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第二篇：数学辅导总结

第一章      集合

1、数集    元素为数的集合叫做数集，常用的数集有：

       实数集  全体实数组成的集合叫做实数集，常用R表示。

       有理数集  全体有理数组成的集合叫做有理数集，常用Q表示。

       整数集  全体整数组成的集合叫做整数集，常用Z表示。

       非负整数集——自然数集，常用N表示。

       正整数集，用N₊或N*表示。

1、  子集

对于两个集合A与B，如果集合A的任何一个元素都是集合B的元素，则集合A叫做集合B的子集，记作

                    A    B 或 B    A

读作“A包含于B”，或“B包含A”。

2、  交集

由所有既属于集合A又属于集合B的元素所组成的集合，叫做集合A与集合B的交集，记作A∩B，读作“A交B”，即

                A∩B={x|x∈A且x∈B}

3、  并集

由所有属于集合A或属于集合B的元素所组成的集合，叫做集合A与集合B的并集，记作A∪B，读作“A并B”，即

                A∪B={x|x∈A或x∈B}

第二章  不等式和不等式组

1、不等式动的主要性质

设a、b、c是实数，则：

不等式的基本性质：如果a-b>0，那么a>b；反之也成立。

如果a-b<0，那么a<b；反之也成立。

不等式性质：如果a>b，那么b<a；反之，如果b<a，那么a>b.

                如果a>b且b>c，那么a>c（传递性）.

                如果a>b，那么a+c>b+c.

                如果a>b且c>0，那么ac>bc.

                如果a>b且c<0，那么ac<bc.

                如果a>b>0，那么a²>b².

2、一元一次不等式及其解法

         

     

3、含绝对值符号的不等式

    当a>0时

    1）|x|<a的解集是{x|-a<x<a}

    2）|x|>a的解集是{x|x>a或x<-a}

    当a≤0时

    1）|x|<a的解集为Ф

    2）当a<0时，|x|>a的解集为R；当a=0时，即|x|>0的解集为{x|x≠0}.

    解不等式|ax+b|<c相当于解不等式

                            -c<ax+b<c

    解不等式|ax+b|>c相当于解不等式

                            ax+b>c 或 ax+b<-c

4、一元二次不等式及其解法

           当a>0时，由一元二次方程ax²+bx+c=0的判别式Δ(=b²-4ac）的符号与二次函数y=ax²+bx+c图像的相应位置关系，可确定一元二次不等式的解集。

           1）当Δ>0即一元二次方程有两个相异实数根x₁,x₂(x₁<x₂)时，使不等式（y=）ax²+bx+c>0成立的x值为

                                x<x₁  或   x>x₂

                 使不等式（y=）ax²+bx+c<0成立的x值为

                                x₁<x<x₂

           2）当Δ=0即一元二次方程有相等实数根x₁=x₂=    时，使不等式（y=）ax²+bx+c>0成立的x值为

                                                                          x≠

           不等式ax²+bx+c<0的解集为Ф.

           3）当Δ<0即一元二次方程没有实数根时，使不等式（y=）ax²+bx+c>0成立的x值为所有实数，即解集为R；ax²+bx+c<0的解集为Ф.

第三章   指数与对数

1、有理指数幂

1）零指数幂a⁰=1（a≠0）

2）负整数指数幂a^-p=     （a≠0，p∈N₊）

3）分数指数幂

   a  =    （a≥0；m，n∈N+且n>1）

2、幂的运算法则

1）a^x·a^y=a^x+y

2）（a^x）^y=a^xy

3）（ab）^x=a^xb^x

这里a>0，b>0；x,y∈R

3、对数

   1）定义    如果a^b=N（a>0且a≠1），那么b叫做以a为底的N的对数，记作log_aN=b.这里a叫做底数，N叫真数。

   2）性质

Ø  零和负数没有对数，即真数N必须大于零；

Ø  底的对数等于1，即log_aa=1；

Ø  1的对数等于0，即log_a1=0；

Ø  10的整数次幂的常用对数等于幂指数，即

                        lg10ⁿ=n（n∈Z）

   3）运算法则

   积、商、幂、方根的对数：

      log_a（MN）=log_aM+log_aN

      log_a    =log_aM-log_aN

      log_aMⁿ=nlog_aM

      log_a    =  log_aM

第四章    函数

3、单调性  设y=? (x)是定义在某区间上的函数，x₁，x₂是该区间上的任意两个值，且x₁<x₂.

   如果 ?（x1）< ?（x2），则称函数y= ?（x）在此区间上是单调增加函数，或称增函数。增函数的图像是上升的。

   如果 ?（x1）> ?（x2），则称函数y= ?（x）在此区间上是单调减少函数，或称减函数。减函数的图像是下降的。

   增函数与减函数统称单调函数。如果函数在一个区间上是单调的，这个区间就叫做此函数的单调区间。

4、奇偶性  设函数y= ?（x）的定义域为D.

   如果对任意的x∈D，有-x∈D且?（-x）=-?(x)，则称?（x）为奇函数。

   如果对任意的x∈D，有-x∈D且?（-x）=?(x)，则称?（x）为偶函数。

5、一次函数

1）定义  函数y=kx+b叫做一次函数，其中k与b是常数且k≠0.

当b=0时，函数y=kx叫做正比例函数。

2）定义域与值域  一次函数的定义域与值域都是R.

3）正比例函数y=kx的图像是经过原点（0，0）的直线。一次函数y=kx+b的图像是经过点（0，b）且与直线y=kx平行的直线。

当b<0时，直线通过y轴的负半轴；当b>0时，直线通过y轴的正半轴。

4）性质——单调性、奇偶性  y=kx+b当k>0时在（-∞，+∞）内为增函数，即y值随x值的增大而增大。此时直线对于x轴的倾角α是锐角。y=kx+b当k<0时在（-∞，+∞）内为减函数，即y值随x值的增长而减小。此时直线对于x轴的倾角α是钝角。y=kx是奇函数。

6、二次函数 

  1）定义  函数y=ax²+bx+c叫做二次函数，其中a，b，c是常数且a≠0.

  2）定义域  二次函数的定义域是R

  3）图像  二次函数y=ax²+bx+c是顶点为（-                   ），对称轴为x=-    的抛物线，当a>0时开口向上；当a<0时开口向下。

7、反比例函数

  1）定义  函数y=   叫做反比例函数，其中k是不等于零的常数。

  2）定义域与值域  反比例函数的定义域与值域都是

                               （-∞，0）∪（0，+∞）

  3）性质——单调性、奇偶性

Ø  y=    （k>0）在区间（-∞，0）与区间（0，+∞）内是减函数；

Ø  y=    （k<0）在区间（-∞，0）与区间（0，+∞）内是增函数；

Ø  y=     是奇函数。

8、指数函数

1）定义  函数y=a^x（a>0且a≠1）叫做指数函数。

2）定义域与值域  指数函数的定义域为（-∞，+∞），值域为（0，+∞）。

3）图像  指数函数y=a^x的图像是通过点（0，1）在x轴上方的曲线。当a>1时，曲线左方可与x轴无限靠近；当0<a<1时，曲线右方可与x轴无限靠近。

4）性质

Ø  a⁰=1，a¹=a

Ø  a^x>0

Ø  若a>1，则当x<0时，0<a^x<1，而当x>0时，a^x>1；

       若0<a<1，则当x<0时，a^x>1，而当x>0时，0<a^x<1.

Ø  单调性  y=a^x（a>1）在区间（-∞，+∞）内是增函数；y=a^x（0<a<1）在区间（-∞，+∞）内是减函数。

9、对数函数

1）定义  函数y=log_ax（a>0且a≠1）叫做对数函数。

2）定义域与值域  对数函数的定义域为（0，+∞），值域为（-∞，+∞）

3）图像  对数函数y=log_ax的图像是通过点（1，0）在y轴右方的曲线，当a>1时，曲线下方可与y轴无限靠近；当0<a<1时，曲线上方可与y轴无限靠近。

4）性质

Ø  log_a1=0，log_aa=1

Ø  零与负数没有对数

Ø  若a>1，则当0<x<1时，log_ax<0，而当x>1时，log_ax>0；

若0<a<1，则当0<x<1时，log_ax>0，而当x>1时，log_ax<0.

Ø  单调性  y=log_ax（a>1）在区间（0，+∞）内是增函数；y=log_ax（0<a<1）在区间（0，+∞）内是减函数。

第五章  数列

1、定义  按照一定次序排列的一列数叫做数列。

         项数有限的数列叫做有穷数列。

2、通项公式  如果一个数列{a_n}的第n项a_n与项数n之间的函数关系可以用一个公式表示，这个公式就叫做这个数列的通项公式。

数列{a_n}的第n项a_n与前n项的和S_n=a₁+a₂+…+a_n具有如下关系式：

               a₁=S₁

               a_n=S_n-S_n-1，n≥2

3、等差数列 

Ø  定义  如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，这个数列就叫做等差数列，这个常数就叫做等差数列的公差，常记作d.

Ø  一般形式 

           a₁，a₁+d，a₁+2d，…，a₁+（n-1）d，…

Ø  通项公式  an=a1+（n-1）d

Ø  等差中项  如果a，A，b成等差数列，那么A叫做a与b的等差中项，并有

                       A=

     a，b，c成等差数列﹤=﹥2b=（a+c）

Ø  前n项和的公式

                                   或                     

Ø  解题时，已知三数成等差数列，若设此三数为a-d，a，a+d，有时可使计算简便。

           如果已知a₁，a_n，n，d，S_n中三个数，利用通项公式与前n项和的公式列出方程组可求出另外两个数。

Ø  项数一定的等差数列{a_n}，与首末两项等距离的两项之和等于首末两项之和，即：

                     a₁+a_n=a₂+a_n-1=a₃+a_n-2=…=a_k+a_n-k+1

4、等比数列

Ø  定义  如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，这个数列就叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公式，常记作q.

Ø  一般形式

                 a₁，a₁q，a₁q²，…，a₁q^n-1，…   （a₁q≠0）

Ø  通项公式  a_n=a₁q^n-1

Ø  等比中项  如果a，G，b成等比数列，那么G叫做a与b的等比中项，且有

                      G=±    

       a，b，c成等比数列﹤=﹥b²=ac

Ø  前n项和的公式

                                   或

Ø  解题时，已知三数成等比数列，若设此三数为   ，a，aq，有时可使计算简便。

       如果已知a₁，a_n，n，q，S_n中的三个数，利用通项公式与前n项和的公式列出方程组可求出另外两个数。

Ø  项数一定的等比数列{a_n}，与首末两项等距离的两项之积等于首末两项之积，即：

                               a₁a_n=a₂a_n-1=a₃a_n-2=…=a_ka_n-k+1

第七章  三角函数及其有关概念

1、角的度量

Ø  弧度制    我们规定正角的弧度数为正数，负角的弧度数为负数，零角的弧度数为零，设α为已知角的弧度数，ι为角α作为圆心角时所对圆弧的长，r为圆的半径，则它们之间具有以下关系：

                          

 

常用来求弧长或半径。

角度与弧度的换算关系

                  180⁰=π弧度

                  1⁰=    弧度≈0.017453弧度

                  1弧度=（   ）⁰≈57.30⁰=57⁰18’

2、任意角的三角函数

   定义  在平面直角坐标系中，设P（x，y）是角α的终边上的任意一点，且原点到该店的距离为r（r>0），则比值

                 

分别叫做角α的正弦、余弦、正切、余切、正割、余割，即

   三角函数在各象限的符号  三角函数的符号依照角的终边所在的象限来确定。

   特殊角的三角函数值

表一、

表二、

第八章    三角函数式的变换

1、同角三角函数的基本关系式

2、诱导公式

   公式一  sin（k·360°+α）=sinα，cos（k·360°+α）=cosα

                                                                   k∈Z

           tan（k·360°+α）=tanα，cot（k·360°+α）=cotα

   公式二  sin（180°+α）=-sinα，cos（180°+α）=-cosα

           tan（180°+α）=tanα，cot（180°+α）=cotα

   公式三  sin（-α）=-sinα，cos（-α）=cosα

           tan（-α）=-tanα，cot（-α）=-cotα

   公式四  sin（180°-α）=sinα，cos（180°-α）=-cosα

           tan（180°-α）=-tanα，cot（180°-α）=-cotα

   公式五  sin（360°-α）=-sinα，cos（360°-α）=cosα

           tan（360°-α）=-tanα，cot（360°-α）=-cotα

   公式六  sin（90°-α）=cosα，cos（90°-α）=sinα

           tan（90°-α）=cotα，cot（90°-α）=tanα

   公式七  sin（90°+α）=cosα，cos（90°+α）=-sinα

           tan（90°+α）=-cotα，cot（90°+α）=-tanα

   公式八  sin（270°-α）=-cosα，cos（270°-α）=-sinα

           tan（270°-α）=cotα，cot（270°-α）=tanα

   公式九  sin（270°+α）=-cosα，cos（270°+α）=sinα

           tan（270°+α）=-cotα，cot（270°+α）=-tanα

3、两角和、两角差、倍角的正弦、余弦、正切的公式

   两角和与两角差的正弦、余弦、正切的公式

               sin（α±β）=sinαcosβ±cosαsinβ

               cos（α±β）=cosαcosβ sinαsinβ

              

               tan（α±β）=

   倍角的正弦、余弦、正切的公式

                            sin2α=2sinαcosα

                            cos2α=cos²α-sin²α

                                  =2cos²α-1

                                  =1-2sin²α

                           

                            tan2α=

第九章    三角函数的图像和性质

1、已知三角函数值求角

   在y=sinx，x∈[-  ，  ]，如果已知其函数值y，则角x=arcsiny，y∈[-1，1]

   在y=cosx，x∈[0，π]，如果已知其函数值y，则角x=arcosy，y∈[-1，1]

   在y=tanx，x∈（   ，   ），如果已知其函数值y，则角x=arctany，y∈（-∞，+∞）

第十章    解三角形

1、解直角三角形

   三边之间的关系（勾股定理）   a²+b²=c²

   两锐角之间的关系             A+B=90°

   两边一锐角之间的关系    

                           sinA=（cosB=）   ，cosA=（sinB=）   ，

                           tanA=（cotB=）   ，cotA=（tanB=）   。

2、余弦定理

           a²=b²+c²-2bccosA，b²=c²+a²-2cacosB，c²=a²+b²-2abcosC

3、正弦定理

          

第十一章    平面向量

1、向量运算法则   设a，b，c为任意向量，λ是实数

   1）a·b=b·a

   2）（λa）·b=λ（a·b）=a·（λb）

   3）（a+b）·c=a·c+b·c

2、向量的坐标表示

   有序实数对（x，y）称为向量OA的坐标，记为

                                             OA=（x，y）

第十二章    直线

1、斜率

   通常，用k表示直线的斜率，用倾斜角α的正切表示即为：  k=tanα（α≠90°）

2、过两点的直线斜率公式

                      k=tanα=

3、特殊直线的方程

   平行于x轴的直线          y=b

   x轴                      y=0

   平行于y轴的直线          x=a

   y轴                      x=0

   经过原点（不包括坐标轴）的直线y=kx（k≠0）

4、点到直线的距离  

   点P（x0，y0）到直线Ax+By+C=0的距离d为

                          d=

第十三章    圆锥曲线

1、圆的标准方程

   圆心为C（a，b），半径为r的圆的标准方程为

                     （x-a）²+（y-b）²=r²

   当圆心坐标为原点O（0，0），即a=b=0时，

                      x²+y²=r²

2、圆的一般方程      x²+y²+Dx+Ey+F=0

3、椭圆的标准方程

                                    （a>b>0，焦点在x轴上）

4、 双曲线的标准方程

5、双曲线的离心率  双曲线的焦距与实轴长的比e=   叫做双曲线的离心率。

6、抛物线的标准方程

                   y²=2px（p>0）

第十四章    排列与组合

1、 排列的定义  从n各不同元素中，任取m（m≤n）个不同元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列，当m=n时，又叫做全排列。

2、 排列的公式

                    

3、组合的定义  从n个不同元素中，任取m（m≤n）个不同元素，不管顺序并成一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合。

4、组合的公式

5、 组合的基本性质