求函数极限的方法
作 者: 王文娜
指导老师：闫苗苗
摘要：求解函数极限是高等数学的一个重要内容，本文主要探讨一元函数和二元函数极限的求法，详细介绍了一些常用的方法和技巧。并对一些例题进行了解析和说明。
关键词：一元函数；二元函数；极限
0 引言
函数极限的求解是高等数学的基本运算，也是学生必备的基本技能，并且函数极限和以后许多章节的知识相联系，例如：导数的计算、定积分、曲线积分、幂级数等，它是我们学好后序章节知识的基础。因此，掌握其求解方法对以后的学习至关重要。函数的极限求解方法灵活多变，不易掌握，是高等数学的一个难点。本文就一元函数极限和二元函数极限的求法进行探讨，希望对学习高等数学的同学能有所帮助。
1 一元函数极限的求法
1.1 用定义求一元函数极限
1.1.1 x趋于a时的函数极限
定义1：函数f?x?在点x?a的空心邻域内有定义，A是一个确定
的数，若对任意的正数??0，存在??0，使得当x?a??时，都有f?x??A??,则称x趋向于a的极限存在，且为A，记作limf?x??A. x?a
下面举例说明如何根据定义来求这种函数极限，我们要特别注意
第 1 页 （共 15 页）
?的值是如何确定的，它和?有什么关系。
?2x?2??4 例1 证明 limx?1
证 ??＞0， ?2x?2??4?2x?1＜?成立，解得 x?1＜。 取??,于是存在??,?x:0 ＜x?1＜? ,有22?2???2x?2??4＜?。
?2x?2??4。 故limx?1
注：一般?的取值要依赖于?，但它不是由?唯一确定的。在上 例中还可以把?取的更小一些。这取决于函数式放缩的程度。
1.1.2 x趋向?时的函数极限
定义2：设f为定义在?a,???上的函数，A为定值，若对任给 正数?，存在正数M(≥a ), 使得当x＞M时有 f?x??A＜?。则称函
f?x??A或f?x??A?x????。 数f当x???时以A为极限，记作xlim???
x趋向于??时的函数极限的定义与定义2相似，只要把定义中的x＞M改为x??M即可。
下面同样举例说明用定义求这种函数极限的方法。
n2?n?11例2 证明 nlim= ???3n2?2n3
解析 这是一个关于自变量n趋向于无穷大的函数极限，n相当于定义中的x，先将函数式适当放大，再根据函数定义求证函数极限。 n2?n?11?证23n?2n3??5n?622，当3n?2n?3n?3n?0，n?2,5n?6?0,233n?2n2?n?11?有23n?2n3???1??5n?65?n?1?51????N?max，，???0?2,??? 229nn33n?3n9n?1?????当n?N时，有 n2?n?11n2?n?1??, 故lim=。 22n???3n?2n33n?2n
利用定义法求函数极限时要注意：
（1）在上面的①式中运用了适当放大的方法，这样求解比较简便。但要注意这种放大必须要“适度”?1?，这样才能根据给定的?来确定
第 2 页 （共 15 页）
N，同时要注意此题中的N不一定非要是整数，只要是正数即可。
（2）函数在所求点的极限与函数在此点是否连续无关，函数极限表示的是自变量趋向某点时函数值的变化规律。
用定义法求函数极限较麻烦，一般不用。洛比达法则是比较常用的求函数极限的方法。
1.2 用洛比达法则求未定式极限
我们把两个无穷小量或两个无穷大量之比形式的极限统称为未定式极限?2?，记作型或型，其它能化成这两种极限形式的函数极限也称为未定式极限。对求解未定式极限来讲，洛比达法则是一种便捷而有效的方法。使用时要注意和其它方法结合，使求解过程简洁化。洛比达法则有以下几种形式：
1.2.1 0?型或型 0?00??
对于这两种类型的未定式极限，直接用洛比达法则。下面是针对这两种极限形式的洛比达法则。
（1）型未定式函数极限
若①当x?x0时，f?x??0,g?x??0。 ②xlim?xf??x?的值存在， ?gx000
且为A(可以是无穷大)。 ③在点x0的某空心邻域内f?x?、g?x?都可导，且g??x?≠0 。那么 xlim?x
（2）型未定式函数极限
若①当x?x0时，f?x???,g?x???。 ② xlim?xf??x?的值存在 g?x0f?x?f??x??lim?A x?x0g?xgx??0
且为A(可以是无穷大)。 ③在点x0的某空心邻域内f?x?、g?x?都可
第 3 页 （共 15 页）
导，且g??x?≠0。 那么 lim
3x?2x例3 求极限lim x?0xx?x0f?x?f??x??lim?A x?x?0gxgx解析 当x?0时，分子趋向于0，分母趋向于0，这是一个型极限，可直接用洛比达法则。
3x?2x3xIn3?2xIn23解 由洛比达法则， lim=lim?In x?0x?0x1200
注：若使用了洛比达法则后，分子分母导数之比依然符合洛比达法则，则可继续使用洛比达法则，直到求出函数极限值为止。例如：
ex?x?1ex?1ex1lim?lim?lim?。 x?0x?06xx?0663x2
1.2.2 其它类型的未定式极限
（1）对于0?? 型的函数极限，要先把这种类型的极限化成型或型极限。若f?x??g?x?为0??，那么可将f?x??g?x?化成?
?0 0f?x?0（） 10
gx或者g?x??（），然后用洛比达法则求解。 1?
fxx?0?例4 求极限lim2xInx ?0???
解 用恒等变形，2xInx?Inx?， 这是一个型的极限，再用洛1?
2x
21
Inx比达法则求解。lim?2xInx=lim??lim??lim???2xx?0x?0x?0x?011?22xx??0.
（2） 对于1?、00、0?型的未定式极限，要先对底函数取对数，
第 4 页 （共 15 页）
将其化为型或型，再用洛比达法则求解。
例5 求极限limx?0?00??xsinx（00）.
解析 x?0?,sinx?0，对x取对数，使函数变为0??的形式。然后利用上题的方法求解。
1
Inx??? 解 lim?xsixn=lim?esinxInx，其中lim?sinxInx?lim????lim?x?0x?0x?01???x?0x?01?2xx
=lim??x??0故limx?0?x?0?xsinx=e0=1。
在运用洛比达法则时，应该注意以下问题：
①洛比达法则中的求导是分别对分子和分母求导，而不是对整个式子的求导。
②倘若最后所得的极限不存在，并不代表函数无极限，可以换 用其它方法求函数极限。
③在运用时要注意洛比达法则所要求的条件。
1.3 用代换法求函数极限
洛比达法则成功的解决了未定式极限的问题，但有时函数比较复杂，若使用洛比达法则较麻烦，这时可以将函数用其它形式的函数等价代换，化繁为简，这就是用代换法求极限。
1.3.1 换用马克劳林公式求函数极限
马克劳林公式?3?：
f???0?2f????0?3f?n??0?nf?x??f?0??f??0?x?x?x???x?0xn?1 2!3!n!??
例6 limx?0coxs?e?x224?x4sinx
解 首先将下列初等函数化成马克劳林公式
24?x2x4xx5cosx?1???0x，e2=1???0x5 ， sinx?x?0?x5?， 2!2428??x2??
第 5 页 （共 15 页）
代入得 limx?0coxs?ex2?2?x44sinxx4??x4?0x511?=lim 。 54x?012x?0x??注：在应用马克劳林公式时，要用相同幂次数的x来代换，这样函数才能化繁为简。
1.3.2 利用等价无穷小代换法求函数极限
当x?0时，有下列常用的一组等价无穷小： sinx~x，tanx~x，
x2
a In?1?x?~x， e?1~x， 1?cox ax?1~xIn，arcsinx~x，s~，2x
?1?x???1~?x， ?x?1~x 。 n
例7 limx?0x?1?cosx? sinx2In1?x解 这个函数极限用洛比达法则求较复杂，直接用等价无穷小替
1x?x2
x?1?cosx?1换，代入得 lim= 。 lim?x?0sinx2In1?xx?0x2?x2
注：只有当因式相乘或相除时才能用等价无穷小代换，若相加或相减时不能随意代换，否则，可能得出错误的结论?4?。
1.4 利用一些变形技巧求函数极限
对于连续函数，在应用某些法则时，往往需要先对函数做一些变形，采用怎样的变形，要根据具体的函数确定，常用的变形方法有分子分母有理化法?5?、添加中介元素法及通分法。
1.4.1 分子分母有理化法
对于带根式的函数，我们通常将带根式的那一部分进行有理化，消去根号，再求解。
例8 求 limx?03x?x??x
第 6 页 （共 15 页）
解 x?0,?x?1,?x?1,?x??x?0，将分母有理化。 lim3x
?x??xx?0 = limx?0
3
2?x?3x?x??x?x?x???x =lim??x??x?=?2=3。
1.4.2 添加中介元素法
有时在函数式中添加一些中介元素，将函数式进行合理变形，再
sinx?1?利用一些常见的函数极限，例如：lim?1，lim?1???e等?6?。可x??x?0x?x?x32x?0
以使求解函数极限变得易如反掌。
sinx x?0sin3x
sinx分析 利用lim?1，添加中介元素x。 x?0x
sinxsinx?x11sinx解 li = limx?limx?。 x?0sin3xx?0sin3x?0sin3x33x?3x3x3x例9 求极限 li1.4.3 通分法
求解???型极限通常将分母进行通分，以消去分母中的零因子，从而解出函数极限。
?例10 求极限lim?x?113?? 3?1?x1?x??
解析 x?1时，11??,??。这是???型极限。将分母31?x1?x
通分，划去分母中的零因子。
????233?x?2??x?1? 1?x?xx2?x?2???limlim解 原式=lim= =x?1?x?1x?11?x31?x3?1?x1?x?x21?x3??????第 7 页 （共 15 页）
=lim??x?2?=?1 x?11?x?x2
注：要根据函数极限的特征，运用合适的变形技巧。
1.5 用夹逼准则求函数极限
f?x??limh?x??b. 夹逼准则?7?：若?x?U0?a?,有f?x??g?x??h?x?,且limx?ax?a
g?x??b。 则limx?a
注：在运用夹逼准则时，要对函数式进行合理放缩。
?例11 求极限lim?n??11??22n?1?n
????1?? 2n?n?解 0???11??22nn?1?1?111，又 ?n?lim?0，??n??nnn2?n?n2
?故由夹逼准则知 lim?n??11??22n?1?n??1??=0。 2n?n?
1.6 运用其它技巧求函数极限
“他山之石可以攻玉”，在求函数极限时，我们还可应用其它章节的知识，将函数极限赋予新的意义，找到新的解题途径。
1.6.1 利用定积分的定义求函数极限
定义：?f?x?dx??f??i??xi，其中f?x?表示被积函数，x是积T?0ai?1b
分变量，a是积分下限，b是积分上限。?a,b?是积分区间。如果我们把?a,b?区间分成n个小区间。?xi表示被分割后的某个小区间的长度，
?xi?xi?xi?1。?i是在?xi,xi?1?上任取的一点，f??i?表示其函数值。当
分割细度T无限小时，f??i?与区间长度?xi乘积的总和趋向于f?x?在?a,b?上的积分。若能将和式函数化为积分形式，则就能利用定积分来求极限，关键是要仔细观察函数特点?8?，确定积分函数和积分区间。
第 8 页 （共 15 页）
?例12 求极限 lim? sin?sin?sin???sin?n??n?2n2n2n??2n1?2?3?n?
解析 这是一个和式极限，由它的形式，我们可联想到定积分的n1x?k?1?x?f??f相关知识。?xi?,f?x??sin。利用lim????dx。 ??n??2nnn2???2?k?101
k?1?x?x1sin??sin??2cos|0=2. 解 原式=lim??n??2nn022k?1n1
1.6.2 利用收敛数列的性质求函数极限
若一个数列是正项数列或负项数列，并且它是收敛的。那么它具有如下性质?9?：若an?1?1，则n??时，an?0。我们可利用收敛数列an
的这个性质解决一些函数极限的问题。
例13 求limn??
解 令an?5n?n!2nn n5n?n!
2nn?an?1551?n??lim?， 则lim那么?an收????1，n??n?1n??a2e2??n?1n
lim敛，从而 n??5n?n!2nn=0。
1.6.3 利用积分和求导计算函数极限
对于幂级数形式的函数极限，一般用逐项求导和逐项求和的方法。
?例14 求nlim????11n????? ?a?1? 23n?1?aaa??
1解 令x?,则x?1，考虑级数a?n?1?nxn?1。
an?1?n?1?xn?1
?lim?lim?x?1，故此级数收敛，且收敛域nn???an???nxn
第 9 页 （共 15 页）
为??1,1?，令S?x???nx
n?1
xx?n?1?x??nx2n?1?n?1，并设f?x???nxn?1 ， n?1?
那么?0f?t?dt???n?10?ntn?1dt??n?1?xn?x 1?x?x?(?1,1)?，则
?1x2?x?2f?x??? ， S?x??x?f?x??， ??22x?11?x?1?x?
a?21n?1?1将x?带入S?x?中，得nlim?3???n?1?=????a2aaa?1?a?1?2?a?1?.
1.7 利用分情况讨论法求函数极限
一个函数表达式的极限，在参数的取值未定时，需分情况讨论。因为有时参数取值发生变化，函数值也可能会变化。
a4n例 15 求 lim n??1?a4n
a4n1a4n解 a?1 ，lim? . a?1 ， lim?0 . 4nn??1?a4nn??21?a
a4n
a?1， li?1 . n??1?a4n
1.8 求函数在间断点处的极限的方法
对于连续函数，我们有上述方法来解决，但有时我们会遇到不连续的函数，需要求出它们在间断点处的极限。根据分段函数极限的定义，我们可以先求出函数在此间断点处的左右极限，若左右极限相等，则所求函数极限存在，否则，极限不存在?10?。
?sinx2,x?0??x例16 f?x??? 求f?x?在x?0时的极限。 2x?,x?0??1?cosx
x2x2sinx?lim??2，解 f?0?0??lim?2 ?2 ， f?0?0??lim?x?01?cosxx?012x?0xx2
第 10 页 （共 15 页）
f?0?0??f?0?0??2 ， 故 limf?x??2。 x?0
?x2?x?2,?x?1???x?1例17 讨论 f?x??? 在点x?1处的极限。
?sin?x?1?,?x?1???x?1
x2?x?2?x?2??x?1?=3 f?1?0??limsin?x?1??1 解 f?1?0?=lim?=lim?x?1x?1x?1?x?1x?1x?1
f?1?0??f?1?0? 故 limf?x? 不存在。 x?1
二元函数是一元函数的延伸，因此它保留着一元函数的许多性质，求一元函数极限的许多方法也适用于二元函数极限。下面来看二元函数极限的解法。
2 二元函数极限的求法
2.1 利用定义求二元函数极限
?x2?xy?y2??3 例1 用定义验证：?x,limy???1,1?
证 x2?xy?y2?3?x2?1??y2?1???xy?1
??? =?x?1??x?1???y?1??y?1???x?1?y??y?1?
限定??0，则x??1,y?1?1. =?x?1??x?y?1???y?1??y?2??x?x?y??y?1y?2
从而x?y??x?1?y?1?3?x??y??3?5，
y?2?y?1?3?y?1?3?4。 故x2?xy?y2?3?5x??4y?1?5?x?1?y?1?
设?为任意正数，取??min??1,则当x???,y???,?x,y???2,1??，10????
时，就有x2?xy?y2?7?5?2??10???。
和一元函数一样，在使用函数定义求极限的时候，也伴随有放缩?11?，这时要注意是对两个自变量的同时限制。
第 11 页 （共 15 页）
2.2 用换元法求二元函数的极限
和一元函数的代换法相似，但又有所不同，二元函数的换元法通常和几何联系在一起。常用的是极坐标变换。
?x2?y2
,?x,y???0,0??22例2 求极限 f?x???2(x?y) 在?0,0?处的极限。
?0,?x,y???0,0??
分析 分母中含有x2?y2，故可用极坐标变换。
解 令 x?rcos?,y?rsin? ，则r?0，?x,y???0,0?
x2?y21212?rcos2??r 因为f?x,y??0?42x2?y24
所以，???0,只需??2，当0?r?x2?y2??时，不管?取什f?x,y??0 么值都有f?x,y??0??,故?x,ylim???0,0?
2.3 利用定理求函数在某一点是否存在极限
在一元函数中，我们学过海涅定理，对于二元函数也有相似定理：若在f?x,y?的定义域内存在两条不同的连续曲线y?g?x?,y?h?x?，且当x?x0时，g?x??y0,h?x??y0。但函数式f?x,y?沿着这两条曲线逼近?x0,y0?时的极限却不同，或者一个存在，另一个不存在，则二元函数
f?x,y?在此点不存在极限?12?。
x2?y2
2例3 求 ?x,ylim ???0,0?x2?y2
mx?limnx?0 解 设g?x??mx,h?x??nx，其中m?n，limx?0x?0
x2?y21?m2
lim2?2 2?x,y???0,0?x2?y21?mx2?y21?n2lim2?2 2?x,y???0,0?x2?y21?n
1?m21?n2
?因为m?n，故，所以该函数极限不存在。 21?m1?n2
2.4 利用直接代入法求函数极限
若一个函数在某点连续，则可以直接将此点的坐标代入，即
第 12 页 （共 15 页）
?x,y???0,0?limf?x,y??f?x0,y0??13?。
例4 求极限?x,limy???1,1?1 2x2?y2
解 因函数在?1,1?点的邻域内连续，故可直接代入求极限
11= ?x,y???1,1?2x2?y23lim
2.5 利用两边夹准则求函数极限
两边夹准则：?x?U0?a,b?,有f?x,y??g?x,y??h?x,y?，?x,y???a,b?limf?x,y???x,y???a,b?limh?x,y??A，则?x,y???a,b?limg?x,y??A。
二元函数两边夹准则和一元函数的夹逼准则相似。但要注意求二元函数极限时是对两个变量同时放缩。
sinx2y例5 求极限lim x??x2?y2
y????
解 0?sinx2y
x2?y2??si?nx2y?11?0，故 li2?2.又lim2=0 x??x?y2x??x?y2x?y2
y??y??
2.6 利用分情况讨论的方法求二元函数极限
?0.?xy?0??例6 求 f?x,y??? ?x,y???0,0?在?0,0?点的11??xsin?ysin.xy?0?yx?
极限。
解 下面分两种情况讨论。???0
?1?xy?0,?x,y???0,0?，则??
?2?xy?0 ，?x,y???0,0?
f?x,y??0?xsin?0:x??,y??.有f?x,y??0?0??。1111?ysin?xsin?ysin?x?y?2???， yxyx
只需令???
2?0,则??x,y?:x??,y??,有f?x,y??0??，从情?1??2?
第 13 页 （共 15 页）
来看， f?x,y?在原点的极限为0。
2.7 利用一些变形技巧求二元函数极限
例7
解 sin?xy? ?x,y???0,0?ylimsin?xy?si?nxy??lim?x?1?0?0 ?x,y???0,0??x,y???0,0?yxylim
例 8 ?x,y???0,0?lim1?2x1?3y?1 22
2x2?3y2
2
解 原式=lim
=?x,ylim???0,0?
1
2??x,y???0,0?1?2x1?3y?1?1?2x1?3y?1? ?2x?3y?1?2x1?3y?122222221221?2x1?3y?12x12?2?3y21?2x1?3y?1226x2y2 =?0?
结束语
上述介绍了求一元函数和二元函数的一些方法，但函数极限的求法千变万化，要真正掌握不是件容易的事。“熟能生巧”，平时要多加练习，并且在做题过程中，要细心观察函数结构，寻找最简便的求法。还要注意函数极限和其它知识的联系，学会融会贯通。
参考文献
[1]华东师范大学数学系编 . 数学分析 （上册）[M]. 北京：高等教育出版社，2001.
[2]夏滨. 利用洛比达法则求函数极限的方法与技巧探讨[J].现代企业教育，20xx年，04：155-156.
[3]周世新. 关于函数极限求法的探讨[J].呼伦贝尔学院学报，2009，17（1）：70-72.
第 14 页 （共 15 页）
[4]曹建元. 等价无穷小在极限运算中的应用[J].上海电机技术高等专科学校学报，2003（02）：73-75
[5]宗慧敏 .求函数极限的方法与技巧[J]. 民营科技，2008，（6）：88-89.
[6]尹国成. 常见函数极限的求法[J].保山师专学报，2009，28（2）：33-35.
[7]李占光. 函数极限的计算方法归纳[J].长沙职业技术学院学报，2004，11（2）：83-84.
[8]蒋志强. 函数极限的几种特殊求法. [J].牡丹江教育学院学报，2009，05：122-123.
[9]钱吉林等编 . 数学分析题解精粹. [M]. 武汉：崇文书局，2002.
[10]刘玉琏，付沛仁主编. 数学分析讲义（上册）[M]. 北京：高等教育出版社，2010.
[11]金桂荣，沈沉. 关于二元函数定义的探讨[J].高等数学研究，2008，11（2）：8-9.
[12]唐新华. 二元函数极限的求法及不存在的判定[J].科技信息，2009，18：82-84.
[13]刘玉琏，付沛仁主编. 数学分析讲义（下册）[M]. 北京：高等教育出版社，2010.
The solution Methods of Function Limit
Wang Wenna
Abstract : The computation of function limit is important in higher mathematics education. This paper mainly investigates the solutions to the limits of the function of one variable and the function of two variables. The content covers introductions of
some common methods and skills,and it also gives analyses and instructions of examples.
Key words : the function of one variable; the function of two variables ; limit
第 15 页 （共 15 页）