知道，在教学和学习的过程中必须明确地予以注意。对于它们应当明确地去教，但又不是作为一个单独的课题，而是渗透于整个课程之中，渗透于各个课题之中。”

当然，以上的论述又不应理解成反对“帮助学生获得一定的基本活动经验”，恰恰相反，笔者只是希望清楚地表明这样一点：在明确提出上述目标的同时，我们也应注意

防止各种简单化的认识，特别是防止将各个目标绝对地分割开来。

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