《数字信号处理》
实 验 报 告 册
班级：
姓名：
学号：
唐山学院信息与控制工程实验教学中心
20##年3月
《数字信号处理》课程实验报告（六）
第二篇：6.FFT及信号的谱分析 -数字信号处理实验报告
计算机与信息工程学院验证性实验报告
专业：通信工程 年级/班级：20##级 20##—20##学年第一学期
一、实验目的
（1）通过实验加深对FFT的理解，熟悉FFT程序、结构及编程方法；
（2）熟练应用FFT对典型信号进行谱分析的方法；
（3）了解应用FFT进行信号频域分析可能出现的问题以便在实际中正确应用FFT；
（4）理解FFT与IFFT的关系；
（5）熟悉应用FFT实现两个序列的线性卷积的方法。
二、实验仪器
计算机，MATLAB软件
三、实验原理
在各种信号序列中，有限长序列信号处理占有很重要的位置，对有限长序列，我们可以使用离散Fourier 变换（DFT）。这一变换不但可以很好地反映序列的频谱特性,而且易于用快速算法在计算机上实现，当序列
的长度为
时，它的DFT 定义为：
反变换为：
有限长序列的DFT是其Z 变换在单位圆上的等距采样，或者说是序列Fourier 变换的等距采样，因此可以用于序列的谱分析。FFT 并不是与DFT 不同的另一种变幻，而是为了减少DFT运算次数的一种快速算法。它是对变换式进行一次次的分解，使其成为若干小点数的组合，从而减少运算量。常用的FFT 是以2 为基数的，其长度
。它的效率高，程序简单，使用非常方便，当要变换的序列长度不等于2的整数次方时，为了使用以2为基数的FFT，可以用末位补零的方法，使其长度延长至2 的整数次方。在利用DFT 进行频谱分析时可能会出现三种误差。
(1) 混叠
为了计算一个连续信号的频谱，首先需要对这个连续信号进行取样，如果取样频率太低，也即抽样周期太大，在频域内将产生混叠现象，这样就不可能无失真的恢复原连续信号。对带限信号，当所处理模拟信号最高频率
与抽样频率
满足
时就不会出现频谱混叠现象。
然而，时域内有限长的信号，其频谱宽度是无限的，为了使有限长信号满足抽样定理，在进行抽样之前，可以先用低通模拟滤波器对信号进行滤波,从而保证高于折叠频率的分量不会出现。
（2）泄漏
实际信号序列往往很长，甚至是无限长序列。为了方便，我们往往用截短的序列来近似他们。这样可以使用较短的DFT 来对信号进行频谱分析。对序列x(n) 截短的过程就是将原信号序列与矩形窗函数相乘的过程，在频域就是两者频谱的卷积。一般情况下这样都会造成由此得到的频谱不同于信号原来的频谱，这种现象叫做泄漏。在实际应用中，可以选用频谱主瓣小、旁瓣小、尽量接近于
的窗函数来减少泄漏。泄漏不能与混叠完全分开，因为泄漏导致频谱的扩展，从而造成混叠。为了减少泄漏的影响，可以选择适当的窗函数使频谱的扩散减至最小。
（3）栅栏效应
DFT 是对单位圆上z 变换的均匀取样，所以它不可能将频谱视为一个连续函数。这样就产生了栅栏效应。就一定的意义上看，用DFT 来观看频谱就好像通过一个尖桩的栅栏来观看一个图景一样，只能在离散点上看到真实的频谱。这样就有可能发生一些频谱的峰点或谷点被“尖桩的栅栏”所挡住，不能被我们观察到。减小栅栏效应的一个方法是借助于原序列的末端增加一些零值，从而变动DFT 的点数。这一方法实际上是人为的改变了对真实频谱采样的点数和位置，相当于搬动了每一根“尖桩栅栏”的位置，从而使得原来看不到的频谱的峰点或谷点就有可能看到了。IFFT 一般可以通过FFT 程序来完成，只要对X[k]取共轭，进行FFT 运算，然后再取共轭，并乘以因子1/N，就可以完成IFFT。
实验中用到的信号序列：
a) Gaussian 序列
b) 衰减正弦序列
四、实验步骤
分别利用下述三种不同方式计算序列
的傅立叶变换，并画出相应的幅频和相频特性，再比较各个程序的计算机运行时间。
（1）用 for loop语句编写M函数文件dft1.m，用循环变量逐点计算 X (k)；
（2）编写MATLAB 矩阵运算的M 函数文件dft2.m, 完成矩阵运算；
（3）调用 FFT 库函数，直接计算 X (k)。
五、实验程序
x=[1,1,1,1,1,1,1,1];
N=length(x);
w=exp(-j*2*pi/N);
for k=1:N
sum=0;
for n=1:N
sum=sum+x(n)*w^((k-1)*(n-1));
end
Am(k)=abs(sum);
pha(k)=angle(sum);
end
figure
subplot(1,2,1),plot(Am),xlabel('w(rad)'),ylabel('幅度'),title('幅度谱')
subplot(1,2,2),plot(pha),xlabel('w(rad)'),ylabel('相角'),title('相位谱')
x=[1,1,1,1,1,1,1,1];
N=length(x);
n=[0:N-1];
k=[0:N-1];
w=exp(-j*2*pi/N);
nk=n'*k;
wnk=w.^(nk);
Xk=x*wnk;
Am=abs(Xk);
pha=angle(Xk);
figure(2)
subplot(1,2,1),plot(Am),xlabel('w(rad)'),ylabel('幅度'),title('幅度谱')
subplot(1,2,2),plot(pha),xlabel('w(rad)'),ylabel('相角'),title('相位谱')
x=[1,1,1,1,1,1,1,1];
Xk=fft(x,512);
Am=abs(Xk)
pha=angle(Xk)
figure(3)
subplot(1,2,1),plot(Am),xlabel('w(rad)'),ylabel('幅度'),title('幅度谱')
subplot(1,2,2),plot(pha),xlabel('w(rad)'),ylabel('相角'),title('相位谱')
六、实验结果
（1）用for loop语句编写程序得到的X (k)的幅频和相频曲线如下：
（2）用MATLAB 矩阵运算得到的X (k)的幅频和相频曲线如下：
（3）调用 FFT 库函数，直接计算 X (k) 的幅频和相频曲线如下（此时N=512）：
教师签名：
年 月 日