概率论与数理统计复习纲要

概率论与数理统计考试大纲

一、学好用好数学的关键是概念清楚，正确使用公式和法则，把握基本的解题思路和方法。以下的知识点是基本的，请你结合课本认真复习、总结。

1．随机试验，样本点，样本空间，随机事件。

2．子事件，和事件，积事件，差事件，逆事件。一组事件两两互不相容。

3．和、差、积、逆的运算及其交换律、结合律、分配率、对偶律。

4．概率的非负性、规范性、可加性；逆事件的概率，加法公式。

5．等可能概型的概念，等可能概型的概率计算公式

6．条件概率的意义，条件概率的定义式，乘法定理。

7．全概率公式，贝叶斯公式。什么情况下用全概率公式，什么情况下用贝叶斯公式？

8．多个事件相互独立。

9．n重贝努利试验的概念，概率的计算公式

10．怎样用随机变量表示随机事件？

11．离散型随机变量的分布律及其性质。三种常用分布：

Poisson定理（用Poisson分布近似二项分布，条件、近似等式）。

12．随机变量的分布函数的定义，基本性质。

13．怎样利用分布函数求以下随机事件的概率？

.

14．怎样由离散型随机变量的分布律求的分布函数？

15．连续型随机变量的分布函数与概率密度函数之间是什么关系？已知其中一个，怎样求出另一个？

16．连续型随机变量的概率密度函数都有哪些性质？怎样利用概率密度函数求以下随机事件的概率？

.

 

17．连续型随机变量的三种常用分布：

 

18．怎样将一般正态分布的概率计算转化并通过标准正态分布来计算？请写出转化公式。

19．已知离散型随机变量的分布律，怎样求函数的分布律？

20．已知连续型随机变量的概率密度函数，怎样求函数的概率密度函数？

21．二维随机变量的分布函数（又称联合分布函数）的定义，基本性质。

22．二维离散型随机变量的联合分布律的定义、非负性、规范性。

23．二维连续型随机变量的分布函数与概率密度函数（又称联合概率密度函数）之间是什么关系？已知其中一个，怎样求出另一个？

24．二维连续型随机变量的概率密度函数都有哪些性质？请写出利用概率密度函数求落在平面区域内的概率的公式。

25．二维均匀分布的定义。

26．怎样由二维离散型随机变量的联合分布律求出它的两个边缘分布的分布律？

27．怎样由二维连续型随机变量的联合概率密度函数求出它的两个边缘分布的边缘概率密度函数？写出相应的计算公式。

28．随机变量相互独立的定义，判别的充分必要条件。

29．怎样求二维离散型随机变量的函数的分布？

30．已知二维连续型随机变量的联合概率密度函数，如何求出的分布函数？特别的，当相互独立时，的概率密度函数由卷积公式给出，请写出。

31．设相互独立，分布函数分别为，写出的分布函数。

32. 设相互独立，且，请写出

所服从的分布。

33．离散型随机变量、连续型随机变量，以及随机变量的函数的数学期望的计算公式。

34．数学期望的性质。

35．方差的定义式、计算式；方差的性质。

36．六种常用分布

 

的数学期望与方差。

37．怎样将随机变量标准化？设是的标准化，则 设，写出的标准化所服从的分布。

38．设相互独立，且，请写出所服从的分布；并写出他们的标准化所服从的分布。

39．协方差的定义式、计算式；协方差的性质。

40．相关系数的定义式，性质。

41．方差、协方差、相关系数之间的转换关系式。

42．“相互独立”与“不相关”的区别与联系。

43．契比雪夫不等式的意义。

44．大数定律的意义。

45．中心极限定理（定理1和定理2）的意义与应用。

46．总体、抽样、样本、样本容量、样本值；简单随机样本；统计量。

47．样本均值、样本方差、样本阶矩、样本阶中心矩；总体均值、总体方差、总体阶矩。

48．分布，分布，分布，上分位点的定义式。

49．会查表求标准正态分布，分布，分布，分布的上分位点。

50．记住抽样分布定理并能利用其解决求统计量分布问题。

51．设总体，为样本，分别为样本均值和样本方差，理解并能推导出下面的结果：

。

问服从什么分布？

52．参数估计主要解决什么问题？你学过的参数估计有哪几种方法？

53．未知参数的矩估计量和矩估计值；似然函数，极大似然估计量，极大似然估计值，似然方程组。参数的估计量和估计值有什么不同？

54．知道矩估计法的原理，会利用矩估计法估计总体的未知参数。

55．会利用极大似然估计法估计总体的未知参数。

56．无偏估计量。知道以下结论：

样本均值是总体均值的无偏估计量；样本方差是总体方差的无偏估计量。

57．有效估计量，一致估计量。

58．对同一个未知参数，可以用不同方法构造出多个估计量。怎样去评价估计量的“无偏性”和“有效性”？

59．置信下限，置信上限，置信区间，置信度。

60．对于一般总体，设，为样本，分别为样本均值和样本方差。当样本的容量很大时，有以下结果：

当已知时，可用对进行统计推断；

当未知时，可用对进行统计推断；

当已知时，可用对进行统计推断；

当未知时，可用对进行统计推断。

61．对于单个正态总体，知道如何解决以下问题：

   （1）方差已知，求均值的置信区间；

   （2）方差未知，求均值的置信区间；

   （3）均值已知，求方差的置信区间；

   （4）均值未知，求方差的置信区间。

62．知道如何去求两个相互独立的正态总体在以下不同情形下期望差的置信区间：

（1）方差与已知，求的置信区间；

   （2）方差与未知，但，求的置信区间

63．知道如何去求两个相互独立的正态总体方差比的置信区间。7

64．原假设，备择假设，检验统计量，拒绝域，第一类错误，第二类错误，显著性水平，显著性检验。

65．假设检验的一般步骤。

知道以下问题66～73中的原假设，备择假设，检验统计量，拒绝域，会求解相应的问题.

66．单一正态总体，已知方差，对总体均值的假设检验。分别针对“（1）双边检验，（2）单边检验”。

67．单一正态总体，方差未知，对总体均值的假设检验。分别针对“（1）双边检验，（2）单边检验”。

68．单一正态总体，已知均值，对总体方差的假设检验。分别针对“（1）双边检验，（2）单边检验”。

69．单一正态总体，均值未知，对总体方差的假设检验。分别针对“（1）双边检验，（2）单边检验”

70．两个正态总体，已知方差，对：的双边检验；或对：的单边检验。

71．两个正态总体，方差未知，但，对：的双边检验；或对：的单边检验。

72．两个正态总体，已知数学期望，对：的双边检验；或对：的单边检验。

73．两个正态总体，数学期望未知，对：的双边检验；或对：的单边检验

二．单个正态总体均值、方差置信水平为的双侧置信区间

三．两个正态总体均值、方差置信水平为的双侧置信区间

其中

四：正态总体均值、方差的检验法（显著性水平为）

五、非参数检验

（1）分布已知且只取有限个值

      i=1,2,…,k

=

若含有未知参数，先MLE未知参数，此时，r为未知参数的个数

（2）独立性与齐一性检验

注意独立性与齐一性的区别，表现在原假设上，具体检验方法二者没有本质区别

   

用频率去估计概率

  =

自由度df=k-1-r=ab-1-r=ab-1-(a+b-2)=(a-1)(b-1)

若为真，则Z越小越好，故当时，拒绝原假设。

第二篇：概率论与数理统计复习纲要-1

概率论与数理统计复习纲要

第一章 随机事件及其概率（20%左右）

? 随机现象、随机试验、样本空间、随机事件（基本事件、必然事件、不可能事件）、事件的关系（包含、互斥、对立）与运算（和、差、积）

要求：理解随机事件的概念，掌握事件间的关系和运算。

11与，且A与B互斥，则P(AB)?______. 62

1 P(AB)?P(A?AB)?P(A)?P(AB)?P(A)? 6例题：设事件A、B的概率分别为

练习：同步练习册第一章（1、2、3、4、5、8）

? 频率、概率的统计定义、古典概率、概率的公理化定义、概率的性质、加法公式 要求：理解概率的概念，掌握概率的性质，会计算简单的古典概率。

例题：设A,B,C为三事件，且P(A)?P(B)?P(C)?1，P(AB)?P(BC)?0，6P(AC)?1，则A,B,C至少有一个发生的概率是_______________. 12

P(A?B?C)?P(A)?P(B)?P(C)?P(AB)?P(AC)?P(BC)?P(ABC) ?11115 ????0?6661212

练习：同步练习册第一章（6、7、9、10、11、12）

? 条件概率、乘法公式、全概率公式、贝叶斯公式、随机事件的独立性

要求：理解条件概率和事件独立性的概念，掌握乘法公式、全概率公式和贝叶斯公式 例题1：一批零件共200个，次品率为20％，每次从中任取一个零件，取后不放回，如果取到一个合格品就不再取下去，求在两次能取到合格品的概率。

解：Ai?第i次取到合格品，i=1,2 B--两次内能取到合格品

B?A1?1A2

P(B)?P(A1)?P(1A2)?P(A1)?P(1)P(A2|)?0.8?0.2?160 199

例题2：设有甲、乙二袋，甲袋装有10只白球20只红球，乙袋装有100只白球，200只红球，今从甲袋中任取一球放入乙袋中，再从乙袋中任取一球，问取到（即从乙袋中取到）白球的概率是多少？

解：A-- 甲袋中任取一球为白球，--甲袋中任取一球为红球

B-- 乙袋中任取一球为白球，--乙袋中任取一球为红球

C-- 从甲袋中任取一球放入乙袋中，再从乙袋中任取一球，取到白球

C?AB?B；P(C)?P(AB)?P(B)?P(A)P(B|A)?P()P(B|) ?

练习：同步练习册第一章（13、14、15、16、17、18、19、20、21、22、23）

第二章 随机变量及其分布（25%左右）

? 离散型随机变量及其分布：概率分布（分布律）、分布函数、

两点分布、二项分布、泊松分布、超几何分布、几何分布、负二项分布

要求：理解概率分布（分布律）、分布函数的概念和性质，掌握二项分布和泊松分布。 101012010030101????? 303013030190303

15?1?例题：设随机变量X的分布律是P(X?k)?A??，k?1,2,3；则P(?X?)?__. 22?3?k

27?111?13A?1??P(X?k)?A??????A?13?3927?27k?1 15271112P(?X?)?(?)?22133913

练习：同步练习册第二章（1、2、3、4、5、6、7、8、9、10、11、16）

连续型随机变量及其分布：概率密度函数、分布函数、均匀分布、正态分布、指数分布 要求：理解概率密度函数、分布函数的概念和性质，掌握均匀分布、正态分布、指数分布。 例题1：设连续型随机变量X的分布函数为F(x)?311（??arctanx，?????x2?），则P(?1?X?1)?_____________________.

P(?1?X?1)?F(1)?F(?1)?

11111??1?arctan1??arctan(?1)?(?)? 2?2??442

例题2：设随机变量X的概率密度f(x)为

??f(x)??0??

求（1）A；（2）X落在区间(?

解：（1）1?

1?1?x?1其它， 11,)的概率； （3）X的分布函数F(x)。 22121?10?????f(x)dx??f(x)dx?1?A??xdx?2A??x2dx?1 ?11??

22

0 ?0?xdx??costdt??2021?cos2t?tsin2t?2?dt????? 24?04?2?

A?2

?

111144?2) （2）P(??X?)??21f(x)dx??2?xdx=(?0?22??1282

（3）F(x)=?x

??f(t)dt

xx

???? 当x??1时，F(x)=?f(t)dt??0dt?0

当?1?x?1时，F(x)=?

2?x?1arcsinx??2??usin2u?? ?tdt???????24?????2??2

2?arcsinxsin2arcsinx?sin(??)?2?arcsinxx?x2???????????? ???2444???24??2? 当x?1时，F(x)=?x

??f(t)dt= 1 0,x??1????2?arcsinxx?x2??????1?x?1 F(x)????24???2??1,x?1?

例题3：设随机变量X的分布函数为

x?1?0?F(x)??lnx1?x?e，

?1x?e?

求（1）P(X?2), P(0?X?3）, P(2?X?

（1）P(X?2)=F(2)?ln2

P(0?X?3）=F(3)?F(0)?1?0?1； 5（2）求概率密度f(x)。 )；2

555P(2?X?)F()?F(2)?ln?ln2?ln5?2ln222=2

1dF(x)??（2）f(x)=??xdx??0,1?x?e,其他

例题4：设顾客在某银行的窗口等待服务的时间X（以分计）服从指数分布，其概率密度：

x?1?5?ef(x)??5?0?x?0其它

某顾客在窗口等待服务，若超过10分钟他就离开。他一个月要到银行5次。以Y表示一个月内他未等到服务而离开窗口的次数，写出Y的分布律。并求P(Y?1)。

解10：xx??110?51?1?2?25? P(X?10)?1?P(X?10)?1??edx?1???5e?1??5e?5?e??055?5?0??

Y的分布律：Y~B(5,1) e2

P(Y?1)=1?P(Y?1)?1?P(Y?0)?1?1?e?2

练习：同步练习册第二章（13、14、15、17、18、19、20）

? 随机变量函数的分布

要求:掌握离散型随机变量函数的分布律的计算方法，掌握连续型随机变量函数的概率密度函数的计算方法。

例题：设随机变量X在（0，1）上服从均匀分布求Y?eX的概率密度。 ??5

?x,x?(0,1)解：X的概率密度：fX(x)?? 0,其他?

Y?eX的概率密度：fY(y)?fX[h(y)]h?(y)?fX[lny)]1lny?,(1?y?e) yy

练习: 同步练习册第二章（21、22）

第三章 多维随机变量及其分布（25%左右）

? 二维离散型随机变量、联合分布律、边缘分布律、二维连续

型随机变量、联合概率密度、边缘概率密度、二维正态分布、二维均匀分布、联合分布函数、边缘分布函数

要求：理解概念及其性质与计算，掌握联合分布律（联合概率密度）同联合分布函数的关系， 例题1：设随机变量（X，Y）概率密度为

??k(6?x?y),0?x?2,2?y?4f(x,y)?? ?0,其它?

（1）确定常数k（2）求P {X<1, Y<3}（3）求P (X<1.5} （4）求P (X+Y≤4}

例题2：设二维随机变量(X,Y)的联合概率密度函数为

?ke?x?2y

f(x,y)???0x?0,y?0其它

（1）求常数k； （2）求(X,Y （3）求P()的联合分布函数；0?X?1,0?Y?2)例题3：设(X,Y)的概率密度为 。

?e?x,0?y?x,f(x,y)?? 其它.0,?

求（1）边缘概率密度fX(x),fY(y)；（2）P(X?Y?1)；

练习：同步练习册第三章（1、2、3、4、5、6、7）

? 条件分布律、条件概率密度、条件分布函数、随机变量的独

立性

要求：理解随机变量的独立性，能够判定相互独立性

例题1：设随机变量(X,Y)在D???x,y??1?x?1,?1?y?1?内服从均匀分布，

（1）求联合概率密度函数及边缘概率密度函数；

（2）问随机变量X、Y是否独立？

例题2：随机变量(X,Y)在区域D???x,y?0?x?y?1?内服从均匀分布，

1所围成的区域上服从均匀分布， x（1）求联合概率密度函数及边缘概率密度函数； （2）问随机变量X、Y是否独立？ 例题3：设(X,Y)在由直线x?1,x?e,y?0及曲线y?2

（1）求边缘密度fX(x)和fY(y)，并说明X与Y是否独立.

（2）求P(X?Y?2).

练习：同步练习册第三章（8、9、10、11、12）

? 二维随机变量的函数的分布

要求：掌握离散型随机变量函数的联合分布律的计算方法，掌握连续型随机变量函数的概率密度函数（和、最大值、最小值）的计算方法。

例题：设二维随机变量(X,Y)在区域D?{(x,y)|x?0,y?0,x?y?1}上服从均匀分布. 求（1）(X,Y)关于X的边缘概率密度；（2）Z?X?Y的分布函数与概率密度. 练习：同步练习册第三章（13、14）

第四章 随机变量的数字特征（20%左右）

? 数学期望

要求：理解数学期望的定义，掌握数学期望的性质和计算。

例题:设二维随机变量（X，Y）的分布律为

练习：同步练习册第四章（1、2、3、4、5）

? 方差、标准差

要求：理解方差、协方差的定义，掌握方差的性质和计算。

例题：设随机变量X的概率密度为

?x?,f(x)??2?0,?0?x?2;其他.且已知E（Y）=1，试求：（1）常数α，β；（2）E（XY）；（3）E（X）

试求：（1）E（X），D（X）；（2）D（2-3X）；（3）P{0<X<1}.

练习：同步练习册第三章（6、7、8、9、10、11、12、15、16、）

? 协方差、相关系数

要求：理解协方差、相关系数的定义，掌握协方差、相关系数的性质和计算。

例题1：设随机变量（X1，X2）具有概率密度。

f(x,y)?x?y，

求 E(X1)，E(X2)，COV（X1，X2），ρX1X20≤x≤1, 0≤y≤1 D(X1?X2)

例题2：设随机变量X和Y的联合分布为：

1 1 81 80 1 81 81 8

验证：X和Y不相关，但X和Y不是相互独立的。

练习：同步练习册第三章（18、19、20、21、22）

第五章 大数定律和中心极限定理（10%左右）

? 大数定律

要求：了解切比雪夫不等式，了解依概率收敛的概念，理解大数定律

例题1：设随机变量X的E(X)??,D(X)??，切比雪夫不等式估计PX???3?. 例题2：已知正常男性成人血液中，每一毫升白细胞数平均是7300，均方差是700，利用切比雪夫不等式估计每毫升含白细胞数在5200～9400之间的概率p.

解：由题意知μ=7300,σ=700，则由切比雪夫不等式 2??

700218P{5200?X?9400}?P{|X?7300|?2100}?1??1???0.8889 2992100

练习：同步练习册第五章（任选一题练习）

? 中心极限定理

要求：理解中心极限定理

2例题1：设随机变量序列X1，X2，…，Xn，…独立同分布，且E(Xi)=μ,D(Xi)=σ>0,i=1,2,…,

?n?X?n???i?i?1??x??____________. 则对任意实数x，limP?n??n????????

例题2：某药厂断言，该厂生产的某种药品对于医治一种疑难的血液病的治愈率为0.8，医院检验员任意抽查100个服用此药品的病人，如果其中多于75人治愈，就接受这一断言，否则就拒绝这一断言。（1）若实际上此药品对这种疾病的治愈率是0.8，问接受这一断言的概率是多少？（2）若实际上此药品对这种疾病的治愈率是0.7，问接受这一断言的概率是多少？

解：设X为100人中治愈的人数，则X～B (n, p)其中n=100

?75?np?X?np75?np???) （1）P(X?75)?1?P(X?75)?1?P???1??(npqnpqnpq????

?1??(?55)??(?)?0.8944 44

（2）p=0.7由中心极限定理知

?75?np?X?np75?np??P(X?75)?1?P(X?75)?1?P???1??() ?npq?npq??npq?

5)?1??(1.09)?1?0.8621?0.1379. 21

练习：同步练习册第五章（任选一题练习） ?1??(