课 题：小结与复习（一）
教学目的：
1
通过小结与复习，使同学们完整准确地理解和掌握三种曲线的特点以及它们之间的区别与联系
2通过本节教学使学生较全面地掌握本章所教的各种方法与技巧，尤其是解析几何的基本方法——坐标法；并在教学中进一步培养他们形与数结合的思想、化归的数学思想以及“应用数学”的意识
3结合教学内容对学生进行运动变化和对立统一的观点的教育
教学重点：三种曲线的标准方程和图形、性质
教学难点：做好思路分析，引导学生找到解题的落足点
授课类型：新授课
课时安排：1课时
教 具：多媒体、实物投影仪
内容分析：
在学完椭圆、双曲线、抛物线知识之后进行必要的小结与复习，可以梳理知识要点，使学生从圆锥曲线这个整体高度来全面认识三种曲线；同时也可以对前面所学的各种解析几何的基本方法进行归纳整理 所以本节在全章教学中起着复习、巩固和提高的作用
椭圆、双曲线、抛物线同属于圆锥曲线，它们的定义、标准方程及其推导过程以及简单的几何性质都存在着巨大的相似之处，也有着一定的区别 而前面只是它节逐个学完了三种曲线，还缺少对它们归类比较，为了提高水平，使同学们能够完整准确地理解和掌握三种曲线的特点以及它们之间的区别与联系
本章介绍使用了较多的思想方法，其中的重点是数形结合的思想，转化与化归思想，坐标法等，这些都是培养学生解决解析几何问题的基本技能和能力的基础 解析几何是最终能体现运动与变化、对立与统一的思想观点的内容之一 点与坐标、方程与曲线之间的转化与化归给我们提供了良好的思想教育素材，我们应该给予充分的利用，达到应有的教学效果
本小结与复习可分为二个课时进行教学 第一课时主要讲解课本上内容，即：一、内容提要；二、学习要求和需要注意的问题 第二课时则针对本章的训练重点，讲解例题，进行巩固和提高
教学过程：从定义出发，以“曲线的方程和方程的曲线”为准绳，适量的平几知识为辅助，以参数的选择为根本，大量的计算为熟练手段。结合函数以及不等式为必要的提高。不求难，但求熟。切忌变态的纯平面几何解答解析几何。
一、复习引入：
抛物线：
二、章节知识点回顾：
椭圆、双曲线、抛物线分别是满足某些条件的点的轨迹，由这些条件可以求出它们的标准方程，并通过分析标准方程研究这三种曲线的几何性质
1．椭圆定义：在平面内，到两定点距离之和等于定长（定长大于两定点间的距离）的动点的轨迹
2．椭圆的标准方程：
，
（
）
3．椭圆的性质：由椭圆方程()
(1)范围: 
,
，椭圆落在
组成的矩形中．
(2)对称性:图象关于
轴对称．图象关于
轴对称．图象关于原点对称原点叫椭圆的对称中心，简称中心．轴、轴叫椭圆的对称轴．从椭圆的方程中直接可以看出它的范围，对称的截距
（3）顶点：椭圆和对称轴的交点叫做椭圆的顶点
椭圆共有四个顶点： 
，
加两焦点
共有六个特殊点
叫椭圆的长轴，
叫椭圆的短轴．长分别为
分别为椭圆的长半轴长和短半轴长椭圆的顶点即为椭圆与对称轴的交点
(4)离心率: 椭圆焦距与长轴长之比
椭圆形状与
的关系：
，椭圆变圆，直至成为极限位置圆，此时也可认为圆为椭圆在
时的特例
椭圆变扁，直至成为极限位置线段
，此时也可认为圆为椭圆在
时的特例
4椭圆的第二定义:一动点到定点的距离和它到一条定直线的距离的比是一个
内常数，那么这个点的轨迹叫做椭圆 其中定点叫做焦点，定直线叫做准线，常数就是离心率
椭圆的第二定义与第一定义是等价的，它是椭圆两种不同的定义方式
5．椭圆的准线方程
对于，左准线
；右准线
对于，下准线
；上准线
焦点到准线的距离
（焦参数）
椭圆的准线方程有两条，这两条准线在椭圆外部，与短轴平行，且关于短轴对称
6．椭圆的焦半径公式：（左焦半径）
,（右焦半径）
,其中是离心率 焦点在y轴上的椭圆的焦半径公式： 
（ 其中
分别是椭圆的下上焦点）
焦半径公式的两种形式的区别只和焦点的左右有关，而与点在左在右无关 可以记为：左加右减，上减下加
7椭圆的参数方程
8．双曲线的定义：平面内到两定点
的距离的差的绝对值为常数（小于
）的动点的轨迹叫双曲线 即
这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做焦距
在同样的差下，两定点间距离较长，则所画出的双曲线的开口较开阔（
两条平行线） 两定点间距离较短（大于定差），则所画出的双曲线的开口较狭窄（两条射线） 双曲线的形状与两定点间距离、定差有关
9．双曲线的标准方程及特点：
（1）双曲线的标准方程有焦点在x轴上和焦点y轴上两种：
焦点在轴上时双曲线的标准方程为：
(
,
)；
焦点在轴上时双曲线的标准方程为：
(,)
(2)
有关系式
成立，且
其中a与b的大小关系:可以为
10焦点的位置:从椭圆的标准方程不难看出椭圆的焦点位置可由方程中含字母
、
项的分母的大小来确定，分母大的项对应的字母所在的轴就是焦点所在的轴 而双曲线是根据项的正负来判断焦点所在的位置，即项的系数是正的，那么焦点在轴上；项的系数是正的，那么焦点在轴上
11．双曲线的几何性质：
（1）范围、对称性
由标准方程
，从横的方向来看，直线x=-a,x=a之间没有图象，从纵的方向来看，随着x的增大，y的绝对值也无限增大，所以曲线在纵方向上可无限伸展，不像椭圆那样是封闭曲线 双曲线不封闭，但仍称其对称中心为双曲线的中心
（2）顶点
顶点：
，特殊点：
实轴：
长为2a, a叫做半实轴长 虚轴：
长为2b，b叫做虚半轴长
双曲线只有两个顶点，而椭圆则有四个顶点，这是两者的又一差异
（3）渐近线
过双曲线
的渐近线
（
）
（4）离心率
双曲线的焦距与实轴长的比
，叫做双曲线的离心率 范围：
双曲线形状与e的关系：
，e越大，即渐近线的斜率的绝对值就大，这是双曲线的形状就从扁狭逐渐变得开阔 由此可知，双曲线的离心率越大，它的开口就越阔
12．等轴双曲线
定义：实轴和虚轴等长的双曲线叫做等轴双曲线，这样的双曲线叫做等轴双曲线 等轴双曲线的性质：（1）渐近线方程为：
；（2）渐近线互相垂直；（3）离心率
13．共渐近线的双曲线系
如果已知一双曲线的渐近线方程为
，那么此双曲线方程就一定是：
或写成
14．共轭双曲线
以已知双曲线的实轴为虚轴，虚轴为实轴，这样得到的双曲线称为原双曲线的共轭双曲线 区别：三量a,b,c中a,b不同（互换）c相同 共用一对渐近线 双曲线和它的共轭双曲线的焦点在同一圆上 确定双曲线的共轭双曲线的方法：将1变为-1
15． 双曲线的第二定义：到定点F的距离与到定直线
的距离之比为常数
的点的轨迹是双曲线 其中，定点叫做双曲线的焦点，定直线叫做双曲线的准线 常数e是双曲线的离心率．
16．双曲线的准线方程：
对于来说，相对于左焦点
对应着左准线，相对于右焦点
对应着右准线；
焦点到准线的距离
（也叫焦参数）
对于来说，相对于上焦点
对应着上准线；相对于下焦点
对应着下准线
17双曲线的焦半径
定义：双曲线上任意一点M与双曲线焦点
的连线段，叫做双曲线的焦半径
焦点在x轴上的双曲线的焦半径公式：
焦点在y轴上的双曲线的焦半径公式：
（ 其中分别是双曲线的下上焦点）
18．双曲线的焦点弦：
定义：过焦点的直线割双曲线所成的相交弦
焦点弦公式：
当双曲线焦点在x轴上时，
过左焦点与左支交于两点时： 
过右焦点与右支交于两点时：
当双曲线焦点在y轴上时，
过左焦点与左支交于两点时：
过右焦点与右支交于两点时：
19．双曲线的通径：
定义：过焦点且垂直于对称轴的相交弦 
20 抛物线定义：
平面内与一个定点F和一条定直线的距离相等的点的轨迹叫做抛物线 定点F叫做抛物线的焦点，定直线叫做抛物线的准线
21．抛物线的准线方程：
(1)
, 焦点:
，准线：
(2)
, 焦点:
，准线：
(3)
, 焦点:
，准线：
(4) 
, 焦点:
，准线：
相同点：(1)抛物线都过原点；(2)对称轴为坐标轴；(3)准线都与对称轴垂直，垂足与焦点在对称轴上关于原点对称 它们到原点的距离都等于一次项系数绝对值的
，即
不同点：(1)图形关于X轴对称时，X为一次项，Y为二次项，方程右端为
、左端为
；图形关于Y轴对称时，X为二次项，Y为一次项，方程右端为
，左端为 （2）开口方向在X轴（或Y轴）正向时，焦点在X轴（或Y轴）的正半轴上，方程右端取正号；开口在X轴（或Y轴）负向时，焦点在X轴（或Y轴）负半轴时，方程右端取负号
22．抛物线的几何性质
（1）范围
因为p＞0，由方程
可知，这条抛物线上的点M的坐标(x，y)满足不等式x≥0，所以这条抛物线在y轴的右侧；当x的值增大时，|y|也增大，这说明抛物线向右上方和右下方无限延伸．
（2）对称性
以－y代y，方程不变，所以这条抛物线关于x轴对称，我们把抛物线的对称轴叫做抛物线的轴．
（3）顶点
抛物线和它的轴的交点叫做抛物线的顶点．在方程中，当y=0时，x=0，因此抛物线的顶点就是坐标原点．
（4）离心率
抛物线上的点M与焦点的距离和它到准线的距离的比，叫做抛物线的离心率，用e表示．由抛物线的定义可知，e=1．
23抛物线的焦半径公式：
抛物线
，
抛物线
，
抛物线，
抛物线，
24．直线与抛物线：
（1）位置关系：
相交（两个公共点或一个公共点）；相离（无公共点）；相切（一个公共点）
将
代入
，消去y，得到
关于x的二次方程
（*）
若
，相交；
，相切；
，相离
综上，得：
联立
，得关于x的方程
当
（二次项系数为零），唯一一个公共点（交点）
当
，则
若，两个公共点（交点）
，一个公共点（切点）
，无公共点 （相离）
（2）相交弦长：
弦长公式：
，
（3）焦点弦公式：
抛物线， 
抛物线， 
抛物线， 
抛物线，
（4）通径：
定义：过焦点且垂直于对称轴的相交弦 通径：
（5）若已知过焦点的直线倾斜角
则
（6）常用结论：
和
和
25．抛物线的参数方程：
（t为参数）
三、典例分析
1．若抛物线
的焦点与椭圆
的上焦点重合，则m的值为（ ）
A．-8 B． 8 C．
D． 
2.若动点M(x,y)到点F(4,0)的距离等于它到直线x+4=0距离，则M点的轨迹是 （ ）
A.x+4=0 B.x-4=0 C. 
D.
3.椭圆
上的一点M到左焦点
的距离为2，N是M的中点，则|ON|等于( )
A. 4 B. 2 C. 
D. 8
4．双曲线
的虚轴长是实轴长的2倍，则
( )
A．
B．
C．
D．
5.直线l过点
且与双曲线
仅有一个公共点，这样的直线有（ ）
A.1 条 B.2条 C.3条 D.4条
6 已知定点A、B, 且|AB|=4, 动点P满足|PA|-|PB|=3,则|PA|的最小值是( )
A.
B. C. 
D.5
7．双曲线
的离心率
，则k的取值范围为
A．
B。
C。
D。
9．已知斜率为1的直线过椭圆的
右焦点交椭圆于A，B两点，求弦AB的长
____________________________
10．求与双曲线
有公共渐近线且焦距为8的双曲线方程__________________
11、在抛物线y2=16x内，通过点(2，1)且在此点被平分的弦所在直线的方程是_________.
12、圆
与抛物线
的准线相切，则
8、如果以原点为圆心的圆经过双曲线
的焦点，并且被该双曲线的右准线分为弧长为2:1的两段圆弧，那么该双曲线的离心率为（ ）
A．
B．
C．
D． 
9、已知点P是抛物线
上一点，设P到此抛物线的准线的距离为
，到直线
的距离为
，则
的最小值为（ ）
A．5 B．4 C．
D．
第二篇：高中数学知识点总结 第八章圆锥曲线方程
高中数学第八章-圆锥曲线方程
考试内容：
椭圆及其标准方程．椭圆的简单几何性质．椭圆的参数方程．
双曲线及其标准方程．双曲线的简单几何性质．
抛物线及其标准方程．抛物线的简单几何性质．
考试要求：
（1）掌握椭圆的定义、标准方程和椭圆的简单几何性质，了解椭圆的参数方程．
（2）掌握双曲线的定义、标准方程和双曲线的简单几何性质．
（3）掌握抛物线的定义、标准方程和抛物线的简单几何性质．
（4）了解圆锥曲线的初步应用．
§08. 圆锥曲线方程 知识要点
一、椭圆方程.
1. 椭圆方程的第一定义：
PF1?PF2?2a?F1F2方程为椭圆,
PF1?PF2?2a?F1F2无轨迹,
PF1?PF2?2a?F1F2F1,F2为端点的线段
⑴①椭圆的标准方程：
i. 中心在原点，焦点在x轴上：
y2
a2x2a2?y2b2?1(a?b?0). ii. 中心在原点，焦点在y轴上：?x2
b2?1(a?b?0).
2②一般方程：Ax?By?1(A?0,B?0).③椭圆的标准参数方程：2x2
a2?y2
b2?1的参数方程为
?x?acos??（一象限?应是属于0???）. ?2?y?bsin?
⑵①顶点：(?a,0)(0,?b)或(0,?a)(?b,0).②轴：对称轴：x轴，y轴；长轴长2a，短轴长2b.③焦点：(?c,0)(c,0)或(0,?c)(0,c).④焦距：F1F2?2c,c?a?b
a2cy??.⑥离心率：e?(0?e?1).⑦焦点半径： ca22a2.⑤准线：x??或c
i. 设P(x0,y0)为椭圆x2
a2?y2
b2PF1?a?1(a?b?0)上的一点，F1,F2 ?ex0,PF2?a?ex0?
由椭圆方程的第二定义可以推出.
ii.设P(x0,y0)为椭圆x2
b2?y2
a2PF1??1(a?b?0)上的一点，F1,F2 a?ey0,PF2?a?ey0?
由椭圆方程的第二定义可以推出. 由椭圆第二定义可知：pF1?e(x0?a)?a?ex0(x0?0),pF2?e(a?x0)?ex0?a(x0?0)归结起来为cc22
“左加右减”.
注意：椭圆参数方程的推导：得N(acos?,bsin?)?方程的轨迹为椭圆. ⑧通径：垂直于x轴且过焦点的弦叫做通经.坐标：d?2b2
a2b2b2(?c,)和(c,) aa
⑶共离心率的椭圆系的方程：椭圆程
x2a2
?y2b2
x2a2
?
y2b2
?1(a?b?0)的离心率是e?
c
(c?a2?b2)，方a
?t(t是大于0的参数，a?b?0)的离心率也是e?
c
我们称此方程为共离心率的a
椭圆系方程. ⑸若P是椭圆：b2tan
x2a2
?y2b2
?1上的点.F1,F2为焦点，若?F1PF2??，则?PF1F2的面积为
?2
（用余弦定理与PF1?PF2?2a可得）. 若是双曲线，则面积为b2?cot
?2
.
二、双曲线方程.
1. 双曲线的第一定义：
PF1?PF2?2a?F1F2方程为双曲线PF1?PF2?2a?F1F2无轨迹
?),asin?)
PF1?PF2?2a?F1F2F1,F2的一个端点的一条射线
⑴①双曲线标准方程：Ax2?Cy2?1(AC?0).
x2a
2
?
y2b
2
?1(a,b?0),
y2a
2
?
x2b
2
?1(a,b?0). 一般方程：
⑵①i. 焦点在x轴上：
a2xy
顶点：(a,0),(?a,0) 焦点：(c,0),(?c,0) 准线方程x?? 渐近线方程：??0或
cab
x2a
2
?
y2b
2
?0
a2
ii. 焦点在y轴上：顶点：(0,?a),(0,a). 焦点：(0,c),(0,?c). 准线方程：y??. 渐近线
c
?x?asec??x?btan?y2x2yx
方程：??0或2?2?0，参数方程：?或? .
abab?y?btan??y?asec?
2a2c
②轴x,y为对称轴，实轴长为2a, 虚轴长为2b，焦距2c. ③离心率e?. ④准线距
ca2b2c
（两准线的距离）；通径. ⑤参数关系c2?a2?b2,e?. ⑥焦点半径公式：对于双曲
aa
线方程
x2a2
?
y2b2
?1（F1,F2分别为双曲线的左、右焦点或分别为双曲线的上下焦点）
“长加短减”原则： MF1?ex0?aMF2?ex0?a
构成满足MF1?MF2?2a
M?F1??ex0?aM?F2??ex0?a
（与椭圆焦半径不同，椭圆焦半
MF1?ey0?a
MF2?ey0?a
?M?F1??ey0?a
?M?F2??ey0?a
⑶等轴双曲线：双曲线x2?y2??a2称为等轴双曲线，其渐近线方程为y??x，离心率e?2. ⑷共轭双曲线：以已知双曲线的虚轴为实轴，实轴为虚轴的双曲线，叫做已知双曲线的共轭
x2y2x2y2x2y2
双曲线.2?2??与2?2???互为共轭双曲线，它们具有共同的渐近线：2?2?0. ababab
⑸共渐近线的双曲线系方程：x2
a2?y2
b2??(??0)的渐近线方程为x2
a2?
y2
2?0如果双曲线的
x2y2xy渐近线为??0时，它的双曲线方程可设为2?2??(??0). abab例如：若双曲线一条渐近线为y?
211x且过p(3,?)2222解：令双曲线的方程为：yx1x??1?y2??(??0)，代入(3,?)得8224
⑹直线与双曲线的位置关系：
区域①：无切线，2条与渐近线平行的直线，合计2条；
区域②：即定点在双曲线上，1条切线，2条与渐近线平行的直线，合计3条；
区域③：2条切线，2条与渐近线平行的直线，合计4条；
区域④：即定点在渐近线上且非原点，1条切线，1条与渐近线平行的直线，合计2条； 区域⑤：即过原点，无切线，无与渐近线平行的直线.
小结：过定点作直线与双曲线有且仅有一个交点，可以作出的直线数目可能有0、2、3、4条.
（2）若直线与双曲线一支有交点，交点为二个时，求确定直线的斜率可用代入法与渐“?”近线求交和两根之和与两根之积同号.
⑺若P在双曲线
离比为m︰n.
PF1x2a2?y2b2?1，则常用结论1：P到焦点的距离为m = n，则P到两准线的距
简证：d1m?e = . d2PF2n
e
常用结论2：从双曲线一个焦点到另一条渐近线的距离等于b.
三、抛物线方程.
3. 设p?0，抛物线的标准方程、类型及其几何性质：
2
4ac?b2b
?). 注：①ay?by?c?x顶点(
4a2a
②y2?2px(p?0)则焦点半径PF?x?P;x2?2py(p?0)则焦点半径为PF?y?P.
2
2
③通径为2p，这是过焦点的所有弦中最短的.
?x?2pt2?x?2pt
④y?2px（或x?2py）的参数方程为?（或?）（t为参数）. 2
y?2pty?2pt??
2
2
四、圆锥曲线的统一定义..
4. 圆锥曲线的统一定义：平面内到定点F和定直线l的距离之比为常数e的点的轨迹. 当0?e?1时，轨迹为椭圆； 当e?1时，轨迹为抛物线； 当e?1时，轨迹为双曲线；
c
当e?0时，轨迹为圆（e?，当c?0,a?b时）.
a5. 圆锥曲线方程具有对称性. 例如：椭圆的标准方程对原点的一条直线与双曲线的交点是关于原点对称的.
因为具有对称性，所以欲证AB=CD, 即证AD与BC的中点重合即可.
1. 椭圆、双曲线、抛物线的标准方程的其他形式及相应性质. 2. 等轴双曲线 3. 共轭双曲线
5. 方程y2=ax与x2=ay的焦点坐标及准线方程. 6.共渐近线的双曲线系方程.