关于中国邮递员问题和欧拉图应用
中国邮递员问题：
19xx年有管梅谷先生提出中国邮递员问题（简称CPP）。一个邮递员从邮局出发，要走完他所管辖的每一条街道，可重复走一条街道，然后返回邮局。任何选择一条尽可能短的路线。
这个问题可以转化为：给定一个具有非负权的赋权图G，
（1）用添加重复边的方法求G的一个Euler赋权母图G*，使得尽可能小。
（2）求G*的Euler 环游。
人们也开始关注另一类似问题，旅行商问题（简称TSP）。TSP是点路优化问题，它是NPC的。而CPP是弧路优化问题，该问题有几种变形，与加权图奇点的最小完全匹配或网络流等价，有多项式算法。[1]
欧拉图：
图G中经过每条边一次并且仅一次的回路称作欧拉回路。存在欧拉回路的图称为欧拉图。
无向图欧拉图判定：
无向图G为欧拉图，当且仅当G为连通图且所有顶点的度为偶数。
有向图欧拉图判定：
有向图G为欧拉图，当且仅当G的基图[2]连通，且所有顶点的入度等于出度。
欧拉回路性质：
性质1 设C是欧拉图G中的一个简单回路，将C中的边从图G中删去得到一个新的图G’，则G’的每一个极大连通子图都有一条欧拉回路。
性质2 设C1、C2是图G的两个没有公共边，但有至少一个公共顶点的简单回路，我们可以将它们合并成一个新的简单回路C’。
欧拉回路算法：
1 在图G中任意找一个回路C；
2 将图G中属于回路C的边删除；
3 在残留图的各极大连通子图中分别寻找欧拉回路；
4 将各极大连通子图的欧拉回路合并到C中得到图G的欧拉回路。
由于该算法执行过程中每条边最多访问两次，因此该算法的时间复杂度为O(|E|)。
如果使用递归形式，得注意|E|的问题。使用非递归形式防止栈溢出。
如果图 是有向图，我们仍然可以使用以上算法。
http://acm./showproblem.php?pid=1116 有向图欧拉图和半欧拉图判定
http://acm./JudgeOnline/problem?id=2337 输出路径
中国邮递员问题①：
一个邮递员从邮局出发，要走完他所管辖的每一条街道，可重复走一条街道，然后返回邮局。所有街道都是双向通行的，且每条街道都有一个长度值。任何选择一条尽可能短的路线。
分析：
双向连通，即给定无向图G。
如果G不连通，则无解。
如果G是欧拉图，则显然欧拉回路就是最优路线。
如果G连通，但不是欧拉图，说明图中有奇点[3]。奇点都是成对出现的，证明从略。
对于最简单情况，即2个奇点，设（u，v）。我们可以在G中对（u，v）求最短路径R，构造出新图G’ = G ∪ R。此时G’就是欧拉图。
证明：u和v加上了一条边，度加一，改变了奇偶性。而R中其他点度加二，奇偶性不变。
由此可知，加一次R，能够减少两个奇点。推广到k个奇点的情况，加k/2个R就能使度全为偶数。
接下的问题是求一个k个奇点的配对方案，使得k/2个路径总长度最小。
这个就是无向完全图最小权匹配问题。有一种Edmonds算法，时间复杂度O（N^3）。[4]
也可转换为二分图，用松弛优化的KM算法，时间复杂度也是O（N^3）。
完整的算法流程如下：
1 如果G是连通图，转2，否则返回无解并结束；
2 检查G中的奇点，构成图H的顶点集；
3 求出G中每对奇点之间的最短路径长度，作为图H对应顶点间的边权；
4 对H进行最小权匹配；
5 把最小权匹配里的每一条匹配边代表的路径，加入到图G中得到图G’；
6 在G’中求欧拉回路，即所求的最优路线。
中国邮递员问题②：
和①相似，只是所有街道都是单向通行的。
分析：
单向连通，即给定有向图G。
和①的分析一样，我们来讨论如何从G转换为欧拉图G’。
首先计算每个顶点v的入度与出度之差 d’（v）。如果G中所有的v都有d’（v）=0，那么G中已经存在欧拉回路。
d’（v）>0 说明得加上出度。d’（v）<0说明得加上入度。
而当d’（v）=0，则不能做任何新增路径的端点。
可以看出这个模型很像网络流模型。
顶点d’（v）>0对应于网络流模型中的源点，它发出d’（v）个单位的流；顶点d’（v）<0
对应于网络流模型中的汇点，它接收-d’（v）个单位的流；而d’（v）=0的顶点，则对应于网络流模型中的中间结点，它接收的流量等于发出的流量。在原问题中还要求增加的路径总长度最小，我们可以给网络中每条边的费用值 设为图 中对应边的长度。这样，在网络中求最小费用最大流，即可使总费用最小。
这样构造网络N：
1 其顶点集为图G的所有顶点，以及附加的超级源 和超级汇 ；
2 对于图G中每一条边(u,v)，在N中连边(u,v)，容量为∞，费用为该边的长度；
3 从源点 向所有d’(v)>0的顶点v连边(s,v)，容量为d’(v)，费用为0；
4 从所有d’(v)<0的顶点 向汇点t连边(u,t)，容量为-d’(v)，费用为0。
完整的算法流程如下：
1 如果G的基图连通且所有顶点的入、出度均不为0，转2，否则返回无解并结束；
2 计算所有顶点v的d’(v)值；
3 构造网络N；
4 在网络N中求最小费用最大流；
5 对N中每一条流量f(u,v)的边(u,v)，在图G中增加f(u,v)次得到G’；
6 在G’中求欧拉回路，即为所求的最优路线。
NPC问题：
如果部分街道能够双向通行，部分街道只能单向通行。这个问题已被证明是NPC的。[5]
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[1] 大城市邮政投递问题及其算法研讨
[2] 忽略有向图所有边的方向，得到的无向图称为该有向图的基图。
[3] 度为奇数的顶点称为奇点。
[4] J. Edmonds, E. Johnson 《Matching, Euler tours, and the Chinese postman》
[5] C. Papadimitriou 《The complexity of edge traversing》
中国邮递员问题的C++实现源代码
//PKU 2337
#include <cstdio>
#include <string>
#include <vector>
#include <stack>
#include <algorithm>
using namespace std;
const int MAX = 1100;
char str[MAX][25];
int n, in[MAX], out[MAX];
vector<string> words[30];
int vis[30];
int f[30], ss, is, os, ps;
int seq[MAX], step;
void find_euler(int pos)
...{
int i,j;
while(out[pos]) ...{
for(; vis[pos] < words[pos].size() ;) ...{
string snext = words[pos][ vis[pos] ];
j = snext[snext.length() -1] -'a';
out[pos] --;
vis[pos] ++;
find_euler(j);
}
}
seq[step ++] = pos;
}
void union_f(int s,int e)
...{
int ts = s, te = e;
while(s != -1 && f[s] != s) ...{
s = f[s];
}
if(s == -1) ...{
f[ts] = s = ts;
}
while(e != -1 && f[e] != e) ...{
int t = e;
e = f[e];
f[t] = s;
}
if(e >= 0) ...{
f[e] = s;
}
}
int main()
...{
int t,i,j;
scanf("%d", &t);
while(t --) ...{
scanf("%d", &n);
getchar();
for(i=0;i<30;i++) words[i].clear(); memset(in,0,sizeof(in));
memset(out,0,sizeof(out));
memset(f,-1,sizeof(f));
ss = is = os = ps = 0;
for(i=0;i<n;i++) ...{
gets(str[i]);
int len = strlen(str[i]);
int chs = str[i][0] -'a';
int che = str[i][len-1] -'a';
words[chs].push_back(string(str[i])); in[che] ++;
out[chs] ++;
union_f(chs, che);
}
bool flag = true;
for(i=0;i<30;i++) ...{
if(f[i] == i) ss ++;
if(in[i] == out[i] +1) os ++;
else if(in[i] +1 == out[i]) is ++;
else if(in[i] != out[i]) flag = false;
}
if(ss > 1) flag = false;
if( !(os==0 && is==0) && !(os==1 && is==1) ) flag = false; if(!flag) ...{
puts("***");
}
else ...{
int spos;
if(os == 1 && is == 1) ...{
for(i=0;i<30;i++) ...{
if(in[i] +1 == out[i]) ...{
spos = i;
break;
}
}
}
else ...{
for(i=0;i<30;i++) ...{
if(f[i] != -1) ...{
spos = i;
break;
}
}
}
for(i=0;i<30;i++) sort(words[i].begin(), words[i].end()); step = 0;
memset(vis, 0, sizeof(vis));
find_euler(spos);
//memset(vis, 0, sizeof(vis));
for(i=step-1;i>0;i--) ...{
spos = seq[i];
string snext;
for(j=0;j<words[spos].size();j++) ...{
snext = words[spos][j];
if(seq[i-1] == snext[snext.length() -1] -'a') ...{ words[spos].erase(words[spos].begin() +j); break;
}
}
printf("%s", snext.c_str());
if(i>1) putchar('.');
}
puts(""); } }
}
第二篇：邮递员之歌
邮递员之歌
披着清晨的彩衣，你匆匆地走来; 青春的朝阳，照亮你灿烂的笑脸; 带着心的真诚来到了日常的港湾 挽着落日的余晖，你匆匆走来，温馨的夕阳， 映红你疲惫的身影，满怀无悔的回到家的港湾。
人民的信使，你匆匆地走来
像一行执着的鸿雁往返于心灵的彼岸 像一群人间的天使，牵系着亲情和思恋 你忙碌的身影，载着心灵太多的嘱托 你额头的汗水，系着人间太多的情感 你满是墨香的双手，诉说着世间太多的故事 你海一样的胸怀，包容着人类太多的春天 人民的信使—投递员，你匆匆地走来 人们那翘首企盼的目光，正是你动力的源泉。
敦化市邮政局 牟力强