安边中学高一年级下学期数学学科导学稿执笔人：王广青 总第 课时
备课组长签字： 王广青 包级领导签字： 学生： 上课时间：第 周
第二篇：高一数学小结复习北师大版必修4
高一数学小结复习北师大版必修四
【本讲教育信息】
一、教学内容：
必修四小结复习
二、学习目标
1、通过实例，学习三角函数及其基本性质，体会三角函数在解决具有周期变化规律的问题中的作用；
2、了解向量丰富的实际背景，理解平面向量及其运算的意义，能用向量语言和方法表述和解决数学和物理中的一些问题，发展运算能力和解决实际问题的能力；
3、运用向量的方法推导基本的三角恒等变换公式，由此出发导出其他的三角恒等变换公式，并能运用这些公式进行简单的恒等变换。
三、知识要点
1、任意角——将一条射线绕着它的一个端点旋转并规定了旋转方向（沿着逆时针方向为正方向）所形成的图形，有正角、负角和零角之分；
2、弧度制——规定：长度等于半径的弧所对的圆心角为1弧度，记作：1rad。
3、任意角的三角函数——在坐标系中，利用角的终边上任意一点的坐标来定义；
4、三角函数线与诱导公式——借助三角函数线推导诱导公式
5、三角函数图像与性质——通过函数线作图、变换作图（平移、伸缩、对称）
6、同角三角函数的基本关系式——平方关系、商数关系
7、函数
的图像与性质——观察参数
对函数图像变化的影响；
8、平面向量的实际背景与基本概念——物理学背景；向量、相等向量、相反向量、共线向量、零向量、单位向量等；
9、向量的线性运算——加、减、数乘
10、平面向量的基本定理与坐标表示——平面向量的基本定理是建立向量坐标平面的理论依据；向量运算的坐标表示
11、平面向量的数量积及其应用——求线段长度与夹角；证明垂直关系
12、两角和与差的三角函数公式——由两角差的余弦公式导出和角公式与差角公式，进而导出积化和差公式、和差化积公式、二倍角公式、半角公式
四、考点解析与典型例题
考点一：求角
例1、已知
，求
的值。
【解】由题意，
或
。因为
，故
。
【说明】此类题型可先在R上求出符合等式条件的角，然后确定k值，进而求出符合题意的解。
考点二：求三角函数（式）值
例2、已知
【解】
考点三：证明三角恒等式
例3、已知
【证明】由条件可知：
又因为
，从而左边=
，
右边=
左边=右边，所以等式成立。
考点四：证明三角不等式或利用三角函数证明不等关系
例4、已知：
，求证：
。
【证明】设
，
，
，
，则
，
故 。
【说明】如果条件中有
，可作代换，；如果条件中有
，可作代换
，
；如果条件中有
，可作代换
，
；如果条件中有
，可作代换
；如果条件中有
，则可作代换
，
。
考点五：三角函数式的化简或求值
例5、不查表求sin220°+cos280°+
cos20°cos80°
【解】解法一：sin220°+cos280°+sin220°cos80°
=
（1－cos40°）+ （1+cos160°）+ sin20°cos80°
=1－cos40°+cos160°+sin20°cos（60°+20°）
=1－cos40°+ （cos120°cos40°－sin120°sin40°）+sin20°（cos60°cos
20°－sin60°sin20°）
=1－cos40°－
cos40°－
sin40°+sin40°－
sin220°
=1－
cos40°－（1－cos40°）=
解法二：设x=sin220°+cos280°+sin20°cos80°
y=cos220°+sin280°－cos20°sin80°，则
x+y=1+1－sin60°=，x－y=－cos40°+cos160°+sin100°
=－2sin100°sin60°+sin100°=0
∴x=y=，即x=sin220°+cos280°+sin20°cos80°=.
考点六：研究的性质
例6、求函数y＝2sin（
x－
）的周期、递增区间、对称轴方程和对称中心坐标
【解】周期：
。
令x－
即为其单调递增区间；
令x－=
即为其对称轴方程；
令x－=
，故得其对称中心为（
，0）。
【说明】在研究的性质时，注意将其与函数
进行比照研究。
考点七：求三角函数式的最值
例7、求y=
的最大值和最小值。
【解】法一：y=
=1－
.
当sinx=－1时，得ymin=－1，
当sinx=1时，得ymax=
.
法二：原式
sinx=
（∵y≠1）
||≤1－1≤y≤.
∴ymax=，ymin=－1.
【说明】法一是将原三角函数式化为只含有一个角、一个三角函数的式子，然后通过三角函数的有界性进行求解；法二是直接利用三角函数的有界性进行求解；实际上，本题还可以利用数形结合的方法求解。
考点八：三角函数图像变换
例8、由函数
的图像经怎样的变化可以得到函数
的图像。
【解】
，故原
，因此可将的图像向右平移个单位，再保持横坐标不变，将每一点的纵坐标变为原来的
倍即可。
考点九：用向量法证明线段平行与垂直
例9、证明：?梯形的中位线平行于底且等于上下底之和的一半；?等腰三角形底边上的中线和高线重合。
【证明】①
由向量相等的意义可知：MN平行于两底，长度为两底和的一半。
②
考点十：用向量法求夹角与距离
例10、用向量法证明点到直线的距离公式。
【证明】如果向量
与直线l：
垂直，则称向量为直线
的法向量，显然向量
是直线的一个法向量．
设
是直线l外一点，PQ垂直直线l于
，如图所示，则向量
与
共线，令
，则
，
又
，∴ 
，∴
，
∴ 由
，得
．证毕．
考点十一：向量与三角函数的综合应用
例11、已知向量m=（sinA，cosA），n=
，m·n＝1，且A为锐角.
（Ⅰ）求角A的大小；（Ⅱ）求函数
的值域.
【解】（Ⅰ）由题意得m·n
由A为锐角得
（Ⅱ）由（Ⅰ）知
所以
x
因为x∈R，所以
，因此，当
时，f（x）有最大值.
当sinx=－1时，f（x）有最小值－3，所以所求函数f（x）的值域是
.
五、数学思想方法
三角函数是基本初等函数，是描述周期现象的重要数学模型，在数学和其他领域中具有重要的作用。学习中要体会三角函数在解决具有周期性变化规律的问题中的作用；向量是近代数学中重要和基本的数学概念之一，它是沟通代数、几何与三角函数的一种工具，有着极其丰富的实际背景，理解平面向量及其运算的意义并发展运算能力和解决实际问题的能力；三角恒等变换有利于发展推理能力和运算能力。
另外，数形结合、分类讨论、化归等数学思想方法在本模块的学习中应用十分广泛，要注意培养和训练。
【模拟试题】（答题时间：45分钟）
一、选择题
1、设P是△ABC所在平面内的一点，
，则
A.
B.
C.
D.
*2、将函数
的图象向左平移
个单位， 再向上平移1个单位，所得图象的函数解析式是
A.
B.
C.
D.
3、已知函数
的图像与直线
的两个相邻交点的距离等于π，则
的单调递增区间是
*4、如果函数
的图像关于点
中心对称，那么
的最小值为
A. B. C. 
D. 
*5、已知a是实数，则函数
的图象不可能是
*6、一质点受到平面上的三个力
（单位：牛顿）的作用而处于平衡状态．已知
，
成60°角，且，的大小分别为2和4，则
的大小为
A. 6 B. 2 C. 
D. 
二、填空题
*7、y=
（0＜x＜π＝的最小值是________
8、已知
，且在区间
内有最小值，无最大值，则
＝__________．
三、解答题
9、求函数y = 
的最小值 （0< x < 
）
10、已知：
，求证：
。
11、已知<α<π，0<β<，tanα=－，cos（β－α）=，求sinβ的值
12、设函数f（x）=a－b，其中向量a=（m，cos2x），b=（1+sin2x，1），x∈R，且函数y=f（x）的图象经过点
，
（Ⅰ）求实数m的值；
（Ⅱ）求函数f（x）的最小值及此时x值的集合.
【试题答案】
一、选择题
1. B 2. B 3. C 4. C 5. D 6. D
2、【解析】：将函数的图象向左平移个单位，得到函数
即
的图象，再向上平移1个单位，所得图象的函数解析式为
，故选B.
4、答案：C。
【提示】
函数的图像关于点中心对称
由此易得
.故选C
5、答案：D
【提示】对于振幅大于1时，三角函数的周期为
，而D不符合要求，它的振幅大于1，但周期反而大于
．
6、【解析】
(180°－60°)＝28，所以
，选D
二、填空题
7、
。
【提示】法一：y=ysinx+cosx=2
sin（x+
）=2
sin（x+）=
（x∈（0，π））
0＜≤1y≥.
∴ymin=.
法二：y可视为点A（－sinx，cosx），B（0，2）连线的斜率kAB，而点A的轨迹
x∈（0，π）是单位圆在第二、三象限的部分（如下图），易知当A（－
，
）时，ymin=kAB=.
8、
三、解答题
9、解：∵0 < x < ∴sin x + cos x – 1 ≠0
y = 1 + 
= 1+
（0 < x < ）
∴0 < 
－1 ≤
－1
∴y≥1+
=3+2
∴函数y在0 < x<范围内的最小值是3+2
10、证明：设，，则
11、∵<α<π，tanα=－，∴sinα=，cosα=－，又∵<α<π，0<β<，
∴－π<β－α<0，∵cos（β－α）=，∴sin（β－α）=－.
∴sinβ=sin[α＋（β－α）]=sinαcos（β－α）＋cosαsin（β－α）=.
12、
解：（Ⅰ）
，
由已知
，得
．
（Ⅱ）由（Ⅰ）得
，
当
时，的最小值为
，
由，得值的集合为