《二次函数》单元知识梳理与总结
一、二次函数的概念
1、定义:一般地,如果是常数,,那么叫做的二次函数.
2、注意点:
(1)二次函数是关于自变量x的二次式,二次项系数a必须为非零实数,即a≠0,而b、c为任意实数。
(2)当b=c=0时,二次函数是最简单的二次函数。
(3)二次函数是常数,自变量的取值为全体实数 (为整式)
3、三种函数解析式:
(1)一般式: y=ax2+bx+c(a≠0),
对称轴:直线x= 顶点坐标:( )
(2)顶点式:(a≠0),
对称轴:直线x= 顶点坐标为(, )
(3)交点式:y=a(x-x1)(x-x2)(a≠0),
对称轴:直线x=
(其中x1、x2是二次函数与x轴的两个交点的横坐标).
二、二次函数的图象
1、二次函数 的图像是对称轴平行于(包括重合)轴的抛物线.
2、二次函数由特殊到一般,可分为以下几种形式:①;②;③;④;⑤.
注:二次函数的图象可以通过抛物线的平移得到
3、二次函数的图像的画法
因为二次函数的图像是抛物线,是轴对称图形,所以作图时常用简化的描点法和五点法,其步骤是:
(1)先找出顶点坐标,画出对称轴;
(2)找出抛物线上关于对称轴的四个点(如与坐标轴的交点等);
(3)把上述五个点按从左到右的顺序用平滑曲线连结起来.
三、二次函数的性质
注:常用性质:
1、增减性:
当a>0时,在对称轴左侧,y随着x的增大而减少;在对称轴右侧,y随着x的增大而增大;
当a<0时,在对称轴左侧,y随着x的增大而增大;在对称轴右侧,y随着x的增大而减少;
2、最大或最小值:
当a>0时,函数有最小值,并且当x= , y最小 =
当a<0时,函数有最大值,并且当x= , y最大 =
四、.抛物线的三要素:开口方向、对称轴、顶点坐标。
①的符号决定抛物线的开口方向
②对称轴平行于轴(或重合)的直线记作.特别地,轴记作直线.
③顶点决定抛物线的位置.
几个不同的二次函数,如果二次项系数相同,那么抛物线的开口方向、开口大小完全相同,只是顶点的位置不同.
五、抛物线中a、b、c的作用
1、a决定抛物线的开口方向和开口大小
的符号决定抛物线的开口方向:当a>0时,函数开口方向向上;
当a<0时,函数开口方向向下;
的大小决定抛物线的开口大小:当越大时,开口越小;
当越小时,开口越大;
相等,抛物线的开口大小、形状相同.
2、a和b共同决定抛物线的对称轴位置。(x=)
左同右异:①如果对称轴在Y轴左侧,则a、b符号相同。
②如果对称轴在Y轴右侧,则a、b符号相反。
注意点:①时,对称轴为轴;
②(即、同号)时,对称轴在轴左侧;
③(即、异号)时,对称轴在轴右侧.
3、c的大小决定抛物线于y轴的交点位置。
当时,,∴抛物线与轴有且只有一个交点(0,):
注意点:①,抛物线经过原点;
②,与轴交于正半轴;
③,与轴交于负半轴.
以上三点中,当结论和条件互换时,仍成立.如抛物线的对称轴在轴右侧,则 .
六、抛物线的平移
方法:左加右减,上加下减
抛物线的平移实质是顶点的平移,因为顶点决定抛物线的位置,所以,抛物线平移时首先化为顶点式
――――――――――――――→向上(k>0)向下(k<0)平移︱k︱个单位
―――――――――――→
向上(k>0)向下(k<0)平移︱k︱个单位
七、二次函数最大值和最小值的求法
二次函数是否有最值,由a的符号确定。
1、 当a>0时,抛物线有最低点,函数有最小值,当x= , y最小 =
2、 当a<时,抛物线有最高点,函数有最大值,当x= , y最大 =
八、用待定系数法求二次函数的解析式
(1)一般式:.已知图像上三点或三对、的值,通常选择一般式.
(2)顶点式:.已知图像的顶点或对称轴或最值,通常选择顶点式.
(3)交点式:已知图像与轴的交点坐标、,通常选用交点式:.
九、抛物线()与x轴的交点个数
与x轴交点,令y=0,则有 即解一元二次方程
① 当△>0时,方程 有两个不相等的实数根,即抛物线与x轴有两个不同的交点。
② 当△=0时,方程 有两个相等的实数根, 即抛物线与x轴有一个交点。
③当△< 0时,方程 没有实数根, 即抛物线与x轴没有交点。
十、抛物线与轴两交点之间的距离:
若抛物线与轴两交点为,由于、是方程的两个根,故
十一、直线与抛物线的交点问题
(1)轴与抛物线得交点为(0, ).
(2)抛物线与轴的交点
二次函数的图像与轴的两个交点的横坐标、,是对应一元二次方程的两个实数根.抛物线与轴的交点情况可以由对应的一元二次方程的根的判别式判定:
①有两个交点抛物线与轴相交;
②有一个交点(顶点在轴上)抛物线与轴相切;
③没有交点抛物线与轴相离.
第二篇:人教版九年级数学下二次函数最全的中考二次函数知识点总结)
人教版九年级数学下二次函数最全的中考知识点总结
² 相关概念及定义
Ø 二次函数的概念:一般地,形如(是常数,)的函数,叫做二次函数。这里需要强调:和一元二次方程类似,二次项系数,而可以为零.二次函数的定义域是全体实数.
Ø 二次函数的结构特征:
⑴ 等号左边是函数,右边是关于自变量的二次式,的最高次数2.
⑵ 是常数,是二次项系数,是一次项系数,是常数项.
² 二次函数各种形式之间的变换
Ø 二次函数用配方法可化成:的形式,其中.
Ø 二次函数由特殊到一般,可分为以下几种形式:①;②;③;④;⑤.
² 二次函数解析式的表示方法
Ø 一般式:(,,为常数,);
Ø 顶点式:(,,为常数,);
Ø 两根式:(,,是抛物线与轴两交点的横坐标).
Ø 注意:任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式,但并非所有的二次函数都可以写成交点式,只有抛物线与轴有交点,即时,抛物线的解析式才可以用交点式表示.二次函数解析式的这三种形式可以互化.
² 二次函数图象的画法
Ø 五点绘图法:利用配方法将二次函数化为顶点式,确定其开口方向、对称轴及顶点坐标,然后在对称轴两侧,左右对称地描点画图.一般我们选取的五点为:顶点、与轴的交点、以及关于对称轴对称的点、与轴的交点,(若与轴没有交点,则取两组关于对称轴对称的点).
Ø 画草图时应抓住以下几点:开口方向,对称轴,顶点,与轴的交点,与轴的交点.
² 二次函数的性质
² 二次函数的性质
² 二次函数的性质:
² 二次函数的性质
² 抛物线的三要素:开口方向、对称轴、顶点.
Ø 的符号决定抛物线的开口方向:当时,开口向上;当时,开口向下;
相等,抛物线的开口大小、形状相同.
Ø 对称轴:平行于轴(或重合)的直线记作.特别地,轴记作直线.
Ø 顶点坐标:
Ø 顶点决定抛物线的位置.几个不同的二次函数,如果二次项系数相同,那么抛物线的开口方向、开口大小完全相同,只是顶点的位置不同.
² 抛物线中,与函数图像的关系
Ø 二次项系数
二次函数中,作为二次项系数,显然.
⑴ 当时,抛物线开口向上,越大,开口越小,反之的值越小,开口越大;
⑵ 当时,抛物线开口向下,越小,开口越小,反之的值越大,开口越大.
总结起来,决定了抛物线开口的大小和方向,的正负决定开口方向,的大小决定开口的大小.
Ø 一次项系数
在二次项系数确定的前提下,决定了抛物线的对称轴.
⑴ 在的前提下,
当时,,即抛物线的对称轴在轴左侧;
当时,,即抛物线的对称轴就是轴;
当时,,即抛物线对称轴在轴的右侧.
⑵ 在的前提下,结论刚好与上述相反,即
当时,,即抛物线的对称轴在轴右侧;
当时,,即抛物线的对称轴就是轴;
当时,,即抛物线对称轴在轴的左侧.
总结起来,在确定的前提下,决定了抛物线对称轴的位置.
总结:
Ø 常数项
⑴ 当时,抛物线与轴的交点在轴上方,即抛物线与轴交点的纵坐标为正;
⑵ 当时,抛物线与轴的交点为坐标原点,即抛物线与轴交点的纵坐标为;
⑶ 当时,抛物线与轴的交点在轴下方,即抛物线与轴交点的纵坐标为负.
总结起来,决定了抛物线与轴交点的位置.
总之,只要都确定,那么这条抛物线就是唯一确定的.
² 求抛物线的顶点、对称轴的方法
Ø 公式法:,∴顶点是,对称轴是直线.
Ø 配方法:运用配方的方法,将抛物线的解析式化为的形式,得到顶点为(,),对称轴是直线.
Ø 运用抛物线的对称性:由于抛物线是以对称轴为轴的轴对称图形,所以对称轴的连线的垂直平分线是抛物线的对称轴,对称轴与抛物线的交点是顶点.
用配方法求得的顶点,再用公式法或对称性进行验证,才能做到万无一失.
² 用待定系数法求二次函数的解析式
Ø 一般式:.已知图像上三点或三对、的值,通常选择一般式.
Ø 顶点式:.已知图像的顶点或对称轴,通常选择顶点式.
Ø 交点式:已知图像与轴的交点坐标、,通常选用交点式:.
² 直线与抛物线的交点
Ø 轴与抛物线得交点为(0, ).
Ø 与轴平行的直线与抛物线有且只有一个交点(,).
Ø 抛物线与轴的交点:二次函数的图像与轴的两个交点的横坐标、,是对应一元二次方程的两个实数根.抛物线与轴的交点情况可以由对应的一元二次方程的根的判别式判定:
①有两个交点抛物线与轴相交;
②有一个交点(顶点在轴上)抛物线与轴相切;
③没有交点抛物线与轴相离.
Ø 平行于轴的直线与抛物线的交点
可能有0个交点、1个交点、2个交点.当有2个交点时,两交点的纵坐标相等,设纵坐标为,则横坐标是的两个实数根.
Ø 一次函数的图像与二次函数的图像的交点,由方程组 的解的数目来确定:①方程组有两组不同的解时与有两个交点; ②方程组只有一组解时与只有一个交点;③方程组无解时与没有交点.
Ø 抛物线与轴两交点之间的距离:若抛物线与轴两交点为,由于、是方程的两个根,故
² 二次函数图象的对称:二次函数图象的对称一般有五种情况,可以用一般式或顶点式表达
Ø 关于轴对称
关于轴对称后,得到的解析式是;
关于轴对称后,得到的解析式是;
Ø 关于轴对称
关于轴对称后,得到的解析式是;
关于轴对称后,得到的解析式是;
Ø 关于原点对称
关于原点对称后,得到的解析式是;
关于原点对称后,得到的解析式是;
Ø 关于顶点对称
关于顶点对称后,得到的解析式是;
关于顶点对称后,得到的解析式是.
Ø 关于点对称
关于点对称后,得到的解析式是
Ø 总结:根据对称的性质,显然无论作何种对称变换,抛物线的形状一定不会发生变化,因此永远不变.求抛物线的对称抛物线的表达式时,可以依据题意或方便运算的原则,选择合适的形式,习惯上是先确定原抛物线(或表达式已知的抛物线)的顶点坐标及开口方向,再确定其对称抛物线的顶点坐标及开口方向,然后再写出其对称抛物线的表达式.
² 二次函数图象的平移
Ø 平移步骤:
⑴ 将抛物线解析式转化成顶点式,确定其顶点坐标;
⑵ 保持抛物线的形状不变,将其顶点平移到处,具体平移方法如下:
Ø 平移规律
在原有函数的基础上“值正右移,负左移;值正上移,负下移”.
概括成八个字“左加右减,上加下减”.