3.5弯梁法测量杨氏模量

实验目的

1．学习用弯曲法测量金属的杨氏模量。

2．了解和使用霍尔位置传感器。

3．学习微位移的测量方法。

仪器用具

霍尔位置传感器杨氏模量装置（包括读数显微镜、95A型集成霍尔传感器等），霍尔位置传感器输出信号测量仪（数字电压表）。

实验原理

在弹性限度内，物体在长度方向单位横截面积所受的力称为应力，物体在长度方向产生的相对形变称为应变，由胡克定律可知，这二者是成正比的，即

                          （3.5-1）

其比例系数E称做杨氏弹性模量，即

                          （3.5-2）

杨氏模量是描述固体材料在线度方向受力后，抵抗形变的能力的重要物理量。它与材料的物质结构、化学结构及其加工制作方法等自身性质有关，与材料的几何形状和所受外力的大小无关，是工程设计中机械构件选材的重要参数和依据。

测量杨氏模量的常用方法有拉伸法、弯曲法和振动法等。本实验采用弯曲法测量金属的杨氏模量，运用霍尔位置传感器法测量微位移。

一．用弯曲法测量金属的杨氏模量。

将厚为a、宽为b的金属板放在相距为d的二刀口上（图3.5-1），在金属板上二刀口的中点处挂上质量为m的砝码，板被压弯，设挂砝码处下降，这时板材的杨氏模量

                        （3.5-3）

下面推导式(3.5-3)。图3.5-2为沿金属板方向的纵断面的一部分。在相距的O₁O₂二点上的横断面，在金属板弯曲前互相平行，弯曲后则成一小角。显然，在金属板弯曲后，其下半部呈现拉伸状态，上半部为压缩状态，而在金属板的中间的一薄层虽弯曲但长度不变，称为中间层。

计算与中间层相距为y、厚dy、形变前长为dx的一段，弯曲后伸长了，它受到的拉力为，根据胡克定律有

式中，dS表示形变层的横截面积，即，于是

此力对中间层的转矩为，即

而整个横断面的转矩M应是

                  （3.5-4）

     

图3.5-1                                        图3.5-2

如果将金属板的中点C固定，在中点两侧各为处分别施以向上的力（图3.5-3），则金属板的弯曲情况应当和图3.5-1所示的完全相同。金属板上距中点C为x，长为dx的一段，由于弯曲产生的下降为

     （3.5-5）

当棒平衡时，由外力对该处产生的力矩应当等于由式（3.5-4）求出的转矩M，即

由此式求出代入式（3.5-5）中并积分，可求出

即

二．霍尔位置传感器及微位移的测量。

将霍尔元件置于磁感应强度为B的磁场中，在垂直于磁场的方向通以电流I，则与这二者相垂直的方向上产生的霍尔电势差U_H为

                        （3.5-6）

式中，K为元件的霍尔灵敏度。如果保持霍尔元件的电流I不变，使其在一个均匀梯度的磁场中移动，则输出的霍尔电势差变化量为

                       (3.5-7)

式中为位移量。此式说明当为常数时，与成正比。

为实现均匀梯度的磁场，可如图3.5-4所示选用两块相同的磁铁（磁铁截面积及表面磁感应强度相同，）磁铁相对而放，即N极与N极相对放置，两磁铁之间留一等间距间隙，霍尔元件平行于磁铁放在该间隙的中轴上。间隙大小要根据测量范围和测量灵敏度要求而定，间隙越小，磁场梯度就越大，灵敏度就越高。磁铁截面要远大于霍尔元件以尽可能地减小边缘效应的影响，提高测量准确度。

若磁铁间隙内中心截面A处的磁感应强度为零，霍尔元件处于该处时，输出的霍尔电势差应为零。当霍尔元件偏离中心沿Z方向移动时，由于磁感应强度不再为零，霍尔元件也就产生相应的电势差输出，其大小可由数字电压表测量。由此可以将霍尔电势差为零时元件所处的位置作为位移参考零点。

霍尔电势差与位移量之间存在一一对应关系，当位移量较小（<2mm）时，这一对应关系具有良好的线性，若已知霍尔位置传感器的灵敏度，则根据可测微位移。

仪器介绍

FD-HY-1型杨氏模量装置如图3.5-5所示。

该装置中使用的是JC-10型读数显微镜，外形结构如图3.5-6所示。在测微目镜组中装有2块玻璃分划板：一块分划板是固定不动的，上面刻有从0到8毫米的标尺，一格的分划值为1mm；另一块分划板上刻有相互垂直的两根叉丝，可沿读数鼓轮的测微螺丝的轴心移动。当把两块分划板重合起来时，将看到如图3.5-7所示的图像。读数鼓轮的测微螺丝的螺距等于1毫米，而不动的分划板上的分划值也为1mm，所以读数鼓轮旋转一周，叉丝线就移动一格。这样，根据分划板可读出读数鼓轮的整转数来。读数鼓轮的一周有100格，因此转动一格为0.01mm，即该仪器的最小分度值为0.01mm，估读到0.001mm位。全部读数等于分划板上的读数加上读数鼓轮上的读数。如图3.5-6和图3.5-7所示读数为2.690mm。

图3.5-5

1-读数显微镜；2-金属板；3-刀口；4-砝码；5-磁铁（两块）；

6-调节架；7-铜杠杆（杠杆顶端贴有95A型集成霍尔传感器）；6-黄铜架基线

     

图 3.5-6                                 图3.5-7

实验内容

1．黄铜样品杨氏模量的测量和霍尔位置传感器的定标。

（1）安装实验装置。把被测铜板驾到两个刀口上形成横梁，在横梁上加挂黄铜架和砝码托盘，然后按实验装置图调整钢杠杆把霍尔位置传感器放入到两磁极间的居中位置。

（2）实验装置及数字电压表零点调整。用水准器观察磁铁是否在水平位置，若偏离，可用仪器底座螺丝调节到水平位置。旋转磁铁下方的调节架6上的螺母，调节磁铁架的高度，进一步调整霍尔传感器在两磁极之间的位置，使数字电压表读数接近零，再调节数字毫伏表上的调零旋钮使数字电压表读数趋于零。

（3）调节读数显微镜。调节显微镜的目镜，观察镜筒内的标尺和叉丝清晰。调节读数显微镜的高度，使物镜对准黄铜架上的基线。调节显微镜聚焦，松开镜筒锁紧螺丝，前后移动整个镜筒，使待测目标（黄铜架上的基线）成像清晰，调整后紧固螺丝。微调显微镜的支柱螺杆，使黄铜架上的基线成像于视场中央偏下位置。

（4）测定初始读数。转动显微镜的读数鼓轮，从目镜中可看到十字叉丝上下移动，使水平叉丝移到黄铜架上的基线下方（0.5㎜左右），然后缓慢上移水平叉丝与基线重合，记下读数作为测量的初始位置值Z₀。

（5）逐次增加砝码（每次增加10g砝码），读出每次水平叉丝与基线重合时读数显微镜的读数Z_i（金属板的弯曲位移）及相应的数字电压表读数值，以便于计算杨氏模量和对霍尔位置传感器进行定标。在整个测量过程中都要注意避免读数显微镜的空程误差，即只允许水平叉丝向一个方向移动。

（6）测量金属板两刀口间的长度d及不同位置金属板宽度b和厚度a。

（7）用逐差法计算，砝码每变化40g时，金属板的弯曲位移，按公式(3.5-3)进行计算，求得黄铜材料的杨氏模量，并求出霍尔位置传感器的灵敏度度。把测量结果与公认值进行比较，计算相对误差。

 2．用霍尔位置传感器测量可锻铸铁的杨氏模量。

（1）逐次增加砝码，读出数字电压表的数值。由霍尔位置传感器的灵敏度，计算出下降的距离。

（2）测量不同位置的金属板宽度b和金属板厚度a。用逐差法按公式(3.5-3)计算可锻铸铁的杨氏模量，把测量结果与公认值进行比较，计算相对误差。

注意事项

1．测量待测样品的宽度和厚度时应选择样品的不同位置多次测量。

2．使用千分尺测量样品厚度时要使用千分尺的棘轮夹紧样品，使夹紧的程度一致。

2．用读数显微镜测量砝码的黄铜架基线位置时，黄铜架不能晃动。

3．测量中注意避免读数显微镜的空程误差。

思考题

1．弯曲法测杨氏模量实验，主要测量误差有哪些？试估计各影响量的不确定度。

2．用霍尔位置传感器测量微位移的方法？

附录 托马斯·杨生平介绍

托马斯·杨（Thomas Yong , 1773―1829，）是英国物理学家、考古学家、医生。他不仅在物理学领域取得巨大成就，而且涉猎甚广。他热爱美术，喜好乐器，精通10多门语言，热衷考古，研究了保险经济问题，还会制造天文器材，甚至会耍杂技走钢丝。这是一个将科学和艺术并列研究、对生活充满热望的天才。

1773年6月13日，托马斯·杨生于英国萨默塞特郡的米菲尔顿一个富裕的贵格会教徒的家庭，是10个孩子中的老大。他从小就有神童之称，兴趣十分广泛，2岁就学会了看书，14岁时用拉丁文写过一篇自传，就在当时他已掌握了多种语言。他不仅阅读了大量的古典书籍，在中学时期，就已经读完了牛顿的《原理》、拉瓦锡的《化学纲要》以及其他一些科学著作，才智超群。

在19岁时，他进入伦敦的圣巴塞罗缪医学院学医。两年后，由于研究了眼睛的调节机理，他成为皇家学会会员。之后，他先后就读于德国和英国的几所大学继续学习医学，1799年在剑桥大学完成了学业。其间，他受到一些德国自然哲学家的影响，开始怀疑起光的微粒说。

牛顿曾在其《光学》的论著中提出光是由微粒组成的，在之后的近百年时间，人们对光学的认识几乎停滞不前，直到托马斯·杨的诞生，他成为开启光学真理的一把钥匙，为后来的研究者指明了方向。杨爱好乐器，几乎能演奏当时的所有乐器，这种才能与他对声振动的深入研究是分不开的。光会不会也和声音一样，是一种波？1801年，杨做了著名的杨氏干涉实验，为光的波动说奠定了基础。

然而，这个理论在当时并没有受到应有的重视，还被权威们讥为“荒唐”和“不合逻辑”，这个自牛顿以来在物理光学上最重要的研究成果，就这样被缺乏科学讨论气氛的守旧的舆论压制了近20年。杨并没有向权威低头，而是为此撰写了一篇论文，不过论文无处发表，只好印成小册子，据说发行后“只印出了一本”。杨在论文中勇敢地反击：“尽管我仰慕牛顿的大名，但是我并不因此而认为他是万无一失的。我遗憾地看到，他也会弄错，而他的权威有时甚至可能阻碍科学的进步。”

杨在物理光学领域的研究是具有开拓意义的，他第一个测量了7种颜色光的波长，从生理角度说明了人眼的色盲现象；他还建立了三原色原理，指出一切色彩都可以从红、绿、蓝这三种原色的不同比例的混和而得到。托马斯·杨对弹性力学也很有研究，特别是对胡克定律和弹性模量。1807年，他出版了《自然哲学和机械工艺讲义》一书，提出材料弹性模量的概念，后人为了纪念杨氏的贡献，把纵向弹性模量（正应力与线应变之比）称为杨氏模量。他还首先使用运动物体的“能量”一词来代替“活力”。1814年他开始研究考古，用了几年时间破译了古埃及石碑上的文字，对考古学作出了贡献。

晚年的杨已经成为举世闻名的学者，为大英百科全书撰写过40多位科学家传记以及无数条目，包罗万象。同时他还为一家重要的保险公司担任过统计检查官，并被任命为《航海天文历》的主持人，做了不少工作以改进实用天文学和航海援助。

除了科学，他还热爱艺术，过着多姿多彩的生活：音乐、美术甚至杂技一直滋养着他的生命。他经历旺盛的一生于1829年结束，终年56岁。

第二篇：杨氏模量的静态法测量

3.4 常用仪器使用实验

3.4.4杨氏模量的静态法测量

材料受外力作用时必然发生形变，杨氏模量（也称弹性模量）是衡量材料受力后形变能力大小的参数之一，亦即描述材料抵抗弹性形变能力的一个重要物理量。它是生产、科研中选择合适材料的重要依据，是工程技术设计中常用的参数。常用金属材料杨氏模量的数量级为1011 N·m-2。

本实验采用静态拉伸法测定钢丝的杨氏模量。实验中涉及较多长度量的测量，应根据不同测量对象，选择不同的测量仪器。其中钢丝长度的改变很小，用一般测量长度的工具不易精确测量，也难保证其精度要求。本实验采用的光杠杆是一种应用光学转换放大原理测量微小长度变化的装置，它的特点是直观、简便、精度高。

1．掌握用光杠杆法测量微小伸长量的原理和方法，并用以测定钢丝的杨氏模量。

2. 了解选取合理的实验条件，减小系统误差的重要意义。接受有效数字计算和不

确定度计算的训练。

设一根粗细均匀的钢丝长度为L，横截面积为A，沿长度方向受一外力F后，钢丝伸长了ΔL。比值F/A是钢丝单位横截面积上所受的力，称为应力（或胁强）；比值ΔL/L是钢丝的相对伸长量，称为应变（或胁变）。根据胡克定律，在弹性限度内，固体的应力和应变成正比，即

F/A=E?L/L

或 E=F/A (3.4-25) ?L/L

式中E称为杨氏模量，单位为N·m-2。它在数值上等于产生单位应变的应力，只与固体材料的性质有关。从微观结构来考虑，杨氏模量是一个表征原子间结合力大小的物理参量。

113

第3章 物理实验常用仪器的使用

由式（3.4-25）可知，对E的测量实际上就是

对F、A、ΔL、L的测量。其中F、L和A都容易

测量，唯有钢丝的伸长量ΔL很小，很难用一般

测长度的仪器测量。因此在设计实验时要尽可能

获得较大的ΔL。由于?L=F/A，要获得较大的E/L

图3.4-33杠杆结构 ΔL，则应使F/A=σ较大以及采用较长材料（即L大）。但L过长测量时会带来不便，一般取0.5m～1.0m。采用细丝作测试材料可以在F不大

的情况下获得较高的应力。但应力也要受材料强

度和弹性极限的限制，一般钢铁材料弹性极限大于2×108Pa。所以要根据具体材料和实验条件选择细丝的直径和受力范围。

另一方面，为使ΔL测量值具有较多位有效数字，实验中采用光杠杆法。光杠杆是用光学转换放大的方法来测量微小长度变化的一种装置。它包括杠杆架和镜尺机构（或灯尺机构）。反射镜放在杠杆架上组成杠杆镜。杠杆架下面有三个支脚，测量时两个前脚放在固定平台上，一个后脚放在与钢丝卡头相连的活动平台上。随着金属丝的伸长（或缩短），活动平台向下（或向上）移动，带动杠杆架以两个前脚的连线为轴转动，见图3.4.-33及图3.4-34。望远镜和标尺放在反射镜的正前方。通过望远镜可以看到标尺经反射镜所成的像。杠杆转动时，望远镜观察到的标尺线读数也发生变化。

还有一些光杠杆系统采用灯尺机构，即把望远镜换成光标灯。灯光经反射镜反射照射在标尺上，杠杆的转动将引起标尺上光标的移动。

114

3.4 常用仪器使用实验

设起始状态在标尺上的测量读数为S0，当待测钢丝受力作用而伸长ΔL时，光杠杆后脚随之下降ΔL，杠杆架和镜面都偏转θ角，反射线转过2θ，此时标尺读数为S1（如图3.4-34）则有

tgθ=S?S?S?L tg2θ=10= d1d1d2

上两式已将位移变化ΔL变成角度变化。式中d1为镜面到标尺间的距离，d2为光杠杆后脚到两前脚连线的垂直距离。因为ΔL<<d2，θ很小。上两式又可近似写成

?L=d2?θ

消去θ，得到 ?S=

其中2d1?L （3.4-27） d2?S=d1?2θ （3.4-26） 2d1为放大倍数。这样就可以把微小的长度改变量ΔL用可观的变化量ΔS表示。d2

为保证大的放大系数，实验时应有较大的d1（一般2m）和较小的d2（一般0.08m左右）。

将砝码施加的力F=Mg，钢丝的截面积A=

式，得到测量杨氏模量的公式： E=1πD2及（3.4-27）式代入（3.4-25）48MgLd1

πD2d2?S （3.4-28）

用静态拉伸法测定金属丝杨氏模量的装置见图3.4-35。金属丝悬挂在支架上，由砝码给金属丝施加拉力。

1．根据测量精度要求，选择适当的测量工具进行长度测量。如用钢卷尺测量L、d1，用米尺测量ΔS，用游标卡尺测量d2 ，用千分尺测量金属丝直径D 。

2．由于钢丝有挠屈，码钩上应预先加上适量本底砝码把钢丝拉直，使钢丝在伸直的状态下开始实验。并在此状态测L和D。

3．为了消除弹性滞后效应和夹钢丝的卡头与外框磨擦引起的系统误差，实验中先逐个增加砝码测量，再逐个减少砝码测量，取同一应力下两种情况测量的平均值作为该应力下的测量结果。

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第3章 物理实验常用仪器的使用

望远镜

标尺

反射镜

固定平台

图 3.4-35 杨氏模量测量装置

4．为提高（3.4-26）式准确性，由光杠杆小镜反射回来的光（或光标灯发出的光）应与标尺尽量垂直，须使望远镜（或光标灯）轴线与光杠杆小镜等高，并且使标尺呈竖直状态。为保证增减砝码时，标尺上的读数位置应该在望远镜（或光标灯）轴线附近上下移动，先将所需全部砝码的一半加在码钩上，细心调节小镜倾角，使此时标尺上读数位置与望远镜（或光标灯）的轴线等高，然后取下砝码开始实验。

5．仪器调整：

（1）为减少卡头与外框间的摩擦，应调节杨氏模量仪的底脚螺丝，使两根支柱铅直，以保证平台水平。

（2）调整光路，从望远镜中清楚地看到标尺读数（或让光标清晰地呈现在标尺上）。

6．数据处理：把（3.4-28）式改写为 ?S=

其中 k=8Ld1πDd2E8Ld12Mg=kMg

πD2d2E

在既定的实验条件下k是一个常量。若以?S=Si?S0（i=0,1,2…）为纵坐标，Mig为横坐标作图，应得一直线，其斜率为k。由图上得到k的数据后可计算出杨氏模量 E=

116 8Ld1πDd2k2 （3.4-29）

3.4 常用仪器使用实验

杨氏模量测定仪，光杠杆，镜尺机构，待测钢丝，砝码，千分尺，卡尺，钢卷尺。

1．调整仪器及光路，先加两个砝码将钢丝拉直，并准备好数据记录表格。

2．测量L、d1、d2各一次；测量D六次。

（i=0，1，2，3，4，5，6，7），然后每减少3．每增加一个砝码读一次标尺数Si'，

一个砝码读一个标尺数Si"。

4．数据处理

（1）用作图法求E。

（2）用最小二乘法求E。

（3）计算不确定度u(d 1)，u(d 2)，u(L)，u(D)，u(ΔS)（其中 u(d2)=

。 u(L)取估计值5mm，u(D)和u(ΔS)均应考虑A类分量和B类分量）

（4）计算合成不确定度 u(E)=?仪3，u(d1)、u(d1)u(d2)u(L)2u(D)u(ΔS)++++d1d2LDΔS22222E

并给出E的结果。

（5）将两种方法求出的E与公认值E0=2.05×1011N·m-2进行比较。

1．两根材料相同，粗细、长度不同的钢丝，在相同的加载条件下，它们的伸长量是否一样？杨氏模量是否相同。

2．光杠杆有什么特点？怎样提高光杠杆的灵敏度？

3．分析本实验产生误差的主要原因。实验中哪个量的测量误差对结果的影响大？如何进一步改进？

采用灯尺机构进行实验时，金属丝的伸长量是由竖尺上的读数变化反映出来的。117

第3章 物理实验常用仪器的使用

用肉眼读取光标产生的误差较大。如果在竖尺处放置适当的光电传感器，就可以将光标的位置变化转变成电信号输出，使得数据采集和处理更加方便。

本实验是微小长度变化测量的实验。微小长度的变化，用一般测量长度的工具，不易测准，有时甚至是很困难的。本实验采用光杠杆法来测量微小长度变化，它是一种可以实现非直接接触式的光学放大测量。光杠杆可以做得很精细，灵敏度高，还可以采用多次反射光路进一步增加放大倍数，常在精密仪器中应用。

同时，本实验还是对学生进行数据处理、不确定度估算训练的一个非常好的实验。从不确定度估算来看：有A类、B类的估算，有单次、多次测量的估算，内容比较全面。我们还可以从对各个待测量的误差分析来理解主要误差来源和改进途径。

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微小长度测量的常用方法

长度的测量在我们的日常工作和生活中随处可见。当测量的范围是在 10?2~10m之间时，可用尺子等测量工具直接测量，而对于10m以下的微小长度，则需采用其它的手段进行测量。测量微小长度的方法很多，常用的有：

1.机械放大法

可通过齿轮传动机构或杠杆原理将测量杆的微小位移加以放大，最后通过指针的变化反应出来，如钟表式百分表、杠杆百分表等；还可利用丝杠鼓轮和蜗轮蜗杆制成读数细分机构，如千分尺、迈克尔孙干涉仪读数系统等；以及用游标原理制成游标卡尺等。

2.视角放大法

利用放大镜、显微镜、望远镜的视角放大作用，增大物对眼睛的视角，再配合读数细分机构，可提高测量精度，如测微目镜、读数显微镜等。

用游标卡尺、千分尺和读数显微镜测量长度的方法已经在第三章中做了介绍。

3.角放大法

根据光的反射定律，若入射到平面反射镜光线的方向不变，当平面镜转过θ角时，反射光线将转过2θ角，且每反射一次便将变化的角度放大一倍。在此，反射光线相当于一只无质量的长指针，能扫过标度尺的很多刻度。用此原理制成的光杠杆可测量微小长度的变化，如本实验就是采用这种方法。

4.转换测量法

电学测量方法具有灵敏度高，反应速度快，便于自动控制等特点。所以常将非电学量转换成电学量进行测量。要用电学测量方法去测非电学量，就必须先将非电学量的变化转换成电阻、电动势、电流、电容、电感等电学量的变化，其转换器件称为传感器。

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3.4 常用仪器使用实验

利用位移传感器将长度变化转换成电压（或电流等）的变化进行测量，如金属线膨胀系数的测量中可以利用位移传感器测量不同温度下金属的微小伸长量；

利用电阻应变片作为传感器将应变的变化转变为电阻值的变化进行测量等。

5.物理光学方法

利用光的干涉和衍射原理，通过对条纹间距等的测量可导出待测微小长度。

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