眼睛一闭一睁，我这人己干了近七年彩票站了，七年之痒？那是指婚姻吧？现在不干这行了，只是想到当年彩票站里的人和事，苦辡酸甜各种心情都有了，本想早点上天涯里去写，又沒合计好上它哪个板块，情感天地人多，可咱事这和情感不太沾边，还是先写在这栏目里吧。没太多好事，真人真事，沒徦的。大家也别猜是哪个地方的事，权当一笑而过吧。

O4年，以前从不进彩票站的我刚和姐夫学会买彩票没半月，在彩票站拿回家一彩票宣传的传单，看见角上写一广告，说的是要在各乡镇推广办理彩票站，因为那时还没有三D玩法，玩彩票的人还少，有不少专营的彩票站因为不挣钱，把机器退回市中心，不干了，我看着广告，产生一想法，咱也干试试？反正当时我开着家电修理店，在同一屋里另外再买彩票，如果干半年不行了咱也退机器，于是就不顾家人们的一至反对，马上向市彩票中心打电话报名，沒想几天后来信息了，一分乱钱不用花还真办成了。布置几天后咱也开业了。人家都说我命好，打个电话彩票站就办了，我想也是真遇到天时、地利了，遇见好人、好机会了，那传单城内几千份，怎么没有别人看广告后打个电话？是他不敢办？胆小，真怪了。从此咱开始走上了卖彩票的行当。

彩票要中奖，基本上是靠命，沒规律，特别是多数字的中十万百万玩法，根本没法猜测，只是你买票就有千万分之一的中奖机会在手里了，买彩票就是买机会，小玩法3D也是一样，只不过它组选是近百分之一的中奖率了，买一百多次有一次中奖机会，3位有时也能看出l个位要出啥号。至于中单选，理论上是千分之一中奖率，可我这一彩民每天只打五单，八年了他断断续续的这么打，可从来没中过奖，他那号要是组的不分先后还能中几次，可他不打组的，说中的钱少，不赶劲，还是光打单的，也老不中奖，我看着都着急。平民百姓还能有什么发财道？除了彩票，我再也想不出别的合法办法了。

第二篇：彩票中的数学(1)

彩票中的数学模型

摘要

本文先分别求出29种方案对应的各等奖的中奖概率，再考虑影响“彩民”吸引力的各个因素，我们经过分析得到其与六个因素有关，这六个因素分别是：“彩民”购买每张彩票中奖的期望值、高项奖金额的加权值、中得高项奖的概率、整个中奖的概率、一等奖与二等奖单注奖金的相对差额、二等奖与三等奖单注奖金的相对差额，依此建立了一个多目标规划模型。经过求出这六个因素的值，然后分别按每个因素排序，据此分析各方案的合理性。我们发现每种方案都体现了“中奖率大，则中奖额小；中奖额大，则中奖率小”等一般规则。为了综合考虑各个因素，我们利用了模糊综合评判方法综合分析各方案的合理性。根据“保守原则”和“风险原则”，我们分别给定出各因素所占的权值，得出两种结果：保守原则下最合理方案是第23种，但考虑到第23方案在设置奖项及中奖率偏大的特殊情况，我们认为第6种方案是较合理的；风险原则下最合理方案是第27种最合理的结果，同时我们发现，第27、25、26、6、5种方案是比较稳定的，两种原则下都排在靠前的位置的，因此，无论从保守规则还是从冒险规则来说，它们都有是较好的方案。最后我们依据这两种原则下的综合评判结果，向彩民提出了选择彩票类型的原则。

为了获得一种更为合理的方案，我们以上述最合理方案为初始值进行搜索，并将每一新方案加入原方案集中，再用模糊综合评判方法检验其是否更为合理，通过计算搜索得到一种更合理方案，其方案为：

根据新的方案，我们向彩票管理部门提出了相应的建议。

   最后，我们从加权系数的选择上提出了利用层次分析法方法，通过调查，计算权系数的模型改进意见。

一、问题的提出及分析：

  近年来“彩票飚风”席卷中华大地，巨额诱惑使越来越多的人加入彩民行列。目前流行的彩票主要有“传统型”和“乐透型”两种类型。

   传统型根据单注号码与中奖号码相符的个数多少和顺序确定中奖等级。而乐透型根据单注号码与中奖号码相符的个数确定相应的中奖等级，其中基本号码不可重复。

   虽然彩票行为具有很大的随意性，但是其中必定蕴涵着许多数学规律。我们希望从各种奖项的概率，高项奖金额，奖金设置等方面来寻找其规律，据此分析各种彩票发行规则的合理性。同时向彩民提出一些建议，帮助彩民选择参加一种最合适的抽彩方式，并从彩民和彩票发行机构两方面考虑提出一种更为合理的方案。

二、基本假设：

1．根据彩票发行的一般方法，我们假设如果有多张彩票同时投中某级高项奖，则该级奖金平均分配给每个中此等奖的彩票所有者。

2．由于无法得知前几期抽奖滚动下来的一等奖奖金，我们忽略它对彩民吸引力的影响。

3．假设单注金额固定为2元。

4．单注若已得到高级别的奖就不再得低级别的奖。一等奖单注保金额60万元，封顶金额500万元。

5．一、二、三等奖为高项奖，后面的为低项奖。低项奖数额固定，高项奖按比例分配。

6．有独立的认证系统可以识别出彩票的真假性，也就是只要真票的就有效，假票的就可以识别出来。

7．彩票的号码是可以重复的。即多人可以售同一号码的票。

8．假设在考虑奖金额权值时，由于第三等奖以下的影响因素较小。故可以忽略，不考虑。

9．假设在考虑第i等奖单注与第i+1等奖单注奖金之差的时候，由于第三等奖与第四等奖之差及以下的数值之差都较小，所以我们只考虑一等奖与二等奖之差，二等奖与三等奖之差。

三、符号说明：

:彩票发售出去的总数目。

:总奖金占销售总额的比例。

:购买的每张彩票中得第i等奖项的概率。

：购买的每张彩票中得第i等奖项的金额，其中高项奖金额为期望值，低项奖金额为固定值。

：在高项奖中，第j种奖项占整个高项奖的比例，。

EX：购买每张彩票所中奖金额的期望值。

： 在高项奖中，第j个奖项在彩民心目中所占的权重。

Y：表示高项奖金额的加权值。

：一等奖与二等奖单注奖金的相对差额；

：二等奖与三等奖单注奖金的相对差额；

H：表示高项奖所含奖项集合，H={i|第i等奖是高项奖}。

L：表示低项奖所含奖项集合，L={i|第i等奖是低项奖}。

四、模型的建立

问题一：

近年来，彩票飓风席卷中华大地，巨额诱惑使越来越多的人加入到彩民的行列，目前流行的彩票方案有很多种，根据这些方案的具体情况，综合分析各种奖项出现的可能性，奖项和奖金的设置以及对彩民的吸引力等因素评价各方案的合理性，影响各种方案合理性的因素我们可以总结以下六个因素：

因素一：EX——“彩民”购买每张彩票中奖的期望值

EX=+                

其中：=（2n-n）/(n)=（2-）/,   （），同时如果，则=5.0，如果<6.0，则=6.0。而（2n- n）为各高项奖的奖额；n表示n张彩票中,能中得第i项奖的期望票数。

因素二：Y——高项奖金额的加权值

如果单注奖金额大，则彩民购买彩票的热情越高，彩票的总销售量n就越大。鉴于低项奖的金额不高，自然不必考虑，所以我们只考虑高项奖单注奖金额，而由于一等奖为巨额奖，诱惑力很大，故一等奖在彩民心目中所占比重更大，故可以把各高项奖金额的加权值

Y=

作为吸引彩民的一个重要因素。

因素三：P₁ ——中得高项奖的概率

中得高项奖的概率  =，中得高项奖的概率越大，彩民也就越兴趣。

因素四：P₂ ——整个中奖的概率

整个中奖的概率=。彩民购买彩票时，都抱有中奖心理。不管中何种奖项， 总比不中奖要好，对于保守型彩民来说，该因素越大越好。

因素五：——一等奖与二等奖单注奖金的相对差额

一等奖与二等奖单注奖金的相对差额=（-）/；“彩民”总希望一等奖和二等奖不要相差太远。同时他又希望一等奖的奖金越大越好。也就是他希望中一个大金额的一等奖，但他也希望二等奖金额大一点，因为他中二等奖的概率要大一些。当高项奖金额的加权值越大时，它的差额就越大，所以它制约着高项奖金额的加权值不能太大。

因素六：——二等奖与三等奖单注奖金的相对差额

  二等奖与三等奖单注奖金的相对差额=（-）/；它和有一样的作用，只是程度的不同而已。

因此，我们可建立如下多目标规划模型

MAX{ EX，Y，，，，}

St. EX=+              （1）

    =（2-）/()    （2）

Y=                          （3）

=,=                     （4）

 =（-）/,=（-）/      （5）

  ,0()

五、问题求解

1． 确定各个方案的不同奖项的中奖概率。

我们根据问题所提供的计算方法可以确定各个方案的不同奖项的中奖概率。

1).当方案是6+1/10的情况时，各奖项的中奖概率计算公式为：

=  ;        =  ;           = 29;

  =2910+99;      =291010+29910;

=

2）.当方案是7/m（m=29，30，……，37）的情况时，各奖项的中奖概率分别为：

=  ；         =  ；      =；

  =  ；  =；    =；

  =  。

 3）．当方案是6+1/ m(m=29,36) 的情况时，各奖项的中奖概率分别为：

 =  ；        =  ；   =  ；

   =  ；    =；  =；

=。

4）．当方案是无特别号的7/35的情况时，各奖项的中奖概率分别为：

=   ；       =   ；  =；

=；      = 。

5）．当方案是6/40的情况时，各奖项的中奖概率分别为：

= ；           =；       =；

=；  =；     =。

6）．当方案是5/60的情况时，各奖项的中奖概率分别为：

=；           = ；     =；

= ；        = 。

 利用上面的式子可以在计算机上算出这29种不同方案的各奖项的中奖概率。计算结果如表一

表一、各奖项的中奖概率

2． 确定高项奖的不同奖项的期望奖金额

根据式（2），得出高项奖的不同奖项的期望奖金额的值（计算程序见附录中EXY1.CPP），列表如下：

         表二、高项奖的不同奖项的期望奖金额

3．计算各因素值

根据式（1）、（3）、（4）、（5），得出因素值，列表如下（计算程序见附录中EXY.CPP）：

  表三、因素值

4．单因素排序及各方案的合理性分析

根据表三中的各因素值，利用附录中的程序SORT.CPP可以完成单因素的排序。

如果只从每张彩票所中奖金额的期望值EX考虑则从小到大的顺序为

{27，25，1，2，3，4，5，6，7，8，9，10，11，12，13，14，15，16，17，18，19，20，21，22，23，24，26，28，29}

如果只从每张彩票中得高项奖的奖金额加权值Y考虑，则从小到大的顺序为

{6，5，7，10，8，9，11，12，13，2，14，3，4，16，15，1，23，18，29，17，21，20，28，19，22，24，26，25，27}

如果只从每张彩票中得高项奖的概率考虑，则从小到大的顺序为

{23，1，2，3，4，27，26，24，25，19，20，21，22，17，18，15，16，29，28，12，13，14，10，11，7，8，9，5，6，}

如果只从每张彩票中得整个奖项的概率考虑，则从小到大的顺序为

{1，27，29，19，17，15，12，13，14，28，11，25，5，24，26，6，20，21，22，18，16，10，7，8，9，2，3，4，23}

如果只从一等奖与二等奖的相对差值的倒数1/考虑，则从小到大的顺序为

{23，25，24，22，6，21，16，11，9，14，26，20，15，8，13，18，19，17，7，12，27，10，5，4，3，29，2，1，28}

如果只从二等奖与三等奖的相对差值的倒数1/ 考虑，则从小到大的顺序为

{23，28，29，27，19，22，2，4，5，17，12，21，3，16，11，7，14，18，1，10，9，20，26，15，13，8，6，25，24}

依照上述各因素排序结果，我们可以作出各方案的合理性分析

因素一，期望金额：仅有第27、25种方案不为1*10^-4，这是因为计算得到的一等奖金额超过500万，而封项值为500万，所以其期望小，而其它均为1*10^-4，说明其是合理。

因素二、因素三分别为各高项奖单注的加权值、中高项奖的概率，从两者的排序结果可看出，在依因素二排序在前（后）的方案按因素三排序均排在后（前）例如方案6、5、7，在依因素二排序在前，而在依因素三排序在后，这与常情“中奖率大，则中奖额小；中奖额大，则中奖率小”是相一致的，因此各方案的设置在这一点上是相当合理的。

因素三、因素四分别为中高项奖的概率、中奖的概率，数据中可看出，因素三中较小的方案为第23、4、3、2项，在因素四中，则相应的变为较大值，这样可以保证如果中奖，则很难中大奖，这一点考虑了彩票发行部门的利益。同时也说明虽然难中大奖，但中奖的可能性还是相对来说比较大，这样就兼顾了彩民的利益。在第23、4、3、2方案中，它们的中奖概率较大，特别是第23方案，中奖概率高达19.6706%，其主要原因是末等奖的概率达1.68%，但其设置的奖金额只有2元，这种设置方式是合理的。

   因素五、六分别表示第1、2等奖、第3、4等奖的相对单注奖金差额，从得到的风险型数据表中可看出第25、26、9种方案风险较大，对应在因素五、六的中位置为较小，说明其是合理。

5．多因素模糊综合评判

由于单因素排序只能反映各方案在一个方面的性质，不能从综合角度说明方案的优劣。为了兼顾各因素的影响程度，使EX，Y，，，，（为了使因素五和因素六同前面四个因素影响方向上相一致，所以改为倒数。）尽可能大，我们运用模糊综合评判方法来计算各方案的优劣。

设因素集U={EX，Y，，，， }

（1）  建立模糊综合评判矩阵。

设（i=1,2，3，4，5，6.j=1,2,3…29）表示第j个方案的第i种因素的值（见表三），令

         =（i=1,2，3，4，5，6.j=1,2,3,…29）

即表示第j个方案的第i个因素的值在所有方案中同一因素值的总和所占比例，得到模糊综合评判矩阵：

R=（）₆₂₉

(2)综合评判

 设各因素的权重分配为A={，，，，， }。用模型M（，V）：=Max{()│1i 6}(j=1,2,3…,29)计算出各方案的排序结果，得

（1）    当A=（0.1，0.2，0.2，0.2，0.2，0.1）

B=（b_j）=（73.6，147，147，150，156，125，125，125，109，109，82.2，82.2，82.2，67.7，67.7，83.1，79.8，113，88.2，84.0，114，578，117，128，127，132，92.2，79.8）（单位：）

其从小到大顺序是{16，15，1，18，29，12，13，14，17，21，20，28，10，11，19，22，24，7，8，9，26，25，27，2，3，4，5，6，23}

所以得出它的最好方案是第23种，但考虑到第23方案在设置奖项及中奖率偏大的特殊情况，我们认为第6种方案是较好的。

（2）    当A=（0.10，0.30，0.20，0.05，0.20，0.15）

B=（104，77.7，82.2，88.1，105，156，125，125，125，109，109，82.2，82.2，88.2，96.4，93.5,125，120，170，132，130，171，145，176，193，191，198，138，120）（单位：）

其从小到大顺序是{2，12，13，14，3，4，16，15，1，10，11，18，29，17，7，8，9，21，20，28，23，5，6，19，22，24，26，25，27}

所以得出它的最好方案是第27种。

从上面两种A的不同取值和B的两种不同结果可以看出，第27、25、26、6、5种方案是比较稳定的，都排在靠前的位置的，因此，无论从保守规则还是从冒险规则来说，它们都有是较好的方案。

六、更合理方案的寻找

通过对问题一的计算，发现7/37类型的方案比别的类型的方案更合理，也就是说它对“彩民”的吸引力更大一些，于是我们就先变化，，的值，找出一个更合理的方案，然后继续在这个更合理方案里变化，，，的值，求出一个更合理的方案，其具体算法是：

（1）    将第27种方案的各等奖概率、各高项奖奖金比例、各低项奖奖金额作为初值赋给、、

（2）    分别给、、一个改变量，依下列模型中关系式（1）-（5）计算各值：EX、、Y、、、 、；

（3）    将所得新值添加到原方案中，按（五）中模糊综合评判方法重新计算各方法的排序结果；

（4）    如果新方案排在最前，则停止寻找；否转（2）。

我们寻找到的更为合理的方案为：

由此，我们就向彩票管理部门提出一点小小的建议，因为方案7/37是一种典型的风险型代表方案，而现在人们的生活水平提高了，他们现在买彩票，大部分人都是冲着那个大奖去的，而以前不是非常喜欢买彩票的人得知这种彩票可能中金额非常大的奖，也就想碰碰运气，而加入了“彩民”的行列，而相反现在人们对那种虽然稳定，但中大奖的概率小一些的方案不怎么感兴趣。所以我们认为彩票公司可以采用7/37这种方案，尤其是我们作了一点改动了的那种方案，其效果会更好。

七、怎样合理选择彩票类型—给彩民朋友的建议

亲爱的“彩民”朋友：

欢迎您加入“彩民”行列，以下是我们数模组的一些意见，仅供参考。

如果您不爱冒风险，属于保守类型之列，请参考表四。当您所在地发行我们所讨论的29种彩票方案中的几种类型时，我们建议您依照表四中的顺序买排在最前面的那种方案的彩票；如果既有传统型彩票（除了第一种方案）又有乐透型彩票，建议您买排在最前面的那种传统型方案的彩票，因为它们中奖率较高，但奖金较低。

如果您爱冒险，属于风险类型之列，请参考表五。当您所在地发行我们所讨论的29种彩票方案中的几种类型时，我们建议您依照表五中的顺序买排在最前面的那种方案的彩票；如果既有传统型彩票（除了第一种方案）又有乐透型彩票，建议您买排在最前面的那种乐透型方案的彩票，因为它们中奖率虽低，但奖金额高。

表四、保险型彩民参考表

表五、风险型彩民参考表

八、模型的改进：

在以上计算中单注高项金额的加权系数及6种影响因素的加权系数，是我们根据自己的认识确定的，带有很大的主观性，没有普遍的统计意义。因此需要更加科学的方式来确定这些权系数。我们可以运用层次分析法，通过大量的社会调查,构造一个两两比较的判断矩阵,按照矩阵理论中关于非负矩阵的Perron-Frobenius定理：不可约的非负矩阵存在最大正实数特征根，其对应的唯一（可相差常数倍）的实特征向量进行归一化后,即可计算出更合理的加权系数。

参考文献：

1．数学建模方法   刘承平   高等教育出版社

2．数学建模竞赛教程 李尚志  江苏教育出版社