考研数学：概率论与数理统计复习指导
概率论与数理统计一直以来都是全国硕士研究生考试数学考试中的重要部分。从研究必然问题到处理随机问题，不仅让很多的考生都觉得很困难，对于很多曾经学过概率论与数理统计考生也是问题重重，特别是在做习题以及解决实际应用方面遇到的困难会更多一些。在这里为大家在这个方面做些总结：
一、几何型概率及概率数理统计的复习
几何型概率原则上只有理工科考，是数学一考察的对象，最近两年经济类的大纲也加进来了，但还没有考过，数学三虽然明确写在大纲里，还没有考。几何概率是一个考点，但不是一个考察的重点。它考的可能性很小，如果考也是考一个小题，或者是选择题或者是填空题或者在大题里运用一下概率的模式，就是一个事件发生的概率是等于这个事件的度量或者整个样本空间度量的比。这个度量的话指的是面积，一维空间指的是长度，二维空间指的是面积，三维空间指的是体积。所以几何概率指的是长度的比、面积的比和体积的比。重点是面积的比，是二维的情况。
几何概率其实很简单，是一个程序化的过程，按这四个步骤你肯定能做出来。第一步把样本空间和让你求概率的事件用几何表示出来。第二步既然是几何概率那就是图形，第二步把几何图形画出来。第三步你就把样本空间和让你求概率的事件所在的几何图形的度量，就是刚才所说的面积或者体积求出来。第三步代公式。以前考过的几何概率的题度量的计算都是用初等的方法做。
二、数理统计考试重点及参数估计比重
参数估计这部分它占数理统计的一多半内容，参数估计这块应该是最重要的。统计里面第一章就是关于样本还有统计量分布这部分，这部分就是求统计量的数字特征，统计量是随机变量。统计里面有什么题型，一个参数估计，一个求统计量数字特征或者求统计量的分布，统计量是随机变量，任何随机变量都有分布。自然会有这样的题型。求统计量的数字特征，求统计量的分布，然后参数估计，然后估计的标准。统计这个内容对大家来说应该是比较好掌握的，题型比较少，你比较好把这个题做好。
三、概率问题的重点及得分方法
随机变量分布这是一大块内容，基本每都年考一点，还有一个就是数理特征和数理统计基本考一个大题，概率和数理统计这部分如果从复习角度来看我们首先要理解概念，我认为这里面有三个典型途径：第一古典概率，一个概率的公式的推算，第二个途径就是利用我们的分布信息来求概率，我们涉及到一维的也可以是二维的，即可以是离散型的也可以是连续型的，都有求概率的方法，我们讨论概率统计里的问题，比如分布函数问题，本身就是求概率，你只要知道求概率统计三个途径，所以我讨论分布函数，由分布函数可以讨论概率分布函数，源头是分布函数，分布函数基础是求概率，通过这个角度把握我认为概率统计发现不是你想象的那么复杂了。这里面重点的是二两者，第一种古典概率考的是排列组合，这个是初中内容，稍微难一点古典概率的题，同学没有过多关心，不会从这个角度考的，而是根据我刚才的分析。所以把握这种思路以后，实际上概率统计知识应该把线性代数，特别比高等数学更好拿分。另外稍微应该注意一下概率统计里面随机事件和随机变量之间的转换关系。我们可以通过随机事件引进随机变量，反过来也可以，所以大家复习时候。讨论随机事件之间关系问题也可以借用随机变量之间关系分析，这是概率统计方面大家应该注意几个比较典型的知识点。
四、结合实际例子记忆概率公式
概率的公式并不多，背下来是基本的要求，但是概率的公式和高等数学的公式相比，仅仅记住它是不够的，比如给一个函数求导数，你会做，因为你知道是求导数，概率问题，比如全概率公式，考试的时候从来没有哪一年是请你用全概率公式求求某概率，所以从分析问题的层面来说概率的要求高一点，但是从计算技巧来说概率的技巧低一些，所以我建议大家结合实际的例子和模型记它。比如二向概率公式，你可以这么记它，记一个模型，把一枚硬币重复抛N次，正面冲上的概率是多少呢?这个公式哪一个符号在实际问题里面是什么东西，这样才是在理解的基础上记忆，当然就不容易忘记了。
五、做题时要理解题意
我们看这样一个模型，这是概率里经常见到的，从实际产品里面我们每次取一个产品，而且取后不放回去，就是日常生活中抽签抓阄的模型。现在我说四句话，大家看看有什么不同，第一句话“求一下第三次取到十件产品有七件正品三件次品，我们每次取一件，取后不放回”，下面我们来求四个类型，第一问我们求第三次取得次品的概率。第二问我们求第三次才取得次品的概率。第三问已知前两次没有取得次品第三次取到次品。第四问不超过三次取到次品。大家看到这四问的话我想是容易糊涂的，这是四个完全不同的概率，但是你看完以后可能有很多考生认为有的就是一个类型，但实际上是不一样的。
先看第一个“第三次取得次品”，这个概率与前面取得什么和后面取得什么都没有关系，所以这个我们叫绝对概率。第一个概率我想很多考生都知道，这个概率应该是等于十分之三，用古代概率公式或者全概率公式求出来都是十分之三。这个概率改成第四次、第五次取到都是十分之三，就是说这个概率与次数是没有关系的。所以在这里我们可以看出，日常生活中抽签、抓阄从数学上来说是公平的。
拿这个模型来说，第一次取到和第十次取到次品的概率都是十分之三。下面我们再看看第二个概率，第三次才取到次品的概率，这个事件描述的是绩事件，这是概率里重要的概念，改变表示同时发生的概率。但是这个与第三次的概率是容易混淆的，如果表示的可以这样表述，如果用A1表示第一次取到次品，A2表示第二次取到次品，A3是第三次取到次品。
如果A表示第一次不取到次品，B表示第二次不取到次品，C表示第三次不取到次品，求ABC绩事件发生的概率。第三问表示条件概率，已知前两次没有取到次品，第三次取到次品P(C|AB)，第三问求的就是一个条件概率。我们看第四问，不超过三次取得次品，这是一个和事件的概率，就是P(A+B+C)。从这个例子大家可以看出，概率论确实对题意的理解非常重要，要把握准确，否则就得不到准确的答案。
小提示：目前本科生就业市场竞争激烈，就业主体是研究生，在如今考研竞争日渐激烈的情况下，我们想要不在考研大军中变成分母，我们需要：早开始+好计划+正确的复习思路+好的辅导班（如果经济条件允许的情况下）。2017考研开始准备复习啦，早起的鸟儿有虫吃，一分耕耘一分收获。加油！
第二篇：考研数学概率论与数理统计公式
论与数理统计概率概率论与数理统计
1．随机事件及其概率
A∪?=?
吸收律：A∪?=A
A∪(AB)=AA∩?=AA∩?=?A∩(A∪B)=AA?B=A=A?(AB)反演律：A∪B==∪∪A=∩Ai
i=1i=1nni∩A=∪Aii=1i=1nni
2．概率的定义及其计算P(=1?P(A)
若A?B?P(B?A)=P(B)?P(A)对任意两个事件A,B,有P(B?A)=P(B)?P(AB)加法公式：对任意两个事件A,B,有P(A∪B)=P(A)+P(B)?P(AB)P(A∪B)≤P(A)+P(B)P(∪Ai)=∑P(Ai)?i=1i=1nn1≤i<j≤n∑P(AA)ij+1≤i<j<k≤n∑P(AAAijnk)+?+(?1)n?1P(A1A2?An)
3．条件概率
P(BA)=P(AB)
P(A)
乘法公式
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P(AB)=P(A)P(BA)(P(A)>0)
P(A1A2?An)=P(A1)P(A2A1)?P(AnA1A2?An?1)
(P(A1A2?An?1)>0)
全概率公式
P(A)=∑P(ABi)=∑P(Bi)?P(ABi)
i=1i=1nn
Bayes公式
P(BkA)=P(B)P(ABk)P(ABk)=nkP(A)∑P(Bi)P(ABi)
i=1
4．随机变量及其分布
分布函数计算
P(a<X≤b)=P(X≤b)?P(X≤a)
=F(b)?F(a)
5．离散型随机变量
(1)0–1分布
P(X=k)=pk(1?p)1?k,k=0,1
(2)二项分布
若P(A)=pB(n,p)
P(X=k)=Cnkpk(1?p)n?k,k=0,1,?,n*Possion定理
limnpn=λ>0n→∞
有λklimCp(1?pn)=en→∞k!
k=0,1,2,?knknn?k?λ
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(3)Poisson分布P(λ)P(X=k)=e?λλk
,k=0,1,2,?k!
6．连续型随机变量
(1)均匀分布U(a,b)
?1,a<x<bf(x)=?b?a
?0,其他?
?0,??x?aF(x)=,b?a???1
(2)指数分布E(λ)
?λx??λe,x>0f(x)=??其他?0,
x<0?0,F(x)=??λx?1?e,x≥0
(3)正态分布N(?,σ2)
?(x??)2
2σ2f(x)=1e2πσ1
πσ?∞<x<+∞F(x)=∫x
?∞e?(t??)22σdt
*N(0,1)—标准正态分布
?(x)=1e2π1
2π?x22?∞<x<+∞?Φ(x)=∫x
?∞et22dt?∞<x<+∞
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7.多维随机变量及其分布
二维随机变量(X,Y)的分布函数F(x,y)=∫x
?∞∫y?∞f(u,v)dvdu
边缘分布函数与边缘密度函数FX(x)=∫
fX(x)=∫
FY(y)=∫
fY(y)=∫
8.x?∞+∞∫∫+∞?∞f(u,v)dvdu?∞f(x,v)dv+∞?∞y?∞+∞f(u,v)dudv?∞f(u,y)du连续型二维随机变量
(1)区域G上的均匀分布，U(G)
?1?,(x,y)∈Gf(x,y)=?A?其他?0,
(2)二维正态分布
f(x,y)=1
2πσ1σ2?ρ2?×e?(x??1)2(x??1)(y??2)(y??2)2??2ρ?2(1?ρ)?σ1σ2σ2??σ1?1
?∞<x<+∞,?∞<y<+∞
9.二维随机变量的条件分布f(x,y)=fX(x)fYX(yx)
=fY(y)fXY(xy)
+∞+∞fX(x)>0fY(y)>0fX(x)=∫
fY(y)=∫?∞
+∞f(x,y)dy=∫fXY(xy)fY(y)dy?∞
?∞f(x,y)dx=∫+∞?∞fYX(yx)fX(x)dx
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fX(xy)=fYX(yx)fX(x)f(x,y)=fY(y)fY(y)
fXY(xy)fY(y)f(x,y)fYX(yx)==fX(x)fX(x)
10.随机变量的数字特征数学期望
E(X)=∑xkpk
k=1+∞
E(X)=∫xf(x)dx?∞+∞
随机变量函数的数学期望X的k阶原点矩E(Xk)
X的k阶绝对原点矩E(|X|k)
X的k阶中心矩E((X?E(X))k)X的方差
E((X?E(X))2)=D(X)X,Y的k+l阶混合原点矩E(XkYl)
X,Y的k+l阶混合中心矩E((X?E(X))k(Y?E(Y))l)X,Y的二阶混合原点矩
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E(XY)
X,Y的二阶混合中心矩X,Y的协方差E((X?E(X))(Y?E(Y)))X,Y的相关系数
?(X?E(X))(Y?E(Y))??=ρXYE???D(X)D(Y)??X的方差
D(X)=E((X-E(X))2)
D(X)=E(X2)?E2(X)协方差
cov(X,Y)=E((X?E(X))(Y?E(Y)))
=E(XY)?E(X)E(Y)
=±
相关系数1(D(X±Y)?D(X)?D(Y))2
ρXY=cov(X,Y)
D(X)D(Y)
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