八年级上册数学总结

第十一章三角形

1、三角形：由不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形。

要求会的题型：①数三角形的个数方法：分类，不要重复或者多余

2、三角形中的主要线段——（1）角平分线 （2）中线（3）三角形的高

（1）三角形的三条高的交于一点——三角形的垂心

（直角锐角钝角三角形的高的交点分别在哪里，会画钝角三角形的高）

（2）三角形三条中线的交于一点——三角形的重心

性质：三角形的中线可以将三角形分为面积相等的两个小三角形。

（3）三角形三条角平分线的交于一点——三角形的内心

区分三角形的“角平分线”与“角的平分线”，区别是：三角形的角平分线是条线段；角的平分线是条射线。

3、三角形的稳定性，四边形的不稳定性

4、三角形的表示：用符号“”表示，顶点是A、B、C的三角形记作“ABC”，读作“三角形ABC”。

5、三角形的分类

三角形按边的关系分类如下：

          三边不相等三角形

三角形                   底和腰不相等的等腰三角形

          等腰三角形

                         底和腰相等的等腰三角形（等边三角形）

三角形按角的关系分类如下：

         直角三角形（有一个角为直角的三角形）

三角形              锐角三角形（三个角都是锐角的三角形）

         斜三角形

                    钝角三角形（有一个角为钝角的三角形）

把边和角联系在一起，我们又有一种特殊的三角形：等腰直角三角形。它是两条直角边相等的直角三角形。

6、三角形三边的关系

（1）三角形三边关系定理：三角形的两边之和大于第三边。

推论：三角形的两边之差小于第三边。（这两个条件满足其中一个即可）

用数学表达式表达就是：记三角形三边长分别是 a，b，c，则 a＋b＞c 或 c－b＜a

（2）三角形三边关系定理及推论的作用：

①给出三条线段的长度或者三条线段的比值，判断这三条线段能否组成三角形：最小边＋较小边＞最大边

②求第三边长度的范围方法：第三边长度的范围：a－b＜c＜a＋b

③给出多条线段的长度，要求从中选择三条线段能够组成三角形（不重不漏）

7、三角形的内角和定理：三角形三个内角和等于180°。

推论：  ①三角形的一个外角等于和它不相邻的来两个内角的和

②三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角

8、直角三角形性质：直角三角形的两个锐角互余。

判定：有两个锐角互余的三角形是直角三角形

9、多边形：在平面内，由一些线段首尾顺次相接组成的图形

10、凸多边形：多边形的任何一条边所在的直线，如果整个多边形都在这条直线的同一侧，则称为凸多边形，

11、正多边形：各个角都相等、各个边都相等的多边形，如正三角形、正方形、正五边形等。

注：四条边都相等的四边形不一定是正方形，四个角都相等的四边形也不一定是正方形（两个条件缺一不可）

12、多边形的对角线：连接多边形不相邻的两个顶点的线段，叫做多边形的对角线.

　　(1)从n边形一个顶点可以引(n－3)条对角线，将多边形分成(n－2)个三角形。

　　(2)n边形共有条对角线。  

13、多边形的内角和定理：n边形的内角和等于180°（n-2）。   

　   内角和定理的应用：①已知多边形的边数，求其内角和；②已知多边形内角和，求其边数。

14、多边形的外角和等于360°.

　　(1)外角和公式的应用： ①已知外角度数，求正多边形边数；②已知正多边形边数，求外角度数.

　　(2)多边形的边数与内角和、外角和的关系：

　     注：①多边形内角和与边数n有关，每增加1条边，内角和增加180°。

　          ②多边形的外角和等于360°，与边数的多少无关。

类型一：多边形内角和及外角和定理应用

1．一个多边形的内角和等于它的外角和的5倍，它是几边形？

【变式1】若一个多边形的内角和与外角和的总度数为1800°，求这个多边形的边数.

【变式2】一个多边形除了一个内角外，其余各内角和为2750°，求这个多边形的内角和是多少？

【变式3】一个多边形的内角和与某一个外角的度数总和为1350°，求这个多边形的边数。

类型二：多边形对角线公式的运用

　【变式1】一个多边形共有20条对角线，则多边形的边数是（  ）.

类型三实际应用题

　如图，一辆小汽车从P市出发，先到B市，再到C市，再到A市，最后返回P市，这辆小汽车共转了多少度角？思路点拨：根据多边形的外角和定理解决.

　【变式1】如图所示，小亮从A点出发前进10m，向右转15°，再前进10m，又向右转15°，…，这样一直走下去，当他第一次回到出发点时，一共走了__________m.

　【变式2】小华从点A出发向前走10米，向右转36°，然后继续向前走10米，再向右转36°，他以同样的方法继续走下去，他能回到点A吗？若能，当他走回点A时共走了多少米？若不能，写出理由。

第十二章   全等三角形

1、全等形：能够完全重合的两个图形叫做全等形。一个图形经过平移、翻折、旋转，图形前后全等

2、全等三角形的表示：用符号“≌”表示，读作“全等于”。如△ABC≌△DEF

注：记两个全等三角形时，通常把表示对应顶点的字母写在对应的位置上。

3、确定对应边对应角的方法：（1）最大边（角）是对应边（角），最小边（角）是对应边（角）

（2）公共边（角）一般是对应边（角），对顶角一般是对应角

（3）字母顺序法：△ABC≌△DEF

（4）对应边所对的角是对应角，对应边所夹得角是对应角

（5）对应角所对的边是对应边，对应角所夹得边是对应边

4、全等三角形性质

（1）全等三角形的对应边相等、对应角相等。

（2）全等三角形的周长相等、面积相等。

（3）全等三角形的对应边上的对应中线、角平分线、高线分别相等。

5、三角形全等的判定

（1）“边边边SSS”：有三边对应相等的两个三角形全等

（2）“边角边SAS”：有两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等

（3）“角边角ASA”：有两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等。

（4）“角角边AAS”：两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等

（5）“斜边、直角边HL”：有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（只适用于直角三角形，书写时要写RT△ABC≌RT△DEF）

注：SSA、AAA不能证明两个三角形全等

                       已知两边  

6、三角形全等的判定     已知一边一角  

                       已知两角

注：书写时注意顺序，角边的位置不要写错，找对对应边和对应角                                                                                                                     

7、角的平分线性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等.（利用SSS证明此结论）

判定：角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上

8、证明两线段相等的方法：①全等三角形对应边相等  ②角的平分线性质

9、证明两角相等的方法：①全等三角形对应角相等  ②角的平分线判定  ③平行线的性质  ④对顶角相等

第十三章  轴对称

一、             轴对称图形与轴对称

二、.轴对称的性质

  ①关于某直线对称的两个图形是全等形。（对应线段相等，对应角相等）     

    ②如果两个图形关于某条直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线。

③轴对称图形的对称轴，是任何一对对应点所连线段的垂直平分线。

注：成对称轴的两个图形全等，但全等的两个图形不一定对称

三、线段的垂直平分线（中垂线）

1垂直平分线：经过线段中点并且垂直于这条线段的直线

2.性质：垂直平分线上的点与这条线段的两个端点的距离相等

3.判定：与一条线段两个端点距离相等的点，在线段的垂直平分线上

四、画轴对称图形（直角坐标系中类似）

1、找——特殊点（对应点）

2、作——作特殊点关于直线的对称点（根据性质：垂直平分线）         

3、连——连接各对应点

五、直角坐标系中，点（x, y）关于x轴对称的点的坐标为(x,-y).

点（x, y）关于y轴对称的点的坐标为(-x,y)

注：做题时画出直角坐标系，描点后找出对应关系

六、等腰三角形知识点回顾

1.等腰三角形的性质

①.等腰三角形的两个底角相等。（等边对等角）

②.等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合。（三线合一）

③等腰三角形是轴对称图形，有一条对称轴

2、等腰三角形的判定：

如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等。（等角对等边）

注：解题时注意分类讨论，底边和腰，底角和顶角

五、等边三角形知识点回顾

1.等边三角形的性质：①等边三角形的三个角都相等，并且每一个角都等于60°。

②等腰三角形是轴对称图形，有一条对称轴

2、等边三角形的判定：①定义法：三边相等的三角形是等边三角形

②三个角都相等的三角形是等边三角形。

                      ③有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形。

注：等边三角形是特殊的等腰三角形，具有等腰三角形的一切性质

3、直角三角形性质：①30°所对的直角边等于斜边的一半

                   ②斜边上的中线等于斜边的一半

第十四章  整式乘除与因式分解

一、             幂的运算

1、同底数幂相乘：底数不变，指数相加。（m、n为正整数）

2、幂的乘方：底数不变，指数相乘。   （m、n为正整数）

3、积的乘方：各因式乘方的积（n为正整数）

4、同底数幂相除：底数不变，指数相减。_、a≠0，m、n都是正整数，且m＞n）

5、零指数幂：a⁰＝1  （a≠0）

注：①a可以是有理数，单项式，多项式

②

③公式的正用，逆用，运用公式变形解题

二、整式的乘法

1、单项式乘以单项式：①系数相乘  ②同底数幂相乘  ③单独项

2、单项式乘以多项式：p（a+b+c）=pa+pb+pc

3、多项式乘以多项式：（a+b）（p+q）=ap+aq+bp+bq

注：①计算时注意符号，(-)加括号，运算顺序，不重不漏

②最后有同类项，要合并同类项

三、整式的除法

1、单项式除以单项式：①系数相除  ②同底数幂相除  ③单独项

2、多项式除以单项式：

注：①计算时注意符号，(-)加括号，运算顺序，不重不漏

②最后有同类项，要合并同类项

四、乘法公式：

①平方差公式：（a＋b）（a－b）＝a²－b²

文字语言：两个数的和与这两个数的差相乘，等于这两个数的平方差．

②完全平方公式：（a＋b）²＝a²＋2ab＋b²   （a－b）²＝a²－2ab＋b²

      文字语言：两个数的和（或差）的平方等于这两个数的平方和加上（或减去）这两个数的积的2倍．

注：①运用公式前看是否符合公式的结构特征

②找准那个数或式子代表公式里的a和b

五、因式分解：把一个多项式化成几个整式的乘积的形式

因式分解与整式乘法是互逆变形，因式分解是把和差化为积的形式，而整式乘法是把积化为和差的形式．

 六、因式分解的常用方法．

1、提公因式法：公因式乘以另一个因式

（1）提公因式法的关键是找出公因式  ①系数一各项系数的最大公约数

②字母——各项含有的相同字母

③指数——相同字母的最低次数

（2）提公因式法的步骤：第一步是找出公因式；第二步是提取公因式并确定另一因式

（3）注意的是，提取完公因式后，另一个因式的项数与原多项式的项数一致，这一点可用来检验是否漏项．

注意：①提取公因式后各因式应该是最简形式，即分解到“底”；

②如果多项式的第一项的系数是负的，一般要提出“－”号，使括号内的第一项的系数是正的．

 2、公式法

①平方差公式：   a²－b²＝ （a＋b）（a－b）

②完全平方公式：a²＋2ab＋b²＝（a＋b）²     a²－2ab＋b²＝（a－b）²

3、因式分解方法总结：①提——有公因式先提取公因式

②套——再用公式法

③查——必须分解到每个因式都不能分解为止

七、去括号加括号

1、括号前面是正号，括到括号里的各项都不变符号

2、括号前面是负号，括到括号里的各项都改变符号

a+b+c=a+(b+c)    a-b-c=a-(b+c)

第十五章   分式

一、分式的定义   ①A，B是两个整数  ②B中含有字母

注：

二、与分式有关的条件

①分式有意义：分母不为0（）

②分式无意义：分母为0（）

③分式值为0：分子为0且分母不为0（）

④分式值为正或大于0：分子分母同号（或）

⑤分式值为负或小于0：分子分母异号（或）

⑥分式值为1：分子分母值相等（A=B）

⑦分式值为-1：分子分母值互为相反数（A+B=0）

三、分式的基本性质

分式的分子和分母同乘（或除以）一个不等于0的整式，分式的值不变。

字母表示：，，其中A、B、C是整式，。

拓展：分式的符号法则：分式的分子、分母与分式本身的符号，改变其中任何两个，分式的值不变，即

注：在应用分式的基本性质时，要注意C0这个限制条件和隐含条件B0。

四、分式的约分

1、定义：根据分式的基本性质，把一个分式的分子与分母的公因式约去，叫分式的约分。

2、步骤：把分式分子分母因式分解，然后约去分子与分母的公因。

3、①分式的分子与分母为单项式时可直接约分，约去分子、分母系数的最大公约数，然后约去分子分母相同因式的最低次幂。

   ②分子分母若为多项式，约分时先对分子分母进行因式分解，再约分。

4、最简分式：分子与分母没有公因式的分式

注：①约分的结果必须是最简分式或整式

②分子分母都是乘积的形式才可以约分

五、分式的通分

1、定义：根据分式的基本性质，把几个异分母的分式分别化成与原来的分式相等的同分母分式，叫分式的通分。

2、最简公分母的定义：取各分母所有因式的最高次幂的积作公分母，这样的公分母叫做最简公分母。

3、确定最简公分母的一般步骤：①系数——取各分母系数的最小公倍数

②字母——各项出现全部字母

③指数——出现字母的最高次数

注意：分式的分母为多项式时，一般应先因式分解。

六、分式的四则运算与分式的乘方

1、分式的乘除法法则

乘法：用分子的积作为积的分子，分母的积作为积的分母。式子表示为：

除法：把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘。式子表示为

一般步骤：确定符号——化除为乘——因式分解——约分

2、分式的乘方：把分子、分母分别乘方。式子

3、分式的加减法则：

同分母分式加减法：分母不变，把分子相加减。式子表示为

异分母分式加减法：先通分，化为同分母的分式，然后再加减。式子表示为

整式与分式加减法：可以把整式当作一个整数，整式前面是负号，要加括号，看作是分母为1的分式，再通分。

4、 分式的混合运算的运算顺序

先乘方、再乘除、后加减，同级运算中，从左到右，有括号的先算括号里面的（小——大）

注意：得出的结果一定要化成最简分式（或整式）。

七、整数指数幂

1、     2、        3、  4、_、a≠0  

 5、 （a≠0）   6、         7、   （）     其中m，n均为整数。

八、科学记数法

1、定义：小于的数可以表示为（n为整数）

2、确定的方法：小数点的移动位数   

九、解分式方程的步骤

⑴去分母，把方程两边同乘以各分母的最简公分母。（产生增根的过程）

⑵解整式方程，得到整式方程的解。

⑶检验，把所得的整式方程的解代入最简公分母中

如果最简公分母为0，则原方程无解，这个是原方程的增根；如果最简公分母不为0，则是原方程的解。

产生增根的条件是：①得到的是整式方程的解；②代入最简公分母后值为0。

十、列分式方程

1、审——仔细审题，找出等量关系。

2、设——合理设未知数。

3、列——根据等量关系列出方程（组）。

4、解——解出方程（组）。注意检验

5、答——答题。

第二篇：八年级数学上册知识点总结(第十二单元)

第十二章 全等三角形

编者：肖潇

12.1 全等三角形

1. 全等形

能够完全重合的两个图形叫做全等形。

2. 全等三角形

能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形。重合的顶点叫做对应顶点，重合的边叫做对应边，重合的角叫做对应角，如△ABC与△A′B′C′全等，且A和A′，B和B′分别是对应顶点，记作△ABC≌△A′B′C′，读作△ABC全等于△A′B′C′。

3. 全等三角形的性质

全等三角形的对应边相等，对应角相等。

12.2 三角形全等的判定

 

三角形全等条件的选择，其基本思路如下：

书写格式：在证明三角形全等的过程中应该指明在哪对三角形中，将证明三角形全等的条件用大括号括起来，并在最后全等后的括号里写上你所用的判定方法。例如：

在△ABC和△A′B′C′中

              

∴△ABC≌△A′B′C′（SSS）

重点题：Page 18 题3；Page 19 题12；Page 20 题4,8；Page 21 题12；Page 22 题4；Page 23 题14,15,16；Page 24 题3,6,10

12.3 角平分线的性质

（1）掌握角平分线的作法（见课本19页）

（2）角平分线的性质

角平分线上的点到角的两边的距离相等。

角平分线的判定：角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上。

技巧：凡是遇到关于角平分线的题，首先就应该想到过角平分线上一点作角的两边的垂线段。作垂线段的格式一般是：过某一点作“什么”垂直于“什么”于点“什么（垂足）”，一定要指明垂足。

（3）几个关于角平分线的结论

①三角形的内心（三角形三条角平分线的交点）到三角形三条边的距离相等。

②三角形的面积等于三角形的内心到其中一边的距离乘以三角形的周长除以2。

重点题：Page 26 题7,8,10

单元考前可以做一下page28 题1,2,6,8,10,11,12；page29 题14

做完后可以自己对照答案看一下，答案如下：

1. D    A选项，SSA不能判定两个三角形全等；B选项，这里的30°没有说明是底角还是顶角，所以不能判断；C选项，假如这一角为直角，就不能判断两个三角形全等；D选项，这就是用AAS证明两个三角形全等的表述，正确。

2. B    看图已知有一边一角对应相等，根据SAS、AAS、ASA可以再找另外一条夹边对应相等，①符合题意；还可找这一边的对角对应相等，④符合题意；还可以找另外一个夹角对应相等，③符合题意。所以选B选项。

6. B    过D点作DH⊥AC于点H，因为在角平分线上的点到角的两边的距离相等，所以DE＝DH，再结合题目条件，斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等，可以知道△DFE≌△DHG，所以△ADG与△AED的面积之差等于△EDF面积的2倍，结果为，选B选项。

8. 3    由题意得，

在△ACB和△FEC中

     

∴△ACB≌△FEC（AAS）

∴AC＝EF＝5cm

∴AE＝AC—EC＝3cm

10. 30    三角形的面积等于三角形的内心到其中一边的距离乘以三角形的周长除以2。所以S_△ABC＝

11. ①②③④⑤     ①：根据基本图形3可知∠BPC＝，正确；②：由题可知点P为△ABC的内心，则P点在∠BAC的角平分线上，所以AP平分∠BAC，正确；③：过点P作PF⊥AB于点F，PG⊥AC于点G，证明△PFD≌△PGE，得到PD＝PE，正确；④：同样做辅助线，过点P作PF⊥AB于点F，PG⊥AC于点G，PH⊥BC于点H，利用③中的结论，可以得到BF＝BH，HC＝CG，DF＝GE，所以BD＋CE＝BC，正确；⑤:利用④中的结论，BD＋CE＝BC，又因为△PBD、△PBC、△PCE的高PF、PH、PG都相等，所以S_△PBD＋S_△PCE＝S_△PBC，正确。

12. 不能，可选①或③    证明过程略

14. 提示：过点C作CF⊥AN于点F，证明△CFD≌△CEB，即可得到结论。

祝大家考试顺利！！！