《误差理论》作业参考答案
1、（1）74.63±0.05cm 或 746.3±0.5mm（2） 7.25±0.01cm 或 72.5±0.1mm
（3）42.6 ±0.2s（4）27.6 ±0.2℃（5）2.734±0.001v
2、（1）2位 （2）7位（3）5位（4）6位（5）5位（6）2位
3、(1) 299300=2.99300
；983±4=
；0.00400=4.00
0.004521
0.000001=
；32476=3.2476
；
(2) 15.48
=1.548
=1.548
(3) 
=312.670±0.002
=(3.1267±0.00002)=(3.12670±0.00002)
(4) 
17.9±0.1
=0.298±0.002
=(2.98±0.02)×10-1 min
4、（1）N=10.8±0.2
（2）首位数码“0”不是有效数字，未位数码“0”是有效数字，正确答案是四位有效数字。
（3）28=2.8
280
=28.0
（4）L=（3.8±0.2）
（5）0.0221
0.0221=“0.00048841”
0.000488
（6）
5、（1）
=
(4.113+4.198+4.152+4.147+4.166+4.154+4.132+4.170)=33.232
=4.154cm
={
[(4.154-4.113)
+ (4.154-4.198)+ (4.154-4.152)
+(4.154-4.147)+ (4.154-4.166)+ (4.154-4.154)
+(4.154-4.132)+ (4.154-4.170)]}
0.00904～０.009cm
=±
=4.154±0.009cm 或 =±=4.15±0.01cm
=
100%=0.22% 或 =
100% =0.23%
注：使用计算器时计算过程中有效数字的位数可以不考虑，最后结果应按照教材P7的“不确定度取位规则”和“测量有效数字取位规则”。
(2)、=
（2.904+2.902+2.900+2.903+2.900+2.904）=
=2.902167cm
={
(0.002+ 0.000+ 0.002+0.001+ 0.002+ 0.002)}
=
0.0008cm
±=2.9022±0.0008cm =
100%=0.028%
(3)=
（2.010+2.010+2.011+2.012+2.009+1.980）=
2.0053cm
=[(0.0047+ 0.0047+ 0.0057+0.0067+ 0.0037+ 0.0253)]
=
0.005cm
±=2.005±0.005cm =
100%=0.25%
6、（1）
（2）
（3）㏑
=㏑
+㏑
- ㏑(-)
=
+
=-
(4)㏑
=㏑+㏑ + ㏑
+㏑
+2㏑
-2㏑
- ㏑
7、
=
=0.00735×11.083≈0.081≈0.09
∴
11.08±0.09 
100％≈0.81％
8． 解：
;
∴ ±
=4.0±0.2
100％=5％
±
=2.5％
9.四则运算法
(1) 478.2 (2) 49.27
+ 3.462 - 3.4
————— —————
481.662 45.87
∴ 478.2+3.462=481.7 ∴ 49.27-3.4=45.9
(3) 8 3 4. 5
× 2 3. 9
———————
7 5 1 0 5
2 5 0 3 5
1 6 6 9
———————
1 9 9 4 4.5 5
∴ 834.5×23.9＝1.994
(4)
∴ 2569.4÷19.5=132
(5)
(6) 
(7) 
=0.8667 0.86670 (8) 2.0
+2345=2345
(9) 
(10) 2.00+2345=2.02
(11) 
+110=
+110.0=4.76 + 110.0=114.8
(12) 
=
=3
10．由不确定度传递公式计算下列函数。
P74
1．设电阻箱的额定功率
，问当取值
时允许通过的电流等于
多少？
解：
取
2．电阻箱的准确度等级为0.2级，当取值为56.3?时，其误差
等于多少？
解：
P81
1．设负载电阻
，要求控制电流范围
，试设计一个制流电路。
解：
2．本实验用的量程3V的直流电压表，准确度等级为0.1级，当读数为2.624V时，
其误差等于多少？如果是一次测量，那么应该怎样表达？
解：
一次测量表达式
3．准确度等级为0.1级，额定功率为0.25W的电阻箱，若电源为6V，电阻箱分别取
值43.7?和12.5?。是否安全？
解：电阻箱额定电流
P28
4. 用游标卡尺测量空心圆柱体体积：外径D1=15.92, 15.90, 15.92, 15.88, 15.90mm；内径D2=11.92, 11.96, 11.96, 11.98, 11.94mm；长度L=30.00, 29.98, 29.98, 30.02, 29.98mm；请列表计算体积，用不确定度表示结果。
解 计算A类分量（提示：△A
）
=公式…=代入数据…=0.0075mm；
=…=…=0.0102mm；
=…=…=0.0080mm 计算B类分量（提示：△B =
）
=
=
=0.0115≈0.02mm*
合成不确定度
=公式…=代入数据…=0.0225≈0.03mm；
=公式…=代入数据…=0.0214≈0.03mm；
=公式…=代入数据…=0.0215≈0.03mm
±=15.90±0.03mm;
±=11.95±0.03mm;
±=29.99±0.03mm
代入数据…=2593.2mm3
=
=代入数据…=0.0078
=20.22696≈0.02×103mm3
V=(2.59±0.02)×103mm3 或V=(2.59±0.03)×103mm3
5．要测量一块尺寸约为100×6×3（mm3）的金属片的体积，其长、宽、高进行单次测量，要求测量的相对误差小于1.5%，请自选适当的测量仪器。
解 
；
依均分误差原则，令
；即
；
从最经济角度考虑
△A=100×
=0.87＞0.5mm，因此长度选用米尺测量；
△B=6×=0.052＞0.05mm，因此宽度２０分以上游标卡尺测量；
△C=3×=0.026＞0.02mm，因此厚度选用50分游标卡尺测量。
第二篇：误差理论与数据处理习题答案1-3章
第一章 习题及参考答案
1-1. 测得某三角块的三个角度之和为180°00’02”，试求测量的绝对误差和相对误差。
【解】绝对误差＝测得值－真值＝180°00’02”－180°＝2”
相对误差＝绝对误差／真值＝2”/（180×60×60”）=3.086×10-4 %
1-2. 在万能测长仪上，测量某一被测件的长度为50mm，已知其最大绝对误差为1μm，试问该被测件的真实长度为多少？
【解】 绝对误差＝测得值－真值，即： ?L＝L－L0 已知：L＝50，?L＝1μm＝0.001mm，
测件的真实长度Ｌ0＝L－?L＝50－0.001＝49.999（mm）
1-3. 用二等标准活塞压力计测量某压力得100.2Pa，该压力用更准确的办法测得为100.5Pa，问二等标准活塞压力计测量值的误差为多少？
【解】在实际检定中，常把高一等级精度的仪器所测得的量值当作实际值。故二等标准活塞
压力计测量值的误差＝测得值－实际值＝100.2－100.5＝－0.3（ Pa）。
1-4. 在测量某一长度时，读数值为2.31m，其最大绝对误差为20μm，试求其最大相对误差。
。 【解】因 ?L＝L－L0 求得真值：L0＝L－?L＝2310－0.020＝2309.98（mm）
故：最大相对误差＝0.020／2309.98＝8.66×10-4 %＝0.000866%
1-5. 使用凯特摆时，g由公式g=4π2（h1+h2）/T2给定。今测出长度（h1+h2）为（1.04230±0.00005）
测出为（1.04220m，振动时间T为（2.0480±0.0005）s。试求g及其最大相对误差。如果（h1+h2）
±0.0005）m，为了使g的误差能小于0.001m/s2，T的测量必须精确到多少？
2【解】测得（h1+h2）的平均值为1.04230（m），T的平均值为2.0480（s）。由g=4π(h1+h2) T2
得： g=4π22×1.04230=9.81053 （m/s） 22.0480
当（h1+h2）有微小变化?(h1+h2)、T有ΔT变化时，g的变化量为：
4π28π2?g?g?T =2?(h1+h2)?3(h1+h2)?T?(h1+h2)+?g=?T?(h1+h2)TT
4π22?T =2[?(h1+h2)?(h1+h2)]TT
24π2[(?(h+h)?2?T(h+h)]122?(h1+h2)2?T ?g1g的最大相对误差为：==?h1+h2Tg4π2
2(h+h)12 1
=[±0.000052×(±0.0005)?×100%≈±0.054% 1.042302.0480
如果（h1+h2）测出为（1.04220±0.0005）m，为使g的误差能小于0.001m/s2，即：?g<0.001
2π42?T就是 ?g =2[?(h1+h2)?(h1+h2)]<0.001 TT
4π22×?T±0.0005?×1.04220<0.001 2.04802.04802
±0.0005?1.01778?T<0.00106
求得： ?T<0.00055(s)
1-6. 检定2.5级（即引用误差为2.5%）的全量程为100V的电压表，发现50V刻度点的示值误差
2V为最大误差，问该电压表是否合格？
【解】 引用误差＝示值误差／测量范围上限。所以该电压表的引用误差为：
所以该电压表合格。
1-7. 为什么在使用微安表等各种电表时，总希望指针在全量程的2/3范围内使用？
【答】我国电工仪表、压力表的准确度等级是按照引用误差进行分级的。当一个仪表的等级s选定后，用此表测量某一被测量时，所产生的最大相对误差为：
rx=?xmx=±m×s% xx
式中：Δxm为仪表某标称量程内的最大绝对误差，x为被测量，xm为标称量程上限。选定仪表后，被测量x的值越接近于标称量程上限，测量的相对误差rx越小，测量越准确。
1-8. 用两种方法分别测量L1=50mm，L2=80mm。测得值各为50.004mm，80.006mm。试评定两种
方法测量精度的高低。
【解】两种测量方法进行的测量绝对误差分别为：
； δ2＝80.006－80＝0.006（mm） δ1＝50.004－50＝0.004（mm）
两种测量方法的相对误差分别为：
% 和 δ2／L2＝0.006/80=0.0075 % δ1／L1＝0.004/50=0.008
显然，测量L2尺寸的方法测量精度高些。
2
1-9. 多级弹导火箭的射程为10000km时，其射击偏离预定点不超过0.1km；在射击场中，优秀射
手能在距离50m远处准确地射中直径为2cm的靶心，试评述哪一个射击精度高。
【解】两种射击的射击偏差即绝对误差分别为：
； δ2＝2（cm）＝2×10-2（m） δ1＝0.1（km）
两种射击的相对误差分别为：
% 和 δ2／L2＝2×10-2/50=0.04 % δ1／L1＝0.1/10000=0.001
多级弹导火箭的射击精度高。
其测量误差分别为±11μm和±9μm ；而1-10. 若用两种测量方法测量某零件的长度L1=110mm，
用第三种测量方法测量另一零件的长度L2=150mm，其测量误差为±12μm，试比较三种测量方法精度的高低。
；δ2＝±9（um） 【解】测量长度L1的两种测量方法的测量误差分别为：δ1＝±11（um）
两种测量方法的相对误差分别为：
δ1／L1＝±11 um /110mm＝±11/110000＝±0.01%
δ2／L1＝±9um/110mm＝±9/110000 ＝±0.0082%
用第三种测量方法的测量误差为：δ3＝±12（um）
δ3／L2＝±12 um /150mm＝±12/150000＝±0.008%
显然，第三种测量方法精度最高。而测量L1时有测量误差±11 um的测量方法精度最低。
3
第二章 误差的基本性质与处理
习题及参考答案
2-1. 试分别求出服从正态分布、反正弦分布、均匀分布误差落在［－，］中的概率。
【解】（1）误差服从正态分布时
P(±2σ)=
1
σ2∫
2?e
?δ
2
(2σ)
2
dδ=
2
σ2∫
20
e
?δ
2
2σ2)
dδ
引入新变量t： t=δP(±2σ)=
22, δ=tσ, 经变换上式成为：
∫e
t
?t
2
dt=2Φ(t)=2Φ(2) =2×0.4195=0.84=84%
（2）误差服从反正弦分布时
因反正弦分布的标准差为：σ=2
，所以区间［?σ，2σ］＝［?a，a］，故
a
2
P(±2σ)=
（3） 误差服从均匀分布时
因其标准差为：σ=1
π
∫
1a?δ
2
?a
δ=1
3
，所以区间［?，］＝［?2，2］，故
3
3
P(±2)=∫
a
?a
211
δ=×2×a=0.82=82%
32a2a
2-2. 测量某物体重量共8次，测得数据（单位为g）为236.45，236.37，236.51，236.34，236.39，
236.48，236.47，236.40，求其算术平均值及其标准差。
【解】①选参考值x0=236.00，计算差值?xi=xi?236.00、?x0和残差?νi等列于表中。
1
81或依算术平均值计算公式，n=8，直接求得： x=∑xi=236.43（g） 8i=1
②计算标准差：用贝塞尔公式计算：σ=
∑ν
i=1
n
2i
n?1
=
0.0251g ) =0.0599 ( 8?1
2-3. 用别捷尔斯法、极差法和最大误差法计算习题2-2的标准差，并比较之。
【解】（1） 用别捷尔斯法计算
σ=1.253×
（2） 用极差法计算
∑i=1
n
i
n(n?1)
=1.253×
0.418×7
=0.0687 ( g )
8个测量数据的极差为：ωn=xmax?xmin=x3?x4=236.51－236.34=0.17， 查教材P18表2-4，n=8时d n=2.85
σ=
（3） 最大误差法计算
ωn
dn
=
0.17
=0.0596 (g) 2.85
8个测量数据的最大残差为：i
max
=4=0.09
查教材P19表2-5，n=8时，1/K’n＝0.61
σ=
i
K
max'n
=0.09×0.61=0.0549 ( g )
2-4. 测量某电路电流共5次，测得数据（单位为mA）为168.41，168.54，168.59，168.40，
168.50，试求算术平均值及其标准差、或然误差和平均误差。
【解】①选参考值x0=168.5，计算差值?xi=xi?168.5、?x0和残差νi等列于表中。
8
或依算术平均值计算公式，n=5，直接求得： x=1∑xi=168.488（mA）
5i=1
2
②计算标准差：用贝塞尔公式计算：σ=
∑ν
i=1i
n
2i
n?1
=
0.02708mA ) =0.0823 ( 5?10.332×4
=0.0930］
［若用别捷尔斯法计算：σ=1.253×
∑i=1
n
n(n?1)
=1.253×
［用极差法计算：n=5时d n=2.33，σ=ωn=168.59?168.40=0.19=0.0815 (mA) ］
2.332.33dn 下面是以贝塞尔公式计算的或然误差和平均误差数据： 或然误差：ρ≈2σ=2×0.0823=0.0549 ( mA )；
33
mA ) 平均误差：θ≈4σ=4×0.0823=0.06584 ( 55
算术平均值的标准差σx：σ=σ=0.0823=0.037
x
n5算术平均值或然误差R：R≈2σ=2×0.037=0.0247 ( mA ) 3X3算术平均值平均误差T：T≈4σ=4×0.037=0.0296 ( mA )
X55
2-5. 在立式测长仪上测量某校对量具，重复测量5次，测得数据（单位为mm）为20.0015，
20.0016，20.0018，20.0015，20.0011。若测量值服从正态分布，试以99%的置信概率确定测量结果。
【解】①求算术平均值x： x=
∑l
i=1
n
i
n
=
100.0075
=20.0015 (mm) 5
②求残余误差：各次测量的残余误差依次为0，0.0001，0.0003，0，-0.0004。 ③求测量列单次测量的标准差
用贝塞尔公式计算：σ=
∑ν
i=1
n
2i
n?1
=
n
26×10?8
=0.000255（mm）
5?1
用别捷尔斯公式计算：σ=1.253④求算术平均值的标准差
'
∑i=1
i
n(n?1)
=1.253
0.00085×4
=0.000224（mm）
σx=
σ
n
=
0.000255
=0.000114；σx=
'
σ'
n
=
0.000224
=0.0001
⑤求单次测量的极限误差和算术平均值的极限误差
因假设测量值服从正态分布，并且置信概率P=2Φ(t)=99%，则Φ(t)=0.495，查附录
3
表1正态分布积分表，得置信系数t=2.6。故：
单次测量的极限误差： δlimx=±tσ=2.6×0.000255=0.000663≈0.00066
算术平均值的极限误差：δlimx=±tσx=2.6×0.000114=0.0002964≈0.0003 ⑥求得测量结果为：x±δlimx=20.0015±0.0003 （mm）
2-6. 对某工件进行5次测量，在排除系统误差的条件下，求得标准差σ=0.005mm，若要求测
量结果的置信概率为95%，试求其置信限。
【解】因测量次数n=5，次数比较少，按t分布求置信限（极限误差）。
已知：P=95%，故显著度α=1－P＝0.05；而自由度ν＝n－1＝5－1＝4。
根据显著度α=0.05和自由度ν查附录表3 的t分度表，得置信系数ta=2.78。 所以算术平均值的置信限为：δlimx=±taσ=±2.78×x0.005=±0.00622（mm） 2-7. 用某仪器测量工件尺寸，在排除系统误差的条件下，其标准差σ=0.004mm，若要求测量
结果的置信限为±0.005mm，当置信概率为99%时，试求必要的测量次数。
【解】① 若测量误差符合正态分布规律
已知置信概率：P=99%，查正态分布表有：t=2.6， 则置信限为：δlimx=±t×σ
n=±2.6×0.004
n=±0.005（给定值）
求得：n=4.32，取n=5.
② 若测量误差符合t分布
已知置信概率：P=99%，则显著度α=0.01， 由置信限：δlimx=±ta×σ
n≤±0.005 有关系：ta≤1.25n=1.25+1
当显著度α=0.01时，ν=7，查t分度表，有ta=3.50，满足上述等式。
即求得：n=ν+1=8为必要的测量次数。
2-8. 用某仪器测量工件尺寸，已知该仪器的标准差σ=0.001mm，若要求测量的允许极限误差
为±0.0015mm，而置信概率P为0.95时，应测量多少次。
【解】本题与2-7相似。
① 若测量误差符合正态分布规律
已知置信概率：P=0.95，查正态分布表有：t=1.96， 则极限误差为：δlimx=±t×σ
n=±1.96×0.001
n=±0.0015（给定值）
求得：n=1.7，取n=2.
4
② 若测量误差符合t分布
已知置信概率：P=0.95，则显著度α=0.05， 由极限误差：δlimx=±ta×
σ
n
≤±0.0015 有关系：ta≤1.5n=1.5+1
当显著度α=0.05时， ν=3，查t分度表，ta=3.18 >1.5+1=3（不合要求）
ν=4，查t分度表，ta=2.78 <1.5+1=3.354（满足要求）
即求得：n=ν+1=4+1=5为必要的测量次数。
2-9. 已知某仪器测量的标准差为0.5μm。①若在该仪器上，对某一轴径测量一次，测得值为
26.2025mm，试写出测量结果。②若重复测量10次，测得值（单位为mm）为26.2025，26.2028，26.2028，20.2025，26.2026，26.2022，20.2023，26.2025，26.2026，26.2022，试写出测量结果。③若手头无该仪器测量的标准差值的资料，试由②中10次重复测量的测量值，写出上述①、②的测量结果。
【解】① 单次测量的极限误差以3σ计算，δlimx=3σ=3×0.5=1.5(μm)=0.0015 (mm)
所以测量结果可表示为：26.2025±0.0015 (mm)
② 重复测量10次，计算其算术平均值为：x=26.2025(mm).
取与①相同的置信度，则测量结果为：26.2025±3σ= 26.2025±0.0015 (mm). ③ 若无该仪器测量的标准差资料，则依10次重复测量数据计算标准差和表示测量结
果。选参考值x0=26.202，计算差值?xi=xi?26.202、?x0和残差νi等列于表中。
用贝塞尔公式计算：σ=
∑ν
i=1
n
2i
42×10?8==0.00022(mm). n?110?1
5
算术平均值的标准差：σx=σn=0.00022
=0.00007(mm).
取与①相同的置信度，则测量结果为：26.2025±3σx=26.2025±0.00021 (mm).
此时①的测量结果为26.2025±0.00021 (mm)；②的测量结果为26.2025±0.00021 (mm).
* 或以两组不等精度测量来表示测量结果：（以下计算需要该仪器测量的标准差资料）
两组测量的权之比为： p1:p2=1
σx12σx22:1=11=49:2500 :22(0.0005)(0.00007)
加权算术平均值为：x=∑pxi
i=1
mmi=∑p
i=149×26.2025+2500×26.2025=26.2025 （mm） 49+2500i
加权算术平均值的标准差为：
σx=σxipi∑p
i?1m=0.0005i49=0.0005×0.1386=0.00007 （mm） 49+2500
故①、②测量的测量结果表达为：26.2025±3σx=26.2025±0.00021 (mm)
2-10. 某时某地由气压表得到的读数（单位为Pa）为102523.85，102391.30，102257.97，102124.65，
101991.33，101858.01，101724.69，101591.36，其权各为1，3，5，7，8，6，4，2，试求加权算术平均值及其标准差。
【解】由计算加权算术平均值及其标准差的公式直接计算。
加权算术平均值为：
x=∑pxi
i?1
mmi=∑p
i=11×102523.85+3×102391.30+5×102257.97+7×102124.651+3+5+7+8+6+4+2i
=8×101991.33+6×101858.01+4×101724.69+2×101591.36 1+3+5+7+8+6+4+2
3673020.33=102028.3425 ≈102028.34 (pa) =36
加权算术平均值的标准差的计算，先求各测量结果的残余误差：
ν1=495.51， ν2=362.96， ν3=229.63， ν4=96.31 ν5=?37.01， ν6=?170.33， ν7=?303.65， ν8=?436.98 6
算术平均值的标准差为：
222222∵∑piνxi=1×495.51+3×362.96+5×229.63+7×96.31+8×(?37.01)+
6×(?170.33)2+4×(?303.65)2+2×(?436.98)2=1905077.147
∴ σx=∑pνi=1m2ixim=
(m?1)∑pi
i?1 （Pa） .147=86.95(8?1)×36
2-11. 测量某角度共两次，测得值为α1=24°13’36”，α2=24°13’24”，其标准差分别为σ1=3.1”，
σ2=13.8”，试求加权算术平均值及其标准差。
【解】已知各组测量的标准差，可确定各组的权。
p1:p2=1
σ12σ22:1=1111:=:=19044:961 3.1213.829.61190.44
取：p1=19044, p2=961
选取0=241336，可由公式直接计算加权算术平均值和标准差： o'''
=0+∑pαi
i?1
mmi∑p
i=119044×0+961×(?12'')=24o13'35.4'' =241336+19044+961o'''i
加权算术平均值的标准差的计算，先求两测量结果的残余误差：
ν1=0.6''， ν2=?11.4''
算术平均值的标准差为：
σx=∑pνi=1m2ixim
(m?1)∑pi
i?1×0.62+961×(?11.4)2 ==6.6''(2?1)×(19044+961)
2-12. 甲、乙两测试者用正弦尺对一锥体的锥角α个各重复测量5次，测得值如下：
α甲：7°2’20”，7°3’0”，7°2’35”，7°2’20”，7°2’15”， α乙：7°2’25”，7°2’25”，7°2’20”，7°2’50”，7°2’45”； 试求其测量结果。
【解】①对于每一组的测量，是等精度测量，分别先求各组的算术平均值。
5
甲=α0+∑(αi=1甲i?α0)
n20''+60''+35''+20''+15''=72+=7°2'30'' 5°'
7
乙=α0+∑(αi=15乙i?α0)
n25''+25''+20''+50''+45''=72+=7°2'33'' 5°'
用贝塞尔公式计算各组的标准差：
σ甲=∑νi=1
nn2甲i22222++++15?30）20?30）（60?30）（35?30）（20?30）（==18.4'' 5?1n?1
σ乙=∑νi=12乙i22222++++25?30）（25?30）（20?30）（50?30）（45?30）==14'' 5?1n?1
两测量列的算术平均值的标准差：
σ甲=
②确定各组的权 σ甲n=18.4=8.2''； σ乙=σ乙n=14=6.3''
p1:p2=1
σ甲2σ乙2:1=1111:=:=3969:6724≈40:67 2267.2439.698.26.3
③求加权算术平均值
α=α0+∑p(αi
i?1
m
i=1mi?α0)i∑p40×30''+67×33'')=7o2'32'' =72+40+67o'
④求加权算术平均值的标准差
σx=σxipi∑p
i?1m=8.2×i40=8.2×0.61≈5'' 40+67
或： σ=σxxipi∑p
i?1m=6.3×i67=6.3×0.79≈5'' 40+67
⑤测量结果： ±3σx=7o2'32''±15''
2-13. 试证明n个相等精度测得值的平均值的权为n乘以任一个测量值的权。
【证明】因为等精度测量，可设n个测得值的标准差均为σ，且其算术平均值的标准差为：
σ=σn
8
又设各测量值的权相等，即：p1=L=pi=L=p0。n个相等精度测得值的平均值的权为px，则：n个相等精度测得值的平均值的权p与各测得值的权pi（i=1,2…,n）的比为 px:pi=1
σx2:1σi2=nσ2σ2:1=n:1 → px=npi，证毕。
2-14. 重力加速度的20次测量具有平均值为9.811m/s2、标准差为0.014 m/s2。另外30次测量具
有平均值9.802m/s2、标准差为0.022 m/s2。假设这两组测量属于同一正态总体。试求此50次测量的平均值和标准差。
【解】已知20次测量的标准差σ1=0.014 (m/s2)，30次测量的标准差σ2=0.022 (m/s2)，
由此可确定其权的大小。
p1:p2=1
σ12σ22:1=1111:=:=121:49 221964840.0140.022
然后再按不精度测量有关公式直接计算。
50次测量的加权算术平均值：
x=∑pxi
i?1
mmi=∑p
i=1121×9.811+49×9.802=9.8084 (m/s2) 121+49i
50次测量的加权算术平均值的标准差：
σx=σx1p1∑p
i?1m=0.014×i121=0.012 121+49
49=0.012
121+49或： σ=σxx2p2∑p
i?1m=0.022×i
2-15. 对某量进行10次测量，测得数据为14.7，15.0，15.2，14.8，15.5，14.6，14.9，14.8，15.1，
15.0，试判断该测量列中是否存在系统误差。 【解】先计算算术平均值：x=14.96。各测量数据的残余误差分别为：
ν1=?0.26 ν2=0.04 ν3=0.24 ν4=?0.16 ν5=0.54
ν6=?0.36 ν7=?0.06 ν8=?0.16 ν9=0.14 ν10=0.04
① 根据残余误差观察法：计算出的残余误差符号正负个数相同，且无显著变化规律，因
此可判断该测量列无变化的系统误差存在。
② 采用不同公式计算标准差比较法。
9
按贝塞尔公式： σ1=∑νi=1n2i
n?1=
n0.624=0.263 10?1
用别捷尔斯法计算： σ2=1.253×∑i=1i
n(n?1)=1.253×2
×9=0.264
令： σ2=0.264=1.004=1+0.004=1+u σ10.263
因为： 2
n?1=2
?1=0.667>>u=0.004，故无根据怀疑测量列存在系统误差。
③ 按残余误差校核法：前5个残余误差和与后5个残余误差的差值△为
?=∑ν
i=15i?∑νj=610j=0.4?(?0.4)=0.8
两部分之差显著不为0，则有理由认为测量列中含有系统误差。
（为什么会得出互为矛盾的结论？问题出在本题给出的数据存在粗大误差----这就提醒我们在判断是否有系统误差前，应先剔除粗大误差，然后再进行系统误差判断。）
2-16. 对一线圈电感测量10次，前4次是和一个标准线圈比较得到的，后6次是和另一个标准
线圈比较得到的，测得结果如下（单位为mH）：
50.82，50.83，50.87，50.89；
50.78，50.78，50.75，50.85，50.82，50.81。
试判断前4次与后6次测量中是否存在系统误差。
【解法一】用t检验法进行检验
前4次测量的算术平均值： x=1∑x=50.8525 4
1 后6次测量的算术平均值： y=∑y=50.7983 6
112Sx2=∑(xi?x)2=0.00082；Sy=∑(yi?y)2=0.00105 46
t=(50.8525?50.798)4×6(4+6?2)=2.44 (4+6)(4×0.00082+6×0.00105)
由ν=4+6-2=8及取α=0.05，查t分布表，得t a=2.31。 因t=2.44>ta=2.31，可判断两组数据可能存在系统误差。
【解法二】用秩和检验法进行检验。将两组数据按从小到大混合排列成下表： xi
yi 50.82 50.8350.89 50.82已知：n1=4，n2=6；计算秩和T：T=5.5+7+9+10=31.5，查表：T-=14，T+=30；
因：T=31.5> T+=30，可判断两组数据可能存在系统误差。
10
【解法三】用计算数据比较法检验。两组数据的算术平均值和标准差分别为：
1
第一组数据： x=∑x=50.8525；σ1=
41
第二组数据： y=∑y=50.7983； σ2=
6
[注：若以极差法计算标准差，计算结果也相近：
ν
2i
n?1
=
3.275×10?3
=0.033
4?162.8334×10?4
=0.035
6?1
ν
2j
n?1
=
'ωn50.85?50.7550.89?50.82
=0.04 ] ==0.034； σ2='=σ1=
2.53dn2.06dn
ωn
两组数据算术平均值之差为：?=x?y=50.8525?50.7983=0.0542 其标准差为：σ=
2
12+σ2=0.0332+0.0352=0.0481
2
因：?=0.0542<212+σ2=0.0962，故两组数据间无系统误差。
（以上计算，本人经过多次推导，应该无误！解法三得出了与前两种方法互为矛盾的结论，原因何在？请同学们仔细分析。）
（本人分析原因如下：①所给两组数据包含的误差并不是服从正态分布，因此不能用t检验法检验；②解法三在计算标准差时，因测量次数少，用贝塞尔公式计算标准差误差大；极差法计算标准差也是要求测量误差服从正态分布；③解法二适合非正态分布的误差，得出的结论正确；④以上几种系统误差的判别法具有一定的适应范围，有局限性。）
2-17. 等精度测得某一电压10次，测得结果（单位为V）为25.94，25.97，25.98，26.01，26.04，
26.02，26.04，25.98，25.96，26.07。测量完毕后，发现测量装置有接触松动现象，为判明是否因接触不良而引入系统误差，将接触改善后，又重新做了10次等精度测量，测得结果（单位为V）为25.93，25.94，25.98，26.02，26.01，25.90，25.93，26.04，25.94，
26.02。试用t检验法（取α=0.05）判断两组测量值之间是否有系统误差。 【解】计算两组测量结果的算术平均值：
x=Sx2=
1
x=26.001∑10
y=
2
Sy=
1
y=25.971∑10
1
(yi?y)2=0.00215∑10
1
(xi?x)2=0.00155∑10
t=（26.001?25.97110×10(10+10?2)
=1.48
(10+10)(10×0.00155+10×0.00215)
由ν=10+10-2=18及取α=0.05，查t分布表，得t a=2.1。
因t=1.48<ta=2.1，故无根据怀疑两组数据间存在线性系统误差。
11
2-18. 对某量进行了12次测量，测得数据为20.06，20.07，20.06，20.08，20.10，20.12，20.11，
20.14，20.18，20.18，20.21，20.19，试用两种方法判断该测量列中是否存在系统误差。 【解】先计算算术平均值：x=20.125。各测量数据的残余误差分别为：
ν1=?0.065 ν2=?0.055 ν3=?0.065 ν4=?0.045 ν5=?0.025 ν6=?0.005 ν7=?0.015 ν8=0.015 ν9=0.055 ν10=0.055 ν11=0.085 ν12=0.065 ① 根据残余误差观察法：计算出的残余误差有规律地递增，在测量开始与结束时误差符
号相反，故可判断该测量列存在线性系统误差。
② 按残余误差校核法：前6个残余误差和与后6个残余误差的差值△为
?=∑νi?∑νj=?0.26?0.26=?0.52
i=1
j=7
6
12
两部分之差显著不为0，则有理由认为测量列中含有线性系统误差。 ③ 采用不同公式计算标准差比较法。
按贝塞尔公式： σ1=
∑ν
i=1
n
2i
n?1
=
n
0.0321
=0.054 12?1
用别捷尔斯法计算： σ2=1.253×
∑i=1
i
(n?1)
=1.253×
0.55×11
=0.06
令： σ2=0.06=1.11=1+0.11=1+u
σ10.054
因为：
2n?1
=
2?1
=0.603>u=0.11，故无根据怀疑测量列存在系统误差。
（又出现互为矛盾的结论，如何解释呢？）
2-19. 对某量进行两组测量，测得数据如下： xiyi
1.201.38
1.211.41
1.221.48
1.261.50
1.301.59
1.571.95
试用秩和检验法判断两组测量值之间是否有系统误差。 【解】将两组数据按从小到大混合排列成下表：
T xiyi
1 2 3 4 5 6 7 1.16
8 1.18
9 1.20
10 11 12 13 14 15 1.30
1.13 16
17
18
19
20
21
1.2122 1.41
23
24
25
26
27
28
29
30
T xiyi
1.41
1.57
1.50
1.95
1.48 1.59
已知n1=n2=15，因xi组数据的秩和较小，故以其数据的次序计算秩和：
T=1+2+5+6+7+8+9+10.5+12+14+15+18+20+21.5+25=174
12
因n1=n2=15>10，秩和T近似服从正态分布。
?n1(n1+n2+1)n1n2(n1+n2+1)? ??, N(a, σ)=N??212??
其中数学期望a和标准差σ分别为： a=
n1(n1+n2+1)15(15+15+1)nn(n+n2+1)15×15(15+15+1)
==232.5, σ=121==24.11
221212
则置信系数t为： t=
T?a
σ
=
174?232.5
=?2.43
24.11
选取置信概率99%（显著度0.01），即取Φ(t)=0.495，由附录表1查得：ta=2.60， 因t=2.43<ta=2.60，故无根据怀疑两组数据间有系统误差。
2-20. 对某量进行15次测量，测得数据为28.53，28.52，28.50，29.52，28.53，28.53，28.50，
28.49，28.49，28.51，28.53，28.52，28.49，28.40，28.50，若这些测得值已消除系统误差，试用莱以特准则、格罗布斯准则和狄克松准则分别判别该测量列中是否含有粗大误差的测量值。
【解】将有关计算数据：平均值、残差νi等列于表中：
直接求得15个数据的算术平均值及其标准差：
115
x=∑xi=28.57； σ=
15i=1
∑ν
i=1
15
2i
n?1
=
0.9803
=0.265 15?1
13
① 用莱以特准则判别粗大误差
因 4=0.95>3σ=0.795，故第4个测量数据含测量误差，应当剔除。 再对剩余的14个测得值重新计算，得：
x'=1xi=28.50, σ'=∑14i=114∑ν'ii=1142n?1=0.0148=0.0337
14?1
3σ'=3×0.0337=0.1011，
由表知第14个测得值的残余误差：('14)=0.17>3σ=0.1011，故也含粗大误差，应剔除。 再重复验算，剩下的13个测得值已不包含粗大误差。 ② 用格罗布斯准则判别
已经计算出15个测量数据的统计特征量：x=28.57，σ=0.265。 将测得的数据按从小到大的顺序排列，有：
x(1)=28.40， x?x(1)=28.57?28.4=0.17
x(15)=29.52， x(15)?x=29.52?28.57=0.95
首先判别 x(15)是否含有粗大误差： g(15)=x(15)?x
σ=29.52?28.57=3.585 0.265
查表2-13得： g0(15, 0.05)=2.41 则： g(15)=3.585>g0(15, 0.05)=2.41 故第4个测得数据包含粗大误差，应当剔除。
再对剩下的14个测得值计算，判断 x(1)是否含有粗大误差。已知：x'=28.50, σ'=0.034
g(1)=x'?x(1)
σ=28.50?28.40=2.94 0.034
查表2-13得： g0(14, 0.05)=2.37 则： g(1)=2.94>g0(14, 0.05)=2.37 故第14个测得数据也包含粗大误差，应当剔除。
再重复检验，其它各测得值已不再包含粗大误差。 ③ 用狄克松准则判别
将测得的数据按从小到大的顺序排列，有：
x(1)=28.40, x(2)=x(3)=28.49, ??????, x(13)=x(14)=28.53, x(15)=29.52 判断最小值x(1)与最大值x(15)是否包含粗大误差。因n=15，以统计量r22和r22'计算 r22=
x(15)?x(13)x(15)?x(3)=x(1)?x(3)28.40?28.4929.52?28.53'=1.04， r22===0.692 29.52?28.49x(1)?x(13)28.40?28.5314
查表2-14得r0(15, 0.05)=0.525， 因：r22=1.04>r0(15, 0.05)和r22'=0.692>r0(15, 0.05) 故：x(1)和x(15)（即所测的第4和第14个测量值）包含粗大误差，应予剔除。
再重复检验剩余的13个测得值，已不再包含粗大误差。
2-21. 对某一个电阻进行200次测量，测得结果列表如下： 测得电阻值R/Ω
该电阻值出现次数 12xxxxxxxxxxxx41213① 绘出测量结果的统计直方图，由此可得到什么结论？
② 求测量结果并写出表达式。
p1234567891011∑p
i=111i=200 选取电阻参考值R0=1215。求加权算术平均值：
R=R0+∑p(R?R)ii0
i=111
∑p
i=111i
=1215+1×5+3×4+8×3+21×2+43×1+54×0+40×(?1)+19×(?2)+9×(?3)+1×(?4)+1×(?5)=1215.06200
求各组残余误差νi=Ri?R
ν1=4.94, ν2=3.94, ν3=2.94, ν4=1.94, ν5=0.94, ν6=?0.06
ν7=?1.06, ν8=?2.06, ν9=?3.06, ν10=?4.06, ν11=?5.06
15
ν12=24.4036, ν22=15.5236, ν32=8.6436, ν42=3.7636, ν52=0.8836, ν62=0.0036 ν72=1.1236, ν82=4.2436, ν92=9.3636, ν102=16.4836, ν112=25.6036
求加权算术平均值的标准差：
2νp∑iii=1m
σx=
(m?1)∑pi
i=1
m
=
509.28
=0.5
(11?1)×200
=3，则最后结果
求加权算术平均值的极限误差：因该测量基本服从正态分布，取置信系数t的极限误差为：
δlimR=±3σx=±3×0.5=±1.5
写出最后测量结果为：R
=R±3σx=1215.06±1.5 (?)
③测量误差概率分布密度函数式为：由
f(δ)=
1
σ22
e
?δ
2
(2σ2)
，得：
2
f(R?R)=
10.5×2e
?(R?1215.06)
(2×0.52)
=0.798e
?(R?1215.06)
.5
16
第三章 误差的合成与分配
习题及参考答案
3-1 相对测量时需用54.255mm的量块组做标准件，量块组由四块量块研合而成，它们的基本尺寸为：l1=40mm,l2=12mm,l3=1.25mm,l4=1.005mm。经测量，它们的尺寸偏差及其测量极限误差分别为：?l1=?0.7μm,?l2=+0.5μm,?l3=?0.3μm，?l4=+0.1μm，δliml1=±0.35μm，δliml2=±0.25μm,δliml3=±0.20μm，δliml4=±0.20μm。试求量块组按基本尺寸使用时的修正值及给相对测量带来的测量误差。
【解】量块组的关系为：L=l1+l2+l3+l4，显然本题是一个关于函数系统误差和函数随机误差
的计算问题。已知个组成块的尺寸偏差（属系统误差），则可计算量块组的系统误差。
?L=?l1+?l2+?l3+?l4=?0.7+0.5?0.3+0.1=?0.4 (μm)
所以，量块组按基本尺寸使用时的修正值E为：E=??L=?(?0.4)=0.4 (μm) 量块组按基本尺寸使用时的测量误差（系统极限误差）为：
δlimL=±δlim2l1+δlim2l2+δlim2l3+δlim2l4=±0.352+0.252+0.202+0.22=±0.515 (μm)
3-2 为求长方体体积V，直接测量其各边长为：a=161.6mm,b=44.5mm,c=11.2mm，已知测量的系统误差为?a=1.2mm,?b=?0.8mm,?c=0.5mm，测量的极限误差为δa=±0.8mm,δb=±0.5mm,δc=±0.5mm，试求立方体的体积及其体积的极限误差。
【解】立方体体积：V=abc，若不考虑测得值的系统误差，则计算体积为：
V0=abc=161.6×44.5×11.2=80541.44 (mm3)
体积V的系统误差为：
?V=?V?V?V??a?b?c??c=abc?++??b+?a+?c?b?abc??a
?0.80.5??1.23++ =80541.44?=2745.744 (mm)?161.644.511.2??
考虑测量系统误差后的立方体体积：
V=V0??V=80541.44?2745.744=77795.696≈77795.70 (mm3)
又直接测量值存在极限误差，则间接测量体积存在的极限误差为：
δlimV=±(?V?V?Vδa)2+(δb)2+(δc)2 ?a?b?c
δlimV=±(bcδa)2+(acδb)2+(abδc)2
=±×11.2×(±0.8)]2+[161.6×11.2×(±0.5)]2+[161.6×44.5×(±0.5)]2 =±398.722+904.962+3595.62=3729.1 (mm3)
1
故测量结果为：V±δlimV = 77795.70±3729.1 (mm3)
3-3 长方体的边长分别为a1,a2,a3，测量时：①标准差均为σ；②标准差各为σ1,σ2,σ3。试求体
积的标准差。
【解】长方体体积计算式：V=abc=a1a2a3，则体积的标准差为：
σV=(
?V?V?Vσ1)2+(σ2)2+(σ3)2?a1?a2?a3
=(a2a3σ1)2+(a1a3σ2)2+(a1a2σ3)2=a1a2a3(
① 标准差均为σ时，则体积的标准差为：
1
a1
2+(
2
a2
2+(
3
a3
)2
σV=a1a2a3(
σ1
a1
2+(
σ2
a2
)2+(
σ3
a3
)2=V(
a1
)2+(
a2
2+(
a3
)2=Vσ
1a1
2
+
1a2
2
+
1
2a3
②标准差各为σ1,σ2,σ3时，则体积的标准差为：
σV=V(
1
a1
)2+(
2
a2
2+(
3
a3
2
电压U=12.6V，测量的标准差分别为σI=0.5mA,σU=0.1V，3-4 测量某电路的电流I=22.5mA，
求所耗功率P=UI及其标准差σP。
【解】若不考虑测得值的误差，则计算所耗功率为：
P=UI=22.5×10?3×12.6=0.2835 (W)
所耗功率标准差σP
σP=(
?P?P
σI)2+(σU)2=(UσI)2+(IσU)2
?U?I
=(12.6×0.5×10?3)2+(22.5×10?3×0.1)2=39.69+5.0625×10?3=6.69×10?3 (W)
3-5 已知x±σx=2.0±0.1,y±σy=3.0±0.2，相关系数ρxy=
0，试求?= 【解】若不考虑测得值x和y的误差，计算其值：
?=xy=2.0×3.0=2.885
已知σx=0.1, σy=0.2，则?的标准差：
σ?=(
??1?2
σx)2+(σy)2 =(yσx)2+(x×yσy)2
?y?x3
1?=(3×0.1)2+(2××3×0.2)2=0.021+0.077=0.313
3
2
23-6 已知x与y的相关系数ρxy=?1，试求u=x+ay的方差σu。 2
【解】属于函数随机误差合成问题。由教材式（3-13）有：
σu2=(?u22?u?u?u2σx+(2σy+2ρxyσxσy?x?y?x?y
22 =(2x)2σx+a2σy+2×2x×a×(?1)σxσy=(2xσx?aσy)2
3-7 通过电流表的电流I与指针偏转角?服从下列关系：I=Ctan?。式中C为决定于仪表结
构的常数，C=5.031×10?7A，两次测得?1=617±1，?2=4332±1。试求两种情况oo''''
下的I1,I2及其极限误差，并分析最佳测量方案。
【解】因I=Ctan? → tan?=IC，由三角函数随机误差（极限误差）计算公式（3-21），有：
σ?=cos2?(δI?f22σI?f2σI=cos2?，δlim?=cos2?(2δlimI=limcos2? ?ICC?I
→ δlimI=Cδlim? （1） cos2?
当?=?1时，把?1=617代入关系式，有： o'
I1=Ctan?1=5.031×10?7tan6o17'=5.54×10?8 (A)
相应的极限误差为：
Cδlim?15.031×10?7×[±1×π(180×60)]?10δlimI1===±1.481×10 (A) 2o'2cos?1cos617
当?=?2时，把?2=4332代入关系式，有： o'
I2=Ctan?2=5.031×10
相应的极限误差为： ?7tan43o32'=4.780×10?7 (A)
Cδlim?25.031×10?7×[±1×π(180×60)]δlimI2===±2.784×10?10 (A) o2'2cos?2cos4332
根据求得测量电流的误差传递式（1），欲使极限误差δlimI变小，必须满足
因C为常数，这意味着只能是cos2C =0或为最小，2cos??最大。又因电流表指针偏转角在0≤?<π范围内变化， 2当0≤?<π2时，cos2?单调下降，为使Ccos
小。上述计算结果验证了该方案的正确性。 ?趋小，?应该愈小愈好，即测小电流误差
3
当π2≤?<π时，cos2?单调增加，为使Ccos
2?趋小，?应该愈大愈好。
测出距离分别为H1,H2，3-8 如图3-6所示，用双球法测量孔的直径D，其钢球直径分别为d1,d2，
试求被测孔径D与各直接测量量的函数关系D=f(d1,d2,H1,H2)及其误差传递系数。
【解】由几何关系易求被测孔径D
测量项目有2项，n=2，且按等作用原则分配误差，则可得测量半径r与高度h的极限误差： δr=δVδ112.511=V×=×=0.0071(cm)=0.071(mm) 22×3.1416×2×20n?V?rn2πrh
δh=δVδ112.511=V×2=×=0.141(cm)=1.41(mm) 2?Vhπr3.1416×22nn
即：允许r的测量误差为±0.071mm，高度h的测量误差为±1.41mm。
3-10 假定从支点到重心的长度为L的单摆振动周期为T，重力加速度可由公式T=2中
给出。若要求测量 g 的相对标准差σgg≤0.1%，试问按等作用原则分配误差时，测量L 4
和T的相对标准差应是多少？
【解】可直接测量单摆长度L和单摆振动周期T，然后按下式计算重力加速度，
2
g=4πT2
影响重力加速度的因数有2个（n=2），按等作用原则分配误差，则测量L和T的标准差分别为：
σL=
σg
σgT2σgLσg1
===L 2
24π2g2gn?g?L
σT=
σg
σgT3σg1
==T 2
?g?Tπ8L222gn
因要求测量 g 的相对标准差σgg≤0.1%，则测量L的相对标准差应为：
σL
L
测量T的相对标准差应为：
=
σg
2g
≤
12
×0.1%=0.071%
σT
T
=
σg
22g
≤
122
×0.1%=0.035%
3-11 对某一质量进行4次重复测量，测得数据（单位g）为428.6，429.2，426.5，430.8。已知测
量的已定系统误差?=?2.6g，测量的各极限误差分量及其相应的传递系数如下表所列。若各误差均服从正态分布，试求该质量的最可信赖值及其极限误差。
序 号 2 3 4 6
极限误差/g
随机误差 未定系统误差
－ － － －
误差传递函数
1
－
1 2.2
－ －
8 －
【解】①4次重复测量的平均值：
1n1
x=∑xi=(428.6+429.2+426.5+430.8)=428.775 （g）
ni=14
②已知测量有已定系统误差?=?2.6g，依此对测量结果进行修正，则测量结果的最可信赖值为：
x0=x??=428.775?(?2.6)=431.375（g）
5
③ 因测量的极限误差服从正态分布，其合成的极限误差为 a、随机误差有三项，其合成极限误差为：
1δ=±N∑(aiδi)2=±
i=1q1(1×2.1)2+(1×4.5)2+(2.2×1)2=±1.358（g） 4
b、未定系统误差有五项，其合成极限误差为： e=±∑(ae)iis2=±(1×1.5)2+(1×1.0)2+(1×0.5)2+(1.4×2.2)2+(1×1.8)2=±4.028（g）
i=1
故总的极限误差为：
δ0=±δ2+e2=±.3582+4.0282=±4.25（g）
④ 测量最后结果表示为：x=x0±δ0=431.375±4.25 (g)
6