我所理解的量子力学(上)
黑体辐射的渡口曲线连绵
普朗克先生量子灵光一现
量子力学跨越一百零三年
薛定谔方程一眼望不到边
德布罗意波谱写光辉顶点
対易，表象，守恒，自旋是谁的发现
喜欢在光谱中你只属于我的那一条线
记忆里走过波尔研究院
我以大师之名许愿
思念像海森堡矩阵般蔓延
我给你的爱，是轨道加自旋渗透到每个原子里面
当波函数只剩下测不准的语言
几率就成了永恒不朽的诗篇
玻粒二象似你忽闪忽闪的眼
想要把我衍射到你的心里面
用狄拉克符号，写下永远
隔一个世纪再一次发现泡利不相容原理依然清晰可见
那微扰下的经典
不会再重演，我感到
很疲倦，能量低得好可怜
害怕再也不能回到你身边
量子力学，它曾经闪耀在无数伟大的头脑里，曾经的一朵“乌云”而今已绽放繁花，作为我们这个时代物理最耀眼的荣光，冷峻地看待着人世一切，恰如三体里所描绘的那个奇妙的智子。探索仍在继续。
我们觉得它太过古怪，就像是你要去理解一个疑似精神病患者所思所想的。然而走到洞穴外面的人发现了它，而将它的部分实质陈列在我们面前。反正它就是这么解释世界的，而且这一套物理语言几乎完美地融合了前人的思考，并能够解释那些棘手的问题，向我们展示冰山一角下的世界。它颠覆了我们那点可怜兮兮的认知，这不能不让我们有些恼怒，怅惘，不愿意理它，但是若情感也能量子化，你就拿他一点辙儿都没有了。它就在那里，等着你我去拥抱它，你甚至能听到上帝在说：孩子，接受这来自人类文明的歆享吧！
量子力学中最难理解的当属波函数与不确定性。我在学时，一直就在想，一般意义上的波函数可以表示振动幅度的大小变化，就是振动的位移与空间点的位置、时间的关系式，但是这个量子力学里的波函数竟然“胆大包天’’，不对应任何实际的物理量，却又包含了系统处于该系统时的所有物理信息。这简直就是强词夺理嘛。然而通过课本极不负责地描述，我们隐约了解到，对自由粒子，我们先找出一个最简单的机械波函数，把它化成复数表示形式，然后统统把字母给换掉，最后利用德布罗意波长公式、爱因斯坦光子能量公式，分别替换频率和波长，就得到自由粒子的波函数了。这个过程的推导，是基于单个粒子所蕴含的波性，用单色平面波来加以类比，或者说是刻画；同时利用了等价代换来为函数引入确定的能量和动量值。这里好不容易才有的能量为确定值的粒子状态，称为定态，而对应束缚态下能量只能取得分立值，则称为能量的本征态，当动量的平均值为确定的值时，就意味着是本征态。
这里我们见识到了能量值所决定的定态波函数，后面我们将会接触到定态下四个量子数所对应的定态波函数。
那么我们理解波函数就是，它的系数、参量中包含了能量、动量等这些力学量的值，是粒子运动波性的描述，唯一对应粒子的状态；由统计物理知，不管是衍射还是干涉中，光强大的地方意味着粒子出现的概率大，光强用振幅平方来描写，那么波函数的模平方来求算就得到粒子出现的概率大小，系数归一化后就得到某地点某时间粒子出现的概率；同时波函数像机械波一样可以叠加，波函数的线性叠加即粒子状态的叠加，新的波函数刻画叠加后粒子的状态，从而有新的概率分布，叠加意味着会同时处于不同的态中；本征态下的波函数类似于向量空间中的基矢，是互相“垂直”的，即相互独立，具有定态，同时又可以组合成任何状态下粒子的波函数；求解薛定谔方程可以得到波函数。
下面则要从两个方面来为上面这段话作补充说明。首先我一直在强调，波函数是粒子波性的描述，那么粒子的波性到底是什么呢。这是一个由实验逼出来的解释，或许就是微观乃至宏观对象运动的本质属性，就跟质量一样。光的衍射和干涉实验无可争辩地告诉我们，光是一种波，它会如同惠更斯描述的那样，不断形成子波源，以波面形式推进，然后叠加，有的地方增强，有的地方减弱；但是康普顿的散射又告诉我们光是粒子，而且光电效应早就吵嚷着波不是他的代言人。物里学家无数次的在这里卡壳，你会发现有好多人试图去弥合这种割裂，或者去反驳其中一者。我们的想象是，光子会在挤过小孔后调皮地一跃，到达任何你难以想象的地方，而最终他们会师时竟然奇迹般列出了队形，哪队多，哪队少，混乱的过程结果是满足波叠加的分布。
然而实际上，这个时候，我们所研究的微观对象，竟然可以在相同的条件下“满世界乱跑”，在这里，也在那里，它飘忽不定，位置未知到只能用概率来描述，最终被我们的探测器接收到时，才终于安定下来。这个时候，我们最顽固的想法是，这个微观对象（即单个光子），从通过小孔到探测器接收，是一个实实在在发生的过程吧，那么从入口到探测器，它总经过了一个轨迹吧，但是事实是它没有“轨迹”，如果你想用轨迹来想象它，就已经落入了经典物理的陷阱，因为粒子的空间位置是不确定的，你找不到一系列连续时间下确定而连续的空间点位置来“描出”你理想的轨迹。换句话说，你想要一步步地倒推出它前一时刻的位置，于是把探测器向前移，结果发现接到的光子落点完全无序（实际上分布可以用概率刻画）。那么，光子从入口运动到探测器这一段过程中的位置是未知的，粒子同时存在于波面上的任意位置，这使我们联想起历史上那只著名的猫，这猫不像东九的数理方程大神猫一样悠闲幸运，反倒是被关在一个充满毒药或者放射线的不透明盒子里，随时会挂掉，但是你不打开盒子你就不知道是死是活，还是半死不活，只有当你打开盒子时才知道，所以你没有打开（测量）时，猫就是处在“死”与“活”两种状态中，又死又活。这样一种说法与粒子同时处在不同地方，或者单光子实验中，光子同时通过了两条路径一样。但是它的不确定，却又有着概率上的确定性。所以，你能确定的只是粒子在某处出现的概率，但是却无法说出它任一时刻的位置。光子是以这种类似于波面推进的方式同时出现在某一些区域，然后被探测器探测到。
第二个问题，就是薛定谔方程既然可以求波函数，那么它是怎么来的。书中的思路是，对前面得到的自由粒子运动的波函数求导，x求二阶，对t求一阶，然后利用E与P的关系来将二阶偏导与一阶偏导组合到等式里面去，便得到偏微分方程，然后再推广到有定场乃至有变场的情况。可惜的是，这不是理论的推导，多少让人有些失望。物理学史中说薛定谔在 第一篇论文中引入波函数ψ的概念，利用变分原理，得到不含时间的氢原子波动方程，然后直接求解就能得到量子化条件，而不是依靠假设。但是这个东西是怎么想到的，我还真没找到资料。不过，应该是德布罗意的物质波理论对他产生了较大影响。薛定谔有一段话倒是很激动人心，有着哲学思辨的味道：通常的量子化法则可以用另一个假设来代替了，在这个假
设中，不引入任何一个关于‘整数’的概念，而整数性倒会象振动的弦的波节数是整数一样很自然地得出来。这种新的理解是可以普遍化的，而且象我认为的那样，是很深地渊源于量子法则的真正本质之中的。
在薛定谔方程中，算符是一种很神奇的东西。以前在学微积分多元函数求极值时，接触到各种算子，然而算符这与之完全不同。数学上算符对应着求几阶偏导，对波函数进行数学处理，而在物理上经典力学中的所有物理量都有量子力学中的某个算符与之对应，这个物理量所能取的数值就是该算符的本征值。例如著名的哈密顿算符就代表能量。算符就像一个数学大使，沟通着经典力学量与量子理论的关系。量子力学中一般是力学算符作用在本征波函数上，算符的本征值*本征波函数。需要再次指出的是：本征值是该力学量的宏观可能值，一般波函数是数个本征态的叠加，不同本征态对应特定的本征值（当然有可能存在简并情况，即同一本征值对应于不同 本征态），实验对该力学量的测量一定是本征值中的一个，测量时会发生塌缩，波函数在测量时变成该本征值对应的本征态。 本征值是该力学量的宏观可能值"，就是宏观上测量该力学量的结果,就是微观上通过计算该力学量本征方程得到的本征值中的一个。
接着来说不确定性的问题。仍然是从实验的角度去把这种本质给逼出来。设想，电子在通过狭缝d时，你并不知道粒子从哪一点过去了，所以位置有不确定度，那么电子并不是落到某一固定的点，可在中间，也可能会与中间有个距离，这里就说明了它运动不确定，用经典的一套来解释，就是速度的方向大小不定，自然动量p就不确定，有不确定度；而且，衍射实验告诉我们，缝越窄，中间明纹宽度就会越宽，就意味着动量的不确定度更大，此消彼长，你大我小，总像个死对头一样的。而如果缝无限小到仅能允许恰好一个光子通过，那么，就得到一个点光源的理想模型，各个方向都可能接收到光子，衍射宽度无限大，即动量的不确定度无限大，极限情况时仍然站得住脚的。而海森伯则这样理解：在位置被测定的一瞬，即当光子正被电子偏转时，电子的动量发生一个不连续的变化，因此，在确知电子位置的瞬间，其动量就有了偏差。不确定性被认为是量子力学统计性的根本来源，我感觉是很厉害的一种观点。或许，这也就是粒子波性的体现吧。爱因斯坦曾经举了一个光子箱的模型来试图否定测不准原理，但是叼着烟斗的波尔，在经历了一夜不眠的紧张思考后，竟然用爱因斯坦的广义相对论红移成功反驳。所以不确定性原理是站得住脚的。
海森伯独立与波尔建立了矩阵力学，这里矩阵是频率和振幅的二维数集。以前学习线性代数时，就有一种观点称矩阵乃是运动的描述，这里看来其描述的还可以是不确定的运动。经过薛定谔的主动研究，波动力学和矩阵力学可以相互转化，也就是说，它们只是用不同的数学工具描述了相同的机理罢了。再联想，波尔为什么能够用半经典半量子的思路准确求解氢原子问题，其实也是数学手段的一种近似处理而已。
回顾起来，量子力学的理论的提出，提供了一种深入微观世界的钥匙，而着这种钥匙到现在几乎被证明是万能的。不论是量子霍尔效应，还是4K状态下超氦的流动性，还是我们在学习热学时气体摩尔定容热容量的轻微变化，以及宇称的不守恒问题（波函数分偶宇称与奇宇称），都雄辩地印证了量子理论的强大生命力。我们所学到的，还只是很基础的东西，微扰理论，量子动力学，才是真正的大boss。
前几天读泰戈尔的《萨达那》，发现印度教有这样的说法：我们学会去感知这种由永恒精神所维系的，正是这种精神力量，创造了大地、天空和日月星辰；在灵魂与肉体上，都沉浸着梵之意识，太阳吸引地球，光波在星际间的传播，就是通过梵之意识。我很高兴地看到，宗教能够有这样一套语言来解释世界万法，透着几分玄虚和神秘。那么作为智慧生命的我们，又该怎样来解释我们所看到、听到、想到的世界呢。又或许，我们要做的，不是解释世界，而是在于改变世界吧。
基本上建立了这样一个理论基础后，我们就应当试着用新的理论武器来看待一些过去的难题了。比如黑体辐射，这
宏观看待量子力学
单个粒子的波动性
量子力学来源于经典的线索：比如玻尔兹曼的统计物理学思想，谐振子用来分解成若干简单的一维谐振子运动，还有波尔半经典半量子的思考方法，
数学意义上的
探究能量的本征态,驻波描述的实质；
量子化的分类；
测不准的实质；
电子自旋的体系；
基于波函数的一系列联系
数学在其中的运用，包括矩阵，波动，还有路径积分；
第二篇：量子力学中不确定关系的理解及应用
