第一章 数与代数
数”的产生成为人类文明发展的一个重要的标志。人类从识别事物多寡的原始的数觉能力，到抽象的“数”概念的形成，经历了一个缓慢渐进的过程。第一次扩充：分数的引进；第二次扩充： 0的引进；第三次扩充：负数的引进；第四次扩充：无理数的引进；第五次扩充：复数的引进。
从原有数集扩充到新数集所遵循的原则：原数集是扩充后新数集的真子集；原数集定义的元素间的关系和运算在新数集中同样地被定义；原数集中的元素在新数集中定义的运算结果与在原数集中的运算结果一致，且基本运算律保持；在原数集中不能施行或不能完全施行的某种运算，在新数集中能够施行；新数集是满足上述四条的数集中的最小数集。扩充方法：一种是把新引进的数加到已建立的数系中而扩充。另一种是从理论上创造一个集合，即通过定义等价类来建立新数系，然后指出新数系的一个部分集合与以前数，一种新的数，也就实现了数系的一次扩张。引入了负数，就实现了这个数系关于加减运算的自封闭。
有理数有一种简单的几何解释在一条水平的直线上，确定一段线段为单位长度，把它的左、右端点分别标设为 0和 1。正整数在 0的右边，负整数在 0的左边。对于分母 q的有理数，就可以用把单位区间 q等分的那些分点表示。每一个有理数都可以找到数轴上的一点与之对应。
无理数的引入 正方形的边长和对角线不可公度。实现了数系的又一次扩张，可以满足数学上开方运算的需要，实现了实数系关于加减运算的封闭性。 戴德金阐述了有理数的有序性、稠密性和戴德金分割。戴德金分割是指 ,每个有理数都将全部有理数分为两类，使得第一类中每个数都小于第二类中的任一个数，这个分类的有理数可以算在两类的任何一类中。利用这个分割法可以得到无理数的定义。
所建立的数系是同构的。
自然数的两大基本理论：基数理论和序数理论
基数理论 当我们把所有表示数量的符号放在一起就得到了一个集合，我们称之为“数集”，为了度量“数集”当中表示数量的符号个数，我们首先要定义一个概念就是“基数”。 19 世纪中叶，数学家康托以集合理论为基础提出了自然数的基数理论。等价集合的共
同特征称为基数。对于有限集合来说，基数就是元素的个数。自然数就有有限集合 A的基数叫做自然数。记作“ ”。 当集合是有限集时，该集合的基数就是自然数。空集的基数就是0。而一切自然数组成的集合，我们称之为自然数集，记为 N 。
序数理论 皮亚诺1889年建立了自然数的序数理论，进而完全确立了数系的理论。 是根据一个集合里某些元素之间有“后继”这一基本关系和五条公理（皮亚诺公理），把自然数集里的元素按 1、 2、 ……这样一种基本关系而完全确定下来。
定义 非空集合 N*中的元素叫做自然数 ,如果 N*的元素之间有一个基本关系“后继” (b后继于 a,记为 b=a′ )，并满足下列公理： （ 1） 0∈ N*； （ 2） 0不是 N*中任何元素的后继元素； （ 3）对 N*中任何元素 a，有唯一的 a′∈ N； （ 4）对 N*中任何元素 a，如果 a≠ 0，那么， a必后继于 N*中某一元素 b； （ 5）（归纳公理）如果 MN*，而且满足条件 :① 0∈ M；②若 a∈ M，则 a′∈ M.那么， M= N*. 这样，所构成的系统称为皮亚诺公理系统，它就是自然数系。
自然数 0是作为空集的标记。在空集中，“ 0”作为记数法中的空位，在位置制记数中是不可缺少的。
自然数系所蕴含的思想
对应思想（可数的集合）自然数建立在对应概念之上，而且对应的思想也成为自然数的一个重要性质。一一对应关系是集合论中建立两个集合“相等”关系的一个重要概念。（导致了俗称“理发师悖论”的 罗素悖论 的发现）德国策梅罗提出七条公理，建立了一种不会产生悖论的集合论，后又经过德国弗芝克尔改进形成了一个无矛盾的集合论公理系统（ ZF公理系统）。 数位思想
位置制记数法，就是运用少量的符号，通过它们不同个数的排列，以表示不同的数。 用十个记号来表示一切的数，每个记号不但有绝对的值，而且有位置的值。十进位位置制记数之产生于中国，是与算筹的使用与筹算制度的演进分不开的。
负数的数学含义 至少包括如下几个方面： +a 与 -a表示一对相反意义的量 。引入负
数学符号有两种重要属性：抽象性和形象性。数学符号的意义在于：有了数学符号，才使得抽象的数学概念有了具体的表现形式，才使得具有一般意义的推理和运算、抽象的数学思维能以直观的、简约的形式表现出来。
字母代表数 代数，原意就是指“文字代表数”的学问。使得许多算术问题可以转换为代数方程问题求解。 根本的内涵是“未知数的符号 x可以和数一样进行四则运算。 文字代表数的真正价值在于：字母能够和数字一起进行四则运算和乘方、开方，进行指数、对数、三角等运算，乃至对字母进行微分、 积分运算等等。
解析式 数字、字母、运算符号按照一定规律有意义地结合而成的符号组合。 解析式中的字母可以有不同的含义不同的含义不影响它基本运算规律和变形规则。 解析式可以区分为两大类：一类是只含有代数运算的解析式叫代数式， 没有开方运算的代数式称为有理式，否则称为无理式；没有除法运算的有理式称为整式，否则称为分式；没有加、减运算的整式称为单项式，否则称为多项式。另一类是包含初等超越运算的解析式统称为初等超越式，简称超越式。它包括指数式、对数式、三角函数式、反三角函数式。
解析式的恒等变形 把一个给定的解析式变换为另一个与它恒等的解析式，叫做解析式的恒等变形。恒等是相对的。式的恒等变形也是可以连写的，因为它们对一切数，代入式都相等。但是， 解方程时的同解变形，不是恒等变形，。 代数式 数学的符号语言
代数式是在数系基础上发展起来的。在初等代数中，所涉及的运算可分为两大类： 1 代数运算2 初等超越运算：指数是无理数的乘方、对数、三角、反三角运算。
定义，在一个解析式中，如果对字母只进行有限次代数运算，那么这个解析式就称为代数式；如果对字母进行了有限次的初等超越运算，那么这个解析式就称为初等超越式，简称超越式。 还可以进一步分类： 只含有加、减、乘、除、指数为整数的乘方运算的代数式称为有理式；其余的代数式称为无理式；在有理式中，只含有加、减、乘运算称为整式（或多项式），其余的有理式称为分式。
“数”发展到“式”的意义 导致了运算形式化、程序化及规则的公理化，包含了计算对象扩大化，即数系的扩大化问题。将抽象的符号运算应用到更一般的对象上，开辟了构造数学的新方向，为抽象代数学的发展埋下了伏笔，成为近代数学的显著特征。
数学符号具有重要的属性一是它的抽象性。符号代表了事物本质的特征，从而具有代表性和一般性。另一个重要的属性在于它的形象性。数学符号不但精确地表示数学抽象，而且是抽象内涵的简约形象。
等式和方程
（一）方程的含义 “含有未知数的等式叫方程”。这个定义简单明了，为大家所习用。不过，这个定义有不足。“方程是为了寻求未知数，在未知数和已知数之间建立起来的等式关系。” 把方程的核心价值提出来了，即为了寻求未知数。
判断一个代数式等式是否是方程就是看等式中的字母是否是待求的未知数。方程的概念一般用于两个领域：“求某个未知数的数”和“曲线与方程”在这两个领域中“方程”的概念本身并没有变化，而是研究的问题有所不同。前者的目的在于求方程的解，而后者则希望研究的是这些解的分布情况。方程解的个数（或解集的大小）与方程的存在域的大小有直接关系。
方程的分类 依照方程解的个数分，可将方程分为无解方程（矛盾方程）、有唯一解、有多个解、有无穷多个解和全体实数解等。 方程按照它所含有的未知数的个数来分类：集。两个不等式的解集相同，则称这两个不等式是同解的。
不等式有三个基本性质：1不等式两边同时加或减去同一个整式，不等号方向不变，2不等式两边同时乘以（或除以）同一个大于0的整式，不等号方向不变3不等式两边同时乘以（或除以）同一个小于 0的整式，不等号方向改变 。 不等式的实际应用 在运动变化过程中，如果用函数模型刻画运动变化的两个变量 x、 y之间的关系，那么 .方程模型刻画的是 x、 y变化过程中某一瞬间的情况，而不等式模型刻画的是变化过程中 x、 y之间的大小关系，是更普遍存在的状态 。不等式尤其在解决“最值”问题上具有广泛的应用。 不等式蕴含的思想
（一）模型思想 与相等现象相比，不等现象是现实世界中更为普遍的现象，不等式是一元方程、二元方程、多元方程等。
方程借助用字母表示数的代数思想，将未知数同已知数一起描述问题的代数表达形式，形成了方程的基本思想。
方程思想具有很丰富的含义，其核心体现在：一是模型思想，二是化归思想。学习方程内容最主要的事情集中在两个方面。一方面是建模，另一方面是会解方程。 关于方程建模大自然的许多客观规律都表现为量与量之间的某种关系，将它表示出来往往就是一个方程式。初中方程的教学不能过分地停留在数学层面上必须使学生真正体会到数学与现实生活密不可分的联系。体会方程是一种用数学符号提炼现实生活中的特定关系的过程。必须学会抽象——将关系抽象为数学符号。
方程设计思想的思路——先进行生活中的提炼，然后到数学表达，到形式化的方程，再到最终解决方程问题。
初中数学方程的常见解法：换元法、因式分解法、图像法、求根公式法。
等式与方程的关系建立方程是借助等式作为其上位概念来完成的。 方程是一种特殊的等式，是在说明相等是怎么回事，等式可以是数字之间的相等，可以是恒等，而方程刻画的可以是两件事情之间的相等，可以是有条件的相等，也可以使一种随机的相等。 不等式
学习的意义不等式可以表示一种界限，本身就是一种规律。其次，研究不等式可以导致等式。最后，不等式在几何上可以表示一个区域。
不等关系与相等关系既是矛盾独立的，也是相互统一的。 不等关系往往可以等价地转化为相等关系加以解决。
不等式的含义两个实数或代数式用符号 连接起来的所得到的式子叫做不等式。如果不论用什么实数代替不等式中的字母，它都能够成立，这样的不等式叫绝对不等式，如果只用某些范围内的实数代替不等式中的字母，它才能够成立，这样的不等式叫条件不等式。 如果不论用什么样的实数值代替不等式中的字母，不等式都不能成立，这样的不等式叫矛盾不等式 。 当不等号两边的解析式都是代数式时，称为代数不等式；两边的解析式至少有一个是超越式时，称为超越不等式。 不等式解集表示方法
不等式所有解的集合，叫做解集。求不等式解集的过程叫解不等式。不等式组中每一个不等式解集的交集叫做不等式组的解集。
一个不等式的解集表示方法1 数轴表示法 即在数轴上把不等式的解集表示出来。2 集合表示法 即用集合来表示不等式的解集。3 区间表示法 即用区间来表示不等式的解
刻画不等现象的有力模型。通过分析实际问题中的数量关系，列出不等式，通过解不等式得到实际问题的答案，这就体现了不等式的模型思想。同时，这种模型经常与函数、方程联系在一起，三者都是刻画现实世界中量与量之间变化规律的重要模型，在解决实际问题时，要合理选择这三种重要的数学模型。 （二）辩证思想 通过 c =a-b的媒介作用，不等式 a>b与等式 a=b+c建立了一种“等价”关系。这是一种辩证关系。恰当地运用这种思想可以轻松地化解相当多的问题。 （三）数形结合思想 根据题意可列出不等式组，运用数轴表示不等式组的解集，可以直观形象地解决问题。这种思想正是数形结合思想。 函 数
函数是描述客观世界变化规律的重要数学模型。
1755年，欧拉首次给出了函数变量定义：“如果某些变量，以这样一种方式依赖于另一些变量，即当后面的变量变化时，前者的这些量也随之变化，则将前面的变量称之为后一些变量的函数。”由此演变为目前的函数的“变量说”黎曼在 1851定义：“我们假定 z是一个变量，如果对它的每一个值，都有未知量 W的每一个值与之对应，则称 W是 Z
的函数。”。 19xx年，布尔巴基学派主借用了笛卡儿积建立关系，进而定义函数：
1
）对
中每一个元素
，存在
，使
；
（ 2）若 且 ，则 。函数 记作： ” 分别称以上函数定义为变量说、对应说和关系说。 函数概念的核心思想
数学的核心是研究关系，即数量关系、图形关系和随机关系。函数研究的是两个变量之间的数量关系：一个变量的取值发生了变化，另一个变量的取值也发生变化，这就是函数表达的数量之间的对应关系。其中有三点是重要的，一是变量的取值是实数；二是因变量的取值是唯一的；三是必须借助数字以外的符号表示函数。 函数的表达方式一般有三种：解析式法，表格法，图像法。
解析式是最常用的方法，适用于表示连续函数或者分段函数。解析式有利于研究函数性质，构建数学模型，但对初学者来说也是抽象的。列表法适用于表达变量取值是离散的情况。利用图像法可以直观地表述函数的形态，有利于分析函数的性质，但作图是比较困难的，用何种方法表达函数可因题而议。 中学数学研究的函数性质
数学中研究函数主要是研究函数的变化特征。中学阶段主要研究函数的周期性，也涉及
奇偶性；在高中阶段主要研究函数的单调性、周期性，也讨论某些函数的奇偶性。 （一）函数的周期性 周期性反映了函数变化周而复始的规律。是中学阶段学习函数的一个基本的性质。周期函数是刻画周期变化的基本函数模型，使我们集中研究函数在一个周期里的变化，了解函数在整个定义域内的变化情况。
（二）函数的奇偶性 函数的奇偶性也是我们在中学阶段学习函数时要研究的函数的性质，但它不是最基本的性质。 奇偶性反应了函数图形的对称性质，可以帮助我们用对称思想来研究函数的变化规律。
（三）函数的单调性 单调性是讨论函数“变化”的一个最基本的性质。从几何的角度看，就是研究函数图像走势的变化规律。 函数与其它内容的联系
（一）函数与方程 用函数的观点看待方程可以把方程的根看成函数与 x轴交点的横坐．解析几何的产生与发展
笛卡尔提出了平面坐标系的概念，实现了点与数对的对应，将圆锥曲线用含有两面三刀个求知数的方程来表示，并且形成了一系列全新的理论与方法，解析几何就这样产生了。 现代几何的产生与发展
人们不断发现《几何原本》在逻辑上不够严密之处，在尝试用其他公理、公设证明第五公设“的失败，促使人们重新考察几何学的逻辑基础，并取得了两方面的突出研究成果。 初中数学课程中的几何学内容
（一）直观几何 几何学是其中研究“形”的分支。几何图形可以直观地表示出来，人们认识图形的初级阶段，主要依靠形象思维。 “形象思维”也就是强调几何直观。
（二）演绎几何几何图形本身具有抽象性和一般性，一种几何概念可能包含无限多种不同的情形，因此，研究图形的形状、大小和位置关系时，不能仅仅依靠直观实验的方法，标，即零点的横坐标。方程可看作函数的局部性质，求方程的根就变成了求函数图形与 x轴的交点问题。
（二）函数与数列 数列是特殊的函数。它的定义域一般是指非负的正整数集，有时也可以为自然数集，或者自然数集的子集。数列通常称为离散函数。等差数列是线性函数的离散化，而等比数列是指数函数的离散化。
（三）函数与不等式 我们首先确定函数图像与 x轴的交点（方程 f(x)=0的解），再根据函数的图像来求解不等式。
（四）函数与线性规划 是最优化问题的一部分，从函数的观点看，首先，要确定目标函数，用目标函数来刻画“好、坏”或“大、小”等，接着，需要确定目标函数的可行域。最后，讨论目标函数在可行域（由约束条件确定的定义域）内的最值问题。
解线性规划问题，可归结为以下算法：第一步，确定目标函数； 第二步，确定目标函数的可行域； 第三步，确定目标函数在可行域内的最值。 函数模型
函数是对现实世界数量关系的抽象，是建立思想模型的基础，具有良好的普适性和代表意义。 现实生活中，普遍存在着最优化问题 ----最佳投资、最小成本等，常常归结为函数的最值问题，通过建立相应的目标函数，确定变量的限制条件，运用函数建模的思想进行解决。 在运用一次函数知识和方法建模解决时，有时要涉及到多种方案，通过比较，从中挑选出最佳的方案。
在实际的教学中，除了使学生了解所学习的函数在现实生活中有丰富的“原型”之外，还应通过实例介绍或让学生通过运算来体验函数模型的多样性。
通过实例，让学生体会、感受数据拟合在预测、规划等方面的重要作用，使学生们学会用数学的知识、思想方法、数学模型解决实际问题，提高运用数学的能力．要鼓励学生收集一些社会生活中普遍使用的函数模型的实例进行探索实践． 第二章 图形与几何 四个基本阶段。
实验几何的形成和发展
人们在观察、实践、实验的基础上积累了丰富的几何经验，形成了一批粗略的概念，反映了某些经验事实之间的联系，形成了实验几何。 理论几何的形成和发展
柏拉图把逻辑学的思想方法引入几何学，确立缜密的定义和明晰的公理作为几何学的基础，欧几里德按照严密的逻辑系统编写的《几何原本》奠定了理论几何的基础。 而需要具有一般性和抽象性的方法，其中包括逻辑推理。
以一些原始概念和公理为出发点，逐步对一些几何概念做比较逻辑化的描述，进行一些基本推理和论证。虽然也借助直观和少量代数公理，但是，主要立足逻辑进行几何概念及其性质的分析研究，这就是演绎几何。
（三）度量几何对一些图形进行度量，包括长度，面积，体积，角度等，适当的延伸。（四）变换几何也叫运动几何。这个领域主要讨论平移、旋转、反射等刚体运动，以及相似变换、拓扑变换，并借以研究图形的全等、对称等概念，了解变换之下的不变量。（五）坐标几何即解析几何。在解析几何中，首先是建立坐标系。坐标系将几何对象和数、几何关系和函数之间建立了密切的联系，这样就可以对空间形式的研究归结成比较成熟也容易驾驭的数量关系的研究了。
经验几何 所谓经验几何，通常是直观几何、实验几何的通称，它特别关注学生几何活动经验的积累，以及几何直觉的发展。 经验几何的作用
几何学是研究现实世界物体的形状、大小和位置关系的学科 ,而后发展成为研究一般空间结构、图形关系的学科。
（一）经验几何则是发现几何命题和定理的有效工具，在培养人的直觉思维和创造性思维方面起着重大的作用，而论证几何在培养人的逻辑思维能力方面起着重要作用。 （二）经验几何是学习推理论证几何的必要前提。
学习的内容是由非形式化的推理逐渐提升到形式化的推理，透过直观几何与实验几何的充分学习，对几何对象的熟悉及非形式化的推理，达到知觉性的了解、操作性的了解，进而形成几何推理。
另一方面，我们用来作为推理基础的几何性质，一部分是利用实验归纳的方法得来的，另一部分则是利用已知的几何性质进行“推论”而导出的结果。
（三）实验几何是几何学习的一个阶段和一种认知水平，更是一种几何学习方法 。 总之，实验几何作为几何学习的一个阶段，在学生几何学习过程中起到承上启下的衔接作用；同时，实验几何是贯穿从直观几何到论证几何学习的一种有益于发现真理、 几何直观 几何直观具有发现功能，同时也是理解数学的有效渠道。数学概念经过多级抽象充分形式化后，有必要以相对直观可信的数学对象为基础进行理性重建，从而达到思维直观化的理想目标和可应用性要求 ,这要求数学的直观与形式的统一，才使得数学的完美。
几何直观及其作用《数学课程标准》（修订稿）指出，几何直观主要是指利用图形描述
和分析问题。借助几何直观可以把复杂的数学问题变得简明、形象，有助于探索解决问题的思路，预测结果。
几何直观对于学生的数学发展非常重要：
首先，几何直观是一种创造性思维，是一种很重要的科学研究方式，在科学发现过程中起到不可磨灭的作用。对于数学中的很多问题，灵感往往来自于几何直观。数学家总是力求把他们研究的问题尽量变成可借用的几何直观问题，使他们成为数学发现的向导，随着现代科技的发展，几何直观在计算机图形学、图象处理、图象控制等领域都有诱人的前景。
其次，几何直观是认识论问题，是认识的基础 , 有助于学生对数学的理解。
借助于几何直观、几何解释， 能启迪思路 , 可以帮助我们理解和接受抽象的内容和方法，抽象观念、形式化语言的直观背景和几何形象，都为学生创造了一个自己主动思考一般地，周长指封闭曲线一周的长度。 （二）面积
物体的表面是一个二维的图形，直观地感觉它所占有的区域具有一定的大小，对一个二维图形的表面进行度量以后，用一个“数”标志它的大小，称这个数为该图形的面积。 人们约定，将边长为 1米的正方形的面积规定为 1平方米。
于是，对于边长为整数 a米、 b米的矩形，总可以将其剖分为若干个边长为 1米的正方形，进而，这个矩形就由 ab个单位正方形组成，从而，这个矩形的面积为 ab平方米（整数）。 如果矩形的边长 A， B是无理数，而且仍用边长为 1的正方形去度量，那么，还要使用极限过程，用一列有理数逼近无理数， a n→ A, b n→ B。依据 a n b n→ AB，以及有理数边长的矩形面积公式，最后得出，矩形的面积也是 AB。
这个过程实际上论证了“边长相等的两个矩形的面积的比，等于它们不相等边的长度的的机会，揭示经验的策略，创设不同的数学情景，使学生从洞察和想象的内部源泉入手，通过自主探索、发现和再创造，经历反思性循环，体验和感受数学发现的过程；使学生从非形式化的、算法的、直觉相互作用与矛盾中形成数学观。
最后，几何直观是揭示现代数学本质的有力工具， 有助于形成科学正确的世界观和方法论。 借助几何直观，揭示研究对象的性质和关系，使思维很容易转向更高级更抽象的空间形式，使学生体验数学创造性工作历程，能够开发学生的创造激情，形成良好的思维品质 。
直观几何主要包含哪些内容
以大量丰富的实例为背景，通过观察、操作来探索认识基本图形的性质。这些基本图形主要包括点、线、面、角、平行线、相交线、三角形四边形、圆等，除此之外，还包括尺规作图、视图和投影等。 这些内容构成直观几何的重要组成部分。 经验几何的具体研究内容
初中几何的主要课程教学目标在于，“积累几何活动经验，发展几何直观、空间观念，进一步感受几何推理的魅力，体会几何的美，初步掌握几何推理的基本形式”，而发展几何直观、积累几何活动经验、培养空间观念，则是经验几何的核心目标。 按照初中阶段的经验几何认识过程的不同，通常可以将经验几何的学习内容，分成认识图形、进行立体图形与平面图形的转换、在运动与变换中研究几何图形的有关性质三部分。 度量几何 几何学起源于图形大小的度量。根据图形的维数，把度量一维图形大小的数称为长度，而将二维图形的大小用面积来表示，体积则是标志三维图形大小的数。线段长度是一切度量的出发点。
长度的含义 线段“两端之间的距离”。所谓距离。罗兰德（ Rowland）首先使用光栅测量一公尺长度中的波长数。 19xx年以后，用激光定义“米”。
目前，国际上采用的长度单位，是在 19xx年 10月确定的，即第十七届国际权度大会重新把国际标准制（ SI）中的长度单位──“米（ meter）”定义为： 光于 299,792,458分之 1秒内在真空中所走的长度，称为“米”。
如果可以用一个线段 e 衡量两条线段 M， N，使得 M， N都是 e 的整数倍，我们称两个线段 M， N 是可公度的。
辗转相除方法，用后次的 a n截取前次的 an -1，即较长的那个线段减去短的那个线段，如此辗转截取，直到两个线段一样长，这个长度就是公度量。 古希腊的毕达哥拉斯学派，发现 正方形的边与其对角线不可公度 3. 周长 “圆、椭圆或其它闭合的曲线的周界长度。”
比”。
海伦 -秦九韶公式
刘徽用割圆法求圆面积 大胆地将极限思想和无穷小分割引入了数学证明。将圆内接正多边形的边数不断加倍，则它们与圆面积的差越来越小，其极限值就是所要求的圆面积。印度圆 取两个相等的圆，把它们等分成相同的若干个全等扇形，然后把它们沿半径剖开（但扇形的圆弧仍然连着）、展平成锯齿条形然后，把两个锯齿形互相嵌入即成一个近似的矩形。份数分得愈多，其结果愈接近矩形，这个矩形的高为圆半径 r，底为圆周长 c，面积为 rc，从而得圆面积为 . 体积 是指物质或物体所占空间的大小。
（ 1 ）直接度量法 。把一种叫做“单位正方体”的空间图形尽可能地堆放在要度量的几何体内，如果被度量的几何体恰好被 a 个正方体填满，那么这个几何体的体积就等于几个单位体积 。 （ 2 ）间接度量法。量出被度量的几何体中某些线段的长度，再利用有关公式计算出这个几何体的体积。 “面积公理”与测度公理
既然图形是一个集合，而相应的图形的面积是一个数，所以，面积是定义在“集合族”之上的一个函数。这个集合函数显然是非负函数，而且正方形的面积是 1。当然，两个不重叠的图形之并的面积，必须等于两个图形的面积之和。最后，如果图形经过移动、旋转、反射，其面积应该不变。这些性质放在一起，就成为面积公理的内容。 对于周长一定的矩形来说，边长相等时矩形面积最大，即正方形的面积最大。（ 2）对于面积一定的矩形来说，边长相等时矩形周长最小，即正方形的周长最小。 事实上，这个结论可以推广为：在周长相等的情况下，越接近圆的图形面积就越大，如， 第四节 变换几何
变换 就是一个集合到另一个集合的映射。 几何变换、变换群的概念
几何变换 ，就是将几何图形按照某种法则或规律变成另一种几何图形的过程。它对于几何学的研究有重要作用。
变换群。实际上是满足一定条件的若干变换组成的集合： 如果某种几何变换的全体组成一个群，就有相应的几何学，而讨论在某种几何变换群下图形保持不变的性质与不变量，就是相应几何学的主要内容。
在初等几何中，变换主要包括全等变换，相似变换，反演变换。
全等变换
如果从平面 ( 空间 ) 到其自身的映射，对于任意两点 A 、 B 和它们的像 A / ， B / 总有 A /B /=AB 。则这个映射叫做平面（空间）的全等变换，或叫做合同变换。 在平面内存在两种全等变换，第一种叫做正常全等变换第二种叫做反常全等变换（镜像全等变换） ,它把一个图形变成与 它反常全等的图形 , 即对于两个全等的图形上每两个对应三角形有相反的方向，并且每两个对应的有向角有相反的方向 。 相似变换，第一种叫做真正相似变换（正相似变换），第二种叫做镜像相似变换（负相似变换）。真正相似变换把一个图形变换成与它真正相似 ( 正相似 ) 的图形 , 即使得两个相似图形的每对对应三角形有同一的方向 , 每对对应角有同一方向。 反演变换
在平面内设有一半径为 R ，中心为 O 的圆，对于任一个异于 O 点的点 P ，将其变从认知规律看，几何学习的基本途径 ,主要是四步： 直观感知→操作确认→演绎推理→度量计算。
欧几里得与演绎几何
公理化方法渊源于几何学，而几何学起源于埃及。
希腊数学家欧几里得编成了《几何原本》一书。这本书内容丰富，结构严谨，对于几何学 的发展和几何学的教学都起了巨大的作用，它被人们赞誉为历史上的科学杰作。 欧几里得《原本》， 原说有 15卷，经后人多方面考证，公认只有 13卷。 欧几里得《原本》对于几何直观、演绎推理进行处理的利弊得失
《原本》作为教科书使用了两千多年。在形成文字的教科书之中，无疑它是最成功的。欧几里得的杰出工作，使以前类似的东西黯然失色。该书问世之后，很快取代了以前的几何教科书，而后者也就很快在人们的记忆中消失了。在训练人的逻辑推理思维方面，换成该射线 OP 上一点 P / ，且使 OP /·OP=R ，这个变换叫做平面反演变换。圆 O 叫做反演基圆，圆心 O 叫做反演中心或反演极， R 叫做反演半径或反演幂，反演变换将过反演中心的射线变成自身，且在此射线上建立对合对应，它使位于圆内的点变成圆外的点 , 位于圆外的点变成圆内的点，反演中心变成平面内的无限远点。而反演圆上的点则保持不变。 空间反演变换可以看作是平面反演变换绕反演基圆的直径旋转而得。反演变换下，将不过反演中心的直线或平面，分别变成过反演中心的圆或球面；将不过反演中心的圆或球面，分别变成另一个不过反演中心的圆或球面。反之，也成立。 演变换是反向保角的，即使两线（或两面）所成的角度的大小保持不变，但方向相反。 合同变换：平移，旋转，反射 平移、旋转与反射的初步描述
图形相似的思想方法体现在图形相似的概念、性质和处理问题的手段之中。我们可以将其归结为如下五个方面： （ 1 ）图形相似问题的核心往往在于三角形相似与成比例线段，体现出化归思想（ 2 ）图形相似是反映大自然奥秘的一个窗口，图形相似在自然、社会和人类生活中具有广泛的普适性 。 （ 3 ）结构相同，即“同构”，是图形相似的重要特征之一。相似可以帮助我们从局部来研究整体。 （ 4 ）图形相似提供了认识三角形的另一个途径，三角形相似的判别方法可以强化我们对三角形构成元素的认识 。 （ 5 ）借助必要的工具和手段是学好图形相似的必要前提 。 平面图形初等变换之间的关系
（一）平移、旋转、反射变换是全等变换 （二）平移、旋转都可以由若干次反射（轴对称）的复合而得到。
对于平移、旋转和轴对称（反射）来说，虽然三者都是全等变换，但是，容易发现，其中，轴对称（变换）更为基本。
（ 1） 对同一个图形连续进行两次轴对称，如果两个对称轴互相平行，那么，这两次轴对称的结果等同于一次平移；
（ 2） 对同一个图形连续进行两次轴对称，如果两个对称轴相交，那么，这两次轴对称的结果等同于一次旋转，旋转中心就是两条对称轴的交点。反过来，对一个图形实施一次平移，都可以通过连续的两次轴对称来替代完成；对一个图形实施一次旋转，可以通过连续的两次轴对称来完成。
（ 3） 任意一个合同变换至多可表示为三个反射的乘积。 第五节 演绎几何 《原本》比亚里土多德的任何一本有关逻辑的著作影响都大得多。在完整的演绎推理结构方面，这是一个十分杰出的典范。正因为如此，自本书问世以来，思想家们为之而倾倒。公正地说，欧几里得的这本著作是现代科学产生的一个主要因素。科学绝不仅仅是把经过细心观察的东西和小心概括出来的东西收集在一起而已。科学上的伟大成就，就其原因而言，一方面是将经验同试验进行结合；另一方面，需要细心的分析和演绎推理。可以肯定地说，这并非偶然。毫无疑问，像牛顿、加利略、白尼和凯普勒这样的卓越人物所起的作用是极为重要的。也许一些基本的原因，可以解释为什么这些出类拔革的人物都出现在欧洲，而不是东方。或许，使欧洲人易于理解科学的一个明显的历史因素，是希腊的理性主义以及从希腊人那里流传下来的数学知识。对于欧洲人来讲，只要有了几个基本的物理原理，其他都可以由此推演而来的想法似乎是很自然的事。因为在他们之前有欧里得作为典范。
欧几里得对牛顿的影响尤为明显。牛顿的《数学原理》一书，就是按照类似于《原本》的“几何学”的形式写成的。自那以后，许多西方的科学家都效仿欧几里得，说明他们的结论是如何从最初的几个假设逻辑地推导出来的。许多数学家，像伯莎德 · 罗素、阿尔弗雷德 · 怀特海，以及一些哲学家，如斯宾诺莎也都如此。同中国进行比较，情况尤为令人瞩目。多少个世纪以来，中国在技术方面一直领先于欧洲。但是，从来没有出现一个可以同欧几里得对应的中国数学家。其结果是，中国从未拥有过欧洲人那样的数学理论体系（中国人对实际的几何知识 理解得不错，但他们的几何知识从未被提高到演绎体系的高度）。直到 1600 年，欧几里得才被介绍到中国来。此后，又用了几个世纪的时间，他的演绎几何体系才在受过教育的中国人之中普遍知晓。
如今，数学家们已经认识到，欧几里得的几何学并不是能够设计出来的惟一的一种内在统一的几何体系。在过去的 150 年间，人们已经创立出许多非欧几里得几何体系。自从爱因斯坦的广义相对论被接受以来，人们的确已经认识到，在实际的宇宙之中，欧几里得的几何学并非总是正确的。便如，在黑洞和中子星的周围，引力场极为强烈。在这种情况下，欧几里得的几何学无法准确地描述宇宙的情况。但是，这些情况是相当特殊的。在大多数情况下，欧几里得的几何学可以给出十分近似于现实世界的结论。不管怎样，人类知识的这些最新进展都不会水削弱欧几里得学术成就的光芒。也不会因此贬低他在数学发展和建立现代科学必不可少的逻辑框架方面的历史重要性。爱因斯坦更是认为，“如果欧几里得未激发你少年时代的科学热情，那你肯定不是天才科学家。”由此可见，《原本》一书对人类科学思维的影响是何等巨大。
从数学教育的角度看，欧几里得的逻辑结构是串联型而不是放射型的，《原本》的每一
节都那么重要，一节学不好，继续前进的路就断了，更令人头痛的是它没有提供一套强有力的、通用 的解题方法。主要解题工具是三角形的全等和相似，而许多几何图形中不包含全等或相似三角形，因此，往往要作辅助线，从而几何被公认为难学的一门课程。 值得一提的是，欧式几何几乎是历次中外数学课程教学改革的焦点。 《原本》几乎包括了中小学所学习的平面几何、立体几何的全部内容。如此古老的几何内容，自然成了历次数学课程改革关注的焦点。其中，最为激进的，如法国布尔巴基学派主要人物狄奥东尼，甚至喊出了“欧几里得滚出去”的口号。但是，改来改去，欧几里得几何的一些内容，仍然构成了多数国家中小学数学几何部分的主要内容。有人称之为“不倒翁现象”。这是因为，欧氏几何从数学的视角， 提供了现实世界的一个基本模型， 非常直观地反映了我们人类的生存空间，刻画了我们视觉所观察到的物体形状及其相互位置关系。所以， 这个模型的基本内容是学生能够理解和掌握的，而且应用广泛的基础知识。 它比 三种几何的关系
欧氏几何、罗氏几何、黎曼几何是三种各有区别的几何。这三中几何各自所有的命题都构成了一个严密的公理体系，各公理之间满足和谐性、完备性和独立性。因此，这三种几何都是正确的。在我们这个不大不小、不远不近的空间里，也就是在我们的日常生活中，欧式几何是适用的；在宇宙空间中或原子核世界，罗氏几何更符合客观实际；在地球表面研究航海、航空等实际问题中，黎曼几何更准确一些。
义务教育阶段几何课程内容的基本定位 ——义务教育阶段几何课程设计的特点简析 义务教育阶段几何课程设计的特点 与以往的综合几何课程设计风格相比，《数学课程标准》下的几何已经将直观几何和实验几何的触角伸向了小学低年级，同时欧氏几何的体系和内容整体上还是基本保留的。只不过，具体的要求有所降低了，这种降低一方面体现在对推理几何的难度要求有所限较适合中小学生学习，也有利于引导中小学生从形的角度去认识我们周围的物体和生活空间。
尽管欧氏几何仍然具有难以替代的学习价值，但在以往的教学中，它又确实逐步暴露出一些问题，例如，内容体系比较封闭，脱离实际，教学代价太大等等。 ① 这些问题需要数学课程的设计者与数学教学的实践者共同去面对、去解决。 一条途径是教学法方面的改进。首先是内容的精简与演绎体系的通俗化。如精选一些具有实用价值和对继续学习发挥基础作用的内容，打破封闭的公理体系，扩大公理系统，降低证明难度等等。其次是突出几何事实与几何应用，重视几何直观，以及合情推理对于演绎推理的互补作用等非形式化策略。另一条途径是，用近现代数学的观点，高屋建瓴地处理传统的内容。其中几何图形的运动变换观点就是这样的重要观点之一。
从国际上数学课程改革的历程来看，第二次世界大战以后，特别是在上世纪 60年代的“新数学”改革的浪潮中，将运动观点引入几何，成了一种时尚。 确实，图形的变换是研究几何问题的有效工具，引进变换能使图形动起来，有助于发现图形的几何性质。 相关的许多实验，有的因观点太高而失败，但也有许多成功的尝试。特别是平移、旋转以及轴对称、中心对称等观念已被不少国家的中小学教材所吸收，并放在比较重要的位置。如果说，集合与对应思想的渗透，在某种意义上给传统算术与代数注入了新的血液，那么，运动变换观点的渗透，则在一定程度上给 欧氏几何提供了更高的数学观点和更新的研究视野 。
对第五公设是否独立的研究导致了非欧几何的发现。
非欧几何，即非欧几里得几何，是一门大的数学分支，一般来讲 ，它有广义、狭义、通常意义这三个方面的不同含义。广义式泛指一切和欧几里得几何不同的几何学，狭义的非欧几何只是指罗氏几何来说的，至于通常意义的非欧几何，就是指罗氏几何和黎曼几何这两种几何。 罗巴切夫斯基几何
家罗巴切夫斯基 发现非欧几何 -- 罗氏几何为止，肯定了第五公设与欧氏系统的其余公理是独立无关的。 黎曼几何
欧氏几何与罗氏几何中关于结合公理、顺序公理、连续公理及合同公理都是相同的，只是平行公理不一样。在同一平面内任何两条直线都有公共点 ( 交点 ) 。在黎曼几何学中不承认平行线的存在，它的另一条公设讲：直线可以无限延长，但总的长度是有限的。黎曼几何的模型是一个经过适当 “ 改进 ” 的球面。 制，另一方面体现在，弱化了相似形和圆的证明部分。同时，弱化了的部分也还会在高中继续出现。
新理念下义务教育阶段几何课程设计的突出特点体现为：以 “ 立体 — 平面 — 立体 ” 为主要线索，强调与学生生活的联系；适当地拓宽活动领域，包括图形的认识，图形的变换，图形与位置等方面；以实际操作、测量、简单推理为具体处理方式，强调学生的直观体验学习的方法；注重发展的空间观念，发展对图形的审美能力；强调几何真理的发现和几何论证并举，主张建立在几何直观和丰富几何活动经验基础之上的几何推理的学习。
几何直观 主要是指利用图形描述和分析问题。借助几何直观可以把复杂的数学问题变得简明、形象，有助于探索解决问题的思路，预测结果。几何直观不仅在“图形与几何”的学习中，而且在整个数学学习过程中都发挥着重要作用。
推理能力 的发展应贯穿在整个数学学习过程中。推理是数学的基本思维方式，也是人们学习和生活中经常使用的思维方式。推理一般包括合情推理和演绎推理。合情推理是从已有的事实出发，凭借经验和直觉，通过归纳和类比等推测某些结果。演绎推理是从已有的事实（包括定义、公理、定理等）出发，按照规定的法则证明（包括逻辑和运算）结论。在解决问题的过程中，合情推理有助于探索解决问题的思路，发现结论；演绎推理用于证明结论的正确性。
直观几何、实验几何课程设计特点与综合几何的差异
与综合几何相比，直观几何、实验几何有着更现实的意义和课程设计的特色： 1 ．不同的课程目标和价值取向
从课程设计的角度看，直观几何与实验几何更接近于认知发展取向的课程设计模式，而综合几何属于典型的学术主义价值取向的课程设计模式。 2 ．不同的教育学、心理学基础和不同的师生关系
以论证为主的综合几何课程设计，立足于行为主义心理学，主张师生之间建立“以教为主、以教促学”的师生关系。 相比之下，直观几何、实验几何课程设计观认为，有意义的几何教学应当建立在学生的主观意愿和知识、经验基础之上，依赖学生的动手实践、自主探索和交流合作，教师在教学中的角色应该定位在学习的组织者、引导者和合作者、参与者，注意学生在学习中所处的不同文化环境、教室文化、社区文化、家庭文化及自身思维模式的共性与差异，师生之间、学生之间应该努力构建一种和谐、互动的新关系。3 ．不同的课程设计风格
在课程论中，课程有学科型课程与经验型课程之分。除了学科型课程和经验型课程外，
大多数课程介于两者之间。 直观几何、实验几何属于典型的经验型课程，而综合几何属于典型的学科型课程。 当前，我国实行的义务教育课程标准实验教科书大多介于学科型课程与经验型课程之间，只不过，有的更靠近后者，即比较“前卫”，而有的更靠近前者，“中规中矩”。 4 ．不同的教学要求
在直观几何、实验几何课程实施过程中，学生的直观感受和几何活动经验是学习的基本出发点和必不可少的载体，而且直观教学变得十分重要。在这种课程设计时，有的是在抽象的学科主线中不断闪现出内容丰富的情景问题，有的是把丰富的情景问题沿几何的主线逐步镶嵌与展开。 几何学是研究平面图形的形状、大小和位置关系的科学，培养和提高学生识图、作图能力是学好几何的必要环节。 因而，在直观几何、实验几何课程设计模式下，采用直观教学至关重要，可使学生一开始便进入到直观教学所创设的情尽管全国初中数学课程标准实验教科书彼此之间都有差异，但是，发展几何直观与推理
能力是普遍趋势。 第三章 统计与概率
准确理解数学、概率、统计之间的关系
（一）研究问题的出发点不同 数学研究的对象是从现实生活中抽象出来的数和图形。数学研究问题必须有定义，即数学研究问题的出发点是定义，没有定义无法进行数学的研究。统计研究所依赖的是模型，构建一些模型的基础上进行研究。但是，统计与数学有着密切的联系，我们拿来数学的很多知识、思想方法作为统计分析的工具。
（二）研究问题的立论基础不同 从数量和数量关系这个角度考虑，数学是建立在概念和符号的基础上的。而统计学是建立在数据和模型的基础上，虽然概念和符号对于统计学的发展也是重要的，但是统计学在本质上是通过数据和模型进行推断的。
境之中，耳濡目染，受到感染，教师若采用图片直观，便可展现情景，给学生以鲜明生动的形象，学生的注意力很快被吸引到图片所展示的情境中。 如何理解初中几何及推理
新理念下义务教育阶段几何课程设计的突出特点体现为：以 “ 立体 — 平面 — 立体 ” 为主要线索 ，强调与学生生活的联系；适当地拓宽活动领域，包括图形的认识，图形的变换，图形与位置等方面；以实际操作、测量、简单推理为具体处理方式，强调学生的直观体验（几何课与实际活动课有天然的联系）学习的方法（即“操作” + “推理”）；注重发展的空间观念，发展对图形的审美能力；强调几何真理的发现和几何论证并举，主张建立在几何直观和丰富几何活动经验基础之上的几何推理的学习。
初中阶段属于从直观几何、实验几何逐步过渡到综合几何、论证几何的关键阶段，七年级仍是直观几何、实验几何，但包含一点点说理，而九年级已经是综合几何、推理几何，虽然其公理体系与欧式公理体系有所不同。
在义务教育数学课程标准下，“图形与几何”主要内容有：空间和平面基本图形的认识，图形的性质、分类和度量；图形的平移、旋转、轴对称、相似和投影；平面图形基本性质的证明；运用坐标描述图形的位置和运动。
在“图形与几何”的核心课程教学在于：帮助学生建立 空间观念 ，注重培养学生的 几何直观 与 推理能力 。
如何理解初中几何的核心目标——发展几何直观与推理能力
在“图形与几何”的教学中，应帮助学生建立空间观念，注重培养学生的几何直观与推理能力。 空间观念主要是指根据物体特征抽象出几何图形，根据几何图形想象出所描述的实际物体；想象出物体的方位和相互之间的位置关系；描述图形的运动和变化；依据语言描述画出图形等。 几何直观主要是指利用图形描述和分析问题。借助几何直观可以把复杂的数学问题变得简明、形象，有助于探索解决问题的思路，预测结果。几何直观不仅在“图形与几何”的学习中，而且在整个数学学习过程中都发挥着重要作用。 推理能力的发展应贯穿在整个数学学习过程中。推理是数学的基本思维方式，也是人们学习和生活中经常使用的思维方式。推理一般包括合情推理和演绎推理。合情推理是从已有的事实出发，凭借经验和直觉，通过归纳和类比等推测某些结果。演绎推理是从已有的事实出发，按照规定的法则证明结论。在解决问题的过程中，合情推理有助于探索解决问题的思路，发现结论；演绎推理用于证明结论的正确性。 基于此，《数学课程标准》把认识或把握空间与图形作为主旋律，以图形的认识、图形与变换、图形与位置（坐标）、图形与证明四条线索展开空间与图形的内容。 （三）研究问题的方法不同 与概念和符号相对应，数学的推理依赖的是公理和假设，是一个从一般到特殊的方法，而统计学的推断依赖的是数据和数据产生的背景，强调根据背景寻找合适的推断方法，是一个从特殊到一般的方法。
（四）研究问题的判断原则不同 数学在本质上是确定性的，它对结果的判断标准是对与错，从这个意义上说，数学是一门科学，而统计学是通过数据来推断数据产生的背景，即便是同样的数据，也允许人们根据自己的理解提出不同的推断方法，给出不同的推断结果，统计学对结果的判断标准是好与坏，从这个意义上说，统计学不仅是一门科学，也是一门艺术。
数理统计方法的基本步骤 建立数学模型 ，收集整理数据，进行统计推断、预测和决策。当然，这些环节不能截然分开，也不一定按上述次序，有时是互相交错的。
（ 1 ）模型的选择和建立。模型是指关于所研究总体的某种假定，一般是给总体分布规定一定的类型。建立模型要依据概率的知识、所研究问题的专业知识、以往的经验以及从总体中抽取的样本。（ 2 ）数据的收集 。其方法主要包括全面观测、抽样观测和安排特定的实验 3 种方式。全面观测又称普查，即对总体中每个个体都加以观测，测定所需要的指标。抽样观测又称抽查，是指从总体中抽取一部分，测定其有关的指标值。这方面的研究内容构成数理统计的一个分支学科。叫抽样调查。
（ 3 ）安排特定实验以收集数据，这些特定的实验要有代表性，并使所得数据便于进行分析。（ 4 ）数据整理。目的是把包含在数据中的有用信息提取出来。一种形式是制定适当的图表 ，如散点图，以反映隐含在数据中的粗略的规律性或一般趋势。另一种形式是计算若干数字特征，以刻画样本某些方面的性质，如样本均值、样本方差等简单描述性统计量。（ 5 ）统计推断。指根据总体模型以及由总体中抽出的样本，做出有关总体分布的某种论断。数据的收集和整理是进行统计推断的必要准备，统计推断是数理统计学的主要任务。（ 6 ）统计预测。统计预测的对象，是随机变量在未来某个时刻所取的值，或设想在某种条件下对该变量进行观测时将取的值。（ 7 ）统计决策。依据所做的统计推断或预测，并考虑到行动的后果而制定的一种行动方案。 初中统计与概率的课程内容主要内容包括：
描述统计的进一步扩展 ---- 描述统计的基本目标在于以最简单而直观的形式最大限度地容纳有用的数据。
渗透数理统计思想 ---- 数理统计与描述统计的根本区别在于总体与样本概念的引入，它的基本思想是通过对样本的分析来推断总体的特性。这部分的一个核心的内容是抽样，如何抽样、抽样的过程、样本的多少是收集数据的一个关键问题。
学习概率的初步内容 ----- 包括运用列表、画树状图、制作面积模型、简单计算等方法得到一些事件发生的概率；通过实验，获得事件发生的频率；知道大量重复实验时频率可作为事件发生概率的估计值；通过大量丰富的实例，进一步丰富对概率的认识，并能解决一些实际的问题。
普查： 为了一定的目的而对考察对象进行的全面调查 ，称为普查 .总体： 所考察对象的全体称为总体。个体： 组成总体的每一个考察对象称为个体。 抽样调查： 从总体中抽取部分个体进行调查，这种调查称为抽样调查。样本： 从总体中抽取部分个体叫做总体的一个样本。 样本容量： 样本中个体的数量叫样本容量。 随机事件和样本空间
在一定条件实现后，可能产生也可能不产生的现象，人们称之为随机现象。 具备以下三个特点的试验称为随机试验：
信息。 众数只与其在数据中重复的次数有关，而且往往不是唯一的。但不能充分利用所有的数据信息，而且当各个数据的重复次数大致相等时，众数往往没有特别的意义。 数据的离散程度
极差 是指一组数据中的最大值减去最小值所得的差。它可以反映一组数据的变化范围。 方差 是指一组数据中的平均数与每一个数据之差的平方和的平均数。
样本数据的方差和标准差都是衡量一个样本波动大小的量，样本方差或样本标准差越大，样本数据的波动就越大。 加权平均数的概念
加权平均数是不同比重数据的平均数，加权平均数就是把原始数据按照合理的比例来计算，即 一组数据的每个数乘以它的权重后所得积的总和。 平均数称之为算术平均数，是加权平均数的一种特殊情况，加权平均数包含算术平均数，(1) 可在相同条件下重复进行； 〔 2)每次试验可出现不同的结果，最终出现哪种结果，试验之前不能确定； (3) 事先知道试验可能出现的全部结果。 随机事件 随机试验的每一个可能的结果称为一个随机事件
样本空间 由样本空间的子集可描述随机试验中所对应的一切随机事件。 数据的收集
数据收集方法有两种：调查和实验。在现实生活中原来就有的数据，人们通过调查获得，例如，普查，即为一特定目的而对所有考察对象的全面调查；抽样调查，即为一特定目的而对部分考察对象作调查。 三种常用抽样方法是：随机抽样法、分层抽样法和系统抽样法。
数据的随机性主要有两层涵义：一方面，对于同样的事情，每次收集到的数据可能会是不同的；另一方面，只要有足够的数据就可能从中发现规律。 数据的整理和分析
数据分析观念主要体现在三个方面：第一，了解在现实生活中有许多问题应当先做调查研究，收集数据，通过分析作出判断，体会数据中是蕴含着信息的；第二，了解对于同样的数据可以用多种分析的方法，需要根据问题的背景选择合适的方法；第三，通过数据分析体验随机性。
理解两种估计方法，一种是用样本的频率分布来估计总体的分布，另一种是用样本的集中趋势（平均数、中位数、众数）和离散程度（极差、方差、标准差）来估计总体的集中程度和离散程度。 频数和频率
我们称每个对象出现的次数为频数，也称次数。频数也称“次数”，对总数据按某种标准进行分组，统计出各个组内含个体的个数。而频率则每个小组的频数与数据总数的比值。 数据的集中趋势在统计学中是指一组数据向某一中心值靠拢的程度，它反映了一组数据中心点的位置所在。反映数据集中趋势的度量包括平均数、中位数、众数等。 平均数一组数据的平均数就是用这组数据的总和除以这组数据的总个数得到的值。 中位数，就是将这组数据从小到达排列后，位于正中间的数（或中间两个数的平均数）。 众数，是指 一组数据的众数就是这组数据中出现频数最多的数。 平均数、中位数和众数的联系与区别
联系：从不同角度描述了一组数据的集中趋势。 区别： 计算平均数时，所有数据都参加运算，它能充分利用数据 所提供的信息，但容易受极端值的影响。它应用最为广泛。 中位数的优点是计算简单，只与其在数据中的位置有关。 但不能充分利用所有的数据当加权平均数中的权相等时，就是算术平均数。
统计表不仅反映某一类事物的具体数据，而且还能说明有关数据之间的关系。统计图是借助于几何线、形 (线段、长方形、三角形、圆形等 )以及事物的形象等形式，显示收集到的数据信息，直观地反映其规模、水平、构成、相互关系、发展变化趋势和分布状况，即是根据统计数据所绘制的图形。 条形图是以简单的几何图形，即等宽条形的长短或高低来比较数据所隐含信息的统计图示法分为单式条形图、复式条形图、分段条形图 、对称条形图、距限条形图、累积条形图等。
直方图有两种，频数直方图和频率直方图。频数直方图与频率直方图既有联系，又有区别。
扇形图用圆和扇形分别表示关于总体和各个组成部分数据的统计图叫做 扇形统计图。扇形图能直观地、生动地反映各部分在总体中所占的比例。
扇形统计图具有四个特点： 一是利用圆和扇形来表示总体和部分的关系，二是圆代表总体，各个扇形分别表示总体中不同的部分；三是扇形的大小反映部分占总体的百分比的大小，四是各个扇形所占的百分比之和为 1；最后，在不同的统计图中，不能简单地根据百分比的大小来比较部分量的大小。 折线统计图
用一个单位长度表示一定的数量，根据数量的多少描出各点，然后把各点用线段顺次连接起来，折线统计图不但可以表示出数量的多少，还能够清楚地表示出数量的增减变化情况， 并且可以进行简单的预测。折线统计图可分为单式折线图或复式折线图 。 统计是对随机现象统计规律归纳的研究，而概率是对随机现象统计规律演绎的研究，在解决实际问题时， 二 者是相辅相成、互相关联的
随机事件的概率 ，实质上是指在客观世界中，这个事件发生可能性大小的一个数量刻画。
概率的定义
频率是指事件发生的次数在全部试验次数中占的比例，所以频率能够反映该事件发生的可能性大小。即一般地，在大量重复进行同一试验时，事件 A发生的频率总是趋近某个常数，在它附近摆动，这时就把这个常数叫做事件 A的概率，记作 P(A). 概率的公理化定义 样本点全集 叫做必然事件，空集 叫做不可能事件。 正确理解随机性与概率
（ 1） 随机性和规律性 。 2） 概率和机会 。 从某种意义说来，概率描述了某件事
情发生的机会（ 3） 有些概率是无法精确推断的 。 （ 4）有些 概率是可以估计的 。 随机结果也具有规律，而且有可能通过试验等方法来推测其规律。我们就是要通过观测数据，在随机性中寻找用概率和数学模型描述的规律性
小概率原理是统计检验（统计中的反证法）的基础和依据。小概率原理是指在一次试验中，小概率事件几乎不可能发生。 《数学课程标准》认为，“统计与概率”应当是初中课程内容的重要组成部分。不仅如此，《数学课程标准》将“统计与概率”内容从第一学段连续编排到初中，并且规定，在初中，学生将从事数据的收集、整理与描述的过程，体会抽样的必要性以及用样本估计总体的思想，进一步学习描述数据的方法，进一步体会概率的意义，能计算简单事件发生的概率。《大纲》没有涉及“概率”内容，仅仅在初中阶段引入“统计初步”，并且将“统计初步”放入“代数的第（十三）部分”在《大纲》中，“统计初步”的定位是：使学生了解统计的展这一活动，有以下几个步骤：
第一，学生观察一件物体或一种现象，或者操作某些学具。
第二，学生在研究所观察的物体或现象的过程中进行思考，与同伴进行讨论和交流，以弥补他们在单纯的观察和操作活动中的不足。
第三，老师按一定的顺序给学生们推荐活动，学生可从中作出选择并实施这些活动，学生在选择中有较强的自主性。
第四，这一活动可以以课内外相结合的形式进行，学生每周至少花两个小时进行同一个主题的活动，并应保证这些活动在整个学习进程中的持续性和稳定性。
第五，每个学生都记录活动过程。通过这一活动，学生逐渐学会操作，同时加强和巩固口头和书面表达能力，发展解决问题的能力，增进对数学的理解力。 如何理解数学研究性学习
思想，掌握一些常用的数据处理方法，能够用统计的初步知识解决一些简单的实际问题。 简单的平均数和加权平均数
所谓加权平均数，是指各个数据的“份量”不同，有的重要些， 有的轻些， 将它们的重要性用“权重”表示， 即加上各个数据在全体数据中占有的比例（频率）再作和。 数学期望的定义 事前预期的好处，就叫做这件事情的期望值。 第四章 实践与综合
设置“实践与综合”领域目的在于体现其桥梁作用（即，数学不同领域之间的桥梁作用以及数学与外部之间桥梁作用）和综合价值， 综合运用数学知识、技能、思想、方法等解决现实问题，帮助学生积累直接的数学活动经验，发展学生的综合能力。 关于“实践与综合”的教育价值和课程目标
教育价值实践与综合领域的存在，沟通了现实世界中的数学与课堂上的数学之间的联系。另一方面，综合应用数学解决问题也必将给学生的学习方式带来改变。使学生发展了意志力、自信心和不断质疑的态度，发展了运用数学进行思考和交流的能力。
课程目标《全日制义务教育数学课程标准》对这个领域的课程设计提出了的总的要求：帮助学生综合运用已有的知识和经验，经过自主探索和合作交流，解决与生活经验密切联系的、具有一定挑战性和综合性的问题，以发展他们解决问题的能力，加深对“数与代数”、“图形与几何”、“统计与概率”内容的理解，体会各部分内容之间的联系。 “实践与综合”在不同阶段不同的呈现形式 第一学段以“实践活动”为主题，第二学段以“综合应用”为主题，第三学段 (即初中阶段 )以“课题学习”为主题。
在初中数学中，课题学习的主要形式有三种基本方式：
数学小调查 。数学小调查是指学生在教师指导下，从学习生活和社会生活中选择和确定调查专题，主 动获得信息、分析信息并做出决策的学习活动。 数学调查可以包括三个阶段，第一，进入问题情境阶段；第二，收集信息的阶段；第三，表达和交流阶段。这种活动具有开放性、问题性和社会性的特点。
小课题研究。 活动基本过程如下： 各小组确定活动目标； 根据目标确定本组活动内容； 在老师指导下实际调查。 合作交流。
动手做 (Hands on)的活动。 意思是动手活动，目的在于让学生以更科学的方法学习知识，尤其强调对学生学习方法、思维方法、学习态度的培养。 基本过程是：提出问题——动手做实验——观察记录——解释讨论——得出结论——表达陈述。具体地说，开
数学研究性学习主要针对我国中学教育中出现的若干弊端，为实施以创新精神和实践能力为重点的素质教育而提出来的，其根本目的是让学生亲历研究过程，获得对客观世界的体验和正确认识，通过自由、自主的探究过程，综合性地提高整体素质和能力。因此，研究性学习的重点在“学习”，研究是手段、途径，而不是目的。 数学研究性学习的内涵
以培养学生的数学创新意识和实践能力为目的，它主要通过与数学学科内容相关的课题，在教师的指导下，学生为主体地参与、体验问题提出和解决的全过程。使学生不但发展了思维能力，而且逐渐领悟到数学科学研究的基本过程和方法，提高学生的科数学研究性学习的目的
1. 让学生经历科学研究的过程，获得亲身参与研究和探索的体验。2. 了解科学研究的方法，提高发现问题和解决问题的能力。3. 学会与人沟通和合作，学会分享。合作的意识和能力，是现代人所应具备的基本素质，而研究性学习提供了一个有利于人际沟通与合作的良好空间。4. 增强探究和创新意识，培养科学态度、科学精神和科学道德。在研究性学习的过程中，学生不可避免地会遇到一系列的问题和困难，学生必须学会从实际出发，通过认真踏实地探究，事实求是地得出结论，并且养成尊重他人的想法和成果的正确态度，同时培养不断追求的进取精神、严谨的科学态度、克服困难的意志品质等。5. 培养学生对社会的责任心和使命感形成积极的人生态度。 6. 促进学生学习，掌握和运用一种现代学习方式。7. 激活各科学习中的知识储备，尝试相关知识的综合运用。8. 促进教师教学观念和教学行为的变化，提升教师的综合素质，培养学生创新精神和实践能力，推进素质教育的全面实施。
初中数学研究性学习主题分为建模探究型、图表探究型、调查探究型、开放探究型四种类型。
（ 1 ）建模探究型 ：以学生动手操作、合作探讨、设计制作模型为主，教师给予指导、总结、评价。 （ 2） 图表探究型 ：以学生观察、分析数学图表、探究解决问题的方法为主，教师提示结合相关知识分析、探究、解决问题。例如，数学图表的制作：“制作人口图”。 （ 3 ）开放探究型 ：以学生自主分析、小组讨论交流、大胆猜想、探究论证为主，教师给予必要的概括、提升和拓展。例如，趣味数学问题：猜想、证明、拓广。 （ 4 ）调查探究型 ：以学生调查实践、自主分析、探究实践的方式和方法为主，教师适时引导、提示、总结。 数学研究性学习的特点
1. 探究性。 探究是人类认识世界的一种基本方式，处于基础教育阶段的初中生对外部
世界仍充满强烈的新奇感和探究欲，数学研究性学习正好适应学习者个体发展的需要和认识规律。 2. 全员参与性。 研究性学习主张全体学生的积极参与，它有别于培养天才儿童的超常教育。全员参与的另一层含义是共同参与。研究性学习的组织形式是独立学习与合作学习的结合，其中合作学习占有重要的地位。 3. 开放性。 数学研究性学习是一种开放性、参与性的教学形式，为了研究有关生活中的数学问题或从数学角度对其它学科中出现的问题进行研究。4. 过程性。 要求学生把自己所得出的结论运用到现实生活中去，解决现实生活中涉及到的数学问题，强调学生参与的过程。5. 应用性。 学以致用是研究性学习的又一基本特征。研究性学习重在知识技能的应用，而不在于掌握知识的量。 6. 体验性。 研究性学习不仅重视学习过程中的理性认识，如方法的掌握、能力的提高等，还十分重视感性认识，即学习的体验。 数学研究性学习的实施 保持和进一步提高学习数学的积极性。
（ 3）在实施过程中，要采取有效的手段对学习活动进行监控；指导学生写好研究数学日记，及时记载研究情况，真实记录个体体验，为以后进行和评价提供依据。
（ 4）要争取家长和社会有关方面的关心、理解和参与，与学生一起开发对实施研究性学习有价值的校内外教育资源，为学生开展研究性学习提供良好条件。
（ 5）能够根据学校与班级实施研究性学习的不同目标定位和主客观条件，在不同时段选择不同的切入口，形成不同年级的操作特点。
数学模型一般是指由数字、字母或其它数学符号组成的，描述现实对象 (原型 )数量规律和空间特征的数学结构。数学模型可以叙述为：对于现实世界的一个特定对象，为了实施要求 ： ①全员参与，而非只关注少数数学尖子学生竞争，给每个学生有锻炼与参与的机会； ②任务驱动。要向学生提出有明确具体要求的任务，发挥它对学生学习过程的引导作用； ③重在学习过程而非研究的结果； ④重在知识技能的应用而非掌握知识的数量； ⑤重在亲身参与探索性实践活动，获得感悟和体验，而非一般地接受别人传授的经验； ⑥形式上灵活多样，强调课内外结合。 数学研究性学习模式有三种：
（ 1）理论 ——实践模式。是指师生在共同学习研究性学习理论的基础上，学生运用数学理论来研究、解决数学问题，体验研究性学习课程理论的价值，提高综合能力的一种教学模式。
（ 2）数学问题探讨模式。 师生围绕数学问题的分析与探讨展开的教学活动，构成了问题探讨教学模式。其基本理念在于：以激励、强化学生在教学过程中的主体参与意识为着眼点，以帮助学生学会学习，学会发现和分析问题，培养学生创造性解决问题的能力为宗旨，创设一种开放而又活泼的学习氛围。其教学策略是：将问题或案例呈现给学生，引导学生共同探讨，构建师生平等、互动的学习环境。一般来说，教师要选择典型的数学问题或案例，不可平铺直叙地搬给学生，而要创造性地加以取舍，主动设疑，引导学生学会思考，提高学生的学习数学能力。
3）数学课题研究模式。 数学课题研究模式是指教师提供课题或由学生根据兴趣设计研究课题，并在教师的指导下自主探索、实施研究计划、完成课题目标、提高社会实践能力的一种教学模式。（
组织形式有三种类型：小组合作研究、个人独立研究、全班集体研究。其中一致认为小组合作研究是最基本、最有效、经常被采用的一种组织形式。 数学研究性学习实施的一般程序
一般可以分为三个阶段： 1）进入问题情境阶段（准备阶段）。主要任务是背景知识的准备；指导学生确定数学研究课题；组织课程小组、制定研究方案。（ 2）实践体验阶段（实施阶段）。本阶段学生要进入具体的解决问题过程。 （ 3）表达交流阶段（结题阶段）。学生将自己或小组经过实践、体验所取得的收获进行 归纳整理、总结提炼，形成书面或口头报告材料，得出结论，并进行成果交流和总结反思。 数学研究性学习实施中的教师指导
（ 1）在初中不同的学段和年级，教师的指导工作内容和方法应该有所不同。
（ 2）在数学研究性学习实施过程中，教师要及时了解学生开展活动的情况，有针对性地进行指导、点拨；要组织灵活多样的交流、研讨活动，促进学生自我教育，帮助他们
一个特定目的，根据特有的内在规律，做出一些必要的简化假设后，运用适当的数学工具，得到的一个数学结构。 数学建模教学的目
使学生体会数学与自然及人类社会的密切联系，体会数学的应用价值，培养数学的应用意识，增进对数学的理解和应用数学的信心；使学生学会运用数学的思维方式去观察、分析现实社会，去解决日常生活中的问题，进而形成勇于探索、勇于创新的科学精神；使学生学会以数学建模为手段，激发学习数学的积极性，团结合作，建立良好的人际关系、相互合作的工作能力；以数学建模方法为载体，使学生获得适应未来社会生活和进一步发展所必需的重要数学事实 以及基本的思想方法和必要的应用技能。 数学建模的教学意义
1. 培养学生合作学习的能力 合作能力是信息社会中每个人必须具备的基本素质。 2. 培养学生处理信息的能力 数学建模活动则为学生学习如何选择信息、获取信息和加工信息提供了一个有效的途径。 3. 有利于学生形成正确的数学观 数学建模活动的开展使学生形成正确的数学观成为可能。 4. 有利于学生体验数学与生活、数学与其它学科的联系 5. 激发学生的数学学习兴趣 6. 发展学生的创新意识 数学建模的具体实施 1. 选题
鼓励学生自主提出问题，可以从以下几个方面人手：①让学生了解选题的重要性和基本要求，②指导学生结合自己的生活经验寻找课题，也可由教师介绍往届学生的选题并加以点评，或者请本班同学介绍自己的选题计划，教师和学生一起分析其可行性，③教师创设一个问题环境，引导学生自主提出问题、确定课题。这时教师的指导应该是有启发性的，不要代替学生确定课题，而是启发学生自己去延展、开拓问题链，让学生自己提出要解决的问题和解决问题的方案。 2. 实施
在课题学习的实施中，我们强调开放学生的思维，强化过程体验，师生和生生的情感交流和成果共享。 3. 指导
在课题学习中，教师如何指导学生，这是一个令不少教师感到困惑甚至苦恼的问题。课题学习过程中，问题形式与内容的变化，问题解决方法的多样性、新奇性，问题解决过程的不确定性，结果呈现层次的丰富性，无疑是对参与者创造力的一种激发、挑战和有效的锻炼。教师在陌生的问题面前感到困难，失去相对于学生的优势是自然的、常常出
现的。 4. 评价
评价过程具体涉及以下几个方面： ①调查、求解的过程和结果要合理、清楚、简捷；②要有自己独到的思考和发现；③能够恰当地使用工具 (如网络和计算工具 )；④采用合理、简捷的算法；⑤提出有价值的求解设计和有见地的新问题；⑥发挥每个组员的特长，合作学习得有效果。 5. 建立和扩张资源
对教育资源的认识应该走出静态的误区，要看到身边许多动态的教育教学资源。此外，通过查找相关的刊物和网站也可以发现大批的可用资源。我们还应有意识地建立自己个性化的信息资源库，它包括：前几届学生做的课题成果，如论文、研究报告、程序、制作的作品，以及活动过程的照片、研究课的录音或录像、其它学校学生的优秀成果等。 生和发展而成。这种抽象可以脱离具体的实物模型，形成一种具有层次性的体系。 形式化 使用特定的数学符号来表示数学概念，使概念形式化。 逻辑化 在一个特定的数学体系中，孤立的数学概念是不存在的，它们之间往往存在着某种关系；这些关系称之为数学概念的逻辑关系。这种逻辑关系使得数学概念系统化、公理化。 简明化 数学概念具有高度的抽象性，借助数学符号语言，使得一定事物的本质简明的形式表现出来，这种简明化使人们在较短时间内领会。 概念的外延与内涵
概念反映了事物的本质属性，也就反映了具有这种本质属性的事物。
一个概念所反映的对象的总和，称为这个概念的外延 是指适合这个概念的一切对象，即符合这一概念所有对象的集合。换言之，是指这个概念的延用范围。一个概念所反映的对象的本质属性的总和称为这个概念的内涵。概念的内涵是说一个概念所反映的事物培养学生的数学应用意识、数学应用能力
实际教学中要强调学生的自主探索、合作交流和操作实践等学习方式。
1）充分发挥学生的主体性。在学习过程中，教师可以向学生推荐活动，让学生在选择中有较强的自主性；同时，让学生独立思考和合作交流，在此基础上教师进行有针对性的指导。
（ 2）强凋学生学习方法、思维方法、学习态度的养成，关注学生的学习过程。课题学习活动强调学生主动学习，不宜强调对知识的学习，而且更重要的是强调学生对学习方法、思维方法、学习态度的养成。
（ 3）创设恰当的问题情景，鼓励学生思考方法的多样化。在课题学习活动过程中，教师应当鼓励与尊重学生的独立思考，引导学生进行讨论与交流，培养学生良好的思考习惯和合作意识。鼓励算法多样化，对培养学生的创新意识与创新思维是十分必要的。 （ 4）对课题学习的评价应该以质的评价为主。一般说来，对学生实践与综合应用活动的评价要强调过程性评价。重点在于促进学生创新精神的培养和实践能力的提高，具备与人沟通及有良好的人际交往能力。而不是把学生贴上优秀、良好、不及格的标签。 数学研究性学习的评价对建立学生发展性评价有哪些有益的启示
（ 1）研究性学习评价更重视过程 。研究性学习评价学生研究成果的价值取向重点是学生的参与研究过程。（ 2）研究性学习评价更重视理解中的应用。 强调的是学生把学到的基础知识、掌握的基本技能，应用到实际问题的提出和解决中去既促进学生对知识价值的反思，又加深对知识内涵理解和掌握，形成知识的网络和结构。 3）研究性学习评价强调学生在探究过程中的体验。 （ 4）研究性学习评价更重视全员参与 。研究性学习的价值取向强调每个学生都有充分学习的潜能，为他们进行不同层次的研究性学习提供了可能性，也为个别化的评价方式创造了条件。 第五章 初中数学的逻辑基础
客观事物都有各自的许多性质，或者称为属性。经过比较、分析、综合、概括，抽象出一种事物所独有而其它事物所不具有的属性，称为这种事物的本质属性。反映事物本质属性的思维形式叫做概念。数学研究的对象是现实世界的空间形式和数量关系。反映数学对象的本质属性的思维形式叫做数学概念。 数学概念具有抽象化、形式化等鲜明的特点。
抽象化 数学概念反映一类事物在数量关系和空间形式方面的本质属性。有些可以直接从客观事物的空间形式和数量关系反映得来，而大多数概念排除对象具体的物质内容，抽象出内在的、本质的属性，甚至在已有数学概念的基础上，经过多级的抽象过程才产的本质属性。
概念的内涵和外延之间相互依存，二者是一对矛盾，共处于统一体的概念之中。它们之间有着相互依存、相互制约的关系。概念反映了事物的本质属性，也就反映了具有这种本质属性的事物。一个概念所反映的对象的总和，称为这个概念的外延。一个概念所反映的对象的本质属性的总和称为这个概念的内涵。一个概念的内涵和外延分别从质和量两个方面刻划了这个概念，每个概念都是其内涵与外延的统一体．概念的内涵严格确定了概念的外延，反之，概念的外延完全确定了概念的内涵。概念的外延和内涵是主观对客观的认识，由于人们对客观事物的认识是发展变化的，概念的外延和内涵必然相应地发生变化，但是在发展变化的过程中有其相对的稳定性．在数学科学体系的确定的阶段，每一个数学概念的外延和内涵都是确定的，二者是相互确定的。 初中数学概念的特点 1、初中数学概念并非都是通过定义给出的 2. 初中数学概念的层次性 数学概念本身具有层次性。3. 数学概念是理想概念4. 数学概念是 “过程 ”与 “对象 ”的统一体 数学概念之间的关系
1. 同一关系 两个外延完全相同的概念之间的关系，叫做同一关系。同一关系，叙述上常用连接词 “即 ”、 “就是 ”等表示。在一个判断过程中，具有同一关系的两个概念可以互相代替。
2. 交叉关系 两个外延部分相同的概念之间的关系，叫做交叉关系 .叙述上常用 “有的 ”、 “有些 ”等表示。
3. 从属关系 两个外延具有包含关系的概念之间的关系，叫做从属关系。其中外延范围大的概念 A叫做上位概念或种概念，外延范围小的概念 B叫做下位概念或类概念。 4. 矛盾关系 两个概念的外延互相排斥，但外延之和等于它们最邻近的种概念的外延，这样两个概念之间的关系，叫做矛盾关系。
5. 对立关系 两个概念的外延互相排斥，但外延之和小于它们最邻近的种概念的外延，这样两个概念之间的关系，叫做对立关系。
把一个属概念分成若干个种概念，揭示概念外延的逻辑方法叫做概念的划分。在数学中常用划分把概念系统化。正确的划分应符合下列条件：
第一，所分成的种概念之间应是全异关系，即任两个种概念的外延的交集应是空集； 第二，划分应是相称的，即是说所分成的全异种概念的外延的并集等于属概念的外延；第三，每次划分都应按照同一个标准进行。在一次划分中用不同的根据就造成了混乱；第四，划分不应越级。应把属概念分为最邻近的种概念
数学概念的定义与要求
定义是建立概念的逻辑方法人们在认识事物的过程中，经过抽象，形成概念，就要借助语言或符号，加以明确、固定和传递，这就要给概念下定义。 定义的功能是为了明确讨论问题的对象。 常常是在抽象出事物的本质属性之后，运用逻辑的方法和精练的语言或符号揭示出对象的本质属性。 常用的定义方法 :
1.“ 种 +类差 ”定义法 属概念加种差定义法就是，用被定义概念最邻近的属概念，连同被定义的概念与同一属概念下其它种概念之间的差别（即种差），来进行定义的方法。 2. 发生式定义法 不直接揭示概念的基本内涵或外延，而是通过指出概念所反映的对象产生的过程，由此来定义概念的方法，叫做发生式定义法。
3. 外延定义法 这是一种给出概念外延的定义法，又叫归纳定义法。 真时， P假；当 P假时， P真。
2. 选言判断 。选言判断是由两个或两个以上判断用连接词 “或者 ”构成的判断，一般记成 A V B，读作 “A或 B”。
3. 联言判断 。联言判断是用连接词 “且 ”构成的判断，表明几个事物情况都存在，一般记成 A∧B，读作 “A且 B”。 4 假言判断 。假言判断又叫蕴含判断，它是判断 P为另一判断 Q存在条件的判断， P、 Q分别叫做该假言判断的前件和后件 (或题设和题断，条件和结论 )，一般用 “若 ……，则 ……”，或 “如果 ……，那么 ……”的形式表示，记成 P→Q。 解命题的涵义
关于数学对象及其属性的判断叫做数学判断。判断要借助于语句，表示判断的语句叫命题。
4. 约定式定义法 由于某种特殊的需要，通过约定的方法来定义的。
5 ． 关系定义法 这是以事物间的关系作为种差的定义，它指出这种关系是被定义事物所具有而任何其他事物所不具有的特有属性。
此外，中学数学中还有描述性定义法 (如现行中学数学中关于等式、极限的定义 )、递推式定义法 (如 n阶行列式、 n阶导数、 n重积分的定义 )，借助另一对象来进行定义 (如借助指数概念定义对数概念 )等等。 定义数学概念的基本要求
1. 定义应当相称。 即定义概念的外延与被定义概念的外延必须是相同的，既不能扩大也不能缩小 2. 定义不能循环。 即在同一个科学系统中，不能以 A概念来定义 B概念，而同时又以 B概念来定义 A概念。
3. 定义应清楚、简明。 定义中列举的属性对于揭示概念反映的对象的本质属性来说应是必不可少的。所谓必不可少是指每一个属性都是独立的，不能由列举出的其它属性推出。
定义要揭示概念所反映对象的本质属性，而否定形式一般不能做到这一点。 数学概念的形成
数学概念形成是从大量的实际例子出发，经过比较、分类，从中找出一类事物的本质属性，然后通过具体的例子对所发现的属性进行检验与修正，最后通过概括得到定义并用符号表达出来。
数学概念形成的过程有以下几个阶段：
1. 观察实例。2. 分析共同属性。分析所观察实例的属性，通过比较得出各实例的共同属性。 3. 抽象本质属性。从上面得出的共同属性中提出本质属性的假设。 4. 确认本质属性。通过比较正例和反例检验假设。确认本质属性。5. 概括定义。在验证假设的基础上，从具体实例中抽象出本质属性推广到一切同类事物，概括出概念的定义。6. 符号表示。 7. 具体运用。使新概念与已有认知结构中的相关概念建立起牢固的实质性联系。把所学的概念纳入到相应的概念体系中。
判断是人们对事物情况有所肯定或否定的比概念高一级的思维形式。 判断是属于主观对客观的认识，因此，判断有真有假，其真假要由实践来检验，在数学中要进行证明。 如实反映事物情况的判断，叫真判断；不符合事物情况的判断，叫假判断。在一个判断中，如果不包含其他的判断，叫做简单判断。简单判断又分为性质判断和关系判断。 复合判断是由两个或两个以上的简单判断用连接词构成的判断。 1. 负判断 。负判断是用连接词 “非 ”构成的判断，一般记为 ┑ P ，读作 “非 P”，当 P如何理解命题的分类
所谓性质命题，是指断定某事物具有（或不具有）某种性质的命题。性质命题由主项、谓项、量项和联项四部分组成。 关系命题 关系命题是断定事物与事物之间关系的命题，关系命题由主项、谓项和量项三部分组成 . 复合命题 命题真值的概念。
对于命题 A、 B，如果 A是一个真命题，我们就说 A的真值等于 1，记成 A=1；如果 B是一个假命题，我们就说 B的真值等于 0，记成 B=0。一个命题或真或假，而不能既真又假。因此，一个命题的真值只能是 1或 0，不能既为 1，又为 0，或非 l又非 0。
复合命题的分类
复合命题由于所采用的连接词不同，可分为下列五种形式。
否定式 。给定一个命题 A，用连接词 “非 ”组成一个复合命题 “非 A”，
析取式。 给定两个命题 A与 B，用连接词 “或 ”组成一个复合命题 “A或 B”， 合取式 。给定两个命题 A与 B，用连接词 “且 ”组成一个复合命题 “A且 B” 蕴含式 。给定两个命题 A与 B，用连接词 “若 ……，则 ……”组成一个复合命题 “若A则 B”，记作 A ? B
等值式。 给定两个命题 A与 B，用连接词 “等值 ”组成一个复合命题 “A等值 B”，记作 “A ? B” 公理与定理
不加证明而被承认其真实性的命题叫做“公理”。原始概念和公理是组成数学理论的主要基础。公理虽然不能加以证明，但有其合理性，它是从大量客观事物与现象中抽象出来的，符合客观规律。
任何公理体系都必须满足相容性、完备性和独立性。相容性是指该体系的各公理之间没有矛盾。完备性是指该分支的形成除了相应的公理体系外，不依赖于任何别的东西。独立性是指该体系中各公理是相互独立的，没有一个可以由其他公理推出。独立性对整个公理体系而言，具有锦上添花的作用。
经过证明为真实的命题叫做定理，可由定理直接得出的真命题叫做推论。推论和定理的含义没有什么本质的区别。一个定理的逆命题、偏逆命题都未必为真，如果证明了是真实的，则分别称为原定理的“逆定理”、“偏逆定理”。 形式逻辑的基本规律
1. 同一律 ：在同一时间、同一地点、同一思维的过程中，所使用的概念和判断必须确
定，且前后保持一致。 公式是： A→A，即 A是 A。 它有两点具体要求： 一是思维的对象应保持同一。二是表示同一事物的概念应保持同一。
2. 矛盾律 ：在同一时间，同一地点，同一思维的过程中，不能既肯定它是什么，又否定它是什么，即在同一思维过程中的两个互相矛盾的判断，不能同真，必有一假。 公式是： A∧A，即 A不是 A。
3. 排中律 ：在同一时间、同一地点、同一思维的过程中，对同一对象，必须作出明确的肯定或否定的判断。即在同一思维过程中，两个互相矛盾的概念或判断不能同假，必有一真，而排除第三种可能。公式是： A∨ ，即 A或 。
排中律和矛盾律既有联系，又有区别。其联系在于：它们都是关于两个互相矛盾的判断，都指出两个矛盾判断不能同时并存，其中必有一个是假。但如何进一步确定谁真谁假，它们本身都无能为力，只有借助其他知识，进行具体分析，才能正确地予以回答。3 ．演绎推理 是一种由一般到特殊的推理，即以某类事物的一般判断为前提，作出这类事物的个别、特殊事物判断的思维形式。
演绎推理的前提与结论之间有必然的联系，只要前提是真实的，推理是合乎逻辑的，就一定能得到正确的结论。因此。演绎推理可以作为数学中一种严格的推理方法使用。 简单的演绎推理往往是通过三段论的形式来实现的。三段论的结构包括大前提——反映一般原理的判断，小前提 ——反映个别对象与一般原理联系的判断，以及结论三个判断。
数学中的证明
应用逻辑方法来判断数学命题真实性的过程叫做数学证明。数学证明的过程往往表现为一系列的推理。
任何逻辑证明都是由论题、论据、论证三个部分组成的。
其区别在于：矛盾律指出两个互相矛盾的判断，不能同真，必有一假；排中律则指出两个互相矛盾的判断，不能同假，必有一真。矛盾律只能由真推假，不能由假推真；而排中律既能由真推假，也能由假推真，所以，矛盾律是否定判断的逻辑基础，而排中律是反证法的逻辑基础。
4. 充足理由律 是：任何一个真判断，必须有充足理由，即对于任何事物的肯定或否定，都要有充分的理由和根据。可表示为：若有 B，则必有 A，使得由 B可以推出 A。充足理由律是进行推理和证明的逻辑基础，它与判断有着密切的联系。
充足理由律和前面三个规律有着密切的联系。同一律、矛盾律和排中律是为了保持同一判断 (或概念 )本身的确定性和无矛盾性；充足理由律则是为了保持判断之间的联系有充分根据和说服力。因此，在思维过程中，如果违反了同一律、矛盾律和排中律，那么就必然导致违反充足理由律。
数学推理、证明必须要求对象确定 (同一律 )，判断不自相矛盾 (矛盾律 )，不模棱两可 (排中律 )，有充分根据 (充足理由律 )。 数学推理的类别
1 ．归纳推理 是一种由特殊到一般的推理，且根据前提与结论所作判断的范围是否相同，又分为完全归纳法与不完全归纳法。
完全归纳法 如果归纳推理的前提中一个或几个判断范围的总和等于结论中判断的范围，这种归纳推理叫做完全归纳法。
不完全归纳法 如果归纳推理的前提判断范围的总和小于结论判断的范围，这种归纳推理叫做不完全归纳法。
因为完全归纳法是在考察事物的各种情形之后得出有关事物的结论的，所以只要考察各种情形得出的结论是真实的，则最后所得结论也必定是真实的。因此，完全归纳法可以作为数学的严格推理方法。用完全归纳法进行推理时，要注意对考察事物的各种特殊情形都要进行讨论，不要重复也不要遗漏。在完全归纳法的实施过程中，分类是最为重要、往往也是最为困难的，关于分类问题的详细地讨论可以在附录中找到。
用不完全归纳法作为逻辑推理是不严密的，因而在数学证明中并不采用。但不完全归纳法在探索的过程中能帮助我们比较迅速地去发现事物的规律，给我们提供研究方向和线索的作用是不容忽视的。科学上的很多发现，往往就是通过观察、分析、归纳、猜想得出，然后又加以证明验证得到的。 2 ．类比推理 是一种由特殊到特殊的推理，即根据两个 (或两类 )事物的某些相同或相似的性质，判断它们在别的性质上也可能相同或相似。 数学证明习惯上分成已知、求证、证明三个部分来写。其中论据是包括论题给定的条件和证明论题时所引用的那些论据，以及已知的公理、定理、公式、定义、法则、性质等命题；求证就是论题的结论，即有待于证明具有真实性的命题；证明就是论证，即证明论题真实性的推理过程。 数学中常用的证明方法 1. 分析法与综合法
在数学证明中，如果推理方向是从求证追溯到已知，或者是从未知到已知，这种思考方法叫做分析法，简谓“由果索因”。反之，如果推理的方向是从已知到求证，或者是从已知到未知，这种思考方法叫做综合法，简谓 “由因导果 ”。
2. 直接证法与间接证法 从正面证明论题真实性的证明方法，叫做直接证法。凡是用演绎法证明命题真实性的都是直接证法。不是直接证明论题的真实性，而是通过证明论题的否定论题不真实，或者证明它的等效命题成立，从而肯定论题真实性的证明方法，叫做间接证法。间接证法主要有反证法与同一法。 反证法 欲证命题 “A→B”为真，从反面人手，改证明其反命题 “ →B”为假，从而肯定 “A→B”为真；或改证明其等效命题“ → ”为真，这种证明的方法叫做反证法。 同一法 两个互逆或互否的命题不一定是等效的，只有当一个命题的条件和结论都唯一存在，且它们所指的概念是同一概念时，该命题与其逆命题 (或否命题 )才等效，这个原理叫做同一原理。对于符合同一原理的命题，当直接证明有困难时，可以改证与它等效的逆命题，这种证明方法叫做同一法。 反证法与同一法都是间接证法的主要区别 ： ① 方法不同。反证法先否定结论，然后再予以反驳；同一法先作出 (设定 )符合命题结论的图形 (或算式 )，然后推证所作图形 (或算式 )与已知图形 (或关系式 )相同。 ② 根据不同。反证法的逻辑依据是排中律，利用原命题与其逆否命题的等价性来证明的；同一法的逻辑依据是同一律，利用原命题与其逆命题的等价性来证明的。 ③ 适用范围不同。反证法是从否定命题的结论出发，只要能推出矛盾就行，而这个矛盾不一定是由于图形 (或关系式 )的 “唯一存在性 ”引起的。因此，反证法可适用于各种命题，而同一法只适用于符合同一法则的命题。 第六章 数学抽象
具体是指对客观存在着的各种事物或在认识中的整体的反映，是特定事物多方面属性、特点、联系和关系的统一。抽象指从具体事物中被抽象出来的相对独立的各个属性、特征、联系和关系。抽象是正确反映客观事物本质，形成概念、范畴的一种思维方法。它是在对事物的属性进行分析、综合、比较的基础上，抽取出事物的本质属性，撇开非本
质属性，从而形成对某一事物的概念
科学的抽象必须具备客观性、实在性和可检验性，都是客观事物所具有的某种属性、关系的反映，不是空洞的、荒谬的、神秘的虚构。 数学抽象
数学的抽象程度大大超过了其他科学，全部数学都具有抽象的特征。 数学的抽象，主要是指思维运动中的抽象。数学的抽象具有明显的层次性，这也是数学抽象与一般抽象的本质区别。
数学抽象的层次性
就数学抽象的深度而言，大体上分为三个层次： 1）把握事物的本质，把繁杂问题简单化、条理化，能够清晰地表达，我们称其为简约阶段。 2）去掉具体的内容，利用概等加以描述。可以认为，拓扑结构就是能够描述极限的一种结构。
结构主义数学的抽象的弱点 （ 1）数学结构方法不可能统一数学，数学结构方法并不是数学的唯一方法。 （ 2）数学结构主义重视结构，不崇尚技巧，象数论中的技巧方法、函数论的精密估值、概率统计中的详细计算都不能纳入布尔巴其学派的体系，这种现象也对数学发展带来影响。 （ 3）过份提升结构主义，在教学中尤其在中小学的数学教育中运用结构主义观点，会忽略对学生认知心理的正确判断。在美国上世纪 50年代到 60年代兴起的 “新数学 ”运动中，就在初中的数学中运用结构主义的观点进行教学的改革，结果表明“新数学”运动并不符合学生的心理发展水平，脱离了社会和学生的生活实际。
图形与图形关系的抽象数学在本质上表现为对概念的抽象和对证明的抽象。 图形抽象的典范 （一）欧式几何 念、图形、符号、关系表述包括已经简约化了的事物在内的一类事物，我们称其为符号阶段。 （ 3）通过假设和推理建立法则、模式或者模型，并能够在一般意义上解释具体事物，我们称其为普适阶段。 数学抽象的方法
1 ．理想化的抽象。由实际的事物或现象引出抽象概念的方法，其中包括对于真实事物或现象的简化与完善化，从而得出的数学概念与现实原型未必完全符合。
2 ．强抽象与弱抽象。 弱抽象也可以称作“概念扩张式抽象”，即从原型（或已有概念）中选取某一特征（侧面）加以抽象，从而获得比原结构更广的结构，使原结构成为后者的特例。
3 ．存在性抽象。 作为人类思维能动性的一种重要表现形式，有时可以假设一个原先认为不存在的“对象”的存在性，也即引进所谓的“理想元素”，并由此而发展起一定的数学理论。
数学研究对象的抽象性
数学在本质上研究的是抽象的东西，因为只有通过抽象才能得到抽象的东西。对于数学的抽象而言，我们应重点关注数量关系的抽象、空间形式的抽象、论证形式的抽象和模型模式的抽象。
数量与数量关系的抽象
数量的本质是多与少，数来源于对数量本质的抽象，而其过程可以分为计数和符号两个抽象过程。数量关系的抽象一）加法的抽象过程 （二）乘法、减法和除法法则的抽象过程 （三）从算术到代数的抽象过程 ，抽象到符号体系后的结果具有一般性，因而也就具有了广泛的适用性。 数学结构的抽象
在完成数量和数量运算法则的抽象历史过程中，实数理论经过了漫长的完善过程。与此同时又抽象出负数、四元数、八元数以及其运算法则等等，最终发展到数量在整个数学结构意义上的抽象。
（一）代数结构 一般是指一个集合的代数运演体系，即一个集合上规定了一种运算，并且能够使两个元素按照运算得到另外一个元素，这种结构就称之为代数结构。 二）序结构 集合中的某些元素之间有了先后的排序关系，就称为有了序结构。
（三）拓扑结构 邻域、连续、极限、连通性、维数等构成一般拓扑学的研究对象。拓扑结构用来表述连续性、分离性、附近、边界等这些空间位置。拓扑结构是在一个集合 A中分出一族子集作邻域，用邻域去研究极限过程。这种结构可用邻域公理、开集公理欧几里得的《原本》吸收了当时古希腊数学的许多成果，它是当时数学成果的系统整理。《原本》独特的演绎结构表现，被后世称之为公理化方法或公理化模式的典范，这无疑是欧几里得的巨大贡献。欧几里得的《原本》奠定了几何学的公理体系的基本结构，其影响是深远的，给后来的数学甚至物理学等自然科学的确立做出了楷模。 从公理化方法的角度看，《原本》还是一种实质公理学的代表作 2. 非欧几何
对《原本》及公理化方法的研究，尤其是对第五公设的研究，引起了数学家们极大的兴趣。可以说，在欧几里得之后的两千多年时间里，大数学家们几乎都在这个问题上花费了自己不少的心血。在寻求对于这个公设更合理的解释的过程中，往往需要更加一般的抽象，这便是数学的第二步抽象。而这第二步抽象使人们恍然大悟，可以人为地建立起不同的几何体系，而这些几何体系又都是合理的、现实的。 1．欧几里得几何：过直线外一点有且只有一条平行线。 2．罗巴切夫斯基几何（双曲几何）：过直线外一点有无数多条平行线。 3．黎曼几何（椭圆几何）：过直线外一点不存在平行线。 非欧几何的的影响。
第一，在非欧几何建立的过程中，由公设的不可证明使人们认识到，作为公理体系中的独立命题，人们可以采取一个与之相反的公理并发展成为另一个新的公理体系。这种方法是现代数学中的一个重要的方法。
第二，非欧几何的建立，为公理化方法的推广和建立新的理论提供了依据，大大提高了公理化方法在数学中的地位。公理化方法受到了人们的高度重视，许多数学家开始致力于公理化方法的研究。 第三，非欧几何已经不像《原本》那样依赖感性直观的实质性公理系统。非欧几何的建立标志着从实质性公理化方法向形式化公理化方法的过渡。 第四，非欧几何的成功，使人们对数学的认识从直观空间上升到抽象空间，人们开始改变那种“一个公理系统只有一个论域”的观念。非欧几何的成功也开始使人们对一个公理系统有不同的解释，实际上人们已经从公理化方法的过程中看到，数学中存在着一个不与任何具体直观内容相结合的形式化的公理系统。 图形抽象的升华 （一）几何的公理化
无须赋予不定义概念以明确涵义，公理虽然是由经验提升出来的，但它必须脱离直观而看作是任意的，公理在表述事物或对象关系时，可以具有非具体意义的任意性
通常我们把《几何基础》称为形式化公理体系，把构成《几何基础》的公理化方法，称
为形式化公理方法。
公理体系的合理性和公理化方法提出三个基本的要求： (1)协调性要求。 (2)独立性要求。（3）完备性要求。 （二）几何的统一化 F· 克莱因是近代数学史中非常有名的数学家，他的重要贡献之一，就是透过数学结构的方法为众多几何学分支找到一种内在的结构规律。 表面互不相干的几何学被 F·克莱因用变换群联系到一起，同时变换群的任何一个分类也对应几何学的一种分类。 F· 克莱因用群的结构与理论统一几何学的方法，是抽象结构方法的重要成就，是数学第二次抽象威力的具体体现。。 模型模式的抽象
粗略地说，数学模型是针对或参照某种事物系统的特征或数量关系，采用形式化数学实上，义务教育阶段的数学教育是一种公民教育，它给学生带去的绝不仅仅是会解更多
的数学题了。这些学生的未来会遇到不同的挑战——一些人需要学习或研究更多的数学，对他们而言，是否能够“思考数学”非常重要；另一些人（他们是受教育的学生中的绝大多数）就业以后基本上不需要解纯粹的数学题（除了参加数学考试），对他们而言，“思考数学”是一种需要，但更多的或许是能够进行“数学的思考”，即在面临各种问题情境（特别是非数学问题）时，能够从数学的角度去思考问题、能够发现其中所存在的数学现象、并将之抽象为数学问题，运用数学的知识与方法去解决问题。对所有的未来公民来说，抽象思维和形象思维水平，归纳推理与演绎推理能力等都是不可缺少的。 这个教学目标的实现也不能仅仅通过研究“纯粹抽象”的数学现象来进行，而应当在研究多种现象与问题（数学的、非数学的）的过程中逐步完成。具体说来，就是让学生经历运用数学符号和图形描述现实世界的过程，建立初步的数感和符号感，发展数学抽象思语言，概括地或近似地表述出来的一种数学建构。所谓数学建构，是指使用数学概念、数学符号、数学语言等表述出来的被研究对象的纯关系结构。“纯”是指已扬弃了一切与关系无本质联系的属性，只保留与研究目的有关的本质特征。 具体地说，数学模型有广义的解释和狭义的解释。
（一）广义解释 数学模型是从现实世界中抽象出来的，是客观事物的某些属性的一种近似反映。（二）狭义解释 数学模型是将具体属性抽象出来构成一种特定的数学关系结构，只有那些反映特定问题或特定事物系统的数学结构才叫数学模型。 数学模型的抽象过程
具体的抽象过程我们可以总结为如下几个关键步骤：
首先，分析问题的各种关系，全面地掌握了问题中各种因素之间的联系。其次，确定了各关系之间的本质属性。 第三，建立一笔画的数学模型，第四，把数学模型返回到实际问题之中。检验正确，那么这个抽象的数学模型就可以广泛地加以应用。 中小学数学常见数学模型的抽象 (一)经济数学模型的抽象
在人类的生产生活中，有许多实际问题可以用初等数学来解决，对这些具体问题的抽象处理就形成了许多有关这些方面的数学模型。这些问题主要表现在工程进度、人口增长、收入变等方面。这些问题运用的数学工具大多是代数方程、指数函数以及其它相关的函数概念。这一类的数学模型在现实生活中随处可见，中小学的数学教学应以这些为例深入浅出地抽象、构造及运用这些模型。 （二）运动数学模型的抽象
一些事物在运动中表现出速度、加速度、时间、距离之间的关系，这类问题构成了带有运动特征的数学模型。
（三）逻辑程序数学模型的抽象
逻辑推理形式一直是数学运用的最基本的思想方法，从数学模型的抽象角度把它看作是一种数学方法和结构模型还是近代才引起人们重视的。对于初等数学教育而言，我们以前的数学教育只是在学习几何知识时才开始强化逻辑推理方面的教育，这种数学教育也由于对定义、定理的推导而忽视对逻辑程序自身的注意。近年来，由于计算机的迅速普及使得逻辑程序方面（或算法）的教育就显得越来越重要。 结合初中教学实际谈一谈你 对数学抽象的理解。
数学抽象的教学应当直接指向学生在与数学相关问题上的一般思维水平方面的发展。事维。
教学的主要目的在于使学生能够用数学的语言去刻画现实世界，去发现隐藏在具体事物背后的一般性规律。相对于不同学段的学生而言着重点不一样：
对第一学段的学生来说，能够用数和简单的图表刻画一些现实生活中的简单现象，就是目标；对第二学段的学生而言，应当包括既能够用数和简单的图表刻画一些现实生活中的现象，还应当包含对某些数字信息做出合理的解释；对于第三学段的学生来说，除去在较复杂的层面上能够完成前面的任务，重点应当是能够用各种数学关系（方程、不等式、函数等）去刻画具体问题，建立合适的数学模型。 第七章 数学推理
思维模式下对推理的理解 哲学对推理的理解为：推理是从一个或几个判断推出一个新的判断的思维形式。常见的推理有归纳推理，演绎推理和类比推理。
推理模式下对推理的理解 对于数学而言，本质上有两种推理模式，一种是演绎推理，一种是归纳推理。
基本推理是指由一个命题或者几个命题出发，得到另一个命题的思维路径，其中所谓的命题是指一种可以肯定或者否定的语句。
推理的基础 一个数学论证过程是由一系列基本推理构成的，讨论基本推理是分析数学论证过程的基础。基本推理中所涉及的基本概念包括语言、命题和定义，其中，语言是推理的工具，命题是推理的对象，定义是命题的基础。
推理的工具：语言 语句是指：表达一个完整思想的语言单位。如果不涉及论证过程，数学上的语句通常以命题的形式出现。
推理的对象：命题 命题是指：或者可以通过分析，或者可以通过经验证实的语句，也就是说，命题是一种可以进行是非判断的语句。 数学命题的核心是叙述研究对象之间的关系，即把关系概念应用于对象概念。数学推理过程中的命题必须简捷准确，不能引发歧义。
命题的基础：定义 准确的定义对于命题的判断是非常重要的，在这个意义上，定义是命题的基础。
数学定义大概分为两种：一种是名义定义，一种是实质定义。所谓名义定义是对某些事物标明符号，或者是对某类事物指明称谓。所谓实质定义是指揭示所研究问题对象内涵的逻辑方法，通过对许多所要研究问题的对象进行具体分析，归纳出共性、抽象出定义。定义与命题之间的关系：定义的功能是为了明确讨论问题的对象，命题的功能是为了表
述所讨论问题的实质，论证的功能是分析条件和结果之间的关系。 数学推理过程中需要把握三个基本原则，即同一律、矛盾律和排中律。 演绎推理的一般含义
我们初步定义数学中的演绎推理为：按照某些规定了的法则所进行的、前提与结论之间有必然联系的推理 。又因为数学的结论大体上可以分为命题结论和运算结论，那么针对数学的演绎推理而言，大体就可以分成两个部分：命题推理和运算推理。
一演绎推理在数学中有多种形式(如联合推理、选言推理、假言推理等)，但数学中最常用的是直言三段论式的演绎推理。数学中常称之为“三段论”式的演绎推理。 直言三段论——具有传递关系的推理
三段论是一个包括大前提、小前提和结论三个部分的论证形式，这是一个基本推理的模式。 其基本模式为：
对前提的确认，通过逻辑推理带来对结论的确认，每一步推理都是可靠的、无可置疑的，因而这种逻辑推理确认了逻辑上可靠的数学知识，同时也建立了严格的数学体系。实际上，这种数学的逻辑构造只是数学建构后的表现形式，而在形成这种演绎形式之前，数学的理论必有一个探索发现的过程。这个探索发现的过程作为一种思维方式，作为一种数学发现的方法，是非逻辑演绎的，是一种合乎情理的、似真的推理过程，即合情推理。 作为数学中的创造性思维，它面临的是一个前人没有论证过的问题。因此按照合乎情理的方向，按照自己认为可能是正确的方向去进行推理，探索可能得到的结论，探索可能运用的方法，是合情推理发挥作用的地方。对于一个想把数学作为终身事业的学生而言，它必须学会逻辑论证推理。因为这是他未来的工作，也是数学科学思维发展中的一个特征。数学家为了取得成就，也必须学会合情推理，因为这是他创造性工作赖以进行的那种推理。
大前提：一切 M 都是(或不是 )P ， 小前提： S是M，
结 论： S 是(或不是) P 。
数学的推理与证明过程，就是一连串的三段论式推理的有序组合。
直言三段论的本质是命题的可传递性，或者说，命题所对应的集合之间可以形成包含关系。
这样就可以得到结论：对于数学的推理而言，全称肯定、全称否定、特称否定这三种形式的直言三段论是有效的，也是经常被使用的。
用集合的语言对直言三段论表述如下：直言三段论表述的是集合之间的包含关系，这种关系具有传递性。其中关于“包含关系具有传递性”这个命题，应当是人们在长期的日常生活和生产实践中总结出来的公理，人们从远古的时候就会知道：一个人属于家庭，家庭属于族群，那么，这个人属于族群。这个命题的正确性是不需要证明的，并且，“具有传递性”这个命题应当作为人们可能进行逻辑推理的基础。
归纳推理是由已知为真的命题做前提，引出可能真实命题做结论的推理。
归纳推理的前提与结论之间具有必要条件关系。首先，归纳推理的前提必须是真实的、可靠的，否则，归纳也就失去了意义。前提的真实性对于归纳推理来说是必要的。人们根据考察对象涉及的是某类事物的一部分还是全体，又把具有递推关系的归纳推理分为不完全归纳推理和完全归纳推理。
（一）不完全归纳推理 不完全归纳推理是根据某类事物的部分对象具有的(或不具有)某种属性，推出该事物的全体具有(或不具有)这种属性的思维方式。 （二）完全归纳推理
完全归纳推理是从某类事物每个对象都具有(或不具有)某种属性，推出这类事物的全体具有(或不具有)某种属性的思维方法。由于这类方法考察了某类事物的全部对象，所以得出的结论必定是正确。 1．穷举法 穷举法是数学中常用的一种完全归纳法。它是对具有有限个对象的某类事物进行研究时，把所有的对象的属性分别讨论，从肯定它们都具有某一属性得到这类事物都具有这一属性 (全称判断)的归纳推理。 一个比穷举法更一般的方法被称为简单枚举法 。 2．类分法 在考察中需要先对研究的对象按前提中可能存在的情况进行分类，再按类分别证明。 合情推理
结合中学数学教学实际，谈谈 合情推理在数学上的意义
数学是一个逻辑推理构成的体系，在思维进程的意义上它是从一般到特殊的推理论证。作为数学的学习，如果我们要求学生运用自己掌握的数学知识去解决问题，那么作为学生的个体经验，他必然有一个自我形式的合情推理过程，即按照自己认为可能合乎情理、可能正确的方向来试一下，尝试一下自己的方法、想法是否正确。从这种意义上来说，对于数学学习者，对于数学的解题过程而言，合情推理就是一个必须学会运用的思维方式。
合情推理实际上强调了一种思维的主动性、情感性和试错性。所谓主动性是说，合情推理不受数学自身严格演绎推理的束缚，可以向自己认为合乎情理的方向主动思考，尽管这种思考可能与数学本身的要求有差距。所谓情感性是说，合情推理可以按照自己认为似真的方向进行探索。这实际上只是一种探索性的思考，尽管这种思考可能与数学的真正演绎证明有一些差异。所谓试错性是说，合情推理是一个学习、论证的试错过程，正是通过不断的主观积极的试错才使问题得到最终的解决。 数学中合情推理的方式是各式各样的，在这些合情推理中最常用的是类比推理和归纳推理两种。
类比推理是指根据两个不同对象的某些方面相同或相似，推导出或猜出它们在其它方面可能具有相同或相似的思维形式。它是思维进程中由特殊到特殊的推理方式。 波利亚在论及类比合情推理的作用时，认为它可以在三个方面发挥作用：(1)可以提出新问题和获得新发现；(2)可以在求解问题中得到应用；(3)可以用来对猜测进行检验。应当指出的是，类比推理只是一种合情推理，它不能提供严格准确的数学逻辑证明。它获得的结论的正确与否，还必须经过严格的证明。因此类比推理是一种创造性、启发性较强而可靠性较弱的方法。 合情推理中的归纳
合情推理中所说的归纳是归纳推理思维方式中的不完全归纳推理，又称之为经验归纳法或称之为实验归纳法。这是一种从个别到一般，从经验事实或实验事实到理论的一种寻找真理和发现真理的方法。
1．用经验归纳法发现问题的结论 对于数学问题而言，运用经验归纳法可以由一个特殊的事实来猜测可能存在的结论。
2．用经验归纳发现解决数学问题的路径 在经验归纳的合情推理中，可以由一个特殊处理问题的数学公式、数学方法或解题思路中归纳推导出对一般问题的处理公式、方法或思路。
合情推理中，类比推理与归纳推理差异是明显的。归纳推理是从特殊到一般的推理，是一种纵向思维；类比推理则是借助两个系统某些部分的相似性或一致性进行的横向思
维。在实际问题中，两种推理形式互相促进，成为合情推理中相互配合、相互利用的重要的数学发现的方法。而作为合情推理，作出创造性思维有时需要不同思维方式的相互配合。
数学猜想——介于归纳与演绎之间
数学猜想，是指人们根据已知的某些数学知识和某些事实，对数学的某些理论、方法等提出一些猜测性的推断。 1．由归纳提出数学猜想
由某类数学对象中的个别对象具有的属性，进而猜想该类对象全体都具有这种属性，这是不完全归纳的基本思维方法。利用不完全归纳的思维方法提出数学猜想是构成创造性思维的一个重要方面。 2．由类比产生的数学猜想
培养学生的演绎推理能力不仅要注意层次性，而且要关注学生的差异。要使每一个学生都能体会证明的必要性，从而使学习演绎推理成为学生的自觉要求，克服“为了证明而证明”的盲目性；又要注意推理论证“量”的控制，以及要求的有序、适度。 第八章 数学活动经验 基本活动经验是近年来在《全日制义务教育数学课程标准》的修订过程中提出的新观点、新概念，目前已经变成支撑我国初中数学课程的“四基”之一，即基础知识、基本技能、基本活动经验和基本思想。
“经验”的基本含义 在通常意义下，所谓经验，就是按照事实原样而感知到的内容。《全日制义务教育数学课程标准》（修订稿）指出，“义务教育数学课程的目标在于，获得适应社会生活和进一步发展所必需的数学的基础知识、基本技能、基本思想、基本活动经类比是产生数学猜想的一个重要思维方法，许多数学家通过类比获得了一种灵感、一种直觉，进而提出数学猜想。
但是，我们要清楚的知道，一个数学猜想的证明历程并不是容易的事情。 演绎推理与归纳推理的关系 演绎推理的定义：按照某些规定了的法则所进行的、前提与结论之间有必然联系的推理。 归纳推理的定义： 按照某些法则所进行的、前提与结论之间有或然联系的推理。比较可以看到，归纳推理比演绎推理要灵活得多，这是因为：在推理过程中，“法则”是必要的，但不需要事先规定；前提与结果之间的“联系”是必要的，但这种联系是或然的而不是必然的 。正因为归纳推理具有这种灵活性，才可能从事物（事情和实物）的现实出发，对事物的过去或者未来进行推断。虽然通过推断得到的结论不一定是必然的，但却是实用的，因为在日常生活和生产实践中，人们对事情决策所遵循的原则并不要求必然成立，只是希望在大多数情况下成立。 对于数学而言，如果说演绎推理是为了证明的推理，那么归纳推理就是为了推断的推理，把这两种推理模式结合起来，就得到了 数学的推理的全部过程：从条件出发，借助归纳推理“推断”数学结果的可能性，借助演绎推理“验证”数学结果的必然性；或者进行一个相反的推理过程：从结果出发，借助归纳推理“推断”数学条件的可能性，借助演绎推理“验证”数学条件的必要性。 谈谈你 对数学推理教学的理解。
长期以来数学教学注重采用“形式化”的方式，发展学生的演绎推理能力，忽视了合情（归纳）推理能力的培养。数学不仅需要演绎推理，同样、甚至有时更需要合情（归纳）推理。科学结论的发现往往发端于对事物的观察、比较、归纳、类比……，即通过合情（归纳）推理提出猜想，然后再通过演绎推理证明猜想正确或错误。演绎推理和合情（归纳）推理是既不相同又相辅相成的两种推理。
《标准》对推理能力的主要表现作了如下的阐述：“能通过观察、实验、归纳、类比等获得数学猜想，并进一步寻求证据、给出证明或举出反例”。这就是说，学生获得数学结论应当经历 合情（归纳） 推理——演绎推理的过程。 合情（归纳） 推理的实质是“发现”，因而关注归纳推理能力的培养有助于发展学生的创新精神。当然，由 合情（归纳） 推理得到的猜想常常需要证实，这就要通过演绎推理给出证明或举出反例，《标准》中对一些公式、法则、定理的证明，也规定了相应的论证的要求。推理能力的培养，必须充分考虑学生的身心特点和认知水平，注意层次性。即使如此，《标准》在“学段目标”的“数学思考”部分的表述中，三个学段仍然有着一定的层次。
验。”这里的基本活动经验，实际上是指“学生亲自或间接经历了活动过程而获得的经验”。
基本活动经验的含义
是指，围绕特定的数学课程教学目标，学生经历了与数学课程教学内容密切相关的数学活动之后，所留下的、有关数学活动的直接感受、体验和个人感悟。
基本活动经验是经验的一种，由于经验的层次、水平所限，个体之间的数学活动经验有较大差异，即使在同一个活动中，不同的个体所获得的基本活动经验也会有所不同，这往往取决于个体对活动的感知水平与反思能力。 学生的基本活动经验包含三类基本内容： 1 ．一种体验性的内容
这种经验成分更多地表现为，学生在经历了活动之后在自己的情感、意志世界所形成的有关数学学科活动的、稳定的心理倾向。 2 ．一种方法性内容
即学生获得了这种活动经验之后，积累了开展类似活动的一种或几种基本的方法。这种策略既有方法学知识的意味，更有学生对这些策略、方法的自我诠释、自我解读。它属于典型的 个体知识，而不是作为严格的数学学科知识出现的一般知识。
3 ．一种模式性、策略性的内容这种内容与第二类类似，都是在学生获得了这种活动的初步经验之后，经过个人反省而提升出来的、开展类似活动的一种或几种基本模式、基本策略。它仍属于典型的 个体知识。
从哲学上讲，在数学学科教、学中，让学生获得数学的基本活动经验，本质上是让学生获得数学学科直观，这是学生获得数学发展的源泉。无论是作为普适性方法而出现的经验，还是作为模式性、策略性内容出现的经验，都是建立在直接的、感性的经验基础之上，经过个体的自我反省（反思）而形成的，它们带有明显的“再抽象”、再加工痕迹，都是基于个体对活动过程的再现所致。因而，数学学习必须诱发学生主动参与，积极思考，教师的使命和责任在于帮助学生建构其数学理解。 基本活动经验与相关概念的关系
基本活动经验与数学活动、基础知识、基本技能和基本思想的关系
在数学学习中，基本活动经验是对有关数学活动过程的个体反映，是个体针对相关数学活动过程的直接感知及其之上的自我反省的结果。 数学课程教学不仅要教给学生知识，更要帮助学生形成智慧。知识的主要载体是书本，智慧则形成于经验的形成和积累的过程之中，形成于经历的数学活动之中，诸如教师为学生创造的思考的过程、探究的过程、
抽象的过程、预测的过程、推理的过程、反思的过程等。智慧形成于学生应用所学的各类知识，发现问题、提出数学问题并加以分析和解决问题的各种教育教学实践活动之中。因而，数学的基本活动经验直接来源于数学活动之中。 在经历同一个数学活动过程之中，不同的人所获得的基本活动经验往往有所不同，往往存在着个体差异。这些差异，一方面来自于个体的感觉、知觉的水平差异，另一方面，这些差异与个体针对感觉、知觉到的内容的自我反省的水平和深广度密切相关。与其同时，这些差异也与个体参与活动的参与程度有着必然的关联。 基本活动经验与活动过程的关系
基本活动经验是对有关数学活动过程的个体反映，是个体针对相关数学活动过程的直接感知及其之上的自我反省的结果。 经历、体验、经验的区别和联系
们带着自己原有的知识背景、活动经验和理解走进学习活动，并通过自己的自主与主动的活动，包括独立思考，与他人交流和反思等，去建构对数学的理解。 因此，学生数学学习的过程可以说是一种再创造过程，而且是真正意义上的再创造（指主观意义上，非客观意义上）：学生从事对数学知识的提炼和组织 ---通过对低层次活动本身的分析，把低层次的知识变为高一级层次的常识，再经过提炼和组织而形成更高一级的知识，如此循环往复；再把数学放到现实中去加以使用。在这活动过程之中，获得数学活动经验，对数学活动经验的分析与理解，和对获得过程以及活动方式的反思（元认知），至关重要。
（五）有些经验直接派生出智慧、方法、思维模式，特别是，积累学生全面的学科活动经验，有助于全面提高学生的思维水平，更好地培养创新性人才。 基本活动经验的成分与类别
基本活动经验与经历、体验密切相关，而彼此又有一些区别和关联。
人的经历可以分两种，即直接经历与和间接经历，其中，前者是主体亲身见过、做过或遭遇过某事件的过程而获得的经历，后者是主体从他人处听说或从其他媒介得到他人的经历。
而体验是一种感受经历的过程，是通过主体亲身体验事件发生的过程，从而获得经历，让主体在实践中实现自我领域的充实，感受经历的产生，领悟经历产生的意义，并在反思中进行情感的升华，因而，体验必须从直接经历中得到。
体验具有很强的、个体的情感色彩，停留在经历本身的感性的层面。
经历是为了进行体验，而体验不是目的，是为了获得直接的经验和感受，增强对知识、技能的理解，实现主体在情感、态度、价值观上的升华和发展，同时，能够对知识技能的理解和认识予以强化。然而，并不是所有的体验都会抽象提升为经验，若没有对体验抽象提取，也可能只是将情感升华为信念。主体在情感升华过程中，会和其对事件的原有兴趣进行对比，如果情感升华与原有兴趣一致，那么，其信念将会被强化，反之，则会被弱化。也就是说，体验其实也不是万能的。 基本活动经验的教育价值与基本功能 解基本活动经验的基本功能
（一）有些经验的获得可以强化对有关知识、技能的理解，个体的基本活动经验是构建个人理解、形成理解性掌握不可缺少的重要素材 一方面，基本活动经验的获得，时常可以促进、强化有关知识的理解和掌握。 另一方面，基本活动经验是数学活动的派生物，对于那些技能性的学习内容而言，技能性的操作活动本身就可以积淀一些经验，而这些经验往往与相应的技能密不可分。
（二）基本活动经验可以强化动机、情感、态度、价值观，而有些学科的基本活动经验有助于净化心灵、完善人格 基本活动经验的课程教学价值
（一）获得必要的学科活动经验和与学科学习有关的生活经验，是进行科学建构、实现学生在学科上的全面发展的基本前提。
（二）一定数量的基本活动经验，是实现过程与方法目标的基本载体 （三）获得基本活动经验，是“实践与综合”领域的基本目标之一
（四）获得基本活动经验，是情感态度价值观目标实现的必要前提，也有助于知识技能目标的实现
从本质上来说，学生的数学学习过程是一个自主构建自己对数学知识的理解的过程：他我们大体上可以把经验分为感性经验和逻辑经验。感性经验也依赖思考，但更多的是依赖观察；逻辑经验也依赖观察，但更多的是依赖思考。这是关于活动经验的最基本的分类。
基本活动经验的“基本”的含义及其具体表现
这里的“基本”是相对于具体的学科而言的，一般而言，每个学科的基本活动经验都包括基本的操作经验、 本学科特有的思维活动经验、 综合运用本学科内容进行问题解决的经验、 思考的经验等类型。
在义务教育阶段数学课程中，数学的基本活动经验具体表现在，基本的几何操作经验，基本的数学思维活动经验，发现、提出、分析、解决问题的经验，以及思考的经验等若干方面。
基本活动经验的主要类别
数学的基本活动经验，按照数学内部的分类标准，可以划分基本的操作经验、 数学特有的思维活动经验、 综合运用本数学内容进行问题解决的经验、 思考的经验等类型，按照思维科学的分类标准，可以区分为行为操作的经验、思考经验、探索的经验和复合经验。
基本的操作经验是数学学科所特有的活动经验的重要组成部分，其核心内容在于，体现本学科基本思维特征，全面反映数学学科的思维方式和学科属性。
数学学科特有的思维活动经验。每个学科都有其特有的思维活动，这些思维活动集中反映了本学科的学科属性，体现本学科研究的侧重点和研究手法。使学生获得更为丰富的学科思维活动经验，是实现学生在本学科上的全面、可持续发展的关键。在义务教育阶段数学课程中，最具代表性的数学学科思维活动经验，主要包括代数归纳的经验，数据分析、统计推断的经验，以及几何推理的经验。特别地，在当前的初中数学课程教学中，通常有三种推理方式，典型的不完全归纳推理，其结论仍是“猜想”，这种推理常常用来佐证、猜想；借助图形直观的操作（图形运动），有时可以用来进行不严格意义下的证明，在某些条件下也可以用来进行严格的证明，这种推理形式常常用来说理；典型的演绎证明
数学的基本活动经验的复合性具体表现为：
（ 1 ）数学活动经验，专指对具体、形象的事物进行具体操作所 获得的经验，以区别于广义的数学思维所获得的经验。由于数学的研究对象是思想材料，可以完全在抽象的层面上进行。抽象的数学思维的成果，可以为更抽象的思维提供经验，例如，自然数为学习分数提供经验，矩形为平行四边形提供经验。但是，这类数学活动是纯粹的数学思
维活动，属于广义的数学活动，不是我们所要讨论的与具体事物相关的“基本数学活动经验”。
（ 2 ）数学活动经验，是人们的“数学现实”最贴近现实的部分。人们学习数学，逐步形成了个人的数学现实。数学现实象一座金字塔，从与生活现实密切相关的底层开始，一步步抽象，直到上层的数学现实，可以和具体的生活现实找不到原型， 例如，哥德巴赫猜想，已经没有直接的生活原型了。学生学习数学，要把握从生活现实上升为数学现实的完整认识过程，即从感性认识上升为理性认识的全过程，这是抽象数学活动的前提和基础。
（ 3 ）数学活动经验来源于日常生活经验，却高于日常经验。比如，同样是折纸，可以是美学欣赏，可以是技能训练，但也可以是数学操作。作为数学活动的折纸，其目的是学习数学，包括学习轴对称概念，图形的运动，图形的不变特征等等。 没有数学目类比（推理）是人们经常应用的一种推理方法，类比推理是一种由特殊到特殊的推理，即根据两个（或两类）事物的某些相同或相似的性质，判断它们在别的性质上也可能相同或相似。
3 ．思考的经验
主要指在思维操作中开展活动而获得的经验，即，思维操作的经验。不借助任何直观材料而在头脑中进行归纳、类比、证明等思维活动而获得的经验。它既可以是直接经验，也可以是间接经验。 基本活动经验的类别 （一）（行为）操作的经验
这里的操作主要是指行为的操作，而不是指思维的操作。这种操作是进行抽象的直接素材，一般是直接经验。这种操作的直接价值取向不是问题的解决，而是获得第一手的直标的活动，不是数学活动。
正是由于数学的基本活动经验的复合性， 才使得人们对于基本活动经验的生疏，其实，在初中数学课程教学中，这种复合性几乎是处处存在的 1 ．代数归纳的经验
2. 数据分析、统计推断的经验
数据分析、统计推断的过程，获得相应的直接经验，进而发展其数据分析观念，是统计与概率学习的核心目标，对于学生获得数学上的全面发展，具有其他数学内容所不能替代的作用。
3. 几何推理的经验
几何推理是几何课程内容的核心内容之一，学生是否获得了几何推理的活动经验，对于掌握几何推理的技能、形成推理能力，具有十分重要的促进作用。 这里的推理包含两部分，一是归纳推理，一个是演绎推理。
演绎推理又称三段论推理，是由两个前提和一个结论组成，所谓归纳推理，就是从个别性知识推出一般性结论的推理。一般地，根据前提所考察对象范围的不同，把归纳推理分为完全归纳推理和不完全归纳推理。完全归纳推理考察了某类事物的全部对象，不完全归纳推理则仅仅考察了某类事物的部分对象。更进一步，还可以根据前提是否揭示对象与其属性间的因果联系，把不完全归纳推理分为简单枚举归纳推理和科学归纳推理。归纳推理的前提是其结论的必要条件：首先，归纳推理的前提必须是真实的，否则，归纳就失去了意义。其次，归纳推理的前提是真实的，但结论却未必真实，而可能为假。 综合运用数学学科内容进行数学问题解决的经验、思考的经验
这部分内容主要包含两层含义：一方面，综合运用数学学科内容发现问题、提出学科问题，并加以分析和解决的经验。这是问题解决在本学科中的综合体现；二是作为各个学科所共有的思维方法层面的经验，诸如类比的经验、思考的经验。 1 ．发现问题、提出问题、分析问题、解决问题的直接经验
发现问题、提出问题，比分析问题、解决问题更重要，难度也更高。这种发现对教师可能是微不足道的，但是对于学生却是难得的，因为这是一种自我超越，可以获得成功的体验和必要的经验。学生可以在这个发现的过程中领悟很多东西，可以逐渐积累创新和创造的经验。更重要的是，可以培养学生学习的兴趣，树立进步的信心，激发创造的激情。可以激发学生的智慧，调动学生的身心进入活动状态。逐渐形成创新意识、创新精神和创新能力。 2 ．类比的经验
接感受、体验和经验，亦即，在实际的外显操作活动中来自感官、知觉的经验。 （二）思考的经验在思维操作中开展活动而获得的经验，即，思维操作的经验，
（三）探究的经验这里的“探究”指的是，立足已有的问题，围绕问题的解决而开展的活动，这里的活动既有外显行为的操作活动，也有思维层面的操作活动，但是，无论如何，这种操作活动并没有完全脱离行为操作，而是 融行为操作与思维操作于一体。同时，这种探究的直接价值取向是问题解决，而不仅仅为了获取第一手的直接感受、体验和经验，但是，探索所获得的经验一般是直接经验。
（四）复合的经验指兼有上面所述的（行为）操作的经验、思考的经验、探究的经验等三种类型中的两种以上的经验。
基本活动经验在课程教材中的地位和作用
（一）使学生获取基本活动经验是问题驱动式教材呈现方式的基本目的之一
作为义务教育课程标准实验教科书的基本结构之一，“问题情境→建立模型→解释应用→拓展反思”成为问题驱动式教材呈现方式的具体表现形式。其中的问题情境乃至整个活动设计，旨在促进学生在独立思考、自主探索的过程之中真正理解和掌握相应的知识、技能、思想，同时获得广泛的基本活动经验。
（二）基本活动经验是学生获得学科理解的催化剂和粘合剂
基本活动经验作为学生亲自或间接经历了活动过程而获得的经验，它是学生获得学科理解的重要载体，起到催化剂和粘合剂的作用。例如， （三）基本活动经验是过程性目标的内容之一
作为新课程的“知识与技能、过程与方法、情感态度价值观”三维目标之一，“过程与方法”一直未能得到很好的落实，其中的一个重要原因在于，与知识与技能目标相比，这个目标没有“抓手”，不便于课程实施中的实际把握。
事实上，过程与方法目标实际上体现了课程对于学生学科素养、学科能力的要求，而这些要求完全可以通过积累基本活动经验来完成。
结合初中数学的不同领域的内容特点，分别培养学生的基本活动经验
积累学生的数学活动经验，需要教师精心设计，不仅需要深刻体会课程标准的有关规定要求，而且需要细心揣摩教科书的编写意图，在深刻了解学生原有的生活经验和数学活动经验的基础上，进行恰当的课堂教学设计。