22.2.5因式分解法

    教学内容

    用因式分解法解一元二次方程．

    教学目标

    掌握用因式分解法解一元二次方程．

    通过复习用配方法、公式法解一元二次方程，体会和探寻用更简单的方法──因式分解法解一元二次方程，并应用因式分解法解决一些具体问题．

    重难点关键

    1．重点：用因式分解法解一元二次方程．

    2．难点与关键：让学生通过比较解一元二次方程的多种方法感悟用因式分解法使解题简便．

    教学过程

    一、复习引入

    （学生活动）解下列方程．

    （1）2x²+x=0（用配方法）  （2）3x²+6x=0（用公式法）

    老师点评：（1）配方法将方程两边同除以2后，x前面的系数应为，的一半应为，因此，应加上（）²，同时减去（）²．（2）直接用公式求解．

    二、探索新知

    （学生活动）请同学们口答下面各题．

    （老师提问）（1）上面两个方程中有没有常数项？

    （2）等式左边的各项有没有共同因式？

    （学生先答，老师解答）上面两个方程中都没有常数项；左边都可以因式分解:

2x²+x=x（2x+1），3x²+6x=3x（x+2）

    因此，上面两个方程都可以写成：

    （1）x（2x+1）=0     （2）3x（x+2）=0

    因为两个因式乘积要等于0，至少其中一个因式要等于0，也就是（1）x=0或2x+1=0，所以x₁=0，x₂=-．

    （2）3x=0或x+2=0，所以x₁=0，x₂=-2．

    因此，我们可以发现，上述两个方程中，其解法都不是用开平方降次，而是先因式分解使方程化为两个一次式的乘积等于0的形式，再使这两个一次式分别等于0，从而实现降次，这种解法叫做因式分解法．

    例1．解方程

    （1）4x²=11x    （2）（x-2）²=2x-4

    分析：（1）移项提取公因式x；（2）等号右侧移项到左侧得-2x+4提取-2因式，即-2（x-2），再提取公因式x-2，便可达到分解因式；一边为两个一次式的乘积，另一边为0的形式

    解：（1）移项，得：4x²-11x=0

    因式分解，得：x（4x-11）=0

    于是，得：x=0或4x-11=0

    x₁=0，x₂=

    （2）移项，得（x-2）²-2x+4=0

    （x-2）²-2（x-2）=0

    因式分解，得：（x-2）（x-2-2）=0

    整理，得：（x-2）（x-4）=0

    于是，得x-2=0或x-4=0

    x₁=2，x₂=4

例2、解下列方程：（用因式分解法）

（1）                (2)

解：                                   解：

(3) (用配方法)         （4）（用公式法）

解：                                     解： 

（教师要示范例题，可以让学生尝试配方法和公式法作比较。总结因式分解法解一元二次方程的步骤：①将一元二次方程化成一般形式，即方程右边为0。②将方程左边式子分解因式，由一元二次方程转化成两个一元一次方程。③对两个一元一次方程分别求解。）

    例3．已知9a²-4b²=0，求代数式的值．

    分析：要求的值，首先要对它进行化简，然后从已知条件入手，求出a与b的关系后代入，但也可以直接代入，因计算量比较大，比较容易发生错误．

    解：原式=

    ∵9a²-4b²=0

    ∴（3a+2b）（3a-2b）=0 

3a+2b=0或3a-2b=0，

a=-b或a=b

    当a=-b时，原式=-=3

    当a=b时，原式=-3．

    三、巩固练习

    教材P₄₅  练习1、2．

    四、应用拓展

    例3．我们知道x²-（a+b）x+ab=（x-a）（x-b），那么x²-（a+b）x+ab=0就可转化为（x-a）（x-b）=0，请你用上面的方法解下列方程．

    （1）x²-3x-4=0    （2）x²-7x+6=0   （3）x²+4x-5=0

    分析：二次三项式x²-（a+b）x+ab的最大特点是x²项是由x·x而成，常数项ab是由-a·（-b）而成的，而一次项是由-a·x+（-b·x）交叉相乘而成的．根据上面的分析，我们可以对上面的三题分解因式．

    解（1）∵x²-3x-4=（x-4）（x+1）

    ∴（x-4）（x+1）=0

    ∴x-4=0或x+1=0

    ∴x₁=4，x₂=-1

    （2）∵x²-7x+6=（x-6）（x-1）

    ∴（x-6）（x-1）=0

    ∴x-6=0或x-1=0

    ∴x₁=6，x₂=1

    （3）∵x²+4x-5=（x+5）（x-1）

    ∴（x+5）（x-1）=0

    ∴x+5=0或x-1=0

    ∴x₁=-5，x₂=1

    上面这种方法，我们把它称为十字相乘法．

    五、归纳小结

    本节课要掌握：

    （1）用因式分解法，即用提取公因式法、十字相乘法等解一元二次方程及其应用．

    （2）三种方法（配方法、公式法、因式分解法）的联系与区别：

    联系①降次，即它的解题的基本思想是：将二次方程化为一次方程，即降次．

    ②公式法是由配方法推导而得到．

    ③配方法、公式法适用于所有一元二次方程，因式分解法适用于某些一元二次方程．

    区别：①配方法要先配方，再开方求根．

    ②公式法直接利用公式求根．

    ③因式分解法要使方程一边为两个一次因式相乘，另一边为0，再分别使各一次因式等于0．

    六、布置作业

    教材P₄₆  复习巩固5  综合运用8、10  拓广探索11．

          第六课时作业设计

    一、选择题

 1．下面一元二次方程解法中，正确的是（  ）．

      A．（x-3）（x-5）=10×2，∴x-3=10，x-5=2，∴x₁=13，x₂=7

      B．（2-5x）+（5x-2）²=0，∴（5x-2）（5x-3）=0，∴x₁= ，x₂=

      C．（x+2）²+4x=0，∴x₁=2，x₂=-2

      D．x²=x  两边同除以x，得x=1

2、（中考题）方程的解是（   ）

A、               B、 

C、        D、 

3、已知，则x+y的值（     ）

（A）-4或2       (B)-2或4     (C)2或-3       (D)3或-2

4、一元二次方程的两根分别是1和-2，那么将因式分解的结果为                         。

  5．下列命题①方程kx²-x-2=0是一元二次方程；②x=1与方程x²=1是同解方程；③方程x²=x与方程x=1是同解方程；④由（x+1）（x-1）=3可得x+1=3或x-1=3，其中正确的命题有（  ）．

      A．0个    B．1个    C．2个    D．3个

 6．如果不为零的n是关于x的方程x²-mx+n=0的根，那么m-n的值为（  ）．

      A．-     B．-1      C．     D．1

    二、填空题

    1．x²-5x因式分解结果为_______；2x（x-3）-5（x-3）因式分解的结果是______．

    2．方程（2x-1）²=2x-1的根是________．

    3．二次三项式x²+20x+96分解因式的结果为________；如果令x²+20x+96=0，那么它的两个根是_________．

    三、综合提高题

    1．用因式分解法解下列方程．

    （1）3y²-6y=0                    （2）25y²-16=0

    （3）x²-12x-28=0                 （4）x²-12x+35=0

    2．已知（x+y）（x+y-1）=0，求x+y的值．

    3．今年初，湖北武穴市发生禽流感，某养鸡专业户在禽流感后，打算改建养鸡场，建一个面积为150m²的长方形养鸡场．为了节约材料，鸡场的一边靠着原有的一条墙，墙长am，另三边用竹篱围成，如果篱笆的长为35m，问鸡场长与宽各为多少？（其中a≥20m）

答案:

一、1．B  2．A  3．D

二、1．x（x-5），（x-3）（2x-5） 

2．x₁=，x₂=1 

3．（x+12）（x+8），x₁=-12，x₂=-8

三、1．（1）3y（y-2）=0，y₁=0，y₀=2 

（2）（5y）²-4²=0  （5y+4）（5y-4）=0，y₁=-，y₂= 

（3）（x-14）（x+2）=0  x₁=14，x₂=-2 

（4）（x-7）（x-5）=0  x₁=7，x₂=5

2．x+y=0或x+y-1=0，即x+y=0或x+y=1

3．设宽为x，则长为35-2x，依题意，得x（35-2x）=150 

2x²-35x+150=0 

（2x-15）（x-10）=0，

x₁=7.5，x₂=10，

当宽x₁=7.5时，长为35-2x=20，

当宽x=10时，长为15，

因a≥20m，两根都满足条件．

第二篇：九年级数学上册22.2.5 因式分解法教案新人教版

22.2.5因式分解法

    教学内容

    用因式分解法解一元二次方程．

    教学目标

    掌握用因式分解法解一元二次方程．

    通过复习用配方法、公式法解一元二次方程，体会和探寻用更简单的方法──因式分解法解一元二次方程，并应用因式分解法解决一些具体问题．

    重难点关键

    1．重点：用因式分解法解一元二次方程．

    2．难点与关键：让学生通过比较解一元二次方程的多种方法感悟用因式分解法使解题简便．

    教学过程

    一、复习引入

    （学生活动）解下列方程．

    （1）2x²+x=0（用配方法）  （2）3x²+6x=0（用公式法）

    老师点评：（1）配方法将方程两边同除以2后，x前面的系数应为，的一半应为，因此，应加上（）²，同时减去（）²．（2）直接用公式求解．

    二、探索新知

    （学生活动）请同学们口答下面各题．

    （老师提问）（1）上面两个方程中有没有常数项？

    （2）等式左边的各项有没有共同因式？

    （学生先答，老师解答）上面两个方程中都没有常数项；左边都可以因式分解:

2x²+x=x（2x+1），3x²+6x=3x（x+2）

    因此，上面两个方程都可以写成：

    （1）x（2x+1）=0     （2）3x（x+2）=0

    因为两个因式乘积要等于0，至少其中一个因式要等于0，也就是（1）x=0或2x+1=0，所以x₁=0，x₂=-．

    （2）3x=0或x+2=0，所以x₁=0，x₂=-2．

    因此，我们可以发现，上述两个方程中，其解法都不是用开平方降次，而是先因式分解使方程化为两个一次式的乘积等于0的形式，再使这两个一次式分别等于0，从而实现降次，这种解法叫做因式分解法．

    例1．解方程

    （1）4x²=11x    （2）（x-2）²=2x-4

    分析：（1）移项提取公因式x；（2）等号右侧移项到左侧得-2x+4提取-2因式，即-2（x-2），再提取公因式x-2，便可达到分解因式；一边为两个一次式的乘积，另一边为0的形式

    解：（1）移项，得：4x²-11x=0

    因式分解，得：x（4x-11）=0

    于是，得：x=0或4x-11=0

    x₁=0，x₂=

    （2）移项，得（x-2）²-2x+4=0

    （x-2）²-2（x-2）=0

    因式分解，得：（x-2）（x-2-2）=0

    整理，得：（x-2）（x-4）=0

    于是，得x-2=0或x-4=0

    x₁=2，x₂=4

    例2．已知9a²-4b²=0，求代数式的值．

    分析：要求的值，首先要对它进行化简，然后从已知条件入手，求出a与b的关系后代入，但也可以直接代入，因计算量比较大，比较容易发生错误．

    解：原式=

    ∵9a²-4b²=0

    ∴（3a+2b）（3a-2b）=0 

3a+2b=0或3a-2b=0，

a=-b或a=b

    当a=-b时，原式=-=3

    当a=b时，原式=-3．

    三、巩固练习

    教材P₄₅  练习1、2．

    四、应用拓展

    例3．我们知道x²-（a+b）x+ab=（x-a）（x-b），那么x²-（a+b）x+ab=0就可转化为（x-a）（x-b）=0，请你用上面的方法解下列方程．

    （1）x²-3x-4=0    （2）x²-7x+6=0   （3）x²+4x-5=0

    分析：二次三项式x²-（a+b）x+ab的最大特点是x²项是由x·x而成，常数项ab是由-a·（-b）而成的，而一次项是由-a·x+（-b·x）交叉相乘而成的．根据上面的分析，我们可以对上面的三题分解因式．

    解（1）∵x²-3x-4=（x-4）（x+1）

    ∴（x-4）（x+1）=0

    ∴x-4=0或x+1=0

    ∴x₁=4，x₂=-1

    （2）∵x²-7x+6=（x-6）（x-1）

    ∴（x-6）（x-1）=0

    ∴x-6=0或x-1=0

    ∴x₁=6，x₂=1

    （3）∵x²+4x-5=（x+5）（x-1）

    ∴（x+5）（x-1）=0

    ∴x+5=0或x-1=0

    ∴x₁=-5，x₂=1

    上面这种方法，我们把它称为十字相乘法．

    五、归纳小结

    本节课要掌握：

    （1）用因式分解法，即用提取公因式法、十字相乘法等解一元二次方程及其应用．

    （2）三种方法（配方法、公式法、因式分解法）的联系与区别：

    联系①降次，即它的解题的基本思想是：将二次方程化为一次方程，即降次．

    ②公式法是由配方法推导而得到．

    ③配方法、公式法适用于所有一元二次方程，因式分解法适用于某些一元二次方程．

    区别：①配方法要先配方，再开方求根．

    ②公式法直接利用公式求根．

    ③因式分解法要使方程一边为两个一次因式相乘，另一边为0，再分别使各一次因式等于0．

    六、布置作业

    教材P₄₆  复习巩固5  综合运用8、10  拓广探索11．

          第六课时作业设计

    一、选择题

    1．下面一元二次方程解法中，正确的是（  ）．

      A．（x-3）（x-5）=10×2，∴x-3=10，x-5=2，∴x₁=13，x₂=7

      B．（2-5x）+（5x-2）²=0，∴（5x-2）（5x-3）=0，∴x₁= ，x₂=

      C．（x+2）²+4x=0，∴x₁=2，x₂=-2

      D．x²=x  两边同除以x，得x=1

    2．下列命题①方程kx²-x-2=0是一元二次方程；②x=1与方程x²=1是同解方程；③方程x²=x与方程x=1是同解方程；④由（x+1）（x-1）=3可得x+1=3或x-1=3，其中正确的命题有（  ）．

      A．0个    B．1个    C．2个    D．3个

    3．如果不为零的n是关于x的方程x²-mx+n=0的根，那么m-n的值为（  ）．

      A．-     B．-1      C．     D．1

    二、填空题

    1．x²-5x因式分解结果为_______；2x（x-3）-5（x-3）因式分解的结果是______．

    2．方程（2x-1）²=2x-1的根是________．

    3．二次三项式x²+20x+96分解因式的结果为________；如果令x²+20x+96=0，那么它的两个根是_________．

    三、综合提高题

    1．用因式分解法解下列方程．

    （1）3y²-6y=0                    （2）25y²-16=0

    （3）x²-12x-28=0                 （4）x²-12x+35=0

    2．已知（x+y）（x+y-1）=0，求x+y的值．

    3．今年初，湖北武穴市发生禽流感，某养鸡专业户在禽流感后，打算改建养鸡场，建一个面积为150m²的长方形养鸡场．为了节约材料，鸡场的一边靠着原有的一条墙，墙长am，另三边用竹篱围成，如果篱笆的长为35m，问鸡场长与宽各为多少？（其中a≥20m）

答案:

一、1．B  2．A  3．D

二、1．x（x-5），（x-3）（2x-5） 

2．x₁=，x₂=1 

3．（x+12）（x+8），x₁=-12，x₂=-8

三、1．（1）3y（y-2）=0，y₁=0，y₀=2 

（2）（5y）²-4²=0  （5y+4）（5y-4）=0，y₁=-，y₂= 

（3）（x-14）（x+2）=0  x₁=14，x₂=-2 

（4）（x-7）（x-5）=0  x₁=7，x₂=5

2．x+y=0或x+y-1=0，即x+y=0或x+y=1

3．设宽为x，则长为35-2x，依题意，得x（35-2x）=150 

2x²-35x+150=0 

（2x-15）（x-10）=0，

x₁=7.5，x₂=10，

当宽x₁=7.5时，长为35-2x=20，

当宽x=10时，长为15，

因a≥20m，两根都满足条件．