导数及其应用
一．导数概念的引入 数学选修2-2知识点总结
1. 导数的物理意义：瞬时速率。一般的，函数y?f(x)在x?x0处的瞬时变化率是
?x?0limf(x0??x)?f(x0)， ?x
我们称它为函数y?f(x)在x?x0处的导数，记作f?(x0)或y?|x?x0，即
=f?(x0)lim?x?0f(x0??x)?f(x0) ?x
例1． 在高台跳水运动中，运动员相对于水面的高度h（单位：m）与起跳后的时间t(单位：
s)存在函数关系
h(t)??4.9t2?6.5t?10
运动员在t=2s时的瞬时速度是多少？
解：根据定义
v?h?(2)?limh(2??x)?h(2)??13.1 ?x?0?x
即该运动员在t=2s是13.1m/s,符号说明方向向下
2. 导数的几何意义：曲线的切线.通过图像,我们可以看出当点Pn趋近于P时，直线PT与
曲线相切。容易知道，割线PPn的斜率是kn?f(xn)?f(x0)，当点Pn趋近于P时，xn?x0
函数y?f(x)在x?x0处的导数就是切线PT的斜率k，即
k?lim?x?0f(xn)?f(x0)?f?(x0) xn?x0
3. 导函数：当x变化时，f?(x)便是x的一个函数，我们称它为f(x)的导函数. y?f(x)
的导函数有时也记作y?,即
f?(x)?lim
二.导数的计算
1.函数y?f(x)?c的导数
2.函数y?f(x)?x的导数
3.函数y?f(x)?x的导数 2?x?0f(x??x)?f(x) ?x
4.函数y?f(x)?1的导数 x
基本初等函数的导数公式:
1若f(x)?c(c为常数)，则f?(x)?0；
2 若f(x)?x?,则f?(x)??x??1;
3 若f(x)?sinx,则f?(x)?cosx
4 若f(x)?cosx,则f?(x)??sinx;
5 若f(x)?ax,则f?(x)?axlna
6 若f(x)?e,则f?(x)?e xx
1 xlna
18 若f(x)?lnx,则f?(x)? xx7 若f(x)?loga,则f?(x)?
导数的运算法则
1. [f(x)?g(x)]??f?(x)?g?(x)
2. [f(x)?g(x)]??f?(x)?g(x)?f(x)?g?(x) 3. [f(x)f?(x)?g(x)?f(x)?g?(x)]?? g(x)[g(x)]2
复合函数求导
y?f(u)和u?g(x),称则y可以表示成为x的函数,即y?f(g(x))为一个复合函数 y??f?(g(x))?g?(x)
三.导数在研究函数中的应用
1.函数的单调性与导数:
一般的,函数的单调性与其导数的正负有如下关系：
在某个区间(a,b)内，如果f?(x)?0，那么函数y?f(x)在这个区间单调递增； 如果f?(x)?0，那么函数y?f(x)在这个区间单调递减.
2.函数的极值与导数
极值反映的是函数在某一点附近的大小情况.
求函数y?f(x)的极值的方法是:
(1) 如果在x0附近的左侧f?(x)?0,右侧f?(x)?0,那么f(x0)是极大值;
(2) 如果在x0附近的左侧f?(x)?0,右侧f?(x)?0,那么f(x0)是极小值;
4.函数的最大(小)值与导数
函数极大值与最大值之间的关系.
求函数y?f(x)在[a,b]上的最大值与最小值的步骤
（1） 求函数y?f(x)在(a,b)内的极值；
（2） 将函数y?f(x)的各极值与端点处的函数值f(a)，f(b)比较，其中最大的是一个
最大值，最小的是最小值.
四.生活中的优化问题
利用导数的知识,,求函数的最大(小)值,从而解决实际问题
第二章 推理与证明
考点一 合情推理与类比推理
根据一类事物的部分对象具有某种性质,退出这类事物的所有对象都具有这种性质的推理,叫做归纳推理,归纳是从特殊到一般的过程,它属于合情推理
根据两类不同事物之间具有某些类似(或一致)性,推测其中一类事物具有与另外一类事物类似的性质的推理,叫做类比推理.
类比推理的一般步骤:
(1) 找出两类事物的相似性或一致性;
(2) 用一类事物的性质去推测另一类事物的性质,得出一个明确的命题(猜想);
(3) 一般的,事物之间的各个性质并不是孤立存在的,而是相互制约的.如果两个事物在某
些性质上相同或相似,那么他们在另一写性质上也可能相同或类似,类比的结论可能是真的.
(4) 一般情况下,如果类比的相似性越多,相似的性质与推测的性质之间越相关,那么类比
得出的命题越可靠.
考点二 演绎推理(俗称三段论)
由一般性的命题推出特殊命题的过程,这种推理称为演绎推理.
考点三 数学归纳法
1. 它是一个递推的数学论证方法.
2. 步骤:A.命题在n=1（或n0）时成立，这是递推的基础；
B.假设在n=k时命题成立
C.证明n=k+1时命题也成立,
完成这两步,就可以断定对任何自然数(或n>=n0,且n?N)结论都成立。
考点三 证明
1. 反证法:
2. 分析法:
3. 综合法:
第三章：数系的扩充和复数的概念
考点一:复数的概念
(1) 复数:形如a?bi(a?R,b?R)的数叫做复数，a和b分别叫它的实部和虚部.
(2) 分类:复数a?bi(a?R,b?R)中,当b?0,就是实数; b?0,叫做虚数;当a?0,b?0时,
叫做纯虚数.
(3) 复数相等:如果两个复数实部相等且虚部相等就说这两个复数相等.
(4) 共轭复数:当两个复数实部相等,虚部互为相反数时,这两个复数互为共轭复数.
(5) 复平面:建立直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面,x轴叫做实轴，y轴除去原点的部
分叫做虚轴。
(6) 两个实数可以比较大小，但两个复数如果不全是实数就不能比较大小。
考点二：复数的运算
1.复数的加，减，乘，除按以下法则进行
设z1?a?bi,z2?c?di(a,b,c,d?R)则
z1?z2?(a?c)?(b?d)i
z1?z2?(ac?bd)?(ad?bc)i
z1(ac?bd)?(ad?bc)i?(z2?0) z2c2?d2
2,几个重要的结论
(1) |z1?z2|2?|z1?z2|2?2(|z1|2?|z2|2) (2) z?z?|z|2?|z|2
(3)若z为虚数,则|z|?z
3.运算律
(1) z?z?zmnm?n22;(2) (z)?zmnmnn;(3)(z1?z2)n?z1?z2n(m,n?R)
4.关于虚数单位i的一些固定结论：
（1）i??1 （2）i??i （3）i?1 （2）i?i234nn?2?in?3?in?4?0
第二篇：高中数学选修4-1(人教B版)第二讲直线与圆的位置关系2.4知识点总结含同步练习题及答案
高中数学选修4-1(人教B版)知识点总结含同步练习题及答案
第二讲 直线与圆的位置关系 四 弦切角的性质
一、知识清单
直线与圆的位置关系
二、知识讲解
1.直线与圆的位置关系
描述：圆的切线
如果一条直线与一圆只有一个公共点，则这条直线叫做这个圆的切线，公共点叫做切点．
圆的切线判定定理 经过圆的半径的外端且垂直于这条半径的直线，是圆的切线．
圆的切线的性质定理 圆的切线垂直过切点的半径．
推论1 从圆外的一个已知点所引的两条切线长相等．
推论2 经过圆外的一个已知点和圆心的直线，平分从这点向圆所作的两条切线所夹的角．
与一三角形三边都相切的圆，叫做这个三角形的内切圆．与三角形的一边和其他两边的延长线都相切的圆，叫做三角形的旁切圆．
圆周角定理
圆周角定理 圆周角的度数等于它所对弧的度数的一半．
推论1 直径（或半圆）所对的圆周角都是直角．
推论2 同弧或等弧所对的圆周角相等．
推论3 等于直角的圆周角所对的弦是圆的直径．
弦切角定理
弦切角定理 弦切角的度数等于它所夹弧的度数的一半．
圆幂定理
相交弦定理 圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等．
切割线定理 从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项．
圆幂定理 已知⊙(O,r)，通过一定点P，作⊙O的任一条割线交圆于A、B两点，则：当点P在圆外是，k=PO2?r2；当点P在圆内时，k=r2?OP2；当点P在⊙O上时，k=0．圆内接四边形
圆内接四边形的定理 圆内接四边形的对角互补，并且任何一个外角都等于它的内对角．圆内接四边形的判定定理 如果一个四边形的一组对角互补，那么这个四边形内接于圆．例题：如图，D 是 AC 的中点，与 ∠ABD 相等的角个数是（ ）
A．7
B．3 C．2 D．1
