高中数学选修1-2知识点总结

第一章  统计案例

1．线性回归方程

①变量之间的两类关系：函数关系与相关关系；

②制作散点图，判断线性相关关系

③线性回归方程：（最小二乘法）

其中，    

注意：线性回归直线经过定点.

2．相关系数（判定两个变量线性相关性）：

注：⑴>0时，变量正相关； <0时，变量负相关；

⑵① 越接近于1，两个变量的线性相关性越强；② 接近于0时，两个变量之间几乎不存在线性相关关系。

1．(2011·山东)某产品的广告费用x与销售额y的统计数据如下表：

根据上表可得回归方程＝x＋中的为9.4，据此模型预报广告费用为6万元时销售额为                                               (　　)．

A．63.6万元                    B．65.5万元

C．67.7万元                    D．72.0万元

解析　∵＝＝，＝＝42，

又＝x＋必过(，)，∴42＝×9.4＋，∴＝9.1.

∴线性回归方程为＝9.4x＋9.1.

∴当x＝6时，＝9.4×6＋9.1＝65.5(万元)．

答案　B

2．(2011·江西)为了解儿子身高与其父亲身高的关系，随机抽取5对父子的身高数据如下：

则y对x的线性回归方程为                                     (　　)．

A.＝x－1                    B.＝x＋1

C.＝88＋x                  D.＝176

解析　因为＝＝176，

＝＝176，

又y对x的线性回归方程表示的直线恒过点(，)，

所以将(176,176)代入A、B、C、D中检验知选C.

答案　C

3．(2011·陕西)设(x₁，y₁)，(x₂，y₂)，…，(x_n，y_n)是变量x和y的n个样本点，直线l是由这些样本点通过最小二乘法得到的线性回归直线(如图)，以下结论中正确的是(　　)．

A．x和y的相关系数为直线l的斜率

B．x和y的相关系数在0到1之间

C．当n为偶数时，分布在l两侧的样本点的个数一定相同

D．直线l过点(，)

解析　因为相关系数是表示两个变量是否具有线性相关关系的一个值，它的

绝对值越接近1，两个变量的线性相关程度越强，所以A、B错误．C中n

为偶数时，分布在l两侧的样本点的个数可以不相同，所以C错误．根据回

归直线方程一定经过样本中心点可知D正确，所以选D.

答案　D

4．(2011·广东)为了解篮球爱好者小李的投篮命中率与打篮球时间之间的关系，下表记录了小李某月1号到5号每天打篮球时间x(单位：小时)与当天投篮命中率y之间的关系：

小李这5天的平均投篮命中率为________；用线性回归分析的方法，预测小李该月6号打6小时篮球的投篮命中率为________．

解析　小李这5天的平均投篮命中率

＝＝0.5，

可求得小李这5天的平均打篮球时间＝3.根据表中数据可求得＝0.01，＝

0.47，故回归直线方程为＝0.47＋0.01x，将x＝6代入得6号打6小时篮球的

投篮命中率约为0.53.

答案　0.5　0.53

5．(2011·辽宁)调查了某地若干户家庭的年收入x(单位：万元)和年饮食支出y(单位：万元)，调查显示年收入x与年饮食支出y具有线性相关关系，并由调查数据得到y对x的回归直线方程：＝0.254x＋0.321.由回归直线方程可知，家庭年收入每增加1万元，年饮食支出平均增加________万元．

解析　由题意知[0.254(x＋1)＋0.321]－(0.254x＋0.321)＝0.254.

答案　0.254

6．(2011·安徽)某地最近十年粮食需求量逐年上升，下表是部分统计数据：

(1)利用所给数据求年需求量与年份之间的回归直线方程＝x＋；

(2)利用(1)中所求出的直线方程预测该地20##年的粮食需求量．

解　(1)由所给数据看出，年需求量与年份之间是近似直线上升的，下面求回归直线方程．为此对数据预处理如下：

对预处理后的数据，容易算得＝0，＝3.2.

＝

＝＝6.5，＝－b＝3.

由上述计算结果，知所求回归直线方程为

－257＝(x－2 006)＋＝6.5(x－2 006)＋3.2，

即＝6.5(x－2 006)＋260.2.                                                                                ①

(2)利用直线方程①，可预测20##年的粮食需求量为

6．5×(2012－2006)＋260.2＝6.5×6＋260.2＝299.2(万吨)．

7．(2010·新课标全国)为调查某地区老年人是否需要志愿者提供帮助，用简单随机抽样方法从该地区调查了500位老年人，结果如下：

(1)估计该地区老年人中，需要志愿者提供帮助的老年人的比例；

(2)能否有99%的把握认为该地区的老年人是否需要志愿者提供帮助与性别有关？

(3)根据(2)的结论，能否提出更好的调查方法来估计该地区的老年人中，需要志愿者提供帮助的老年人的比例？

说明理由．

附：

K²＝

解　(1)调查的500位老年人中有70位需要志愿者提供帮助，因此该地区老年人中，需要帮助的老年人的比例的估计值为＝14%.

(2)K²＝≈9.967.

由于9.967＞6.635，所以有99%的把握认为该地区的老年人是否需要帮助与性别有关．

(3)由(2)的结论知，该地区老年人是否需要帮助与性别有关，并且从样本数据

能看出该地区男性老年人与女性老年人中需要帮助的比例有明显差异，因此

在调查时，先确定该地区老年人中男、女的比例，再把老年人分成男、女两

层并采用分层抽样方法比采用简单随机抽样方法更好．

8．(2010·辽宁)为了比较注射A，B两种药物后产生的皮肤疱疹的面积，选200只家兔做试验，将这200只家兔随机地分成两组，每组100只，其中一组注射药物A，另一组注射药物B.下表1和表2分别是注射药物A和药物B后的试验结果．(疱疹面积单位：mm²)

表1：注射药物A后皮肤疱疹面积的频数分布表

表2：注射药物B后皮肤疱疹面积的频数分布表

(1)完成下面频率分布直方图，并比较注射两种药物后疱疹面积的中位数大小；

(2)完成下面2×2列联表，并回答能否有99.9%的把握认为“注射药物A后的疱疹面积与注射药物B后的疱疹面积有差异”．

表3：

附：K²＝

解　(1)

从频率分布直方图中可以看出注射药物A后皮肤疱疹面积的中位数在65至70之间，而注射药物B后皮肤疱疹面积的中位数在70至75之间，所以注射药物A后疱疹面积的中位数小于注射药物B后疱疹面积的中位数．

(2)表3：

K²＝≈24.56.

由于K²＞10.828，所以有99.9%的把握认为“注射药物A后的疱疹面积与注射药物B后的疱疹面积有差异”．

第二篇：(文科)高中数学选修1-1、1-2、4-4重要知识点

第二部分 圆锥曲线

1、平面内与两个定点F1，F2的距离之和等于常数（大于F1F2）的点的轨迹称为椭圆． 即：|MF1|?|MF2|?2a,(2a?|F1F2|)。

这两个定点称为椭圆的焦点，两焦点的距离称为椭圆的焦距． 2、椭圆的几何性质：

3、平面内与两个定点F1，F2的距离之差的绝对值等于常数（小于F1F2）的点的轨迹称为双曲线．即：

||MF1|?|MF2||?2a,(2a?|F1F2|)。

这两个定点称为双曲线的焦点，两焦点的距离称为双曲线的焦距．

4

56、平面内与一个定点F和一条定直线l的距离相等的点的轨迹称为抛物线．定点F称为抛物线的焦点，定直线l称为抛物线的准线．

7

?2p．8、过抛物线的焦点作垂直于对称轴且交抛物线于?、?两点的线段??，称为抛物线的“通径”，即?

9、焦半径公式：

若点??x0,y0?在抛物线y?2px?p?0?上，焦点为F，则?F?x0?2p； 2

若点??x0,y0?在抛物线x?2py?p?0?上，焦点为F，则?F?y0?2p； 2

第三部分 导数及其应用

1、函数f?x?从x1到x2的平均变化率：f?x2??f?x1?

x2?x1

x?x0 f(x0??x)?f(x0)；． ?x2、导数定义：f?x?在点x0处的导数记作y??f?(x0)?lim?x?0

3、函数y?f?x?在点x0处的导数的几何意义是曲线

4、常见函数的导数公式：

①C?0；②(x)?nx

x'x'y?f?x?在点??x0,f?x0??处的切线的斜率． n'n?1； ③(sinx)?cosx；④(cosx)??sinx； x'''⑤(a)?alna；⑥(e)?e； ⑦(logax)?x'11'；⑧(lnx)? xlnax

5、导数运算法则：

?1?

?2? ???f?x??g?x????f??x??g??x?； ???f?x??g?x????f??x?g?x??f?x?g??x?；

?f?x???f??x?g?x??f?x?g??x??g?x??0????2gx??3????g?x???．

6、在某个区间?a,b?内，若f??x??0，则函数y?f?x?在这个区间内单调递增；

若f??x??0，则函数y?f?x?在这个区间内单调递减．

7、求函数y?f?x?的极值的方法是：解方程f??x??0．当f??x0??0时：

?1?如果在x0附近的左侧f??x??0，右侧f??x??0，那么f?x0?是极大值；

?2?如果在x0附近的左侧f??x??0，右侧f??x??0，那么f?x0?是极小值．

8、求函数y?f?x?在?a,b?上的最大值与最小值的步骤是：

?1?求函数y?f?x?在?a,b?内的极值；

?2?将函数y?f?x?的各极值与端点处的函数值f?a?，f?b?比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值．

9、导数在实际问题中的应用：最优化问题。

椭圆及其性质

x2y2

2m??1表示椭圆?1.方程>0，n>0，且m≠n；a是m，n中之较大者，焦点的位置也取决于m，mn

的大小。 n

x2y21[举例] 椭圆= ??1的离心率为，则m4m2

解析：方程中4和m哪个大哪个就是a，因此要讨论；（ⅰ）若0<m<4,则a?4,b?m，∴c?4?m，222m?414?m1162=，得m=3；（ⅱ）m>4,则b2?4,a?m，∴c?m==，得m=；?4，∴em2223

16综上：m=3或m=。 3∴e=

[巩固]若方程：x2+ay2=a2 表示长轴长是短轴长的2倍的椭圆，则a的允许值的个数是 A 1个 B .2个 C.4个 D.无数个

4．研究椭圆上的点到其焦点的距离问题时，往往用定义；会推导并记住椭圆的焦半径公式。

x2y2

[举例1] 如图把椭圆??1的长轴AB分成8分，过 2516

每个分点作ｘ轴的垂线交椭圆的上半部分于P,P2,……P

七个点，F是椭圆的一个焦点，则7 ?......?____________． 127

解析：P1与P7，P2与P6，P3与P5关于y轴对称，P4在y轴上，

记椭圆的另一个焦点为F/，则|P7F|=|P1F/|，|P6F|=|P2F/|，|P5F|=|P3F/|，

?......?于是|P1F|+|P1F/|+|P2F|+|P2F/|+|P3F|+|P3F/|+|P4F|=7a=35. 127

x225y28?1 [举例2] 已知A、B是椭圆2?上的两点，F是椭圆的右焦点，如果|AF|?|BF|a, AB的2225a9a2

3，则椭圆的方程 . 2

8812解析： |AF==??|?|BF|aaa， 2a?|AF|?2a?|||AF?|BF|221111555中点到椭圆左准线距离为

记AB的中点为M ，A、B、M在椭圆左准线上的射影分别为A1、B1，M1，由椭圆第二定义知：|AF1|=e|AA1|，|BF1|=e|BB1|，于是有：e（|AA1|+|BB1|）=124a，而e=55∴|AA1|+|BB1|=3a?2|MM1|=3a，又|MM1|=

3，得a=1，2

25y2

故椭圆方程为x??1。92

3.圆锥曲线的定义是求轨迹方程的重要载体之一。

[举例1]已知⊙Q：(x-1)+y=16,动⊙M过定点P(-1,0)且与⊙Q相切，则M点的轨迹方程是：

。

解释：P(-1,0)在⊙Q内，故⊙M与⊙Q内切，记：M(x,y)，⊙M的半径是为r，则：|MQ|=4-r，又⊙M过点P，∴|MP|=r，于是有：|MQ|=4-|MP|，即|MQ|+|MP|=4，可见M点的轨迹是以P、Q为焦点（c=1）的椭圆，a=2。22

x?1)?(y?2)，则P点的轨迹是： [举例2] 若动点P（x,y）满足|x+2y-3|=5(

A．圆 B、椭圆 C、双曲线 D、抛物线

22