读书笔记
——读《结构动力学》
1.1 结构动力学计算的目的和特点
结构动力学主要研究在动荷载作用下结构的位移和内力（以后统称为动力反应）的计算原理和计算方法。
结构动力分析要解决的问题有：
地震作用下建筑结构、桥梁、大坝的振动；风荷载作用下大型桥梁、高层结构的震动；机器转动产生的不平衡力引起的大型机器基础的振动；车辆运行中由于路面不平顺引起的车辆振动及车辆引起的路面振动；爆炸荷载作用下防护工事的冲击动力反应等等，量大而面广。
结构动力破坏的特点是突发性、毁灭性、波及面大等。
结构动力分析的目的是确定动力荷载作用下的结构内力和变形；通过动力分析确定结构动力特性等。
结构动力学研究结构体系的动力特性及其在动力荷载作用下的动力反应分析原理和方法的一门理论和技术学科。该学科的目的在于为改善工程结构体系在动力环境中的安全性和可靠性提供坚实的理论基础。
结构动力计算的特点为：a.动力反应要计算全部时间点上的一系列解，比静力问题复杂且要消耗更多的计算时间。b.与静力问题相比，由于动力反应中结构的位移随时间迅速变化，从而产生惯性力，惯性力对结构的反应又产生重要影响。
结构动力学和静力学的本质区别为是否考虑惯性力的影响。结构产生动力反应的内因（本质因素）是惯性力。惯性力的出现使分析工作变得复杂，而对惯性力的了解和有效处理又可使复杂的动力问题分析得以简化。
在结构动力反应分析中，有时可通过对惯性力的假设而使动力计算大为简化，如在框架结构地震反应分析中常采用的层模型。
惯性力的产生是由结构的质量引起的，对结构中质量位置及其运动的描述是结构动力分析中的关键，这导致了结构动力学和结构静力学中对结构体系自由度定义的不同。
动力自由度（数目）：动力分析中为确定体系任一时刻全部质量的几何位置所需要的独立参数的数目。独立参数也称为体系的广义坐标，可以是位移、转角或其它广义量。
1.2 载荷确定
载荷有三个因素，即大小、方向和作用点。如果这些因素随时间缓慢变化，则在求解结构的响应时，可把载荷作为静载荷处理以简化计算。载荷的变化或结构的振动是否 “缓慢”， 只是一个相对的概念。如果载荷的变化周期在结构自由振动周期的五、六倍以上，把它当作静载荷将不会带来多少误差。若载荷的变化周期接近于结构的自由振动周期，即使载荷很小，结构也会因共振（见线性振动）而产生很大的响应，因而必须用结构动力学的方法加以分析。
动载荷按其随时间的变化规律可以分为：①周期性载荷，其特点是在多次循环中载荷相继呈现相同的时间历程，如旋转机械装置因质量不平衡而引起的离心力。周期性载荷可借助傅里叶分析分解成一系列简谐分量之和。 ②冲击载荷， 其特点是载荷的大小在极短的时间内有较大的变化。冲击波或爆炸是冲击载荷的典型来源。③随机载荷，其时间历程不能用确定的时间函数而只能用统计信息描述。由大气湍流引起的作用在飞行器上的气动载荷和由地震波引起的作用在结构物上的载荷均属此类。对于随机载荷，需要根据大量的统计资料制定出相应的载荷时间历程（载荷谱）。对于前两种载荷，可以从运动方程解出位移的时间历程并进一步求出应力的时间历程。对于随机载荷，只能求出位移响应的统计信息而不能得到确定的时间历程，因而须作专门分析才能求出应力响应的统计信息。
在结构动力学分析中，动载荷的确定是一项重要而困难的工作。近年来发展的“载荷识别”是一项新技术，它根据结构在实际工作情况下测得的响应资料反推结构所受到的载荷资料。
1.3 体系的动力自由度
为了确定一个体系在振动过程中全部质量的位置所需独立几何参数的数目，称为动力自由度或简称自由度。这些参数通常表示质量的线位移或转角，它们也就是动力计算中的基本未知量。
实际结构的质量是连续分布的，是无限自由度体系。为了简化计算，常按下面的方法进行简化。
（1） 集中质量法
从物理的角度提供一种减少动力自由度的简化方法。把连续分布的质量（根据静力等效原则）集中为几个质点。这样就把无限自由度体系简化成有限自由度体系。具体分为：不计轴向变形的均质简支梁；（2）三层平面刚架在水平力作用下计算侧向振动和（3）块形基础。
（2） 广义坐标法
具有分布质量的简支梁的振动曲线（位移）曲线，可近似地用三角级数表示为
（a）
式中，
是一组给定的函数，称作“位移函数”或“形状函数”，与时间无关。
是一组待定参数，称作“广义坐标”，随时间而变化。因此，体系在任一时刻的位置是由广义坐标来确定的。注意：这里的“形状函数”应满足位移边界条件，所选的函数形式可以是任意的连续函数。
因此，式（a）可写成更一般的形式
（b）
式中，
是自动满足位移边界条件的函数集合中任意选取的n个函数。“广义坐标法”将应用于后面的振型叠加法和能量法。
3、有限单元法
可看作广义坐标法的一种特殊应用。把体系的离散化和单元的广义坐标二者结合起来，就构成了有限单元的概念。
其具体作法是：
第一， 将结构离散为有限个单元（本例为3个单元）；
第二，取结点的位移参数（挠度y和转角θ）作为广义坐标，本例为
、
和
、
。
第三，分别给出与结点位移参数（均为1时）相应的“形状函数”称作“插值函数”（它们确定了指定结点位移之间的形状）；
第四，仿照公式（b），体系的位移曲线可用4个广义坐标及其形状函数表示为：
（c）
可事先给定，让其满足边界条件，这样就把无限自由度体系简化为4个自由度体系（
和
）。
有限元法综合集中质量法和广义坐标法的优点：(a)与广义坐标法相似，有限元法采用了形函数的概念，但不同于广义坐标法在全部体系(结构)上插值(即定义形函数),而是采用了分片的插值(即定义分片形函数)，因此形函数的公式(形状)可以相对简单。(b) 与集中质量法相比，有限元法中的广义坐标也采用了真实的物理量，具有直接、直观的优点，这与集中质量法相同。
1.4体系振动时能量的耗散与阻尼力
实际结构在自由振动时有衰减现象，振幅随时间逐渐减小，最后趋于静止；在强迫振动时，外荷载需对结构不断做功，才能维持振幅不变（稳态振动）。这都表明在振动工程中会产生能量的耗散，这种消耗能量并使振动衰减的因素，成为阻尼。在动力计算时，要先建立结构的振动方程，为了能反映振动过程中的能量耗散，在建立方程时须引入一个造成能量耗散的阻尼力。而这个力的引入提高了运动方程计算的难度。
在结构动力分析时，由于粘滞阻尼力的分析比较简单，其他类型的阻尼力也可以简化为等效粘滞阻尼力来分析。因此，本书只讨论粘滞阻尼力的情形。
1.5建立振动方程的方法
动力问题主要是求出位移（或位移参数）随时间变化的反应。建立振动方程的常用方法有四种，分别介绍如下。
A 动力平衡法
此法也称达朗伯原理的直接平衡法。根据牛顿第二运动定律，任何质量m的动量的变化率等于作用在这个质量上的力
式中y为动位移。若m不随时间变化，上式可写成
上式中第一项为作用在质量上的力，第二项可以称为质量m的惯性力。
质量所产生的惯性力，与它的加速度成正比，但方向相反。这个概念称作达朗伯原理。有第二式可以看出，在引入达朗伯原理后，与静力学中的平衡方程的表达式相识，及作用于质量上的所有里保持平衡，常称此法为“动静法”。本方法的优点在于物理概念清楚，形象鲜明。缺点是解决复杂问题时困难较大，且不便用它来推证某些结论。
B 虚功法
当结构比较复杂，如所包含的各种力可以容易的用位移自由度来表示，而它们的平衡规律可能不清楚或很复杂。此时，运用给予虚位移原理的虚功法来建立运动方程就较方便。
按照虚位移原理，虚位移时所作的总虚功为0是与平衡条件等价的。在建立体系的方程时，先确定作用于质量上的所有力，包括惯性力；然后引入相应于每个自由度的虚位移，并使所做的总虚功等于0，从而得出振动方程。
此方法的优点是适应性强，可用它推出运动的普遍规律；虚功是标量可以按照代数规则计算避免复杂的矢量计算。缺点是比较抽象。
C 变分法
用基于哈密顿原理以变分形式表示的能量关系来建立动力平衡方程。哈密顿原理可以表达为
式中，T为体系的总动能，V为体系的势能，包括应变能及任何保守外力的势能，
为作用于体系上的非保守力所做的功，
为在指定时间区间内所取得变分。
哈密顿原理表明，在任何时间区间内，动能和势能的变分加上所考虑的费保守力所做的功的变分必须等于0。应用这个原理可以直接导出任何体系的振动方程。这个方法和虚功法的区别是：此方法中，不明显使用惯性力和弹性力，而是用动能和势能的变分项来代替。
D 能量法
基于能量守恒原理的能量法，不仅可以用来建立体系的振动方程，而且可以用来直接计算体系的自振频率。
1.7 动力学响应方法
计算结构在动力荷载作用下的响应基本上有两种不同的方法：确定性和非确定性的（或称概率性的也有叫做随机性的）。在具体情况下，究竟选用哪一种方法将取决于荷载、结构系统的参数以及初始条件是如何规定的。严格言之，如果前述三个方面（荷载、参数、初始条件）是完全确定已知时，则用确定性分析方法。在通常所遇到的多数问题中，为了使问题简化而又不致影响分析结果的精度，都假定结构参数及初始条件是完全确定、已知的。因此，在这种情况下，如何规定荷载，将直接决定分析方法的选用。这时，如果荷载随时间的变化可用时间的定函数形式表示时，那么，尽管它是高度变化不定的或者其性质是不规则变化的，我们仍把它叫做确定性荷载，相应的结构响应分析也被定义为确定性分析方法。反之，如果荷载随时间的变化不是完全确定、已知的，但可以用统计特征来进行描述的话，则这种荷载叫做随机荷载，而非确定性（概率性或随机性）分析方法是对应于随机荷载下的响应分析。当然，分析的结果也只能用统计特征来进行描述。
用确定性方法对结构进行动力分析时，首先要求出结构在动力荷载作用下其位移随时间变化的情况，即要求出结构在某种荷载-时间历程作用下，相应的位移-时间历程；然后即可求出结构的其他响应，如应力、内力等的时间历程。本课程仅讨论确定性结构动力分析方法。
用非确定性方法分析时，不能采用上述确定性分析方法的那一套程序，因为在非确定性分析中所求得的位移仅仅是某种统计特征值，而其他响应（比如应力）的统计特征值和位移统计特征值之间没有像确定性分析时位移和应力之间的那种简单关系。因此，如果要求应力统计特征值的话，还得用特定的非确定性分析方法直接计算，而不是用所得的位移统计特征值来计算。
2动力计算的现状和新发展
近十年来，国际范围内对动力学、振动与控制的研究非常活跃。从比较经典的分析动力学到与当代信息技术紧密结合的计算动力学、动力学控制，从以探索未知世界为主的非线性动力学到以工程应用为主的振动测试与控制技术，都获得了许多重要成果。在众多的研究领域中，非线性动力学和振动主动控制是近年来公认的两个研究热点。
2.1 非线性动力学
真实动力系统几乎总是含有各种各样的非线性因素，诸如机械系统中的间隙、干摩擦，结构系统中的材料弹塑性和黏弹性、构件大变形，控制系统中的元器件饱和特性、控制策略非线性等等。通常在某些情况下，线性系统模型可提供对真实系统动力学行为的很好逼近。然而，这种线性逼近在许多情况下并非总是可靠的，被忽略的非线性因素有时会在分析和计算中引起无法接受的误差，使理论结果与实际情况有着失之毫厘，差之千里之别。特别对于系统的长时间历程动力学问题，即使略去很微弱的非线性因素，也常常会在分析和计算中出现本质性的错误。
非线性动力学理论的研究和发展已经经历了一个多世纪，在新世纪之初，为了使非线性动力学理论得到更好的发展，非常有必要回顾一下非线性动力学研究和发展的历史。非线性动力学理论的发展大致经历了三个阶段。第一个阶段是从1881年到1920年前后，第二阶段从20世纪20年代到70年代，第三阶段从20 世纪70年代至今。人们对于非线性系统的动力学问题的研究可以追溯到1673年Huygens对单摆大幅摆动非等时性的观察.第一阶段的主要进展是动力系统的定性理论，其标志性成果是法国科学家Poincare从1881年到1886年期间发表的系列论文“微分方程定义的积分曲线”，俄罗斯科学家Liapunov 从1882年到1892年期间完成的博士论文“运动稳定性通论”，以及美国科学家Birkhoff在1927年出版的著作“动力系统"。第二阶段的主要进展是提出了一系列求解非线性振动问题的定量方法，代表人物有俄罗斯科学家Krylov、Bogliubov，乌克兰科学家Mitrpolsky，美国科学家Nayfeh等等。他们系统地发展了各种摄动方法和渐近方法，解决了力学和程科学中的许多问题。在这个阶段中抽象提炼出了若干著名的数学模型，如Duffing方程、van der Pol方程、Mathieu方程等，至今仍被人们用以研究非线性系统动力学现象的本质特征。从20世纪60~70年代开始，原来独立发展的分岔理论汇入非线性动力学研究的主流当中，混沌现象的发现更为非线性动力学的研究注入了活力，分岔、混沌的研究成为非线性动力学理论新的研究热点。俄罗斯科学家 Arnold和美国科学家Small等数学家和力学家相继对非线性系统的分岔理论和混沌动力学进行了奠基性和深入的研究，Lorenz和Ueda等物理学家则在实验和数值模拟中获得了重要发现。他们的杰出贡献使非线性动力学在20世纪70年代成为一门重要的前沿学科，在动力学、振动与控制学科的创立和发展过程中都占据了重要的地位，成为当代动力学、振动与控制研究的一个重要分支。
近年来，非线性动力学在理论和应用两个方面均取得了很大进展。随着非线性动力学理论和相关学科的发展，人们基于非线性动力学的观点以及现代数学和计算机等工具，对工程科学等领域中的非线性系统建立动力学模型，预测其长期的动力学行为，揭示内在的规律性，提出改善系统品质的控制策略。一系列成功的实践使人们认识到：许多过去无法解决的难题源于系统的非线性，而解决难题的关键在于对问题所呈现出的分岔、混沌和分形等复杂非线性现象具有正确的认识和理解。
研究非线性系统动力学的方法可以分为定性方法(或几何方法)和定量方法两大类。定性方法一般不直接求解非线性动力系统，而是从非线性系统的动力学方程入手，研究系统在状态空间的动力学行为。由于非线性微分方程一般没有统一的精确解法，所以定量方法只研究各种近似解法，例如平均法、KBM法、多尺度法、谐波平衡法等等。定性方法和定量方法可以相互补充，定性方法可以得到系统解的拓扑结构和系统参数之间的关系，定量方法可以得到确定参数时的数值解。在研究各种复杂的非线性动力学问题时，两种方法缺一不可。
随着计算机代数、数值模拟和图形技术的进步，非线性动力学理论正在从低维向高维发展，非线性动力学理论和方法所能处理的问题规模和难度不断提高，已逐步接近实际系统。在工程科学界，以往研究人员对于非线性问题绕道而行的现象已经发生了变化。人们不仅力求深入分析非线性对系统动力学特性的影响，使系统和产品的动态设计、加工、运行与控制满足日益提高的运行速度和精度需求；而且开始探索利用分岔、混沌等非线性现象造福人类。
科学理论与工程技术总是相互依赖和相互促进的，新的科学理论可以阐明并揭示出工程问题中未被认识的复杂现象和本质。非线性动力学理论在高科技领域和工程实际问题中的应用，已经引起了各领域科学家们的广泛关注，并使这门学科有了强大的生命力。在工程系统中，有许多动力学问题都是非线性的，它们的数学模型和运动方程可以用非线性动力系统来描述。以下仅列出若干机械、结构工程师感兴趣的动力学、振动与控制问题：
(1) 航天飞机和空间站中柔性机械臂、卫星天线和太阳能列阵的非线性振动； (2) 航天器姿态的混沌运动；(3) 系绳卫星的非线性振动与控制； (4) 柔性机器人和弹性机构中的非线性振动； (5) 内燃机中曲轴系统的非线性扭转振动、气门机构的非线性振动和离心摆式减振器的非线性振动； (6) 带有裂纹的大型转子和大型发电机组的非线性振动； (7) 滑动轴承中的油膜涡动； (8) 齿轮传动和黏弹性带传动中的非线性振动； (9) 金属切削过程的非线性颤振和控制； (10) 振动机械中的非线性动力学； (11) 高速机车行驶稳定性和蛇行运动的控制； (12) 船舶在横浪或纵向波作用下的横摇运动、操纵稳定性和倾覆机理； (13) 车辆主动底盘系统的时滞非线性动力学与控制； (14) 悬索结构以及悬索和梁结构之间相互耦合的非线性动力学； (15) 流固耦合系统和流体诱发的机械结构的非线性振动.
由此可见，研究非线性动力学理论和方法对于解决工程系统中的实际问题具有重要意义，非线性动力学的研究进展将会对工程系统的研究、设计和使用产生深远的影响。
2.2振动主动控制
科学技术的发展对结构与产品的动态性能要求越来越高, 传统的被动控制技术难以满足要求, 迫使人们进一步寻求新的振动控制途径。振动主动控制是当前振动工程领域内的高新技术, 是动力学、控制、计算机、测试技术与材料科学等诸多学科的综合。由于它具有效果好、适应性强等潜在的优越性, 目前已成为国内外振动工程界的研究热点, 并在航空航天、土木建筑、车辆工程及机械工程等领域得到了初步应用。因此, 开展振动主动控制方法的研究, 对促进振动主动控制理论的发展和提高工程抗震技术的水平有着重要的理论意义和实用价值。
2.2.1 振动主动控制的发展现状
振动主动控制技术的研究始于50 年代末60 年代初。到了70 年代, 这一研究便进入广泛探索阶段, 并开始在工程领域得到初步应用。80 年代后, 振动主动控制技术进入蓬勃发展阶段, 不仅取得了丰富的理论研究成果, 而且成功应用于航天结构振动控制、土木工程结构抗震、高速车辆隔振及其他机械设备振动控制。
a 大柔性结构的振动主动控制
随着空间技术的发展, 大柔性结构的振动主动控制日益受到广泛重视, 已成为振动主动控制研究最活跃的领域。为适应大柔性结构的特点, 人们探索了控制器设计的各种途径, 对简单构件(如梁、桁架等) 进行了模型实验。然而实验结果与理论计算相差甚远, 其原因在于理论计算模型阶数太低, 忽略了实验模型的非线性因素。若增加模型阶数、考虑非线性因素必将导致维数灾难, 增大计算量。因此空间柔性结构主动减振的设计仍需进一步研究。
b 巨型土木工程结构振动主动控制
随着材料强度提高和施工技术改进, 巨型土木工程结构的尺度越来越大, 刚度显著降低,舒适性和抗震性随之恶化。70 年代初, 人们提出了结构控制的新思想, 随后发表了许多工程结构振动控制系统设计的论文。1979 年国际理论和应用力学协会召开了首次振动主动控制学术讨论会, 波士顿、纽约、悉尼和多伦多的四座巨型土木工程结构相继安装了主动调频消振器, 抑制了风致振动, 改善了舒适性。自80 年代中期起, 振动控制的重点转移到巨型土木工程结构的主动抗震。由于巨型土木工程结构振动控制系统是具有时滞的非定常非线性控制系统, 需用实时辨识技术进行在线建模, 因此土木工程结构振动自适应控制尚需深入研究。
c 车辆半主动隔振
被动隔振系统不能满足高速车辆驾驶稳定性与乘坐舒适性的要求, 早在60 年代就已探讨高速车辆的伺服隔振, 到70 年代中期, 所有汽车工业发达国家都在开发车辆的伺服减震技术。为了简化主动减振系统、降低成本, 人们提出了“开关式”半主动隔振系统。半主动隔振系统由于采用开关控制, 因而具有强非线性。目前此类系统的强迫振动问题研究较少, 它有复杂的运动规律。因此建立合理的简化数学模型揭示其运动规律, 为商品化奠定基础, 是目前车辆半主动隔振研究的重要课题。
d 机械设备的主动减振
从70 年代中期已经开始研究挠性转子、镗杆和锯盘等挠性结构减振, 近年来转子振动主动控制已取得了一些新进展。随着机器人及各种操作手向高速、精密、重载、轻量化方向发展,柔性机械臂的振动控制日益受到重视, 正成为机器人学研究领域的热点。此外, 利用主动控制技术减轻高速传送带的横向振动、隔离锻锤的冲击振动和预报控制金属切削颤振, 以及抑制往复式内燃机振动都不乏有成功的范例。
2.2.2振动主动控制的基本方法
振动主动控制通常包括两类控制方式: 开环控制与闭环控制。目前研究与应用较多的是主动闭环控制, 它的基本思想是通过适当的系统状态或输出反馈, 产生一定的控制作用来主动改变被控制结构的闭环零、极点配置或结构参数, 从而使系统满足预定的动态特性要求。其中, 反馈控制律设计方法基本上是沿用控制理论中已有的成果, 几乎涉及到控制理论的所有分支, 诸如极点配置、最优控制、自适应控制、鲁棒控制、模糊控制、学习控制与智能控制等多种方法。下面简要介绍结构振动主动控制采用的主要方法及其存在的问题。
a 独立模态空间方法
M eirovitch 等人提出的独立模态空间控制方法在分布参数系统的振动控制领域应用最为广泛。它的基本思想是利用模态坐标变换把整个结构的振动控制转化为对各阶主模态控制, 目的在于直接改变结构的特定振型和刚度。这种方法直观简便, 物理概念清楚, 充分利用了模态分析技术, 使控制设计得到了简化, 但先决条件为被控系统完全可控和完全可观, 且必须预先知道应该控制的特定模态。在实际控制中, 由于模态截断引起“控制溢出”和“观测溢出”, 前者将影响实际系统的性能, 而后者有可能导致残余模态的不稳定, 因而独立模态空间控制要求观测器数目和作动器数目等于被控模态数, 这极大地限制了其实际应用。为此,A Baz 与S Pah等人提出了修正独立模态空间控制(M IM SC) 方法[ 10 ] , 在一定程度上克服了“模态溢出”问题。
b 极点配置法
极点配置法, 也称特征结构配置, 包括特征值配置和特征向量配置两部分。系统的特征值决定系统的动态特性, 特征向量影响系统的稳态特性。根据对被控系统动态品质的要求, 确定系统的特征值与特征向量的分布, 通过反馈或输出反馈来改变系统极点位置, 从而实现规定要求。但是, 极点配置在工程实际中极难调整到合适的位置, 通常需将极点配置退化为极点区配置。为了克服普通极点配置法仅能配置频率的缺点, 文献[14 ]提出了频率、模态向量的特征结构配置法, 同时兼顾了零、极点的分布。由于传感器ˆ作动器的最优位置不仅与受控结构的模态频率和振型有关, 还与系统极点位置有关, 文献[15 ]在常规极点配置法基础上, 提出了同时优化系统极点和传感器;作动器位置的联合优化设计方法。
c 最优控制方法
最优控制方法就是利用极值原理、最优滤波或动态规划等最优化方法来求解结构振动最
优控制输入的一种设计方法。最优控制问题可表达为有约束非线性规划问题, 通常采用受控结构的状态响应与控制输入的加权二次型作为性能指标, 以便同时保证受控结构的动态稳定性和控制经济性。如何根据特定的控制要求适当选择加权矩阵, 目前尚无成熟的理论, 只能采用试凑法, 因而限制了这一方法在工程中的应用。