选修2-2　第二章　2.3　　

一、选择题

1．用数学归纳法证明1＋＋＋…＋<n(n∈N^*，n>1)时，第一步应验证不等式(　　)

A．1＋<2　　　　　                               B．1＋＋＜2

C．1＋＋＜3                                         D．1＋＋＋＜3

[答案]　B

[解析]　∵n∈N^*，n＞1，∴n取第一个自然数为2，左端分母最大的项为＝，故选B.

2．(2014·秦安县西川中学高二期中)用数学归纳法证明1＋a＋a²＋…＋a^n＋1＝(n∈N^*，a≠1)，在验证n＝1时，左边所得的项为(　　)

A．1                                                         B．1＋a＋a²

C．1＋a                                                    D．1＋a＋a²＋a³

[答案]　B

[解析]　因为当n＝1时，a^n＋1＝a²，所以此时式子左边＝1＋a＋a².故应选B.

3．设f(n)＝＋＋…＋(n∈N^*)，那么f(n＋1)－f(n)等于(　　)

A．                                                  B．

C．＋                                      D．－

[答案]　D

[解析]　f(n＋1)－f(n)＝

－＝＋－

＝－.

4．某个命题与自然数n有关，若n＝k(k∈N^*)时，该命题成立，那么可推得n＝k＋1时该命题也成立．现在已知当n＝5时，该命题不成立，那么可推得(　　)

A．当n＝6时该命题不成立                       B．当n＝6时该命题成立

C．当n＝4时该命题不成立                       D．当n＝4时该命题成立

[答案]　C

[解析]　原命题正确，则逆否命题正确．故应选C.

5．用数学归纳法证明命题“当n是正奇数时，xⁿ＋yⁿ能被x＋y整除”，在第二步的证明时，正确的证法是(　　)

A．假设n＝k(k∈N^*)时命题成立，证明n＝k＋1时命题也成立

B．假设n＝k(k是正奇数)时命题成立，证明n＝k＋1时命题也成立

C．假设n＝k(k是正奇数)时命题成立，证明n＝k＋2时命题也成立

D．假设n＝2k＋1(k∈N)时命题成立，证明n＝k＋1时命题也成立

[答案]　C

[解析]　∵n为正奇数，当n＝k时，k下面第一个正奇数应为k＋2，而非k＋1.故应选C.

6．凸n边形有f(n)条对角线，则凸n＋1边形对角线的条数f(n＋1)为(　　)

A．f(n)＋n＋1                                           B．f(n)＋n

C．f(n)＋n－1                                           D．f(n)＋n－2

[答案]　C

[解析]　增加一个顶点，就增加n＋1－3条对角线，另外原来的一边也变成了对角线，故f(n＋1)＝f(n)＋1＋n＋1－3＝f(n)＋n－1.故应选C.

二、填空题

7．(2014·湖北重点中学高二期中联考)用数学归纳法证明(n＋1)(n＋2)…(n＋n)＝2ⁿ·1·3…(2n－1)(n∈N^*)时，从“n＝k到n＝k＋1”左边需增乘的代数式为(　　)

A．2k＋1                                                  B．2(2k＋1)

C．                                                  D．

[答案]　B

[解析]　n＝k时，等式为(k＋1)(k＋2)…(k＋k)＝2^k·1·3·…·(2k－1)，

n＝k＋1时，等式左边为(k＋1＋1)(k＋1＋2)…(k＋1＋k＋1)＝(k＋2)(k＋3)…(2k)·(2k＋1)·(2k＋2)，右边为2^k＋1·1·3·…·(2k－1)(2k＋1)．左边需增乘2(2k＋1)，故选B.

8．已知数列，，，…，，通过计算得S₁＝，S₂＝，S₃＝，由此可猜测S_n＝________.

[答案]　

[解析]　解法1：通过计算易得答案．

解法2：S_n＝＋＋＋…＋

＝＋＋＋…＋

＝1－＝.

9．用数学归纳法证明：1－＋－＋…＋－＝＋＋…＋，第一步应验证的等式是________．

[答案]　1－＝

[解析]　当n＝1时，等式的左边为1－＝，右边＝，∴左边＝右边．

三、解答题

10．(2013·大庆实验中学高二期中)数列{a_n}满足S_n＝2n－a_n(n∈N^*)．

(1)计算a₁、a₂、a₃，并猜想a_n的通项公式；

(2)用数学归纳法证明(1)中的猜想．

[证明]　(1)当n＝1时，a₁＝S₁＝2－a₁，∴a₁＝1；

当n＝2时，a₁＋a₂＝S₂＝2×2－a₂，∴a₂＝；

当n＝3时，a₁＋a₂＋a₃＝S₃＝2×3－a₃，∴a₃＝.

由此猜想a_n＝(n∈N^*)

(2)证明：①当n＝1时，a₁＝1结论成立，

②假设n＝k(k≥1，且k∈N^*)时结论成立，

即a_k＝，

当n＝k＋1时，

a_k＋1＝S_k＋1－S_k＝2(k＋1)－a_k＋1－2k＋a_k＝2＋a_k－a_k＋1，∴2a_k＋1＝2＋a_k

∴a_k＋1＝＝，

∴当n＝k＋1时结论成立，于是对于一切的自然数n∈N^*，a_n＝成立．

一、选择题

11．用数学归纳法证明1＋2＋3＋…＋n²＝，则当n＝k＋1时左端应在n＝k的基础上加上(　　)

A．k²＋1                                                   B．(k＋1)²

C．                    D．(k²＋1)＋(k²＋2)＋(k²＋3)＋…＋(k＋1)²

[答案]　D

[解析]　n＝k时，左边＝1＋2＋3＋…＋k²，n＝k＋1时，左边＝1＋2＋3＋…＋k²＋(k²＋1)＋(k²＋2)＋…＋(k＋1)²，故选D.

12．设凸k边形的内角和为f(k)，则凸k＋1边形的内角和f(k＋1)＝f(k)＋________.(　　)

A．2π                                                       B．π

C．                                                         D．

[答案]　B

[解析]　将k＋1边形A₁A₂…A_kA_k＋1的顶点A₁与A_k相连，则原多边形被分割为k边形A₁A₂…A_k与三角形A₁A_kA_k＋1，其内角和f(k＋1)是k边形的内角和f(k)与△A₁A_kA_k＋1的内角和π的和，故选B.

13．(2014·揭阳一中高二期中)用数学归纳法证明“n³＋(n＋1)³＋(n＋2)³(n∈N^*)能被9整除”，要利用归纳假设证n＝k＋1时的情况，只需展开(　　)

A．(k＋3)³                                                B．(k＋2)³

C．(k＋1)³                                                D．(k＋1)³＋(k＋2)³

[答案]　A

[解析]　因为从n＝k到n＝k＋1的过渡，增加了(k＋1)³，减少了k³，故利用归纳假设，只需将(k＋3)³展开，证明余下的项9k²＋27k＋27能被9整除．

14．(2014·合肥一六八中高二期中)观察下列各式：已知a＋b＝1，a²＋b²＝3，a³＋b³＝4，a⁴＋b⁴＝7，a⁵＋b⁵＝11，…，则归纳猜测a⁷＋b⁷＝(　　)

A．26                                                       B．27

C．28                                                       D．29

[答案]　D

[解析]　观察发现，1＋3＝4,3＋4＝7,4＋7＝11,7＋11＝18,11＋18＝29，∴a⁷＋b⁷＝29.

二、填空题

15．用数学归纳法证明“2^n＋1≥n²＋n＋2(n∈N^*)”时，第一步的验证为________．

[答案]　当n＝1时，左边＝4，右边＝4，左≥右，不等式成立

[解析]　当n＝1时，左≥右，不等式成立，

∵n∈N^*，∴第一步的验证为n＝1的情形．

16．对任意n∈N^*,3^4n＋2＋a^2n＋1都能被14整除，则最小的自然数a＝________.

[答案]　5

[解析]　当n＝1时，3⁶＋a³能被14整除的数为a＝3或5，当a＝3时且n＝3时，3¹⁰＋3⁵不能被14整除，故a＝5.

三、解答题

17．在平面内有n条直线，其中每两条直线相交于一点，并且每三条直线都不相交于同一点．

求证：这n条直线将它们所在的平面分成个区域．

[证明]　(1)n＝2时，两条直线相交把平面分成4个区域，命题成立．

(2)假设当n＝k(k≥2)时，k条直线将平面分成块不同的区域，命题成立．

当n＝k＋1时，设其中的一条直线为l，其余k条直线将平面分成块区域，直线l与其余k条直线相交，得到k个不同的交点，这k个点将l分成k＋1段，每段都将它所在的区域分成两部分，故新增区域k＋1块．

从而k＋1条直线将平面分成＋k＋1＝块区域．

所以n＝k＋1时命题也成立．

由(1)(2)可知，原命题成立．

18．试比较2ⁿ＋2与n²的大小(n∈N^*)，并用数学归纳法证明你的结论．

[分析]　由题目可获取以下主要信息：

①此题选用特殊值来找到2ⁿ＋2与n²的大小关系；

②利用数学归纳法证明猜想的结论．

解答本题的关键是先利用特殊值猜想．

[解析]　当n＝1时，2¹＋2＝4>n²＝1，

当n＝2时，2²＋2＝6>n²＝4，

当n＝3时，2³＋2＝10>n²＝9，

当n＝4时，2⁴＋2＝18>n²＝16，

由此可以猜想，

2ⁿ＋2>n²(n∈N^*)成立

下面用数学归纳法证明：

(1)当n＝1时，

左边＝2¹＋2＝4，右边＝1，所以左边>右边，

所以原不等式成立．

当n＝2时，左边＝2²＋2＝6，

右边＝2²＝4，所以左边>右边；

当n＝3时，左边＝2³＋2＝10，右边＝3²＝9，

所以左边>右边．

(2)假设n＝k时(k≥3且k∈N^*)时，不等式成立，

即2^k＋2>k².那么当n＝k＋1时，

2^k＋1＋2＝2·2^k＋2＝2(2^k＋2)－2>2·k²－2.

又因：2k²－2－(k＋1)²＝k²－2k－3

＝(k－3)(k＋1)≥0，

即2k²－2≥(k＋1)²，故2^k＋1＋2>(k＋1)²成立．

根据(1)和(2)，原不等式对于任何n∈N^*都成立．

第二篇：【成才之路】20xx-20xx学年高中数学(人教A版,选修2-3)练习：2.2.3 独立重复试验与二项分布]

选修2-3 第二章 2.2 2.2.3

一、选择题

1．任意抛掷三枚均匀硬币，恰有2枚正面朝上的概率为( ) 3

A．

41

C．

3[答案] B

1

[解析] 2枚朝上的概率为P

21?213?＝C232×??28

2．在4次独立重复试验中，事件A发生的概率相同，若事件A至少发生1次的概率为65

A在1次试验中发生的概率为( ) 81

1A．

35C．

6[答案] A

0465[解析] 事件A在一次试验中发生的概率为p，由题意得1－C04p(1－p)＝181

3

B

81D．4

2B

53D．4

21

－p＝，p＝A.

33

3．(2013·河南安阳中学高二期中)若X～B(10,0.8)，则P(X＝8)等于( )

82A．C810×0.8×0.2

28

B．C810×0.8×0.2

C．0.88×0.22 [答案] A

D．0.82×0.28

k10k8

[解析] ∵X～B(10,0.8)，∴P(X＝k)＝Ck，∴P(X＝8)＝C80.22，故100.8(1－0.8)100.8·

－

选A.

4

4．某一批花生种子，如果每1那么播下4粒种子恰有2粒发芽的概

5率是( )

16A．

625192C．

625

96B．

625256D．625

[答案] B

?4?2?1?2＝96[解析] P＝C245???5?625

315，次品率为ξ次首次测到正44

品，则P(ξ＝3)＝( )

1?23?A．C234× ??4

123C．??4×4

[答案] C

6．在4次独立重复试验中，随机事件A恰好发生1次的概率不大于其恰好发生2次的概率，则事件A在一次试验中发生的概率p的取值范围是( )

A．[0.4,1)

C．[0.6,1)

[答案] A

[解析] 由条件知P(ξ＝1)≤P(ξ＝2)，

3222∴C14p(1－p)≤C4p(1－p)， 3?21?B．C234× ??4321D．??4×4 B．(0,0.4] D．(0,0.6]

∴2(1－p)≤3p，∴p≥0.4，又0≤p<1，∴0.4≤p<1.

二、填空题

7．下列例子中随机变量ξ服从二项分布的有________．

①随机变量ξ表示重复抛掷一枚骰子n次中出现点数是3的倍数的次数；

②某射手击中目标的概率为0.9，从开始射击到击中目标所需的射击次数ξ；

③有一批产品共有N件，其中M件为次品，采用有放回抽取方法，ξ表示n次抽取中出现次品的件数(M<N)；

④有一批产品共有N件，其中M件为次品，采用不放回抽取方法，ξ表示n次抽取中出现次品的件数．

[答案] ①③

1[解析] 对于①，设事件A为“抛掷一枚骰子出现的点数是3的倍数”，P(A)＝.而在3

?1?n次独立重复试验中事件A恰好发生了k次(k＝0、1、2、??、n)的概率P(ξ＝k)＝Ckn×3??

k2?n－k1×?，符合二项分布的定义，即有ξ～B(n，)． ?3?3

对于②，ξ的取值是1、2、3、??、P(ξ＝k)＝0.9×0.1k1(k＝1、2、3、??n)，显然－

不符合二项分布的定义，因此ξ不服从二项分布．

③和④的区别是：③是“有放回”抽取，而④是“无放回”抽取，显然④中n次试验是

Mn，. 不独立的，因此ξ不服从二项分布，对于③有ξ～B??N故应填①③.

8．一个病人服用某种新药后被治愈的概率为0.9，则服用这种新药的4个病人中至少3人被治愈的概率为________(用数字作答)．

[答案] 0.9477

[解析] C30.93·0.1＋(0.9)4＝0.9477. 4·

19．如果X～B(20，p)，当p＝P(X＝k)取得最大值时，k＝________. 2

[答案] 10

1?1?k?1?20－k [解析] 当p＝时，P(X＝k)＝Ck2022????2

120k＝?C20，显然当k＝10时，P(X＝k)取得最大值． ?2·

三、解答题

10．(2014·西安市质检)某学生在上学路上要经过4个路口，假设在各路口是否遇到红灯

1是相互独立的，遇到红灯的概率都是，遇到红灯时停留的时间都是2分钟． 3

(1)求这名学生在上学路上到第三个路口时首次遇到红灯的概率；

(2)求这名学生在上学路上因遇到红灯停留的总时间ξ的分布列．

[解析] (1)设这名学生在上学路上到第三个路口时首次遇到红灯为事件A，因为事件A等于事件“这名学生在第一和第二个路口没有遇到红灯，在第三个路口遇到红灯”，所以事件A的概率为

1114P(A)＝(1×(1－)×＝. 33327

(2)由题意，可得ξ可以取的值为0、2、4、6、8(单位：分钟)，

事件“ξ＝2k”等价于事件“该学生在路上遇到k次红灯”(k＝0、1、2、3、4)，

1k24－k∴P(ξ＝2k)＝Ck(k＝0、1、2、3、4)， 4()()33

∴即ξ的分布列是

一、选择题

11．某射手射击1次，击中目标的概率是0.9，他连续射击4次，且各次射击是否击中目标相互之间没有影响．则他恰好击中目标3次的概率为( )

A．0.93×0.1

3C．C34×0.9×0.1 B．0.93 D．1－0.13

[答案] C

[解析] 由独立重复试验公式可知选C.

12．位于坐标原点的一个质点P按下述规则移动：质点每次移动一个单位；移动的方

1向为向上或向右，并且向上、向右移动的概率都是.质点P移动五次后位于点(2,3)的概率是2

( )

1A．5 2

13C．C35( 2

[答案] B

[解析] 由于质点每次移动一个单位，移动的方向向上或向右，移动五次后位于点(2,3)，

1312315215所以质点P必须向右移动二次，向上移动三次，故其概率为C3()(＝C()＝C555(). 2222

13．市场上供应的灯泡中，甲厂产品占70%，乙厂占30%，甲厂产品的合格率为95%，乙厂产品的合格率是80%，则从市场上买到一个是甲厂生产的合格灯泡的概率是( )

A．0.665

C．0.24

[答案] A

[解析] 设A＝“从市场上买到一个灯泡是甲厂生产的”，B＝“从市场上买到一个灯泡是合格品”，则A、B相互独立，则事件AB＝“从市场上买到一个是甲厂生产的合格灯泡”．

∵P(A)＝0.7，P(B)＝0.95，∴P(AB)＝P(A)·P(B)＝0.7×0.95＝0.665.

二、填空题

514．设随机变量X～B(2，p)，Y～B(4，p)，若P(X≥1)＝P(Y≥2)的值为________． 9

[答案] 11 27B．0.56 D．0.285 15B．C25( 2315D．C25C5() 2

4102[解析] 由条件知，P(X＝0)＝1－P(X≥1)C02P(1－P)，∴P， 93

∴P(Y≥2)＝1－P(Y＝0)－P(Y＝1)

0413＝1－C04P(1－P)－C4P(1－P)

163211＝1－＝. 818127

15．某篮球队员在比赛中每次罚球的命中率相同，且在两次罚球中至多命中一次的概率

16为________． 25

3[答案] 5

169[解析] 设篮球运动员罚球的命中率为P，则由条件得P(ξ＝2)＝1－， 2525

93∴C2P2＝，∴P＝. 2·255

三、解答题

16．(2014·乌鲁木齐诊断)某公司招聘员工，先由两位专家面试，若两位专家都同意通过，则视作通过初审予以录用；若这两位专家都未同意通过，则视作未通过初审不予录用；当这两位专家意见不一致时，再由第三位专家进行复审，若能通过复审则予以录用，否则不予录用．设应聘人员获得每位初审专家通过的概率均为0.5，复审能通过的概率为0.3，各专家评审的结果相互独立．

(1)求某应聘人员被录用的概率；

(2)若4人应聘，设X为被录用的人数，试求随机变量X的分布列．

[解析] 设“两位专家都同意通过”为事件A，“只有一位专家同意通过”为事件B，“通过复审”为事件C.

(1)设“某应聘人员被录用”为事件D，则D＝A＋BC，

1111113∵P(A)＝×＝，P(B)＝2(1－)＝，P(C)＝， 22422210

2∴P(D)＝P(A＋BC)＝P(A)＋P(B)P(C)＝. 5

(2)根据题意，X＝0,1,2,3,4，

Ai表示“应聘的4人中恰有i人被录用”(i＝0,1,2,3,4)，

3481∵P(A0)＝C0×(＝， 45625

233216P(A1)＝C1×()＝ 455625

2232216P(A2)＝C2××(＝， 455625

23396P(A3)＝C3××＝ 455625

243016P(A4)＝C4××(＝. 455625

∴X的分布列为

17.(2014·唐山市一模)甲、乙、丙三个车床加工的零件分别为350个，700个，1050个，现用分层抽样的方法随机抽取6个零件进行检验．

(1)从抽取的6个零件中任意取出2个，已知这两个零件都不是甲车床加工的，求至少有一个是乙车床加工的概率；

(2)从抽取的6个零件中任意取出3个，记其中是乙车床加工的件数为X，求X的分布列．

[解析] (1)由抽样方法可知，从甲、乙、丙三个车床抽取的零件数分别为1,2,3.

从抽取的6个零件中任意取出2个，记事件“已知这两个零件都不是甲车床加工的”为A，事件“其中至少有一个是乙车床加工的”为B，则

2C2C25－C3P(A)＝P(AB)＝， C6C6

P?AB?C5－C3所求概率为P(B|A)＝＝0.7. C5P?A?

(2)X的可能取值为0,1,2.

3iCiCP(X＝i)i＝0,1,2. C6－22

X的分布列为

18.(2014·成绩大于或等于90分的有参赛资格，90分以下(不包括90分)的被淘汰．若有500人参加测试，学生成绩的频率分布直方图如图．

(1)求获得参赛资格的人数；

(2)根据频率直方图，估算这500名学生测试的平均成绩；

(3)若知识竞赛分初赛和复赛，在初赛中每人最多有5次选题答题的机会，累计答对3题或答错3题即终止，答对3题者方可参加复赛．已知参赛者甲答对每一个问题的概率都相

1同，并且相互之间没有影响．已知他前两次连续答错的概率为ξ9

的分布列．

[解析] (1)由频率分布直方图得，获得参赛资格的人数为500×(0.0050＋0.0043＋

0.0032)×20＝125人．

30＋5050＋7070＋90(2)设500名学生的平均成绩为x，则x＝(×0.0065＋×0.0140222

90＋110110＋130130＋150×0.0170＋0.0050＋0.0043＋0.0032)×20＝78.48分． 222

12(3)设学生甲答对每道题的概率为P(A)，则(1－P(A))2＝，∴P(A)＝. 93

学生甲答题个数ξ的可能值为3,4,5，

211123101213则P(ξ＝3)＝() 3＋3＝，P(ξ＝4)＝C1)()＋C()＝， 33333333327

12228P(ξ＝5)＝C2(.所以ξ的分布列为

4()＝3327