九年级二次函数知识点
学生姓名：
（一）、二次函数概念：
1．二次函数的概念：一般地，形如
（
是常数，
）的函数，叫做二次函数。 这里需要强调：和一元二次方程类似，二次项系数，而
可以为零．二次函数的定义域是全体实数．
2. 二次函数的结构特征：
⑴ 等号左边是函数，右边是关于自变量
的二次式，的最高次数是2．
⑵ 是常数，
是二次项系数，
是一次项系数，
是常数项．
（二）、二次函数的性质
1. 当
时，抛物线开口向上，对称轴为
，顶点坐标为
．
当
时，
随的增大而减小；当
时，随的增大而增大；当时，有最小值
．
2. 当
时，抛物线开口向下，对称轴为，顶点坐标为．当时，随的增大而增大；当时，随的增大而减小；当时，有最大值．
（三）、二次函数解析式的表示方法
1. 一般式：
（，，为常数，
）；
2. 顶点式：
（，
，
为常数，）；
3. 两根式：
（，
，
是抛物线与轴两交点的横坐标）.
注意：任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式，但并非所有的二次函数都可以写成交点式，只有抛物线与轴有交点，即
时，抛物线的解析式才可以用交点式表示．二次函数解析式的这三种形式可以互化.
练习
1.下列关系式中，属于二次函数的是(x为自变量)( )
A.
B.
C.
D.
2. 函数y=x2-2x+3的图象的顶点坐标是( )
A. (1，-4) B.(-1，2) C. (1，2) D.(0，3)
3. 抛物线y=2(x-3)2的顶点在( )
A. 第一象限 B. 第二象限 C. x轴上 D. y轴上
4. 抛物线 
的对称轴是( )
A. x=-2 B.x=2 C. x=-4 D. x=4
5. 已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，则下列结论中，正确的是( )
A. ab>0，c>0 B. ab>0，c<0
C. ab<0，c>0 D. ab<0，c<0
6. 二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，则点
在第__ 象
限( )
A. 一
B. 二
C. 三
D. 四
7. 如图所示，已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象的顶点P的横坐标是4，图象交x轴于点A(m，0)和点B，且m>4，那么AB的长是( )
A. 4+m B. m C. 2m-8 D. 8-2m
8. 若一次函数y=ax+b的图象经过第二、三、四象限，则二次函数y=ax2+bx的图象只可能是( )
9、 抛物线
的对称轴是（ ）
A. 直线
B. 直线
C. 直线
D. 直线
10.把抛物线
的图象向左平移2个单位，再向上平移3个单位，所得的抛物线的函数关系式是( )
A.
B.
C.
D.
二、填空题
1、下列函数中，哪些是二次函数？
（1）
（2）
（3）
（4）
2、二次函数
的图象开口方向 ，顶点坐标是 ，对称轴是 ；
3、当k为何值时，函数
为二次函数？画出其函数的图象．
3、函数
，当
为 时，函数的最大值是 ；
4、二次函数
，当 时， 
;且
随的增大而减小；
5. 二次函数y=x2-2x+1的对称轴方程是______________.
6. 若将二次函数y=x2-2x+3配方为y=(x-h)2+k的形式，则y=________.
7. 若抛物线y=x2-2x-3与x轴分别交于A、B两点，则AB的长为_________.
8. 抛物线y=x2+bx+c，经过A(-1，0)，B(3，0)两点，则这条抛物线的解析式为_____________.
9、二次函数
的对称轴是 ．
10二次函数
的图象的顶点是 ，当x 时，y随x的增大而减小．
11抛物线
的顶点横坐标是-2，则
= ．
12、抛物线
的顶点是
，则
、c的值是多少？
13．已知抛物线y=﹣
x
－３x－
（１） 写出抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标；
（２） 求抛物线与x轴、y轴的交点坐标；
（３） 画出草图
（４） 观察草图，指出x为何值时，y＞0,y＝0,y＜0.
14、如图，已知二次函数
的图象经过A（2，0）、B（0，－6）两点。
（1）求这个二次函数的解析式
（2）设该二次函数的对称轴与轴交于点C，求点C的坐标
15.某公司推出了一种高效环保型洗涤用品，年初上市后，公司经历了从亏损到赢利的过程，下面的二次函数图象（部分）刻画了该公司年初以来累积利润s（万元）与销售时间t（月）之间的关系（即前t个月的利润总和s与t之间的关系）.
（1）由已知图象上的三点坐标，求累积利润s（万元）与销售时间t（月）之间的函数关系式；
（2）求截止到几月累积利润可达到30万元；
（3）求第8个月公司所获利润是多少万元？
第二篇：二次函数知识点及其应用的总结
二次函数知识点总结
知识结构框图
一、二次函数的概念
形如
（a，b，c是常数，a≠0）的函数，叫做二次函数，其中
，是自变量，
分别是函数表达式的二次项系数，一次项系数和常数项。
这里需要强调：和一元二次方程类似，二次项系数
，而
可以为零．二次函数的定义域是全体实数．
二、二次函数的一般表达式
1、 一般式：（
，
，
为常数，
）；
2、 顶点式：
（，
，
为常数，）其中
；
3、 双根式：
二次函数解析式的确定：
根据已知条件确定二次函数解析式，通常利用待定系数法．用待定系数法求二次函数的解析式必须根据题目的特点，选择适当的形式，才能使解题简便．一般来说，有如下几种情况：
1. 已知抛物线上三点的坐标，一般选用一般式；
2. 已知抛物线顶点或对称轴或最大（小）值，一般选用顶点式；
3. 已知抛物线与
轴的两个交点的横坐标，一般选用两根式；
4. 已知抛物线上纵坐标相同的两点，常选用顶点式．
注意：任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式，但并非所有的二次函数都可以写成交点式，只有抛物线与轴有交点，即
时，抛物线的解析式才可以用交点式表示．二次函数解析式的这三种形式可以互化.
三、二次函数
的图像性质(轴对称图形)
1. 当
时，抛物线开口向上，
对称轴为
，
顶点坐标为
．
当
时，
随的增大而减小；
当
时，随的增大而增大；当时，有最小值
．
2. 当
时，抛物线开口向下，对称轴为，顶点坐标为．
当时，随的增大而增大；当时，随的增大而减小；当时，有最大值．
四、二次函数的图像与各项系数之间的关系
1. 二次项系数
二次函数中，作为二次项系数，显然．
⑴ 当时，抛物线开口向上，的值越大，开口越小，反之的值越小，开口越大；
⑵ 当时，抛物线开口向下，的值越小，开口越小，反之的值越大，开口越大．
总结起来，决定了抛物线开口的大小和方向，的正负决定开口方向，
的大小决定开口的大小．
2. 一次项系数
在二次项系数确定的前提下，决定了抛物线的对称轴．
⑴ 在的前提下，
当
时，
，即抛物线的对称轴在轴左侧；
当
时，
，即抛物线的对称轴就是轴；
当
时，
，即抛物线对称轴在轴的右侧．
⑵ 在的前提下，结论刚好与上述相反，即
当时，，即抛物线的对称轴在轴右侧；
当时，，即抛物线的对称轴就是轴；
当时，，即抛物线对称轴在轴的左侧．
总结起来，在确定的前提下，决定了抛物线对称轴的位置．
总结：
3. 常数项
⑴ 当
时，抛物线与轴的交点在轴上方，即抛物线与轴交点的纵坐标为正；
⑵ 当
时，抛物线与轴的交点为坐标原点，即抛物线与轴交点的纵坐标为
；
⑶ 当
时，抛物线与轴的交点在轴下方，即抛物线与轴交点的纵坐标为负．
总结起来，决定了抛物线与轴交点的位置．
总之，只要
都确定，那么这条抛物线就是唯一确定的．
五、二次函数与一元二次方程：
1. 二次函数与一元二次方程的关系（二次函数与轴交点情况）：
一元二次方程
是二次函数
当函数值
时的特殊情况.
图像与轴的交点个数：
① 当
时，图像与轴交于两点
，其中的
是一元二次方程
的两根． 和的一半恰好是对称轴的横坐标.
② 当
时，图像与轴只有一个交点；
③ 当
时，图像与轴没有交点.
当
时，图像落在轴的上方，无论为任何实数，都有
；
当
时，图像落在轴的下方，无论为任何实数，都有
．
2. 抛物线的图像与轴一定相交，交点坐标为
，
；
3. 二次函数常用解题方法总结：
⑴ 求二次函数的图像与轴的交点坐标，需转化为一元二次方程；
⑵ 求二次函数的最大（小）值需要利用配方法将二次函数由一般式转化为顶点式；或者依据函数特点确定自变量能使函数取得最大值的值，并将其带入到表达式中求出最值；
⑶ 根据图象的位置判断二次函数中，，的符号，或由二次函数中，，的符号判断图象的位置，要数形结合；
（4）二次函数与一次函数的交点，可通过联立方程求解，从而求出交点坐标。
六、二次函数的几个特殊的基本形式
1. 二次函数基本形式：
的性质：
结论：a 的绝对值越大，抛物线的开口越小。
总结：
2. 
的性质：
结论：上加下减。
总结：
3. 
的性质：
结论：左加右减。
总结：
4. 
的性质：
总结：
七、二次函数图象的平移
1. 平移步骤：
⑴ 将抛物线解析式转化成顶点式，确定其顶点坐标
；
⑵ 保持抛物线的形状不变，将其顶点平移到处，具体平移方法如下：
2. 平移规律
在原有函数的基础上“值正右移，负左移；值正上移，负下移”．
概括成八个字“左加右减，上加下减”．